INTEGRANTES:POVEDA PAREDES GILMER

CASTRO VENTURA VICTOR

TRABAJO DEDICADO A LA ESCUELA DE ING.

ELECTRONICA

CAOS Y TURBULENCIA EN SISTEMAS ELECTRONICOS

CAOS

DEFINICION

ORIGEN

APLICACIONES

CARACTERISTICAS

ANTECEDENTES

DERIVA DEL IDIOMA GRIEGO : Κάος

HACE REFERENCIA A LO IMPREDECIBLE

HACE REFERENCIA A CONFUSION O DESORDEN

HENRI POINCARÉ1854-1912

- Estudió el problema de los tres cuerpos.-Noción de bifurcación-Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos

Un poco de historia

Henri Poincaré1854-1912

- Estudió el problema de los tres cuerpos.

- Noción de bifurcación.

- Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.

Un poco de historia

Henri Poincaré1854-1912

“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”.

Un poco de historia

Stephen Smale1940-Medalla Fields, 1966

- En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”.

Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas!

- Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con dinámica muy compleja.

Un poco de historia

Atractor de E. Lorenz (metereólogo)

- 1963. Modelo atmosférico y atractor.

- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas? - Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones.

- Modelos de fenómenos impredecibles.- Modelos simples de fenómenos complejos.

Un poco de historia

Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.

- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.

- Introduce concepto de “atractor extraño”.

- Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional:

v´(t)=fr(v), r>0

- Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica

Un poco de historia

- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.

- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”. - 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales.

- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines”

- 1978. La constante de M. Feigenbaum.

Teoría del Caos, ¿revolución científica?

2 - Sustitución de modelos

1 - Novedad y profundidad de los conceptos

4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?

3 - El papel de los ordenadores

“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”.

HENRI POINCARÉ1854-1912

TEORIA MATEMATICA

EL SIGNIFICADO DE CAOS ES EL DE UN SISTEMA QUE ESTÁ GOBERNADO POR SIMPLES LEYES FÍSICAS,

PERO QUE PUEDE COMPORTARSE IMPREDECIBLEMENTE AL AZAR

UN SISTEMA DINÁMICO SE DICE QUE ES CAÓTICO CUANDO ES

DETERMINISTA, IMPREVISIBLE Y MUY SENSIBLE A CONDICIONES

INICIALES

DEFINICION

SE OCUPA DE SISTEMAS QUE TIENES UN COMPORTAMIENTO APARENTEMETE

IMPREDECIBLE Y ALEATORIO

DEFINICION

CAOS DENOTA UN ÁREA ÚNICA DE “INESTABILIDAD ENLAZADA”, COMO ENTIDADES QUE SE MUEVEN ENTRE EL EQUILIBRIO POR UN LADO Y ENTRE AL

AZAR POR OTRO LADO.

CAOS ES EL OBSCURO Y SILENCIOSO ABISMO DE DONDE PROCEDE LA EXISTENCIA DE TODAS LAS COSAS

DEFINICION

La Noche y el Erebo se unieron para producir el Amor, que originó la Luz y el Día

El Caos generó la sólida masa de la Tierra , de la que surgió el Cielo estrellado y lleno de nubes, Madre Tierra (Gaya) y su

marido Padre Cielo (Urano), padres de las primeras criaturas del universo

CARACTERISTICAS

EL MUNDO NATURAL TIENEDE A UN COMPORTAMIENTO CAOTICO

LOS ESQUEMAS DEL CAOS ESTÁN RELACIONADOS CON LOS QUE SE OBSERVAN EN LA GEOMETRÍA FRACTAL.

EN LOS SISTEMAS CAÓTICOS NO LINEALES LA RELACIÓN ENTRE CAUSAS Y EFECTOS SE DESVANECEN EN UNA RETROALIMENTACIÓN TIPO CIRCUITO CERRADO, QUE A PARTIR DE PEQUEÑAS VARIACIONES PUEDE GENERAR CONSECUENCIAS DESCOMUNALES.

CARACTERISTICAS

SENSIBLE A CONDICIONES INICIALES

EJEMPLOS DE CAOS

LA VIDA MISMA TIENE COMPORTAMIENTO CAOTICO Y ESTA REGIDA POR EL AZAR, ANALIZAR EL SIEGUIENTE CASO DE LA VIDA COTIDIANA

EJEMPLOS DE SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS.

- Modelo de Lorenz (dimensión 3)- Modelo de Hénon(dimensión 2). Fractales.- La ecuación logística de Mau(dimensión 1)

APLICACIONES

EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL

EN EL ARTE

EN LA NATURALEZA

EN EL CUERPO HUMANO

EN LA RELIGION

Un ejemplo de modelo determinista

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Problema real (física, biología, meteorología...)

Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)

Solución Matemática

¿Explica la realidad?

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Frío

ATMÓSFERA

Calor

Lámina rectangular

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

x´(t)= 10(y-x)

y´(t)=28x-y-xz

z´(t)=xy-8x/3

Modelo matemáticoEcuaciones diferenciales (no lineales).

Frío

ATMÓSFERA

Calor

Lámina rectangular

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz

(x0, y0,z0)

Condición Inicial

Regla

(x1, y1, z1)

Regla

(x2, y2,z2)

...

ITERACION

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenzsegundo temperatura

1 -14.052872

2 2.757209

3 -7.552990

4 6.621076

5 -8.084304

6 -9.952578

7 -5.981163

8 -13.023813

9 0.041168

10 9.314363

11 4.558919

12 7.375924

13 -14.856846

14 -0.246566

segundo temperatura

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -9.952000

7 -6.120309

8 -12.646284

9 -0.724073

10 11.848833

11 -1.204758

12 6.826824

13 13.773982

14 1.474239

(x0, y0,z0)

Condición Inicial

Regla

(x1, y1, z1)

Regla

(x2, y2,z2)...

ITERACION

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.

(x0, y0)

Regla

(x1, y1)

Regla

(x2, y2)...

(1/3y, 1+x-7y/5)

(x,y)

Otros ejemplos.

Atractor de Ikeda (Optica)

a + b z exp i[k - p/(1 +|z|2)]

z=(x,y)

a,b,k,p parámetros

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

z2+c

z

c=-0,2-0,7i

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

(z3+c)/(dz)

z

c=0,001

d=0,95-0,31225i

Otros ejemplos. Fractales

Conjunto de Juliá

(z5+c)/z3

z

c=0,001

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Brocoli IFS

F

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS

Helecho de Barnsley

Función 1 Función 2 Función 3 Función 4

a 0 0,2 -0,15 0,75

b 0 -0,26 0,28 0,04

c 0 0,23 0,26 -0,04

d 0,16 0,22 0,24 0,85

e 0 0 0 0

f 0 1,6 0,44 1,6

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.

Problema real (física, química,biología...)

Modelo Matemático (Iteración)

Solución Matemática

¿Explica la realidad?

x0

Condición Inicial

Regla

x1

Regla

x2

...

ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.

An = número de animales en el año n

An+1= c An c=tasa de crecimiento

An+1= c An (M-An)

M= población máxima admitida

se normaliza y...

xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística

x c x (1-x) ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.

An = número de animales en el año n

An+1= c An c=tasa de crecimiento

An+1= c An (M-An)

M= población máxima admitida

se normaliza y...

xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística

x c x (1-x) ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades

Mitchell J. Feigenbaum

1944-

cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n

cn-cn-1

cn+1-cn4,669201...

¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!

Ele efecto mariposa

es un concepto que hace referencia a la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos

La idea es que, dadas unas condiciones iniciales de un determinado sistema caótico, la más mínima variación en ellas puede provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes

Sucediendo así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande

Su nombre proviene de las frases: "el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo" (proverbio chino) o "el aleteo de las alas de una mariposa pueden provocar un Tsunami al otro lado del mundo" así como también "El simple aleteo de una mariposa puede cambiar el mundo"

Este nombre también fue acuñado a partir del resultado obtenido por el meteorólogo y matemático Edward Lorenz al intentar hacer una predicción del clima atmosférico

TURBULENCIA

DEFINICION

ORIGEN

APLICACIONES

CARACTERISTICAS

DEFINICION

TURBULENCIA O FLUJO TURBULENTO ES UN RÉGIMEN DE FLUJO CARACTERIZADO POR BAJA DIFUSIÓN DE

MOMENTO

flujo turbulento se denomina al movimiento de un fluido que se da en forma caótica

las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos, como por ejemplo el agua en un canal de gran

pendiente

variaciones pequeñas en la entrada producen grandes cambios en la salida

Caos Ruido

Dadas dos condiciones iniciales incluso las muy cercanas

la diferencia en la forma de los estados crece exponencialmente y continuamente

La evolución de los estados es siempre aleatoria

Caracteristica Caos es un sistema extremadamente complejo (entendiendo complejo como un proceso que obedece patrones complicados de estudio, pero aun así sigue algún tipo de patrón)

ruido es un sistema aleatorio (no sigue ningún tipo de patrón predictivo).

Principio: El mensaje es mezclado con caos. Asi, no se puede distinguir el mensaje del caos que se asemeja y confunde con ruido. Entones, un oyente furtivo solo entiende ruido

Mensajerecuperado

transmisor Caotico

receptor

+

+

mensaje

ENCRIPTACION

* La sincronización del caos es posible si el receptor es el adecuado.

Receptor

Làser

Caòtico

Làser

Caòtico

transmisor

mensaje

* La amplitud del mensaje tiene que ser menor que la portadora.

* El mensaje no tiene que interferir con caos

Laurant Larger, University of Franche-Comté, France

Los escenarios mas importantes son: Generación del caos Construcción del receptor que puede reproducir

exactamente lo que hace el transmisor

Entonces, lo que buscamos en nuestros estudios es: ¿como podemos ocultar un mensaje confidencial garantizando que nuestro interlocutor lo decodificara?

caos en la amplitud Caos de la fase

Hay dos tipos del caos:

Después la generación del caos, el mensaje se pone por modulación sea con la amplitud sea con la fase

Transmisor

I

Fibra EspejoReceptor

I trtt

Espejo

P Emisor (x105)

P R

ecep

tor

(x10

5 )

Sin acoplamiento

P Emisor (x105)

P R

ecep

tor

(x10

5 )

Con acoplamiento

Generalmente, la información es transmitida en forma digital: Una larga secuencia de “1” y “0”.

Ejemplo, el códigoa 01100001

b 01100010

c 01100011

Onda portadora

Mensaje: “uib”

Señal transmitida

28 =256

transmisor Caotico

receptor

+

+

2.- Sistemas caóticos Comunicaciones ópticas caóticas

Diodo laser en régimen caótico (“feedback”)El mensaje se esconde en la portadora caótica.El receptor se sincroniza a la portadora caótica.Extracción del mensaje.

¡El caos puede ser util!

La comunicación caótica necesita tres procesos muy importantes:

1. La generación del caos: Se puede generar caos de dos maneras diferentes

2. La construcción de un receptor adecuado que puede sincronizar casi-perfectamente con el transmisor.

3. Algunas condiciones de seguridad como la amplitud del mensaje comparado a el del caos.

Pero el mensaje decodificado en la majaría de los casos se sale con una pequeña diferencia comparado al mensaje original

Así, seguimos con Sr. Pep que con los experimentos podría explicar mas el origen de esta diferencia

RecapitulandoPropiedades de un sistema caótico

- La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.

- Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración

- El atractor es un fractal.

- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.

Recapitulando...Regularidades (orden) de un sistema caótico

- Autosemejanza en atractores. Dimensión.

- La solución al modelo acaba convergiendo al atractor.

- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov

- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)

Teoría del Caos, ¿revolución científica?

2 - Sustitución de modelos

1 - Novedad y profundidad de los conceptos

4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?

3 - El papel de los ordenadores

DISEÑO DE CIRCUITO PARA SIMULAR LA GRAFICA DEL ATRACTOR DE LORENTZ

GRAFICA OBTENIDA USANDO EL SIMULADOR MULTISIM