Cálculo de primitivas

Cálculo de Primitivas.

.' xxfxFxFdxxf

Definición: Una función es una primitiva de otra si la derivada

de la primera coincide con la segunda.

F f

Si es una primitiva de , para cualquier constante la función

también es una primitiva de . En efecto, F f c

cFG f

.'' xxFxG

Definición: Se llama integral indefinida de una función al

conjunto de todas sus funciones primitivas. Si es una de ellas, la

integral indefinida de es el conjunto de todas las funciones que

resultan de sumar a una constante arbitraria.

fF

f

F

.dxxgdxxfdxxgxf

Propiedades útiles para el cálculo:

.dxxfkdxxkf

1.

2.

.cxFdxxf

1


Algunas primitivas inmediatas:

.1,1

1

c

xdxx

.cxdx

.ln1

cxdxx

.cedxe xx

.0,ln

1 aca

adxa xx

.cossen cxdxx

.sencos cxdxx

.1,1

'

1

cxf

dxxfxf

.ln'

cxfdxxf

xf

.' cedxxfe xfxf

.0,ln

1' aca

adxxfa xfxf

.cos'sen cxfdxxfxf

.sen'cos cxfdxxfxf 2


.arctg1

12

cxdxx

.arctg1

'2

cxfdxxf

xf

.arcsen1

1

2cxdx

x

.tgcos

12

cxdxx

.tgcos

'2

cxfdxxf

xf

Algunas primitivas inmediatas:

.cotgsen

12

cxdxx

.cotgsen

'2

cxfdxxf

xf

.arcsen

1

'

2cxfdx

xf

xf

.cosarc1

1

2cxdx

x

.cosarc

1

'

2cxfdx

xf

xf

.cotgarc1

12

cxdxx

.cotgarc1

'2

cxfdxxf

xf

3

Por otro lado,

Derivadas de funciones arc

Derivada de .arcsen xxf

.1'cos xfxf

Despejando,

Derivando,

.cos

1'

xfxf

Por otro lado, .sen xxf .1cos 2xxf

.sen xxf

.1

1'

2xxf

Derivada de .arctg xxf

.1cos

'2

xf

xf

Despejando,

Derivando, .cos' 2 xfxf

.tg xxf

.cos

senx

xf

xf

.tg xxf

.sencos xfxfx

.cos1sencos 2222 xfxfxfx

.1cos1 22 xfx .1

1cos

2

2

xxf

.1

1'

2xxf

4

Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.

Ejercicio: Resuelva

.4sen dxx

.54

dxee xx

.2

dxxex

.59

12

dxx

.42

1

2

dxx

(p)

(e)

(t)

(t)

(t)

.86

17

3 2

dxx

x(p)

.7 52 3

dxx x

(e)

.

cossen

cossen2

dx

xx

xx(L)

.sencos 3

dxxx (p)

.315 2

dx

x

x(p)

.163332

dxxx (p)

.tg dxx (L)

5

Cálculo de Primitivas: reducibles a inmediatas.

Ejercicio: Resuelva

.5

dxe

e

x

x

(p)

2

cos.

sen

xdx

x (p)

.cossen xdxx (p)

.arcsen1

1

2

dxxx

(L)

.cos 3sen2 3

dxxex x(e)

.cossen

1 dx

xx(L)

.5

2

3

dxx

x

(e)

.1

arctg2

dxx

x(p)

.

13

16

dx

x(p)

.6 dx

x

x

(e)

.43

22

dxx

x(L)

.57

72

2

dx

x

x

(L)

6

Cálculo de Primitivas: Por partes.

.'' dxxuxvxvxudxxvxu

Proposición: Sean y funciones diferenciables. Se cumple que u v

En efecto, .''' xvxuxvxuxvu

.''' xvxuxvuxvxu

Usando la notación habitual,

.duvvudvu

7


Algunos usos útiles:

.ln dxxxP

1. Polinómica por trascendente.

. dxexP x

.cos

sen

dxx

xxP

u

u

u

Aplicación reiterada

para reducir

sucesivamente el

grado del polinomio.

2. Trascendente. .ln dxx

,arctg,cosarc,arcsen dxxdxxdxx u

u u u

3. Trascendente por trascendente.

.cos

sen

dxx

xe x

Circular. La elección de es

irrelevante. u

(p)

8

Ejercicio: Resuelva

.ln2

dxxx

.sen2 dxxx.2

dxex x

.ln2

dxx

.arcsen dxx

.tgarc dxx

.sen dxxex

.1ln 32

dxxx

.52

dxex x

.arcsen

dxe x(Circular)


9

I. Si

. dxxQ

xP

m

n

Cálculo de Primitivas Racionales

,mn

.dx

xQ

xRdxxCdx

xQ

xP

m

q

m

n

(p) mq

II. Si cálculo de raices de , ,mn

(II)

Q .0/ xQx

II.1. (RRS) Raíces reales simples.

....2

2

1

1

m

m

rx

A

rx

A

rx

A

xQ

xP

1,,...,, 21 im mRrrr

(L)

II.2. (RRM) Raíces reales múltiples.

....

2

21

rx

B

rx

B

rx

B

.1 mRr

(L y P)

II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. .1 mCr

.

22

x

NMx,ir (arctg y/o L)

II.4. (RIM) Raíces imaginarias múltiples: Método de Hermite.

Sis

tem

a lin

eal de e

cuacio

nes (

dando

va

lore

s o

identificando c

oeficie

nte

s)

N

M

B

A

j

i

10


dx

x

NMxMdx

x

NMx2222

dx

x

NMdx

x

xM2222

2

2

22ln x

dx

x

NMdx

x

NM2222

1

1

.arctg

1

1

2

xNMdx

x

NM

II.3. (RIS) Raíces imaginarias simples. ,ir

.arctgln

2

22

22c

xNMx

Mdx

x

NMx

11


Ejercicio: Resuelva

.4

22

3

dx

x

xx

(RRM) .5972

34

23

dx

xx

xxx

.3

123

34

dx

xx

xxx(RRM)

.136

22

dx

xx

x(RIS)

*

*

.39237

4185634

23

dx

xxx

xx

.673

2

dx

xx

xx(RRS)

.1

2345

4

dx

xxxx

x(RRM)

.2

423

dx

xxx

x(RIS) * *

12


.34

32

dx

xx

x(RRS)

.1

5323

dx

xxx

x(RRM)

.573

66823

2

dx

xxx

xx(RIS) *

.19

12

dxx

(RRS) *

(RIS) .1

23 dx

xxx

.1

222

2345

dx

x

xxxx

.15133 23

34

dx

xxx

xxx(RRM)

.4

124

dxxx

(RIS)

Ejercicio: Resuelva

13

Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.

.' dttgtgfdxxf

.', dttgdxtgx

Sea una función continua. Y sea

una función de clase tal que Entonces :f D R R : 'g D R R

1C .' DDg

Los elementos para el cambio de variable:

Para deshacer el cambio: .1 xgt

Dem.: Por un lado, .' xfxFxFdxxf Por otro lado, la derivada de la función compuesta tgFtgF

es .'''' tgtgftgtgFtgF

Por tanto, es una primitiva de Esto es, tgF .' tgtgf

.' xFtgFdttgtgf

Ejemplo: .2arctgarctg1

1

41

222

cxctdt

tdx

x

.2,2 dtdxtx .2xt

.2

,2

1 xxgt

ttgx

14

Cálculo de Primitivas. Cambio de variable.

. dxaQ

aPdxaR

x

xxCambio para racionales de una exponencial.

.ln

1, dt

tadxta x

Ejemplos: .1

2 dx

ee xx

.1

ln

1 dx

ttR

adxaR x

Ejemplos:

.1

1dx

xx.1 xt

.

ln4

12

dxxx

.ln xt .4ln

2lndx

xx

x.ln xt

.

4

2arctg

2dx

x

x

.2

arctgx

t .arcsen dxe x .arcsen xt

.cos 3sen2 3

dxxex x .sen 3xt

.14

4242

2

dx

x

xx

(Circular)

15

Cálculo de Primitivas Racionales Trigonométricas.

.cos,sen dxxxR

I. Cambio impar en seno.

II. Cambio impar en coseno.

III. Cambio par en seno y coseno.

IV. Cambio general.

.cos,sencos,sen xxRxxR

.1

1,sen.1sen.cos

2

2 dtt

dxdxxdttxxt


.1

1,cos.1cos.sen

2

2 dtt

dxdxxdttxxt

.1

1.

1sen,

1

1cos.tg

222dt

tdx

t

tx

txxt

.1

2.

1

2sen,

1

1cos.

2tg

222

2

dtt

dxt

tx

t

tx

xt


16


III. Cambio par en seno y coseno.

.tgxt


.cos

cos1

cos

sen 2

x

x

x

xt

.1cos1.cos1cos.cos1cos 222222 xtxxtxxt

,1

1cos

2tx

.1

arctg2t

dtdxtx

,

1sencos

2t

txxt

17


IV. Cambio general. .2

tgx

t

.sensencoscos)cos(

,sensencoscos)cos(

bababa

bababa

.coscos2)cos()cos( bababa

.cos20cos2cos 2 aa .2

12coscos2

a

a .2

1cos

2cos2

xx

.2

cos1

2

1cos1

2cos1

2sen 22 xxxx

.cos1

cos1

2cos

2sen

2tg 2

2

2

2 tx

x

x

xx

.cos1cos1 2 xtx

.cos11 22 xtt .1

1cos

2

2

t

tx

.1

4

1

11cos1sen

22

2

22

2222

t

t

t

txx

.

1

2sen

2t

tx

.1

2arctg2.

2tg

2dt

tdxtx

xt

18


Ejercicio: Resuelva

.sencos3

sen22

dxxx

x

.sen1

cos2

dxx

x

.cos91

cossen2

2

dx

x

xx

.cos41

cos2

dxx

x

.tg4

dxx

.cossen21

1

dxxx

.cos1

cos1

dx

x

x

.2cos3

2

dxx

.sen

1 dx

x

.cossen

cos2sen 22

dxxx

xx

impar seno

impar coseno

(par)

cambio general

(par)

cambio general

cambio general

impar seno

impar seno

impar coseno

19

*

*

*

*

*

*

Otras Primitivas Trigonométricas.

Las razones de la suma y la diferencia nos permiten resolver

algunos tipos de primitivas trigonométricas.

.sencoscossensen

,sencoscossensen

bababa

bababa

.cossen2sensen bababa

.

2

sensencossen

bababa

.

2

sensencossen dx

xxdxxx

I. Seno por coseno.

A partir del seno de la suma y la diferencia tenemos

20


.sensencoscos)cos(

,sensencoscos)cos(

bababa

bababa

.coscos2)cos()cos( bababa

.2

)cos()cos(coscos

bababa

.2

)cos()cos(sensen

bababa

III. Seno por seno.

II. Coseno por coseno.

.2

)cos()cos(coscos

dx

xxdxxx

A partir del coseno de la suma y la diferencia,

De (2) – (1)

(1)

(2)

.sensen2)cos()cos( bababa

.2

)cos()cos(sensen

dx

xxdxxx

21

Ejemplos:

.2sen12sen2

15cos7sen dxxxdxxx


.cos3cos2

1cos2cos dxxxdxxx

.9cos5cos2

12sen7sen dxxxdxxx

.2sen12sen2

12sen12sen

2

15sen7cos dxxxdxxxdxxx

.3cos7cos2

13cos7cos

2

15cos2cos dxxxdxxxdxxx

22

Cálculo de Primitivas Irracionales.

.,.,...,,,2

2

1

1

Nqpdxdcx

bax

dcx

bax

dcx

baxxR ii

q

p

q

p

q

p

n

n

I. Irracionales del tipo

Cambio de variable: .,...,,..., 21 nqqqmcmtdcx

bax

dxx

x

41

214

Ejemplos:

.4

24 3

2dtt

t

t

.2,4...4,1 4 mcmtx

dxx

xx

4

33

6

.4,3,2...12,12 mcmtx

.6

12 11

3

418

dxtt

tt

dx

x

xx

3

2

1

.3...3,2

3 mcmtx

x

,22 333 txtxtx

.

1

623

2

dtt

tdx

.1

13

1

6

1

2

13223

2

3

3dt

ttdt

t

t

tt

t

.1

23

3

t

tx

23

.4242

2222

2

22

auc

a

b

a

bxac

a

b

a

bxa


ca

b

a

bx

a

bxacx

a

bxacbxax

2

2

2

2222

4422

2

II. Irracionales del tipo

.2a

bxu

Reducibles a racionales trigonométricas.

Paso 1: Expresión de como suma o diferencia de

cuadrados, ó

cbxax 2

., 2222 auau

2u

O bien, a partir de las raices de , cbxax 2 .2

4

2

2

a

acb

a

b

A B

.22222 BaAxaBAxacbxax

.22 au

,02 RBB

.02 CBB

.0,, 2 adxcbxaxxR

24


Paso 2: Cambio de variable.

descartamos

Reducibles a racionales trigonométricas.

.22 Rau

II.I. .tg.,0 22222 tauaua

II.II.

II.III.

.sec.,0 22222 tauaua

.sen.,0 22222 tauaua

22,0 aua

porque en ese caso

.0,, 2 adxcbxaxxRII. Irracionales del tipo

.coscos

11

cos

sentg,0

22

222222

ttt

ttaua

II.I.

.cos

sen

cos

cos11

cos

1sec,0

2

2

2

22222

t

t

t

t

ttaua

II.II.

.cossen1sen,0 222222 tttaua II.III.

25


Ejemplo: .1342

dxxx

.32134422134 2222 xxxxx

.,2 dudxux

duudxxx 222 3134

.cos

3,tg3

2

222 dtt

dutu

dttt

tt22

22

cos

1

cos

cossen9 .

cos

19

3 dtt

dttt

t2

2

2

22

cos

33

cos

sen3

26


Ejemplo:

.342

1

2

dxxxx

3442232234 222 xxxxxx

.,2 dudxux

.cos,sen22 dttdutu

.1234222 xx

dxuu 21

1

dx

xxx 342

1

2

.sen

1cos

sen1sen

1

2

dxt

tdxtt

27


Ejemplo: .322

dxxx

.,1 dudxux

.413111232222 xxxxx

dxudxxdxxx 44132 222

.cos

sen2,

cos

2sec2,sec4

2

22 dtt

tdu

ttutu

.cos

sen4

cos

sen

cos

sen4

cos

sen24

cos

43

2

222 dtt

tdt

t

t

t

tdt

t

t

t

Ejemplo: .49 2

dxx

x

28

Education

Cálculo de primitivas