Upload
amalia-indrawati-gunawan
View
152
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.
in Suryakancana University Cianjur
CALCULUS 2
BAB 8. TEKNIK PENGINTEGRALAN
8.1 AturanDasar Substitusi Pengintegralan
Mengetahui bentuk integral baku dan dapat mengubah bentuk integral yang diberikan ke bentukintegral dengan substitusi peubah
8.2 PengintegralanParsial
Menghitung integral dengan teknik pengintegralan parsial
8.3 Integral Trigonometrik
Menghitung beberapa integral trigonometric
8.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
Menghitung integral dengan teknik substitusi yang merasionalkan
8.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung integral fungsi rasional dengan menggunakanpecahan parsial
8.6 Strategi Pengintegralan
Mengetahui apa yang harus dilakukan bila dihadapkan pada suatu bentuk integral
8.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
8.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinom. Secara umum, fungsi rasional dapat dituliskan sebagai :
π π₯ = π π₯ +π (π₯)
π(π₯)
dengan P, Q, dan R polinom dan derajat R < derajat Q. Integral dari P(x) dapat diperolehdengan mudah. Karena itu, untuk menghitung integral dari f(x), kita perlu mengetahuibagaimana menghitung integral dari R(x)/Q(x).
Sebagai contoh :
π π₯ =2
(π₯+1)3, π π₯ =
2π₯+2
π₯2β4π₯+8, β π₯ =
π₯5+2π₯3βπ₯+1
π₯3+5π₯
Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena derajat pembilang kurang dariderajat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi sukubanyak dan fungsi rasional sejati. Misalkan :
β π₯ =π₯5 + 2π₯3 β π₯ + 1
π₯3 + 5π₯= π₯2 β 3 +
14π₯ + 1
π₯3 + 5π₯
8.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung Integral Fungsi Rasional
β π₯ =π₯5+ 2π₯3β π₯ + 1
π₯3+ 5π₯= π₯2 β 3+
14π₯ + 1
π₯3+ 5π₯
Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut. Oleh karena fungsisuku banyak mudah diintegrasikan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak padapersoalan mengintegralkan fungsi rasonal sejati.
Apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.
Contoh 1:
2
(π₯ + 1)3ππ₯
Contoh 2 :
2π₯ + 2
π₯2β 4π₯ + 8ππ₯
Contoh 3 :
π₯ + 1
π₯2 + 1ππ₯
8.5 Integral Fungsi Rasional
Penjabaran menjadi pecahan parsial (factor linear)
Contoh : (Faktor linear yang berlainan). Jabarkan(3π₯β1)
(π₯2βπ₯β6)menjadi pecahan parsial dan kemudian tentukan integralnya
yang tak tentu.
Penyelesaian : oleh karena π₯2 β π₯ β 6 = (π₯ + 2)(π₯ β 3) maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk(3π₯β 1)
(π₯2β π₯β 6)=
π΄
(π₯ + 2)+
π΅
(π₯ β 3)
Tugas kita sekarang adalahmenentukan A dan B sehingga persamaan di atasmenjadi suatu bentuk kesamaan. Untuk itukita hilangkan pecahannya, sehingga kita peroleh
3π₯ β 1 = π΄ π₯ β 3 +π΅(π₯ + 2)
Atau dengan kesetaraan3π₯ β 1 = π΄+π΅ π₯ + (β3π΄+ 2π΅)
Oleh karena persamaan di atas suatu kesamaan, jika dan hanya jika apabila koefisienpangkat yang sama di ruas kiri danruas kanan sama, maka :
π΄ +π΅ = 3β3π΄+ 2π΅ = β1
Dari dua persamaan tersebut kita perolehπ΄ =7
5dan π΅ =
8
5, sehingga
(3π₯ β 1)
(π₯2 β π₯ β 6)=
(3π₯ β 1)
(π₯ + 2)(π₯ + 3)=
75
(π₯ + 2)+
85
(π₯ + 3)
(3π₯β 1)
(π₯2β π₯ β 6)ππ₯ =
7
5
1
π₯ + 2ππ₯ +
8
5
1
(π₯ + 3)ππ₯ =
7
5ln π₯ + 2 +
8
5ln π₯ β 3 + πΆ
8.5 Integral Fungsi Rasional
Contoh 1:
5π₯ + 3
π₯3β 2π₯2β 3π₯ππ₯
Contoh 2:
1
π₯2β 1ππ₯
Contoh 3:
π₯
(π₯ β 3)2ππ₯
Contoh 4:
3π₯2β 8π₯ + 13
(π₯ + 3)(π₯ β 1)2
Contoh 5:
6π₯2β 3π₯ + 1
(4π₯ + 1)(π₯2+ 1)ππ₯
8.5 Integral Fungsi Rasional
Untuk menjabarkan sebuah fungsi rasional π π₯ =π(π₯)
π(π₯)menjadi jumlah pecahan parsial,
kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
(1) Apabila π(π₯) tak sejati, yaitu apabila derajat π(π₯) paling sedikit sama denganπ π₯ bagilah terlebih dahulu π(π₯) dengan π(π₯). Kita akan peroleh :
π π₯ = πππππππ +π(π₯)
π·(π₯)
(2) Uraikanlah π·(π₯) menjadi hasil kali factor-factor linear dan kuadrat yang tidak dapatlagi diuraikan menjadi factor-factor linear dengan koefisien riil. Menurut suatu teoremadalam aljabar hal ini selalu mungkin.
(3) Untuk setiap factor yang berbentuk (ππ₯ + π)π , penjabaran mungkin berbentukπ΄1
(ππ₯ + π)+
π΄2(ππ₯ + π)2
+β―+π΄π
(ππ₯ + π)π
(4) Untuk setiap factor yang berbentuk (ππ₯2 + ππ₯ + π)π , penjabaran mungkin berbentukπ΄1
(ππ₯2 + ππ₯ + π)+
π΄2(ππ₯2 + ππ₯ + π)2
+β―+π΄π
(ππ₯2 + ππ₯ + π)π
8.5 Integral Fungsi Rasional
Untuk menjabarkansebuah fungsi rasional π π₯ =π(π₯)
π(π₯)menjadi jumlah pecahan parsial, kita perlu
melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
(5) Samakanπ(π₯)
π·(π₯)dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam langkah ke (3) dan ke (4). Banyaknya
konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut, yaitu π·(π₯)
(6) Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh dalam Langkah 5 dengan π·(π₯). Kemudiantentukan konstanta yang harus dicari. Ini dapat diperoleh dengan dua jalan (1) samakan koefisien darisuku yang derajatnya sama, (2) substitusikanlah nilai-nilai (yang sesuai) tertentu dalam variable x.
Contoh 1:
1
π₯3 β 1ππ₯
Contoh 2:
7
π₯2 β 6π₯ + 25ππ₯
Buku halaman 435
8.6 STRATEGI PENGINTEGRALAN
8.2 Pengintegralan Parsial
Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralan yang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentu maka yang dapat kitalakukan adalah:
1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada substitusi yg dpt mengubahintegral tsb ke salah satu bentuk baku yang kita kenal.
2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsb dengan pengintegralan parsial.
3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusi yang merasionalkan.
4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglah integralnya denganmendekomposisi integrannya atas faktorβfaktor linear dan/atau kuadratiknya.
THANK YOU