Embed Size (px)
Citation preview
1
ลมตข
องฟง
กชน
ความตอ
เนองขอ
งฟงกชน
อต
ราการเป
ลยนแ
ปลงของ
ฟงกช
น
• อต
ราการเป
ลยนแ
ปลง
โดยเฉ
ลย
• อต
ราการเป
ลยนแ
ปลง
ณ.จด
x =
x1
อนพน
ธของฟง
กชน
การป
ระยก
ตของอน
พนธ
• เสนส
มผสส
วนโคง
• คว
ามเรว
และค
วามเรง
•
ฟงกช
นเพม
และฟ
งกชน
ลด
จดตาสด
สมพท
ธและ
จดสงสด
สมพท
ธ
คาตาสด
สมบร
ณและจด
สงสด
สมบร
ณในช
วง [a
,b]
อนทก
รล
• อน
ทกรลจากด
ขอบเขต
•
อนทก
รลไม
จากด
ขอบเขต
การป
ระยก
ตของอน
ทกรล
• พน
ทปดล
อมดว
ยเสน
โคง
โจทย
ปญหา
2
แคลคลสเบองตน
1.ลมตของฟงกชน เมอกาหนด f คอฟงกชน เราสามารถหาคาลมตของ x เขาใกล a ( )a R∈ ของฟงกชน f ได โดยเขยนแทนดวยสญลกษณ
lim ( )x a
f x→
ตวอยาง เชน ลมตของ x เขาใกล 3 ของฟงกชน f เขยนแทนดวย 3lim ( )x
f x→
มความหมายวา ท
คา x มคาเกอบเทากบ 3 ( 3)x ≠ แลว ฟงกชน f จะมคาเทาใด ซงแบงเปน 2 กรณดงน กรณท 1 x มคาเขาใกล 3 ทางลบ เขยนแทนดวย 3x −→ มความหมายวา x มคาเกอบเทากบ 3 และนอยกวา 3 ( 3)x < เชน 2.999x = เปนตน
3
lim ( )x
f x−→
กรณท 2 x มคาเขาใกล 3 ทางบวก เขยนแทนดวย 3x +→ มความหมายวา x มคาเกอบเทากบ 3 และมากกวา 3 ( 3)x > เชน 3.0001x = เปนตน
3
lim ( )x
f x+→
สรปคอ lim ( )x a
f x→
หาคาไดเมอ
3
1) lim ( )x a
f x−→
หาคาได
2) lim ( )x a
f x+→
หาคาได
3) lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x f x f x− +→ → →
= = ตวอยาง เชน
1. ให ( ) 2 5f x x= + จงหา 3lim ( )x
f x→
วธทา
1) หา 3 3
lim ( ) lim(2 5)x x
f x x− −→ →
⇒ + มความหมายวา ท x นอยกวา 3 และมคาเกอบกบ 3 คาของ 2 5x + มคาเทากบเทาใด ซงสามารถหาคาไดโดย แทนคา x เกอบเทากบ 3 เชน 2.999999…. ลงไปใน 2 5x + ดงน 3x −→ 2 5 2(3) 5x + → +
2 5 11x + →
3lim(2 5) 11x
x−→
∴ + =
2) หา 3 3
lim ( ) lim(2 5)x x
f x x+ +→ →
⇒ +
3x +→ 2 5 2(3) 5x + → +
2 5 11x + →
3) หา 3lim(2 5)x
x→
+
3 3 3lim(2 5) lim(2 5) lim(2 5)x x x
x x x− +→ → →
+ = + = +
11 11
4
3lim(2 5) 11x
x→
∴ + =
2. ให 2 4( )
2xf xx
−=
− จงหา 2lim ( )x
f x→
วธทา
1) หา 2
lim ( )x
f x−→
2
2 2
4 ( 2)( 2)lim lim2 ( 2)x x
x x xx x− −→ →
⎛ ⎞− − +=⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2lim( 2)
(2 2)4
xx
−→= +
= +=
2) หา 2
lim ( )x
f x+→
2
2 2
4 ( 2)( 2)lim lim2 ( 2)x x
x x xx x+ +→ →
⎛ ⎞− − +=⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2lim( 2)
(2 2)4
xx
+→= +
= +=
3) หา 2
lim ( )x
f x→
2 2 2
2 2 2
4 4 4lim lim lim2 2 2x x x
x x xx x x− +→ → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
4lim 42x
xx→
⎛ ⎞−∴ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
4 4
5
3. จงหา 5
1 2lim5x
xx→
− −−
วธทา
5 5
1 2 ( 1 2)( 1 2)lim lim5 ( 5)( 1 2)x x
x x xx x x→ →
⎛ ⎞− − − − − +=⎜ ⎟⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠
2 2
5
5
5
5
[( 1) 2 ]lim( 5)( 1 2)
[ 1 4]lim( 5)( 1 2)
[ 5]lim( 5)( 1 2)
1lim( 1 2)
1( 5 1 2)
1( 4 2)14
x
x
x
x
xx x
xx x
xx x
x
→
→
→
→
− −=
− − +− −
=− − +
−=
− − +
=− +
=− +
=+
=
4. จงหา 2
1lim( 2 3)x
x x→
− + วธทา
2 2
1lim( 2 3) (1) 2(1) 3x
x x→
− + = − +
1 2 32
= − +=
6
2.ความตอเนองของฟงกชน ความตอเนองของฟงกชน เราสามารถมองและพจารณางายๆจากลกษณะกราฟของฟงกชนนน ตวอยาง เชน จากลกษณะของกราฟของฟงกชน ( )y f x= เราสามารถพจารณาความตอเนองของฟงกชนนทจด x=a และ x=b
1) กราฟไมมความตอเนองท x a= เพราะวาเมอมองจากกราฟท x a= และบรเวณใกลเคยงแลว กราฟมการขาดตอนในบรเวณดงกลาว
2) กราฟมความตอเนองท x b= เพราะวาเมอมองจากกราฟท x b= และบรเวณใกลเคยงแลว กราฟไมมการขาดตอนในบรเวณดงกลาว
จากลกษณะของกราฟของฟงกชน ( )y f x= กราฟไมมความตอเนองท x a= เพราะวาเมอมองจากกราฟท x a= และบรเวณใกลเคยงแลว กราฟมการขาดตอนในบรเวณดงกลาว สรป การพจารณาความตอเนองของฟงกชนโดยการใชวธของลมต พจารณาดงน ฟงกชน ( )y f x= จะมความตอเนองท x a= กตอเมอ
x=b x=a
( )y f x=
x=a
( )y f x=
7
1) lim ( )x a
f x→
หาคาได
2) ( )f a หาคาได
3) lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
ตวอยาง เชน
1. ให ( )f x = จงพจารณาวาท 3, ( )x f x= มความตอเนองหรอไม วธทา
1) หา 3lim ( )x
f x→
เพราะวาท 3 ( 3)x x→ ≠ จงพจารณา 2 9( )
3xf xx
−=
−
2
3 3
9 ( 3)( 3)lim lim3 ( 3)x x
x x xx x→ →
⎛ ⎞− − +=⎜ ⎟− −⎝ ⎠
3lim( 3)
3 36
xx
→= +
= +=
2) หา (3)f เพราะวาท 3x = จงพจารณา ( ) 4f x =
(3) 4f∴ =
3) 3lim ( ) (3)x
f x f→
≠
2 93
xx
−−
4
เมอ 3x ≠
เมอ 3x =
6 4
8
∴ ท 3 ( )x f x= , ไมตอเนอง
2. ให ( )f x = จงพจารณาวาท f มความตอเนองท 1x = หรอไม วธทา
1) หา 1lim ( )x
f x→
เพราะวาท 1( 1)x x→ ≠
2
1 1lim ( ) lim( 1)x x
f x x x− −→ →
⇒ = − +
2(1) (1) 1
1= − +=
1 1lim ( ) lim(2 1)x x
f x x+ +→ →
⇒ = −
2(1) 11
= −=
1 1 1lim ( ) lim ( ) lim ( ) 1
x x xf x f x f x
− +→ → →∴ = = =
2) หา (1)f เพราะวาท 1x = จงพจารณา ( ) 2 1f x x= −
(1) 2(1) 1 1f∴ = − =
3) 1lim ( ) (1)x
f x f→
=
2 1x −
2 1x x− +
เมอ 1x ≥
เมอ 1x <
1 ( 1)x x−→ < พจารณา 2( ) 1f x x x= − +
1 ( 1)x x+→ > พจารณา ( ) 2 1f x x= −
1 1
9
∴ f มความตอเนองท 1x =
3. ให ( )f x = จงพจารณาวาท f มความตอเนองท 1x = − และ 0x = หรอไม วธทา
1) พจารณาวาท f มความตอเนองท 1x = − หรอไม
1.1) หา 1lim ( )x
f x→−
1
lim ( )x
f x→−
∴ หาคาไมได
แสดงวา ท 1,x f= − ไมมความตอเนอง
2) พจารณาวาท f มความตอเนองท 0x = หรอไม
2.1) หา 0lim ( )x
f x→
3x − เมอ 0x ≥
2 2 31
x xx− +
+
23 1x + เมอ 1x ≤ −
เมอ 1 0x− < <
2
1 1lim ( ) lim (3 1)
x xf x x
− −→− →−= +
23( 1) 1
4= − +=
2
1 1
2 3lim ( ) lim ( )1x x
x xf xx+ +→− →−
− +=
+
1
1
( 3)( 1)lim( 1)
lim ( 3)
1 32
x
x
x xx
x
+
+
→−
→−
− +=
+= −
= −= −
ไมเทากน
2
0 0
2 3lim ( ) lim( )1x x
x xf xx− −→ →
− +=
+
0
0
( 3)( 1)lim( 1)
lim( 3)
0 33
x
x
x xx
x
−
−
→
→
− +=
+= −
= −= −
0 0lim ( ) lim( 3)x x
f x x+ +→ →
= −
0 3
3= −= −
เทากน
10
0lim ( ) 3
xf x
→∴ = −
2.2) หา (0)f
( ) 3(0) 0 3
f x xf
= −= −
3= − 2.3) 0
lim ( ) (0) 3x
f x f→
= = − แสดงวา ท 0,x f= มความตอเนอง
3.อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน เปนพนฐานทจะใชหาอนพนธของฟงกชน 3.1) อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลย อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของฟงกชน f จะบอกไดวามคาเทาใดตองกาหนดชวงของคา x เชนในชวง x=3 ถง x=5 จงหาอตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ y=f(x) เปนตน
อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ y=f(x) ในชวง 1x x= ถง 2x x=
2 1
2 1
( ) ( )( )
f x f xx x
−=
−
หรอสามารถอธบายโดยใชกราฟของฟงกชน f ดงน
2 1( ) ( )f x f x−
2 1x x−
1x x= 2x x=
( )y f x=
ความชน 2 1
2 1
( ) ( )( )
f x f xx x
−=
−
11
ตวอยาง เชน 1. ให 2( ) 2 1f x x= + จงหาอตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ f ในชวง 1x ถง
1x h+ วธทา อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ f ในชวง 1x ถง 1x h+
1 1
1 12 2
1 1
2 2 21 1 1
21
1
1
( ) ( )( )
[2( ) 1] [2 1]
[2 4 2 1 2 1]
4 2
(4 2 )
4 2
f x h f xx h x
x h xh
x x h h xh
x h hh
h x hh
x h
+ −=
+ −
+ + − +=
+ + + − −=
+=
+=
= +
2. ให 1( )
1f x
x=
+ จงหาอตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ f ในชวง 2x = ถง
5x = วธทา
อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ f ในชวง 2x = ถง 5x =
(5) (2)(5 2)1 1[ ] [ ]
5 1 2 13
1 1[ ]6 3
3
f f−=
−
−+ +=
−=
12
1631
18
−
=
−=
3.2) อตราการเปลยนแปลงณ จดใดๆ
ใหเราพจารณาอตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของฟงกชน f ณ ชวงจด 1x ถง 1x h+ อตราการเปลยนแปลง ณ จด 1x x= คอ อตราการเปลยนแปลง ณ จด x ใดๆ คอ เราเรยก อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f ณ จด x ใดๆ วา อนพนธของฟงกชน f โดยใช
สญลกษณ '( )f x หรอ dydx แทนอนพนธดงกลาว
1 1
1 1
( ) ( )( )
f x h f xx h x
+ −+ −
1 1( ) ( )f x h f xh
+ −
1 1
0
( ) ( )limh
f x h f xh→
+ −
0
( ) ( )limh
f x h f xh→
+ −
13
ตวอยาง เชน
1. กาหนดให 2y x= จงหา dydx
วธทา
0
( ) ( )limh
dy f x h f xdx h→
+ −=
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
[( ) ]lim
[ 2 ]lim
2lim
(2 )lim
lim(2 )
2 02
h
h
h
h
h
x h xh
x xh h xh
xh hh
h x hh
x h
xx
→
→
→
→
→
+ −=
+ + −=
+=
+=
= +
= +=
2. กาหนดให ,ny x n R= ∈ จงหา dydx
วธทา
0
( ) ( )limh
dy f x h f xdx h→
+ −=
0
( )limn n
h
x h xh→
+ −=
0
( ) ( )'( ) limh
dy f x h f xf xdx h→
+ −= =
14
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( 1) ( 2) 21 2
0
( 1) ( 2) 21 2
0
( 1) ( 2) ( 1)1 2
0
( 1) ( 2) ( 1)1 20
( 1)1
( 1)
[( ... ) ]lim
[ ... ]lim
[ ... ]lim
lim[ ... ]
n n n n n n n
h
n n n n n
h
n n n n n
h
n n n n n
h
n n
n
x x h x h h xh
x h x h hh
h x x h hh
x x h h
x
nx
− −
→
− −
→
− − −
→
− − −
→
−
−
+ + + + −=
+ + +=
+ + +=
= + + +
=
=
3. กาหนดให 3 1y x= + จงหา dydx
วธทา
0
( ) ( )limh
dy f x h f xdx h→
+ −=
0
0
0
0
(3( ) 1) (3 1)lim
[3 3 1 3 1]lim
3lim
lim3
3
h
h
h
h
x h xh
x h xh
hh
→
→
→
→
+ + − +=
+ + − −=
=
=
=
15
สตรในการหาอนพนธของฟงกชน
1) y c= เมอ c R∈
0dydx
=
2) ny x= เมอ n R∈
( 1)ndy nxdx
−=
3) ny cx= เมอ n R∈
( 1) ( 1)( ) ( )n
n ndy d xc c nx cnxdx dx
− −= = =
4) ( ) ( )y f x g x=
( ( )) ( ( ))( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( )dy d g x d f xf x g x g x f x f x g x
dx dx dx= + = +
5) ( )( )
f xyg x
= เมอ ( ) 0g x ≠
2 2
( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )[ ( )] [ ( )]
d f x d g xg x f xdy g x f x f x g xdx dxdx g x g x
− −= =
6) ( ( ))y f g x=
[ ( ( ))] [ ( ( ))] [ ( )][ ( )]
dy d f g x d f g x d g xdx dx d g x dx
= = ⋅
16
ตวอยาง เชน 1. ถา 2 8( ) ( 3 5)f x x x= + + จงหา '( )f x
วธทา
( ( ))'( ) d f xf xdx
=
2 8
22 7
2 7
[( 3 5) ]
( 3 5)8( 3 5)
8( 3 5) (2 3)
d x xdx
d x xx xdx
x x x
+ +=
+ += + +
= + + +
2. ถา ( ) (2 1)(3 1)f x x x= + − จงหา '( )f x วธทา วธท 1 '( ) (2 1) '(3 1) (3 1) '(2 1)f x x x x x= + − + − +
(2)(3 1) (3)(2 1)6 2 6 312 1
x xx xx
= − + += − + += +
วธท 2 ( ) (2 1)(3 1)f x x x= + − 26 1x x= + − 2'( ) (6 1) 'f x x x= + − 12 1x= + 4.การอธบายอนพนธดวยกราฟ อนพนธของฟงกชน f ณ จด x ใดๆ คอ อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f ณ จด x ใดๆ สามารถอธบายโดย ใชกราฟของฟงกชน ดงน
17
อนพนธของฟงกชน f ณ จด x ใดๆ = ความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน f ณ จด x นนๆ ตวอยาง เชน
1. กาหนด 2 1y x= + จงหาสมการเสนตรงทสมผสกราฟของ
2 1y x= + ท 1x =
วธทา
( )y f x=
ความชนของเสนสมผสกราฟ=อนพนธ
1x x=
สมการเสนตรงทสมผสกราฟ ( )y f x= ท จด 1x = มความชนเทากบ คาอนพนธของ ( )y f x= ท จด 1x =
หาอนพนธของ ( )y f x= ท จด 1x =
2( 1)dy d x
dx dx+
=
2x=
1
2(1) 2x
dydx =
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
หาสมการเสนตรงทสมผสกราฟ ( )y f x= ท จด 1x =
2(1) 1 1 2f = + =
สมการเสนตรงทผานจด (1, 2) และมความชนเทากบ 2
2 21
yx
−=
− 2 0x y− =
18
2. หาความชนของเสนสมผสกราฟของ 33 2 2y x x= − + ทจด 2x =
วธทา
1) หา dydx
3(3 2 2)dy d x xdx dx
− +=
29 2x= −
2) หา dydx ทจด 2x =
2
2
9(2) 2 34x
dydx =
⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ความชนของเสนสมผสกราฟ 33 2 2y x x= − + ทจด 2x = เทากบ 34
5.การประยกตของอนพนธ 5.1) ความเรวและความเรง
เราสามารถนาวธการหาคาอนพนธ ไปใชประโยชนนชาฟสกส ในเรองเกยวกบการเคลอนทของวตถ ดงน
เมอให s = การกระจด v = ความเรว a = ความเรง t = เวลา ถากาหนดให ( )s f t= เราจะไดความสมพนธของการกระจด , ความเรว และ
ความเรงตามวธการทางอนพนธ ดงน
'( )dsv f tdt
= =
dvadt
= 2
2 ''( )
dsdd sdta f t
dt dt
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
19
2
2 ''( )d s f tdt
= คอ การหาอนพนธ ครงท 2 ของฟงกชนการกระจดในรปของเวลา
( )s f t= ตวอยาง เชน
1. ระยะทาง s เมตรทวตถเคลอนทเปนฟงกชนกบเวลา t วนาท กาหนดโดย
3
116( )s tt
= + ถาความเรงมคา 6 เมตร/วนาท แลว ความเรวมคาเทาใด
วธทา
กาหนดให 3
1( ) 16( )s t tt
= +
''( )a s t=
3
1(16( )) ''a tt
= +
3
3
4
5
5
5
(16 16 ) ''((16 16 ) ') '(16 (16)( 3) ) '( 48)( 4)192192
t tt t
tt
t
t
−
−
−
−
−
= +
= +
= + −
= − −
=
=
จากโจทย a=6 เมตร/วนาท
5
5
5
192 6
1926
322
t
t
tt
=
=
=∴ =
2
2
20
3
4
'( )(16 16 ) '
4816
v s tv t t
vt
−
=
= +
∴ = −
ท t=2 สามารถหาคา v ไดดงน
4
48162
v = −
481616
16 313
= −
= −=
∴ ทความเรง 6 เมตร/วนาท วตถจะมความเรว 13 เมตร/วนาท 5.2) ฟงกชนเพมและฟงกชนลด
กาหนดให f เปนฟงกชน เราสามารถพจารณา ไดวา ในชวง ( , )x a b∈ ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ไดโดยอาศยการหาอนพนธของฟงกชนดงน สามารถอธบายฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด โดยอาศยกราฟ ดงน ฟงกชนเพม ม 2 กรณ คอ
2
f เปนฟงกชนเพม ในชวง ( , )x a b∈ กตอเมอ '( ) 0f x > ในชวง ( , )x a b∈
f เปนฟงกชนลด ในชวง ( , )x a b∈ กตอเมอ '( ) 0f x < ในชวง ( , )x a b∈
'( ) 0f x >
( )y f x=
'( ) 0f x >
( )y f x=
21
ฟงกชนลด ม 2 กรณเชนกน คอ ตวอยาง เชน
1. ให 2( ) 1f x x= + จงพจารณาวา ณ 2x = ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด
วธทา
1) พจารณาวาท 2x =
2) หา '( )f x
2( ) 1'( ) 2
f x xf x x
= +=
3) หา '( )f x ท 2x = '(2)f
'(2) 2(2)'(2) 4
ff
==
4) '(2) 0f > แสดงวา f เปนฟงกชนเพมท 2x =
'( ) 0f x <
( )y f x=
'( ) 0f x <
( )y f x=
'( ) 0f x <
'( ) 0f x >
22
2. ให 2( ) 1f x x= + จงพจารณาวา ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมในชวงใดและเปนฟงกชนลดในชวงใด
วธทา 1) หา '( )f x
2'( ) ( 1) 'f x x= +
2x=
2) หาชวงของ x ททาให f เปนฟงกชนเพม
'( ) 0f x >
2 0
0x
x>
>
∴ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมในชวง (0, )x ∈ ∞
3) หาชวงของ x ททาให f เปนฟงกชนลด
'( ) 0f x <
2 0
0x
x<
<
∴ฟงกชน f เปนฟงกชนลดในชวง ( ,0)x ∈ −∞ 5.3) คาสงสดสมพทธและตาสดสมพทธของฟงกชน กาหนดฟงกชน f เราสามารถหาไดวา ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ ท 0x x= หรอไม กตอเมอ 0'( ) 0f x = ตวอยาง เชน
1. ถา 2( ) 3 5 1f x x x= − + จงหาวาฟงกชน f มคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ ท คา x ใดบาง
วธทา 1) หา '( )f x
2( ) 3 5 1'( ) 6 5
f x x xf x x
= − += −
23
2) ให '( ) 0,f x = หาคา x
6 5 056
x
x
− =
∴ =
∴ ท 56
x = ฟงกชนมคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ
วธการหาคาสงสดสมพทธหรอตาสดสมพทธ ตวอยาง เชน
1. จากตวอยางทแลว 2( ) 3 5 1f x x x= − + จงหาคาตาสดและสงสดสมพทธ
วธทา
( )y f x= หาคา 0x ททาให 0'( ) 0f x =
ถา 0''( ) 0f x > ท 0x ทาใหเกดคาตาสดสมพทธ ถา 0''( ) 0f x < ท 0x ทาใหเกดคาสงสดสมพทธ
0( )f x คอคาตาสดสมพทธ 0( )f x คอคาสงสดสมพทธ
2( ) 3 5 1f x x x= − + 2
'( ) 0(3 5 1) ' 06 5 0
56
f xx x
x
x
=
− + =− =
∴ =
''( ) (6 5) '''( ) 6
5''( ) 06
f x xf x
f
= −=
∴ >
ท 56
x = ทาใหเกดคาตาสดสมพทธ 25 5 5( ) 3( ) 5( ) 1
6 6 65 25 25( ) 16 12 6
5 13( )6 12
f
f
f
= − +
= − +
∴ = −
24
∴คาตาสดสมพทธคอ 1312
− สวนคาสงสดสมพทธไมม
2. ถา 4
2 12xy x= − + แลว y จะมคาสงสดสมพทธ ท x มคาเทากบเทาใด และมคา
ตาสดสมพทธ ท x เทากบเทาใด วธทา
42 1
2xy x= − +
42
3
2
'' ( 1) ''2
'' (2 2 ) ''' 6 2
xy x
y x xy x
= − +
= −
= −
ท 0x = ทาให 2'' 6(0) 2
'' 2'' 0
yy
y
= −= −
∴ <
ท 1x = − ทาให 2'' 6( 1) 2
'' 4'' 0
yy
y
= − −=
∴ >
ท 1x = ทาให 2'' 6(1) 2
'' 4'' 0
yy
y
= −=
∴ >
ท 0x = ทาใหเกดคาสงสดสมพทธ
42
3
3
3
2
' 0
( 1) ' 02
4 2 02
2 2 00
( 1) 0( 1)( 1) 0
0, 1,1
yx x
x x
x xx xx xx x x
x
=
− + =
− =
− =
− =
− =− + =
∴ = −
ท 1x = − ทาใหเกดคาตาสดสมพทธ
ท 1x = ทาใหเกดคาตาสดสมพทธ
25
การอธบายคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธดวยกราฟ
⇒ จากกราฟ ทจด 2x x= ใหคาตาสดสมพทธ สามารถหาคาตาสดสมพทธไดคอ คาตาสด
สมพทธเทากบ 2( )f x
⇒ จากกราฟ ทจด 1x x= และ 3x x= ใหคาสงสดสมพทธ สามารถหาคาสงสดสมพทธได
คอ คาสงสดสมพทธเทากบ 1( )f x และ 3( )f x ตามลาดบ
3. จงตรวจสอบคาสงสดหรอตาสดสมพทธของ 3( )f x x=
วธทา
1x x= 2x x= 3x x=
จดสงสดสมพทธ จดสงสดสมพทธ
จดตาสดสมพทธ
3
3
'( ) 0''( ) 0
f xf x
=<
2
2
'( ) 0''( ) 0
f xf x
=>
3( )f x x= 3
2
'( ) 0( ) ' 03 0
0
f xxxx
=
=
=∴ =
3
2
''( ) ( ) ''''( ) (3 ) '''( ) 6
f x xf x xf x x
=
==
ท 0x = ''(0) 6(0)''(0) 0
ff
==
ท 0x = ทาให ''( ) 0f x = จงไมทาใหเกดทงคาสงสดและตาสดสมพทธ
เราเรยกคา x ททาให ''( ) 0f x =นวา “จดเปลยนเวา”
26
4. กาหนดให 2 310 12 3 2y x x x= + − − จงหาคาสงสดสมพทธ วธทา
2 310 12 3 2y x x x= + − − 2 3
2
2
2
' 0(10 12 3 2 ) ' 012 6 6 02 0
2 0( 2)( 1) 0
2,1
yx x x
x xx x
x xx xx
=
+ − − =
− − =
− − =
+ − =+ − =
∴ = −
2 3
2
'' (10 12 3 2 ) '''' (12 6 6 ) ''' 6 12
y x x xy x xy x
= + − −
= − −= − −
ท 2x = − ทาให '' 6 12( 2)'' 18
yy
= − − −=
ท 1x = ทาให '' 6 12(1)'' 18
yy
= − −= −
ท 2x = − ทาใหเกดคาตาสดสมพทธเพราะวา '' 0y >
ท 1x = ทาใหเกดคาสงสดสมพทธเพราะวา '' 0y <
คาสงสดสมพทธเทากบ (1)f 2 3(1) 10 12(1) 3(1) 2(1)
(1) 10 12 3 2(1) 17
ff
f
= + − −= + − −
∴ =
27
5. จงหาผลคณทมากทสดของจานวนเตมบวก 2 จานวน ซงมผลบวกเทากบ 16 วธทา ทาการเขยนฟงกชนของผลคณของจานวนเตมบวกทง 2 จานวนน แลวนาฟงกชนนนมาหาคาสงสดสมพทธ
1) หาฟงกชน ให x= จานวนเตมบวกหนงในสองจานวนนน และ y= ผลคณของจานวนเตมบวก 2 จานวนนน ( ) (16 )y x x⇒ = −
216y x x= −
2) หาคาสงสดสมพทธ
⇒ ท x=8 ใหคาสงสดสมพทธ เพราะวา '' 0y <
3) ท 8x = หาคา y
216(8) 8128 64
64
yy
y
= −= −
∴ =
⇒ ผลคณทมากทสดของจานวนเตมบวกทง 2 จานวนนเทากบ 64
6. ชาวนาคนหนงตองการกนคอกเลยงสตวรปสเหลยมผนผาเขากบฝาดานหนงของโรงนา ถาเขามลวดตาขายยาว 80 ฟต คอกเลยงสตวทเขากนขนมาจะมเนอทมากทสดเทากบเทาใด
วธทา
มาจาก ผลบวกของทง 2 จานวนเทากบ 16 ถาจานวนหนงเทากบ x แลวอกจานวนตองเทากบ16 x−
2
' 0(16 ) ' 016 2 0
8
yx x
xx
=
− =− =
∴ =
2'' (16 ) '''' (16 2 ) ''' 2
y x xy xy
= −= −= −
28
1) ใหคอกเลยงสตวมดานกวางยาว x ฟต ⇒ ดานยาวเทากบ 80 2x− ฟต ⇒พนทคอกเลยงสตวเทากบ (80 2 )x x− ฟต
2) ให A = พนทคอกเลยงสตว
2
(80 2 )80 2
A x xA x x= −
∴ = −
3) หาคาสงสดสมพทธของ A
⇒ ท x=20 ใหคาสงสดสมพทธ เพราะวา '' 0A <
4) คาสงสดสมพทธ คอ
280(20) 2(20)1600 800
800
AA
A
= −= −
∴ =
⇒ คอกเลยงสตวมเนอทมากทสด เทากบ 800 ตารางฟต
x x
80 2x−
2
' 0(80 2 ) ' 080 4 0
20
Ax x
xx
=
− =− =
∴ =
2'' (80 2 ) '''' (80 4 ) ''' 4
A x xA xA
= −= −= −
29
6.คาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณ ฟงกชน f จะมคาสงสดสมบรณในชวง [ , ]a b ท 0x x= กตอเมอ 0a x b≤ ≤ และ 0( )f x มคามากทสด ฟงกชน f จะมคาตาสดสมบรณในชวง [ , ]a b ท 0x x= กตอเมอ 0a x b≤ ≤ และ 0( )f x มคานอยทสด การอธบายคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณดวยกราฟ การหาคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณในชวง [a,b]
2x x= 3x x=
4x x=
จดสงสดสมพทธ
6x x=
5x x= 1x x=
จดตาสดสมพทธ
จดสงสดสมพทธ
จดตาสดสมพทธ
จดสงสดสมบรณ
จดตาสดสมบรณ
30
ตวอยาง เชน
1. จงพจารณาคาสงสดสมบรณหรอตาสดสมบรณของฟงกชน 22 6 3y x x= − เมอ
[ 1,1]x∈ − วธทา
1) หาคาสงสดสมพทธและตาสดสมพทธ
2
2
2 6 3332
y x x
y x x
= −
= −
.......... ' 0y =
2 3(3 ) ' 02
36 0214
x x
x
x
− =
− =
∴ =
∴ ท 14
x = ใหคาตาสดสมพทธเพราะวา '' 0y > และคาตาสดสมพทธคอ
21 3 1 3 3 33( ) ( )4 2 4 16 8 16
−− = − =
2) หาคา y ท 1x = − และ 1x =
หาคาสงสดสมพทธ หาคาตาสดสมพทธ หาคา ( )f a และ ( )f b
หาคาสงสดสมบรณคอ [Max คาสงสดสมพทธ , ( ), ( )]f a f b หาคาตาสดสมบรณคอ [Min คาตาสดสมพทธ , ( ), ( )]f a f b
2 3.......... '' (3 ) ''2
y x x= −
3'' (6 ) '2
'' 6
y x
y
= −
=
31
ท 1x = − 2 33( 1) ( 1)
2y⇒ = − − −
332
92
y
y
= +
=
ท 1x = 2 33(1) (1)
2y⇒ = −
332
32
y
y
= −
=
3) คาสงสดสมบรณ [Max= คาสงสดสมพทธ , ( ), ( )]f a f b [Max= ( 1), (1)]f f−
9 3[ , ]2 2
92
Max=
=
คาตาสดสมบรณ [Min= คาตาสดสมพทธ , ( ), ( )]f a f b
3[ , ( 1), (1)]16
3 9 3[ , , ]16 2 2
316
Min f f
Min
−= −
−=
−=
32
7.อนทกรล อนทกรล คอ การกระทาทตรงขามกบการหาอนพนธ ตวอยาง เชน
1. กาหนด '( ) 5f x = จงหา ( )f x วธทา เราทราบวา ถา ( ) 5f x x=
'( ) (5 ) ''( ) 5
f x xf x
==
( ) 5f x x c∴ = +
2. กาหนด '( ) 2f x x= จงหา ( )f x วธทา เราทราบวา ถา 2( )f x x=
2'( ) ( ) '
'( ) 2f x xf x x
==
2( )f x x c∴ = + , c R∈
3. กาหนด '( ) 3 1f x x= + จงหา ( )f x
วธทา เราทราบวา ถา 23( )
2f x x x= +
23'( ) ( ) '2
'( ) 3 1
f x x x
f x x
= +
= +
การหาอนพนธ กาหนด ( )y f x= หา '( )f x
การหาอนทกรล กาหนด '( )f x หา ( )y f x=
คาคงทc R∈
33
23( )2
f x x x c∴ = + + , c R∈
ขอสงเกต
1) การหาอนทกรลของ (3x+1) อาจเขยนเปนสญลกษณไดคอ (3 1)x dx+∫ ม ความหมายวาใหหา ( )f x เมอ '( ) 3 1f x x= +
23(3 1) ,
2x dx x x c c R+ = + + ∈∫
2) การหาอนทกรลของ (2x) อาจเขยนเปนสญลกษณไดคอ (2 )x dx∫ ม ความหมายวาใหหา ( )f x เมอ '( ) 2f x x= 2(2 ) ,x dx x c c R= + ∈∫
3) การหาอนทกรลของ (3 1)x dx+∫ , (2 )x dx∫ เปนการหาอนทกรลแบบ ไมจากดเขต สตรการหาอนทกรล
กาหนดให , ,k c n R∈
1) ( 1)
( 1)
nn xx dx c
n
+
= ++∫
2) ( 1)
( ) [ ]( 1)
nn n kxkx dx k x dx c
n
+
= = ++∫ ∫
3) kdx kx c= +∫
4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
34
4. จงหา 7x dx∫
วธทา
ใชสตร ( 1)
( 1)
nn xx dx c
n
+
= ++∫
(7 1)
7
(7 1)xx dx c
+
⇒ = ++∫
8
8x c= +
5. จงหา 2( 2 )x x dx+∫
วธทา
ใชสตร [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 2 2( 2 ) ( ) (2 )x x dx x dx x dx⇒ + = +∫ ∫ ∫
3
3 2
32
2[ ]3
23 2
3
x xdx
x x
x x
= +
= +
= +
∫
32 2( 2 )
3xx x dx x c∴ + = + +∫
8.การหาอนทกรลแบบจากดเขต คอการหาอนทกรลของฟงกชน โดยการกาหนดชวง เปน [ , ]a b เมอ ,a b R∈ คาตอบจะ
ออกมาเปนจานวนจรง เชน จงหาอนทกรลของ (3 1)x + ในชวง [1,2] เขยนสญลกษณแทน
คอ
2
1
(3 1)x dx+∫ ซงมวธการหาไดดงน คอ
2 2
11
(3 1) (3 1)x dx x dx⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦∫ ∫
35
22
1
2 2
323 3(2) (2) (1) (1)2 2
582
112
x x c
c c
c c
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
ตวอยาง เชน
1. จงหา 2
2
1
(3 2 )x x dx−
−∫
วธทา 2 2
2 2
11
(3 2 ) (3 2 )x x dx x x dx−
−
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫
23 2
1
3 2 3 2(2) (2) ( 1) ( 1)
4 ( 2)6
x x c
c c−
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − −=
2. จงหา 2
2
(2 1)x dx−
−∫
วธทา 2 2
22
(2 1) (2 1)x dx x dx−
−
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫
36
22
2
2 2(2) (2) ( 2) ( 2)
2 64
x x c
c c−
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −= −
3. จงหา 4
2
1
(6 )x x dx−∫
วธทา 4 4
2 2
11
(6 ) (6 )x x dx x x dx⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫
432
1
3 32 2
33
(4) (1)3(4) 3(1)3 3
64 148 33 3
24
xx c
c c
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − +
=
9.การประยกตของอนทกรล การใชกราฟมาอธบายความหมายของอนทกรล
( )y f x=
x a= x b=
พนทใตกราฟ ( )y f x= ในชวง [ ], ( )b
a
a b f x dx= ∫
37
ตวอยาง เชน
1. จงหาพนททถกลอมรอบดวยกราฟ 24y x= − กบแกน x
วธทา วาดกราฟคราวๆไดดงน
2 22 2
22
(4 ) (4 )x dx x dx−
−
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∫ ∫
23
2
3 32
43
(2) ( 2)4(2) 4( 2)3 3
8 88 83 3
323
xx c
c c
−
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= − + − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + −
=
∴พนททถกลอมรอบดวย 24y x= − กบแกน x คอ
323 ตารางหนวย
2. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง
2 2y x x= − + กบแกน x วธทา วาดกราฟคราวๆไดดงน
( 2,0)− (2,0) • •
พนททปดลอมดวยกราฟ 24y x= − กบแกน x
คอ
22
2
(4 )x dx−
−∫
• • ( 2,0)− (1,0)
1 9( , )2 4−
•
พนททปดลอมดวยกราฟ 2 2y x x= + − กบแกน x
คอ
12
2
( 2)x x dx−
+ −∫
38
1 12 2
22
( 2) ( 2)x x dx x x dx−
−
⎡ ⎤+ − = + −⎣ ⎦∫ ∫
13 2
2
3 2 3 2
23 2
(1) (1) ( 2) ( 2)2(1) 2( 2)3 2 3 292
x x x c
c c
−
⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= + − + − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= −
∴พนททถกลอมรอบดวย 2 2y x x= + − กบแกน x คอ
92 ตารางหนวย
ไดคาออกมาเปนลบ เพราะพนทใตกราฟอยใตแกน x
39
แบบฝกหด
1. จากกราฟ จงหาคาลมตตอไปน
1.1) 1 1lim ( ),lim ( )x x
f x f x→− →
1− •
• 2
2−
1
40
1.2) 2 2lim ( ), lim ( )x x
f x f x→− →
1.3) 1 3 4lim ( ),lim ( ), lim ( )x x x
f x f x f x→− → →
1
2
2−
2−
• 2
•
•
1− 3 4
1
2−
4−
7−
41
2. จากฟงกชน f ตอไปน จงหาคา lim ( ), lim ( )x a x a
f x f x− +→ →
และ lim ( )x a
f x→
2.1)
2.2)
( )f x =
22 ; 1x x− < 2 ; 1 3x ≤ ≤
1 ; 3x x− > เมอ 1,3a =
( )f x = ; 4x1 2 < ≤ 9 2 ; 4x x− >
เมอ 2,4a =
2 2 ; 2x x x− − ≤
42 2.3)
2.4)
( )f x = 2 5 ; 4x x− <
เมอ 4a = 5 ; 4x x+ ≥
( )f x = 2 ; 3x x ≥
เมอ 3a =
2 ; 3x x <
43
3. กาหนดให
2 9( )
3x
f xx
−=
− จงหาคา 3lim ( )x
f x→ และ 3
lim ( )x
f x→−
4. จงหาคาลมตตอไปน
4.1)
2
23
4lim6x
xx x→
⎛ ⎞−⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
44
4.2) 2
0
7limx
x xx→
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
4.3) 4
3 6lim4x
xx→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
4.4) 2
1
3 2lim1x
xx→
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
45
4.5) ( )( )
2
31
3 1lim
1x
xx→
−
+
4.6) 2 3lim4 5x
xx→∞
+−
4.7) 2
2
7 2lim3 10 100x
xx x→∞
−+ −
46
4.8) 3
2
2lim1x
xx→∞ +
4.9) 2
3lim4x x→∞ −
4.10) 3
1lim( 3 2)x
x x x x→
− + −
47
4.11) 9
2 3lim2x
xx x→
−+
4.12) 3
41
1lim1x
xx→−
+−
4.13) 2
22
5 14lim3 4 4x
x xx x→
+ −
− −
48
4.14) 3 2
1
2 3 2lim1x
x x xx→
− + −−
4.15) 2
12
4 1lim( )2 1 1 2x
xx x→
+− −
4.16) 3
0
( 3) 27limx
xx→
+ −
49
4.17)
7 4 13 3 3
4 123 3
2lim2
x
x x x
x x→−
+ −
+
4.18) 21
1lim1x
xx−→
−
−
4.19) 3
3 2 3lim3x
xx→
+ −−
50
4.20) 0
5 2lim
3x
x xx x→
−−
4.21) 2
12
2lim2 1x
x xx→−
++
51
5. จงหาคา a ททาให 3 2lim( 4 10) 4
x ax x x
→− + + =
6. จงพจารณาวาฟงกชน 2( ) 2 1f x x x= − + มความตอเนองท 2x = − หรอไม
52
7. ฟงกชน ( ) 1f x x= + มความตอเนองท 1x = − หรอไม 8. พจารณาความตอเนองของฟงกชนตอไปน 8.1)
( )f x = ; 0x1 =
มความตอเนองท 0x = หรอไม
2
; 0x x xx−
≠
53
8.2)
8.3)
( )f x = ; 3x2 =
มความตอเนองท 3x = หรอไม
2 9 ; 33
x xx
− ≠
−
( )f x = 5 ; 11
x xx
2 − − >
−
มความตอเนองท 1x = หรอไม
1 ; 13 1
xx
0 < <+
; 1x1 =
54 8.4)
( )f x = 2 2 ; 2
2x x x
x− −
>−
มความตอเนองท 0,2x = หรอไม
2
3 ; 01
x xx
− ≤+
; 2x3 0 < ≤
55
9.
จงหาคา a
( )f x = 2 4 ; 2
2x xx
− ≠
−
มความตอเนองท 2x = ; 2x a x3 + =
56 10. จงหาคา b
( )f x = ; 1x b x+ ≥
เปนฟงกชนตอเนอง
21 ; 1x x− <
57 11. จงหาคา a และ b
( )f x =
; 1x b x+ >
เปนฟงกชนตอเนองทจด 1x =
; 1ax x <
; 1x4 =
58 12. จงหาคา b และคา b ทไดนทาใหฟงกชนตอเนองท 1x = หรอไม
( )f x =
2 ; 2x x− 5 ≥
เปนฟงกชนตอเนองทจด 2x = 5
;2
xx
x b−
1< < 2− −
; 1x2 ≤
59
13. ถา 2( ) 2 3 4y f x x x= = + − ใหหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x 13.1) โดยเฉลยในชวง 1x = ถง 4x = 13.2) ทจดซง 2x =
60
14. ถา 2( ) 1y f x x x= = − + ใหหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x 14.1) โดยเฉลยในชวง 3x = ถง 5x = 14.2) ทจดซง 4x =
61
15. ถา 1( )f xx
= ใหหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ ( )f x เทยบกบ x
15.1) ในชวง 4x = ถง 5x = 15.2) ทจดซง 4x =
62
16. ใหหาอตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของปรมาตรทรงกลม เทยบกบรศม เมอรศมเปลยนจาก 2 ถง 3 หนวย
17. ใหหาอตราการเปลยนแปลงของพนทรปสเหลยมจตรสเทยบกบความยาวดาน ขณะทดานยาว
5 ซ.ม.
63
18. ในการสบนาออกจากสระแหงหนง หลงจากสบได t นาท จะมนาเหลออยในสระเปน
ปรมาตร Q ลบ.ม. โดยท 2(12 )
10tQ = − ใหหาอตราการเปลยนแปลง
18.1) โดยเฉลยของปรมาตรนาในสระ เทยบกบเวลา ในชวง 0t = ถง 10t = นาท 18.2) ของปรมาตรนาในสระ เทยบกบเวลา ขณะท 10t = นาท
64
19. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปนโดยใชนยาม 19.1) 2y x= 19.2) 4y x=
65
19.3) y x=
19.4) 1yx
=
66
20. จงหา dydx ของฟงกชนตอไปน
20.1) 3 24 5 7 10y x x x= − + − 20.2) 5 4 25 10 6y x x x= + − +
20.3) 1 3 12 2 23 2y x x x
−= − +
20.4) 2 2y x x= +
67
20.5) ( )61 5y x= −
20.6) 23 4y x x= + −
20.7) 3 22 3xyx
+=
+
68
20.8) ( ) ( )2 32 34 2 1y x x= + −
20.9) 3
2 6yx x
= +
69
20.10) 5
1xy
x⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
20.11) ( ) ( )4 32 33 2 5y x x= + −
70
20.12) ( )433 1y x x= − +
20.13) 2
2
23xy
x+
=−
71
20.14) 3 1xy
x−
=
20.15) 2
2
23xy
x+
=−
72
20.16) 3 2 4 1y x x= + −
20.17) 2 32x y x+ =
73
20.18) cos5y x= 20.19) tan(2 5)y x= +
74
20.20) sin 8 cos5 4y x x tan x= − +
20.21) 2sin( 5)y x= +
75
20.22) 2tan 2 10y x= − 20.23) sin cos 7y x+ =
76
20.24) 3arctanyx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
20.25) ( )arcsec 2 1y x= +
77
21.
จงพจารณาวา f มอนพนธท 1x = หรอไม
( )f x = 2 ; 1x x2 + 2 >
4 ; 1x x ≤
78
22.
จงพจารณาวา f มอนพนธท 1x = − หรอไม
( )f x = 2( 1) ; 1x x+ > −
1 ; 1x x+ ≤ −
79
23. จงหาสมการเสนสมผสเสนโคง 3y xx
= + ทจด (1, 4)
24. จงหาสมการเสนสมผสเสนโคง 1y x= + ทจด (4,3)
80
25. วตถเคลอนทไดระยะทาง 23 2 1S t t= − + เมตร ในเวลา t วนาท ใหหา 25.1) ความเรว v ของวตถ ขณะเรมตน และขณะ 2t = วนาท 25.2) ระยะทางทไกลทสดจากจดเรมตนทวตถเคลอนทไปถง(กอนจะวกกลบ) 25.3) ความเรง a ของวตถ ขณะ 2t = วนาท
81
26. จงหาชวงบนแกน x ซงฟงกชนทกาหนดใหตอไปนเปนฟงกชนเพม และเปนฟงกชนลด
26.1) 3 26 9y x x x= − +
26.2) 4 22 1y x x= − +
82
26.3) 4 3 23 4 12y x x x= + −
26.4) 1xy
x=
+
83
27. กาหนด 3 2( ) 2 5f x x x x= + + − จงพจารณาวาท 2x = − จะเปนฟงกชนเพม
หรอลด 28. จงหาคาสงสดสมพทธ และจดสงสดสมพทธ ของฟงกชน
2 4 10y x x= − + −
84
29. กาหนด 3 2 19( ) 2
3 2 6x xf x x= + − + จงหาผลบวกของคาตาสดสมพทธกบ
คาสงสดสมพทธของ f 30. กาหนด
3( ) 3f x x x k= − + เมอ k R∈ ถาคาตาสดสมพทธของ f เทากบ 5 แลว จงหาคาสงสดสมพทธของ f
85
31. จงหาจานวนจรงบวก 2 จานวน ซงผลคณของสองจานวนเปน 64 และผลบวกของสองจานวนนมคามากทสดเทาใด
32. ใหหาจานวนเตมบวก 2 จานวนซงรวมกนได 8 โดยทผลบวกของกาลงสามมคานอยทสด
86
33. จงหาปรมาตรกรวยกลมทมากทสดทบรรจไดในทรงกลม รศม r
87
34. ชาวสวนปลกมะมวง 22 ตนตอไร จะไดตนละ 500 ผล และเขาพบวาหากปลกมะมวงเพมขนจากเดมไรละ 1 ตน จะทาใหผลลดลงจากเดมตนละ 10 ผลเสมอ ดงนนเขาควรปลกมะมวงไรละกตนจงจะใหผลมากทสด
35. สามเหลยมมมฉากยาวดานละ 90,120 และ 150 หนวย ใหหาวาจะบรรจสเหลยมมมฉาก
ลงไปภายในสามเหลยมน(ใหมมมฉากรวมกน) ไดพนทมากทสดเทาใด
88
36. สนคาชนดหนงขายราคาชนละ 24 บาท ตนทนในการผลต x ชน เทากบ 3216 6 0.2x x+ + จงหาวาตองขายสนคากชนจงจะไดกาไรสงสด
37. จงบอกคาสงสดสมพทธ และตาสดสมพทธของฟงกชน 5 32 30y x x= −
89
38. จงเขยนกราฟพรอมทงบอกคาตาสดและสงสดสมพทธของ 3 23 4y x x= − +
90
39. ใหหาคา ( )f x dx∫ เมอกาหนดให
39.1) 4 2( ) 5 3 2f x x x= + −
39.2) 2
1( ) 2f x xx
= −
39.3) 2( ) ( 3)f x x x= −
91
39.4) 2( ) (4 1)( 1)f x x x= + −
39.5) 3
2( ) xf xx−
=
39.6) 2( ) 2f x x x= −
92
39.7) 5( ) 3 4f x x= − 39.8) 3( ) (3 1)f x x= −
93
39.9) 2( ) 4 5f x x x= +
39.10) 3 2 3 4( ) 4 6 8 7 6 9f x x x x x x− −= − + − − +
94
40. ในเวลา t วนาท รถไฟวงดวยความเรง a ฟตตอวนาท2 โดย 212 6 10a t t= + +
หากเมอเวลาเรมตนพบวาระยะทางเปน 10 ฟต และความเรวเปนศนย ใหหาระยะทางเมอเวลาผานไป 5 วนาท 41. ถาวตถชนหนงเคลอนทดวยความเรงขณะเวลา t ใดๆ เปน 224t เมตร/วนาท2 และขณะ เวลาเปน 1t = วนาท มความเรว 16 เมตร/วนาท2 และเคลอนทไดระยะทาง 8 เมตร แลว เมอเวลา 2t = วนาท วตถจะเคลอนไดระยะทางเทาใด
95
42. ใหหาคาของ
42.1) 4
0
(3 )x dx−∫
42.2) 2
2
(2 1)x dx−
−∫
42.3) 2
2
1
(3 2 )x x dx−
−∫
96
42.4) 4
2
1
(6 )x x dx−
+ −∫
42.5) 1
2
0
(4 )x dx−∫
97
42.6) 2 4
21
1( )x dxx+
∫
43. ถา 3'( ) 4 2f x x x= + และ (0) 2f = จงหา ( )f x
98
44. จงหาพนทบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2y x= เสนตรง 0y = และ 3y = 45. จงหาพนททปดลอมดวยโคง 2 3 2y x x= − + จาก 0x = ถง 2x = เฉพาะ สวนทอยเหนอแกน x มคาเทากบเทาใด
99
46. จงหาพนทบรเวณทแรเงา
0 1
2 1−
2 3( )F x x x= −
100
47. จงหาพนทบรเวณทแรเงา
2 2 3y x x= − −
2 32 2xy x= − + +
1− 3
