Cálculo Integral. Capítulo 1. Sucesiones y Series

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CAPÍTULO 1. SUCESIONES Y SERIES Definición. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue:

1 , 2 , 3 ,..., ,...f f f f n Como variable independiente se acostumbra la letra " "n , a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales. En las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la sucesión f n también se le identifica con a n , con na o bien con na . Ejemplo. Dar los primeros cinco términos y el término enésimo de las siguientes sucesiones infinitas:

1

2

1) 1 ; ) 11

) 1 ; ) 52 1

nn

nn

i a n n ii an

niii b ivn


2

Representación gráfica de una sucesión Como las funciones, las sucesiones se pueden graficar, correspondiendo sus valores funcionales a cada uno de los números naturales sustituido en su regla de correspondencia. Límite de una sucesión Teorema. Sea una sucesión na . Se dice entonces que tiene límite, denotado como L y expresado como

l im nna L

si para toda 0 y tan pequeña como se desee, existe un número entero N tal que

na L siempre que n N Si existe el límite, entonces la sucesión es convergente y en caso contrario se llama divergente. Representación geométrica:

Los límites de las sucesiones infinitas cumplen las propiedades de los límites de las funciones. Además es importante hacer ver que como los términos de la sucesión son valores funcionales, al estudiar su convergencia o divergencia se puede aplicar la Regla de L’Hopital. Al respecto, resulta conveniente enunciar aquí el teorema correspondiente a esta regla para poder contar con una herramienta valiosa en el Cálculo del límite de una sucesión.

1 2 3 N n

L

y L

y L

y

x 11,a

22,a

33,a

, nn a


3

Teorema. Regla de L’Hopital. Supónganse las funciones f y g diferenciables en cada punto de un intervalo abierto ,a b que contiene al valor " "c excepto posiblemente en este valor; y sea ' 0g x para toda x c en el intervalo. Sea también L que denota tanto un valor real o bien ó , y

supóngase que

f xg x

es una forma indeterminada en " "c .

Luego, si

'lim

'x c

f xL

g x entonces

limx c

f xL

g x .

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si al derivar numerador y denominador de la expresión original se vuelve a presentar una indeterminación de las formas 00

ó

, se repite nuevamente la Regla hasta que el

resultado está determinado o no exista el límite. Ejemplo. Calcular el valor numérico de los límites de las siguientes sucesiones y determinar con ello su naturaleza (utilizar la Regla de L’Hopital cuando se considere necesario o para verificar el resultado e ilustrar la técnica).

3 2 3

23 2 2 2

2 5 4 3 2) ; ) ; ) 110 8 1

nn n n ni ii n sen iiin n n n n


4

En ocasiones el límite resulta difícil y entonces es conveniente utilizar la propiedad del “emparedado”, teorema cuyo enunciado es el siguiente: Teorema. Sean las sucesiones definidas por ,n n na b y c , para las cuales se cumple que n n na b c n y además, se sabe que lim limn nn n

a L c

. Entonces lim nn

b L

Ejemplo. Calcular el límite de la sucesión cosnn

.


5

Teorema. Sea una sucesión cuyo término enésimo es nr . Entonces:

) lim 0 1

) lim 1

n

n

n

n

i r si r

ii r si r

Ejemplo. Calcular el límite de las sucesiones:

1) ; ) 1.022

nni ii

Teorema. Si para una sucesión nb se tiene que lim 0nn

b

, entonces lim 0nn

b

.

Ejemplo. Verificar que lim 0nn

a

para:

1 11 nna

n

Definición. Sucesión monótona Una sucesión es monótona creciente si sus términos consecutivos no decrecen y es monótona decreciente si sus términos sucesivos no crecen.


6

Definición. Sucesión acotada Se dice que una sucesión es acotada si existe un valor real positivo " "C tal que:

na C n Teorema. Si se tiene una sucesión monótona (creciente o decreciente) y está acotada, entonces tiene límite, por lo que es convergente.

Ejemplo. La sucesión 1n

es acotada y es monótona

decreciente, por lo que es convergente y su límite es: 1 1lim 0

n n

SERIES INFINITAS. TELESCÓPICA Y GEOMÉTRICA DEFINICIÓN. Considérese la sucesión na y súmense ahora sus términos. A la expresión obtenida que es:

1 2 3 na a a a se le llama “serie infinita” o simplemente “serie” y se denota con

1n

na

Como se trata de un número infinito de sumandos, es necesario definir lo que se entiende por “suma infinita” y para ello es conveniente formar una sucesión con las sumas parciales de los términos de las series, que se expresa como:

1 2 3, , ,..., ,...nS S S S en donde

1 1S a 2 1 2S a a 3 1 2 3S a a a


7

1 2 3n nS a a a a

DEFINICIÓN. Considérese la serie infinita

1 2 31

n nn

a a a a a

y sea la sucesión de sus sumas parciales 1 2 3, , ,..., ,...nS S S S

Entonces la serie dada es convergente si el límite de su suma parcial enésima existe, es decir, si

lim ;nnS S S

y el valor numérico " "S del límite equivale a la “suma finita” de la “serie infinita”. En el caso de que el límite no existe, se dice que la serie es divergente. Si fuera posible siempre determinar el límite de la suma parcial enésima, todo se concretaría a calcularlo y así determinar su naturaleza. Pero en la mayoría de los casos es complicado.

Ejemplo. Sea la serie infinita 1

1 2 3n

n n

Algunas de sus sumas parciales, incluyendo la suma parcial enésima, que recuerda al “príncipe de las matemáticas” Gauss, por la anécdota que de él se cuenta al respecto, son:

1 1S 2 1 2 3S 3 1 2 3 6S

12n

n nS

Se obtiene el límite de la suma parcial enésima y se ve que 1lim

2n

n n

por lo que la serie es divergente.


8

Ejemplo. Serie telescópica. Sea la serie 1

11n n n

. Si se

escriben algunos de sus sumandos y sus respectivas sumas parciales se obtiene lo siguiente:

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110n n n

11 0.52

S

21 1 0.6666666662 6

S

31 1 1 0.752 6 12

S

41 1 1 1 0.82 6 12 20

S

51 1 1 1 1 0.8333333332 6 12 20 30

S

61 1 1 1 1 1 0.8571428572 6 12 20 30 42

S

71 1 1 1 1 1 1 0.8752 6 12 20 30 42 56

S

81 1 1 1 1 1 1 1 0.8888888882 6 12 20 30 42 56 72

S

91 1 1 1 1 1 1 1 1 0.92 6 12 20 30 42 56 72 90

S

101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.9090909092 6 12 20 30 42 56 72 90 110

S

El término enésimo se puede escribir de la siguiente forma, al descomponerlo en dos fracciones racionales:

1 1

1 10 1

1 1

A B An A Bnn n n n

A B AA B

1 1 1

1 1n n n n


9

y entonces, los términos de la serie se pueden escribir como sigue:

1 1

1 1 11 1n nn n n n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1n n

Como se ve, todos los términos menos dos se cancelan y la suma parcial enésima queda como:

111nS

n

y el límite de esta suma parcial enésima es 1lim lim 1 1

1nn nS

n

luego esta serie, conocida como “telescópica”, es convergente y su límite es “uno”, que es el valor de su suma finita. Ejemplo. (Serie telescópica). Analizar la serie infinita

21

19 3 2n n n


10

Serie Geométrica . Sea la serie infinita

2 1

0

n n

nar a ar ar ar

Cada término se obtiene al multiplicar el término inmediato anterior por un término conocido como la “razón” de la serie.

2ar ar rar a

Ejemplo. Supóngase que se tienen los siguientes términos de una serie y se pretende saber si se trata de una serie geométrica:

4 8 16 322, , , ,5 25 125 625

Solución Se divide cada término entre el anterior y,

4 8 162 40 2 400 25 25 125; ;

4 82 5 100 5 1000 55 25

324000 2625

16 10000 5125

Luego se trata de una serie geométrica con 2 25

r y a ,

por lo que su término general es: 0

225

n

n


11

TEOREMA. La serie geométrica 2 1

0

n n

nar a ar ar ar

)i Converge y su suma es 1

aSr

si 1r

)ii Diverge si 1r PRUEBA. Sea la suma parcial enésima

2 1nnS a ar ar ar

Si se multiplican los dos miembros por la razón " "r 2 3 n

nrS ar ar ar ar Si se restan ambas expresiones se tendrá:

2 1 2 3n nn nS rS a ar ar ar ar ar ar ar

11 1

n nn n

a ar S a ar S rr r

Si se calcula el límite de la suma parcial enésima se llega a:

lim lim1 1

nnn n

a aS S rr r

lim lim lim1 1 1 1

n n

n n n

a a a ar rr r r r

De acuerdo con un teorema tratado en las Sucesiones, si 1r entonces lim 0n

nr

por lo que

1aS

r

y la serie es

convergente. Si 1r el límite no existe y la serie es divergente. Ejemplo. Dadas las siguientes series, determinar si son convergentes y dar su suma o divergentes:

8 16 32 2 2 2 2) 4 ; )5 25 125 3 9 27 81

i ii 1 1

1 0 1

3 5 8) 2 ; ) ; )4 8 3

n n n

n nn n n

iii iv v


12


13

Ejemplo. Expresar el decimal periódico 8.353535... como la razón de dos números enteros. Solución.

2 335 35 358.353535... 8

100 100 100

235 1 18 1100 100 100

La serie 21 11

100 100

es una serie geométrica con

11 1100

a y r luego es convergente y su suma es

1 11 1 0.01 0.99

aSr

. Se sustituye este valor y se tiene:

35 1 358.353535... 8 8100 0.99 99

8278.353535...99

Condición necesaria para la convergencia

TEOREMA. Considérese la serie infinita 1

nn

a

. Si esta es

convergente, entonces se cumple que lim 0nna

.

COROLARIO. Sea la serie infinita 1

nn

a

. Entonces, si lim 0nn

a

,

la serie es divergente. El corolario es más útil que el teorema mismo ya que implica que lo primero que se debe hacer al analizar una serie es obtener el límite del término enésimo y si resulta diferente de cero, se concluye que la serie es divergente.


14

Ejemplo. Determinar el carácter de cada una de las siguientes series:

3 23

31 0 1

! 2 1) ) 6 )3 ! 4 8 4

n

n n n

n n ni ii iiin n

TEOREMA. El carácter convergente o divergente de una serie infinita no cambia si se suprime o se agrega un número finito de términos al principio de ésta.

IGUALDAD DE SERIES. Dos Series infinitas, 1 1

n nn n

a y b

son

iguales si sus respectivos términos son iguales, esto es, si se cumple que:

1 1n n n n

n na b si a b n N

SUMA DE SERIES. Para definir la suma de dos series infinitas, basta con sumar los términos enésimos, es decir,

1 1 1

n n n nn n n

a b a b

TEOREMA.

)i Sean dos series infinitas convergentes 1 1

n nn n

a y b

, con

sumas A y B respectivamente. Entonces 1

n nn

a b

es

convergente y su suma equivale a S A B


15

)ii Sean dos series infinitas, una 1

nn

a

convergente y otra

1n

nb

divergente. Entonces,

1n n

na b

es divergente.

)iii Sean 1

nn

a

una serie infinita y c . Entonces el producto

de 1 1

n nn n

c a c a

y si la serie es convergente con suma " "A ,

entonces la serie 1

nn

c a

es convergente y su suma es S c A

Ejemplo. Investigar la naturaleza de la siguiente serie y en caso de ser convergente, calcular su suma:

11

7 10414n

n n n

Serie armónica. La serie 1

1 1 1 1 112 3 4n n n

se

conoce como la “serie armónica divergente”. Ahora se verá el por qué diverge. Se analizarán las sumas parciales en potencias de “dos”, es decir,


16

2 4 8 16 32; ; ; ; ; ...S S S S S Entonces se puede escribir:

2112

S

41 1 1 1 1 1 21 1 12 3 4 2 4 4 2

S

81 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

S

1 1 1 1 1 1 1 31 12 4 4 8 8 8 8 2

161 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 19 10 11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 1 1 112 4 4 8 8 8 8

1 1 1 1 1 1 1 1 4116 16 16 16 16 16 16 16 2

S

De la misma forma se tendría que:

32 64 128 2

5 6 71 ; 1 ; 1 ; ; 12 2 2 2n

nS S S S

Si se calcula el límite de 12n

se obtiene que:

l im 12n

n

Finalmente, 2

lim nn

S

y por lo tanto la serie armónica es divergente. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS

Si en una serie infinita 1

nn

a

todos sus términos son positivos,

entonces sus sumas parciales cumplen que


17

1 2 3 nS S S S Esta sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente; luego se deduce que para que esta serie de términos positivos sea convergente, debe ser además acotada. En aplicaciones lo importante no es conocer la suma sino saber si son convergentes o divergentes. Se verá la serie de gran utilidad conocida como serie " "p . Teorema (Serie " "p ). La serie infinita

1

1 1 1 1 11 2 3p p p p p

n n n

, donde p :

)i Si 1p es convergente. )ii Si 1p es divergente.

)iii Si 1

1p

nS

n

, el resto N NR S S está acotado por

110

1N pRN p

Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series:

3 31 1

1 1) )n n

i iin n

Ejemplo. Probar que la siguiente serie converge y estimar el resto tras cinco términos

31

1n n


18

Solución. Como 3 1p la serie converge.

5 1 2

1 1 1 0.02501 5 2pR

N p

Se deduce que la suma de la serie puede acotarse en la forma

5 5 0.02S S S Finalmente, como

5 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1.1861 2 3 4 5

S

Se concluye que 1.186 1.206S

TEOREMA. CRITERIO DE LA COMPARACIÓN Sean las dos series infinitas con términos positivos

1 1n n

n na y b

. Entonces:

)i Si 0 n na b y 1

nn

b

es convergente,

1n

na

también es

convergente y se dice que es dominada por la serie 1

nn

b

.

)ii Si n na b y 1

nn

b

es divergente, la serie

1n

na

también es

divergente y se dice que domina a la serie 1

nn

b

.

Ejemplo. Investigar si las siguientes series son convergentes o divergentes:

1 2

1 5) ; )1 3 1n

n ni ii

n


19

Ejemplo. Determinar la naturaleza de la siguiente serie:

1

1 32 4

n

nn

TEOREMA. CRITERIO DEL LÍMITE DEL COCIENTE DE LA COMPARACIÓN

Sean 1 1

n nn n

a y b

series de términos positivos y sea " "L un

valor real. Si se cumple que:

lim 0nn

n

a Lb

entonces las dos series son convergentes o las dos son divergentes.


20

Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series infinitas:

4 3

5 431 1 14

1 1 8 2) ; ) ; )2 11 973 6

nn n n

n n ni ii iiinnn


21

Ejemplo. Investigar si la siguiente serie es convergente o divergente:

134

9 5 11 2 2 2

5 1

2 3 7n

n n

n n n

SERIES ALTERNADAS Se conocen como series alternadas a aquellas cuyos términos cambian de signo de manera alternada, pudiendo ser la alternancia uno a uno o de manera irregular. Se denotan como:

1 11 2 3 4

11 1n n

n nn

a a a a a a

TEOREMA. CRITERIO DE LA SERIE ALTERNADA

La serie alternada 1

11 n

nn

a

es convergente si cumple las

siguientes condiciones: ) lim 0nni a

1) n nii a a para todo valor entero positivo " "n Nota. Otras formas alternativas de la segunda condición son:

- ' 0 , entero positivo decrecientef x x - 1 0 , entero positivon na a n

- 1 1 , entero positivon

n

a na


22

Ejemplo. Determinar la naturaleza de las siguientes series alternadas:

1 1 12

1 1 1

1 5) 1 ; ) 1 ; ) 11 7 4

n n n

n n n

n ni ii iiin n n n

1 1

0 1 1

1 5 1) 1 ; ) 1 ; ) 110 6 !1 2

n n nn

n n n

niv v vin n


23

TEOREMA. ERROR ESTIMADO PARA UNA SERIE ALTERNADA CONVERGENTE La suma parcial nS de una serie alternada convergente difiere de la suma S de la serie en un error estimado nE menor al valor absoluto del término 1na , esto es,

1n nE a Ejemplo. Verificar que la siguiente serie alternada es convergente y calcular la suma " "S con una aproximación de cuatro cifras decimales.

1

1

112 1 !

n

n n


24

CONVERGENCIA ABSOLUTA

TEOREMA. Si en la serie alternada 1

11 n

nn

a

se toma el valor

absoluto de sus términos, se tiene la serie: 1 2 na a a

que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.

DEFINICIÓN. La serie 1

nn

a

es absolutamente convergente si

la serie que resulta de tomar el valor absoluto de cada término es convergente.

DEFINICIÓN. La serie 1

nn

a

es condicionalmente convergente

si, por un lado, la serie es convergente, pero la serie construida con el valor absoluto de sus términos, esto es,

1n

na

, es divergente.

Si la serie 1

nn

a

es de términos positivos, entonces n na a y

en este caso, convergencia absoluta es lo mismo que convergencia. Ejemplo. Determinar si las siguientes series son absolutamente convergentes:

13 3 3 3

1

1 1 1 1) 1 12 3 4

n

ni

n

12 3 4

1

3 3 3 3 3) 144 4 4 4

nn

nii


25

Ejemplo. Investigar la naturaleza de la serie

31

cos3

n

n

n

Solución Si se desarrolla la serie con algunos de sus términos, se tiene:

3 3 3 3 3 3 3

2 4 5 7cos cos cos cos coscos cos23 3 3 3 31 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 11 12 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 12 16 27 128 250 216 686

Se analiza con los valores absolutos de sus términos y:

31

cos3

n

n

n


26

Como se sabe, para todo " "n entero positivo se cumple

que cos 13

n y además 3 3

cos13

n

n n

. La serie 31

1n n

es

una serie " "p con 3 1p por lo que es convergente y, como domina por el criterio de la comparación, entonces la

serie 31

cos3

n

n

n

es convergente y se concluye que la serie

en estudio es absolutamente convergente y por lo tanto, convergente. Ejemplo. Investigar si la serie armónica alternada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

TEOREMA. PRUEBA DE LA RAÍZ. Sea la serie 1

nn

a

de términos

positivos o alternada y supóngase que lim nnn

a L

. Entonces:

1) 1 es convergenten

ni L a

1ii) 1 es divergenten

nL o a

iii) 1 el criterio no decideL


27

Ejemplo. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la naturaleza de las siguientes series:

2

5 1

1 1

221

4 1

3 4) ; )1 8

1 3) 1 ; ) 12

n n

nn n

nn

n

nn n

ni iin n

iii ivn


28

TEOREMA. PRUEBA DEL COCIENTE (D’ALEMBERT). Sea una serie

1n

na

de términos positivos o alternada y supóngase que

1lim nn

n

a Ma

Entonces:

1) 1 es convergenten

ni M a

1ii) 1 es divergenten

nM o a

iii) 1 el criterio no decideM Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series a partir del criterio del cociente:

21

1 1

1 1

1) 1 ; )1 !3

) ; ) 1! 1

nn

n n

nn

n n

ni iin

n niii ivn n


29


30

SERIES DE POTENCIAS En diversas aplicaciones son de importancia y trascendencia las series infinitas cuyos términos contienen una o más variables, como es el siguiente caso: DEFINICIÓN. Sea " "x una variable del campo de los reales. Entonces una serie de la forma:

20 1 2

0

n nn n

na x a a x a x a x

se denomina “serie de potencias en x” Para simplificar el término general se asume que 0 1x , aun en el caso de que 0x . Es evidente que en una serie de potencias lo que se pretende es determinar los valores de la variable " "x para los cuales la serie es convergente. Lo primero que se observa, de acuerdo con la definición anterior, es que la serie de potencias es convergente cuando

0x . Para determinar los demás valores de " "x donde la serie es convergente, se utilizará básicamente el Criterio del cociente (D’Alembert ) tratado con anterioridad.

TEOREMA. Sea una serie de potencias 0

nn

na x

. Entonces:

)i La serie es convergente solamente para 0x . )ii La serie es absolutamente convergente para todo valor

real de " "x , esto es, en x . )iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de

convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x r , esto es, si r x r (intervalo de convergencia), y divergente si x r , es decir, si x r x r . Como se observa en la tesis de este teorema, el centro del intervalo de convergencia es el origen, esto es, 0x , y el


31

radio de convergencia es, en el caso i , igual a cero; en el caso ii tiende a infinito; y en el caso iii , el radio de convergencia es " "r . También se puede dar el caso en que el centro del intervalo de convergencia sea otro valor diferente de cero. DEFINICIÓN. Sea c . Entonces una serie de la forma:

20 1 2

0

n nn n

na x c a a x c a x c a x c

se denomina “serie de potencias en x c ” También en esta serie se asume que 0 1x c , aún en el caso de que x c .


nn

na x c

. Entonces:

)i La serie es convergente solamente para 0x c , esto es, si x c . )ii La serie es absolutamente convergente para todo valor

real de " "x , esto es, en x . )iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de

convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x c r , esto es, si c r x c r (intervalo de convergencia), y divergente si x c r , es decir, si x c r x c r . Ejemplo. Determinar los valores de " "x para los cuales la serie de potencias siguiente es absolutamente convergente:

1 !

n

n

xn


32

Ejemplo. Determinar el radio y el intervalo de convergencia, así como los valores de " "x donde la siguiente serie diverge:

1

11

nn

n

xn


33

Ejemplo. Analizar la naturaleza de la siguiente serie de potencias:

11

3n

nn

n x

Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie de potencias:

2 3 4

0! 1 2 6 24n

nn x x x x x


34

Ejemplo. Determinar el intervalo y el radio de convergencia, así como los valores de " "x donde la serie de potencias siguiente es divergente:

1

22 3

n

n

n xn

Ejemplo. Estudiar la naturaleza de la serie de potencias:

2

0

41

3

nn

nn

xn


35

SERIES DE POTENCIAS COMO REPRESENTACIONES DE FUNCIONES Una determinada función puede ser representada mediante una serie de potencias y es evidente que el dominio de la función así representada es el intervalo de convergencia de

la serie. Si la serie de potencias es 0

nn

na x

, entonces,

20 1 2

0;n n

n nn

f x a x f x a a x a x a x

luego, cuando se pretende calcular el valor de la función en un valor " "c de su dominio, bastará con sustituirlo en la serie de potencias y se tendrá un valor aproximado de la función. Ejemplo. Considérese la serie geométrica

2 31 1 n nx x x x Su razón es r x y 1a . Como se sabe, si 1x , la serie es

convergente y tiene como suma a: 1 1

1 1 1aS

r x x

,

por lo que se puede escribir que

2 31 1 1 ; 11

n nx x x x xx

Entonces, como se ve, se trata de una serie de potencias que representa a la función, esto es,

0

1 1 11

n n

nf x x si x

x

También es posible derivar o integrar estas series de potencias, lo que conduce a otras funciones representadas por nuevas series. La derivada o la integral de una función es a su vez otra función cuyo dominio es el mismo que el de la función original; es lógico que esto sucede también en el caso de las series que representan a la función y a sus derivadas e integrales. Véase el siguiente teorema.


36


nn

na x

con un radio de

convergencia no nulo " "r y sea la función " "f definida por:

20 1 2

0

n nn n

nf x a x a a x a x a x

para toda " "x en el intervalo de convergencia. Si r x r , entonces:

1 2 11 2 3

1) ' 2 3n n

n nn

i f x na x a a x a x na x

1 2 3 10 1 20

0

1 1 1)1 2 3 1

x n nnn

n

aii f t dt x a x a x a x a xn n

Se puede probar que ambas series de potencias tienen el

mismo radio de convergencia que 0

nn

na x

.

Nota. El radio de convergencia de la serie de potencias resultante de la derivación o de la integración es el mismo, pero el intervalo puede diferir en sus extremos. Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

2

2 si 22

f x xx

Además, utilizar los primeros doce términos de la serie de potencias obtenida para evaluarla en 1x y comparar el resultado con el valor exacto.


37

Ejemplo. Sea la función siguiente y su serie de potencias:

2 3

1 2 3

n n

n

x x x xf x xn n

Definir las series de potencias que representan a las siguientes funciones y determinar sus respectivos intervalos de convergencia:

) ; ) ' ; )i f x ii f x iii f x dx Solución

2 3

1)

2 3

n n

n

x x x xi f x xn n

Se utiliza el criterio del cociente para determinar el intervalo de convergencia y,

1

11 1lim lim lim lim

11

n

nn

n nn n n nn

xa nx nn x xa nx n x

n

1 1 1x x convergencia absoluta 1 1 1x x x divergencia


38

11

1x

xx

no hay información

1 1 1

1 11 1nn

n

n n n

xxn n n

serie armónica

alternada convergente

1 1 1

1 11n n

n n n

xxn n n

serie armónica divergente

Entonces el intervalo de convergencia es 1,1x

1

1 2 1

1 1) ' 1

nn n

n n

nxii f x x x x xn

11lim lim

nn

nn nn

a x xa x


11

1x

xx

no hay información

1 11

1 11 1 1 1 1 1 1n nn

n nx x

divergente 1 1 1

1 11 1 1 1 1 1 1n n n

n nx x

divergente Luego el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es 1,1x

1 2 3 4 1

1)

1 2 6 12 1

n n

n

x x x x xiii f x dxn n n n

2

21

1 1

1 2 1lim lim lim

1 21

n

nn

n nn n nn

xn n n n xa

a x n n xn n

2

2lim3 2n

n n x xn n


39


11

1x

xx

no hay información

11

1 1

11

1 1

nn

n n

xxn n n n

1

1

1 1 1 1 111 2 6 12 20

n

n n n

2 22

1lim 01

1 2 1' 0 1

n n nyf y f y y

y y y y

convergente

1 1

1 1 1

1 111 1 1

n n

n n n

xxn n n n n n

1 1 1 12 6 12 20

que es una serie telescópica y por lo tanto convergente. Luego el intervalo de convergencia de la serie de potencias es 1,1x Queda comprobado que el radio de convergencia es el mismo, pero el intervalo varía en sus extremos. TEOREMA. SERIE DE TAYLOR

Sea " "f una función tal que 0

nn

nf x a x c

para toda " "x

en un intervalo abierto que contiene a " "c . Entonces es posible construir la serie

2''

'2! !

nnf c f c

f x f c f c x c x c x cn

que se conoce como “Serie de Taylor para f x en ' 'c ”.


40

COROLARIO. SERIE DE MACLAURIN Sea " "f una función tal que nf x a xn para toda " "x en un intervalo abierto ,r r , entonces se construye la serie

2'' 0 00 ' 0

2! !

nnf f

f x f f x x xn

que se conoce como “Serie de Maclaurin para f x ”. Nota. Para analizar la convergencia en ambas series, se puede utilizar el criterio del cociente o de D’Alembert. Ejemplo. Obtener la serie de Maclaurin para las funciones cosf x senx y f x x y probar que representan a las

funciones para todo valor real de " "x . Mencionar cómo se haría utilizando derivación e integración de series de potencias.


41


42

Ejemplo. Obtener el valor de 0.1sen mediante la serie de Maclaurin y estimar el error que se comete si para ello se utilizan sus dos primeros términos. Solución La serie ya obtenida es:

3 5 7 2 1

13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x xsenx x

n

Se sustituye " "x por el valor de 0.1 y se llega a:

0.001 0.000010.1 0.16 120

sen

Como se sabe, el error que se comete al usar los primeros dos términos, y su suma como aproximación, es menor que 0.00001

120. Por lo que el valor aproximado de 0.1sen , con 6

cifras decimales de exactitud, es de 0.099833 . Resulta interesante expresar que es factible utilizar la fórmula

polinomial 3

6xsenx x donde el error que se comete es

menor que 5

5!x

.

Ejemplo. Obtener la serie de potencias de Maclaurin para representar a las funciones:

) cos ; )i f x x x ii f x sen x


43

Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para representar a la

función f x senx en potencias de 6

x .

Solución Al derivar y sustituir se tiene que:

16 2

f x senx f

3' cos '6 2

f x x f

1'' ''6 2

f x senx f

3''' cos '''6 2

f x x f

de donde

2 41 3 1 32 2 6 2 2! 6 2 3! 6

senx x x x

El término general de esta serie está dado por:

2

12

11 0,2,4.6,...2 ! 6

31 1,3,5,7,...2 ! 6

nn

n nn

x si nn

u

x si nn


44

Se puede probar que esta serie de potencias de Taylor representa a la función para todo valor real de " "x . EJEMPLO. Utilizar la serie de Maclaurin para aproximar a cuatro cifras decimales la integral:

1 2

0senx dx

Solución Aquí se pude ver una gran utilidad de las series de potencias como representaciones de funciones, ya que la función del integrando no es integrable por los métodos tradicionales de integración. Y resulta sencillo integrar los términos de la serie de potencias que la representa. Para obtener la serie de Maclaurin para la función 2senx bastará con sustituir, en la serie que representa a senx , a la " "x por 2" "x . Así,

3 5 7 9 11 2 1

13! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

nnx x x x x xsenx x

n

6 10 14 18 22 4 2

2 2 13! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

nnx x x x x xsenx x

n

6 10 141 12 2

0 0 3! 5! 7!x x xsenx dx x dx

13 7 11 151 2

003 42 1320 75600

x x x xsenx dx

Si se utilizan los primeros tres términos se obtiene 1 2

0

1 1 1 0.3102813 42 1320

senx dx

El cuarto término es igual a 1 0.0000132275

75600

Como el error que se comete al tomar los primeros tres términos es menor que el cuarto término, entonces la integral pedida es exacta en sus cuatro primero términos como:


451 2

00.3102senx dx

Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para la función 1

1f x

x

centrada en 1c y decir para qué valores de " "x la representa. Solución Se obtienen las derivadas respectivas y se sustituye en ellas el valor de 1c .

1 111 2

f x fx

21 1' ' 1

41f x f

x

32 2'' '' 1

81f x f

x

46 6''' ''' 1

161f x f

x

524 241

321iv ivf x f

x

6120 1201

641v vf x f

x

Ahora se sustituyen los valores obtenidos en la serie de Taylor y se llega a:

2'' 1 11 1 ' 1 1 1 1

1 2! !

nnf f

f f x x xx n

2 3 4

1

1 1 1 2 6 241 1 1 11 2 4 8 2! 16 3! 32 4!

!1 12 !

n n

n

x x x xx

n xn

2 3 41 1 1 1 1 11 1 1 11 2 4 8 16 32

x x x xx

111 1

2n n

n x


46

10

1 11 11 2

n nn

nx

x

Se aplica el Criterio de la razón y se obtiene:

1

1121

2

1

12 1 112lim lim lim lim 1

2 21 2 12

n

nnnn

n nnn n n nn

n

xx xa x

a x x

11 1 2 2 1 2

2x

x x

1 3 convergentex

11 1 2 1 2 1 2

2x

x x x

1 3 divergentex x

1 1 2 11 1 2

2 1 2 3x x x

xx x

10 0

1 11 1 2 divergente22

n n

nn n

x

10 0

1 13 1 2 1 divergente22

n n n

nn n

x

Por lo tanto, la función 11

f xx

centrada en 1c es

representada por la serie de potencias 10

11 12

n n

nn

x

en

el intervalo 1,3x .

Education

Cálculo Integral. Capítulo 1. Sucesiones y Series