Cap 8 ondas 205-225 (1)

Cuaderno de Actividades: Física I

8) Ondas

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 205


8) Ondas

8.1) Definición

La onda es una perturbación que se propaga transfiriendo energía y cantidad de movimiento.

Esta transferencia de cantidad de movimiento y energía, debe considerarse como una forma desarrollada por el universo para transferir información.

8.2) Clasificación

i) Por el medio de propagación

j) Ondas mecánicas, OM

Requieren de un material para propagarse.

Ejems:

“Onda sonora”

“Onda en cuerda”

“Onda de torsión”, “presión”…

jj) Ondas electromagnéticas, OEM

No requieren necesariamente de un medio material para propagarse.

Ejems:

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

E

p Espectro EM

206


“Luz” ⇒ OEM (EM de Maxwell)

.ReF. Clásica =>

.

F lativista

A Einstein14243

Ec

B≈ , O.E.M. → {OE “+” OM }

ii) Por el movimiento relativo del medio respecto a la propagación

j) Ondas Longitudinales

El medio moviéndose paralelamente a la propagación.

Ejems:

“Ondas sonoras”…………..aire

“Ondas en resortes”

“Ondas de compresión, torsión”

jj) Ondas transversales

El movimiento relativo del medio es perpendicular a la de la propagación.

Ejems:

“Ondas en la cuerda”


Er

Br

vr

207


“Ondas electromagnéticas”

Perturbación → Er

, Br

⊥ vr

jjj) Ondas transversolongitudinales

Cuando el medio se desplaza tanto transversal como longitudinalmenterespecto a la propagación.

Ejems:

“Olas de mar”

“Fluidos”

8.3) Pulsos

i) Ecuación del pulso unidimensional

La perturbación se propaga en el espacio – tiempo conservando su forma.

La descripción de la Onda ⇒ el “estado” de los puntos P(x,y) ⇒ (x,t)


P

P v

Cuerda

Y P v

r

y

0 x x

208


La ecuación que describe la perturbación deberá expresar esta dependencia (x, t) conjuntamente con la velocidad v, la cual dependerá de las características del sistema (medio).

,m

v v TL

µ λ = = = ← “Ondas en cuerda”

Por lo tanto, para caracterizar a la cuerda (el medio, sus puntos) según la perturbación, usaremos un sistema (x,y,t), donde,

:

: ( )

: det min

y representa el estadodel medio

x localiza al medio P

t er a el tiempo de observacion

Estas funciones “y” tendrán la forma,

( ) ( ),y y x t f x vt≡ = ± → v: velocidad de propagación

+ ← x-

- → x+

ii) La velocidad de propagación, v.

Esta v esta vinculada a las características del medio.

→ Ondas Mecánicas: OM, v = v (µ=λ, densidad lineal de masa; T, tensión que soporta la cuerda)

→ Os Electromagnéticas: OEM, v = c = v (ε0, µ0) ∼ 3 x 108

No depende de las condiciones iniciales de la onda.



8.4) Ondas Armónicas viajeras

i) Ecuación de ondas armónicas viajeras

De todos los pulsos serán estudiados aquellos de perfil armónico.

( ) { }my f x vt y sen kx wt φ≡ − = − +

ym =A :amplitud

2k

πλ

= = # de ondas

λ = longitud de onda, “duración espacial de la perturbación”

w = frecuencia angular, w = 2

T

π

T: periodo, “duración temporal de la perturbación”

φ : Desfasaje

vT

λ λν= = ;ν : Frecuencia lineal,1

Tν =

vw

k= : Velocidad de propagación

( ) { } 2 2, m my x t y sen kx wt y sen x t

T

π πφ φλ

= − + = − +


P t = 0 y

v t x x

λ

210


ii) Ecuación de onda

y = y (x,t): onda mecánica cualquiera, por ejemplo.

2 2

2 2 2

1y y

x v t

∂ ∂=∂ ∂

← ( ) ( ),y y x t f x vt≡ = ±

Esta es la ecuación que deben de satisfacer todo tipo de Onda, incluso las OEM.

→ 2da ley dinámica:

RF ma rva= → → →r rr r r √

Análogamente→ 2 2

2 2 2

1( , )

y yy y x t

x v t

∂ ∂= → =∂ ∂

√

8.5) Fenómenos Ondulatorios

i) Superposición de Os

Dos Os y1 y y2 superponen sus efectos si coexisten en el espacio-tiempo, como indica la figura.


y1 y2 y1 + y2

211


ii) Reflexión y transmisión

j) Reflexión de Os

iO : Onda incidente

RO : Onda reflejada

La O reflejada en el extremo móvil en fase con la O incidente mientras que la O reflejada en el extremo fijo se desfasa π.


Móvil Fijo

Oi Oi

OR

OR

212


jj) Transmisión de Os

λ2 < λ1

OT ≡ ORE : Onda Trasmitida o refractada

La O transmitida o refractada se encuentra en fase con la O incidente, para ambos casos. Lo que ocurre con las Os reflejadas es análogo al caso anterior, es decir, la cuerda menos densa se comporta, en la interfase, como extremo móvil y la cuerda más densa como extremo fijo.


λ1 λ2

λ2 λ1

Oi Oi

Oi

Oi

AOi

ORE

OR

OR ORE=OT

AOR

AORE

ν ν

(*)

213


Recordando d esfase de O s: Puede expresarse en φ =λ = T.

Imaginemos reflexión: extremo fijo

Como las νs de las Os son las mismas, por lo tanto:

OI OR OT REν ν ν =≡ ≡

Además, si consideramos conservación de la energía,

OI OR OT REE E E =≡ +

y asumiendo: EO α A2 w2 λ, w = 2πν

(*) 2 2 21 1 2I R TO O OA A Aλ λ λ≡ +

¿Es posible mejorar esta relación?


OR

φ= , ,2 2

Tλπ

Oi

Interfase

φ

214


iii) Interferencia

∃ R3 - t de O1 ∧ O2

Los fenómenos de interferencia pueden producirse por el ESPACIO o por el TIEMPO.

O1: y1(x,t) ≡ A sen {kx - wt}O2: y2(x,t) ≡ A sen {kx -wt - φ} ↑

Observar que se están “ESCOGIENDO” Os con la misma amplitud, frecuencia y longitud de O.

yR ≡ y1 + y2

{ } { }co2 2 // s 2Ry Asen kx wt φ φ≡ − −

En esta expresión el factor cos (φ/2) describe la interferencia de las Os.

¿Como se describiría la interferencia en el tiempo?

→ w1∼ w2…”pulsaciones”…?

8.6) Ondas Estacionarias, OE


y1 y2

y

x

215


Las ondas estacionarias OE se producen por interferencia de dos ondas (Os) de la misma amplitud y frecuencia que viajan en sentidos contrarios.

vT

λ µ≡

≡

yR ≡ yest ≡ y1 + y2

≡ Asen {kx - wt} + Asen {kx + wt}

{ } { }2 cosESTy Asen kx wt≡1424314243

( )

A x

14243

Condiciones de frontera: y (x ≡ 0, L, ∀t) ≡ 0

→ sen {k(x ≡L)} ≡ 0

kL ≡ nπ ; n ≡ 1,2,3….

2nk

L

π πλ

= = → 2

n

L

nλ =

λn ⇒ νn : v = λν ⇒ 2n

nv

Lν =


y ;m

TL

λ ≡

0 L x

216


Modos de normales de vibración:

1er armónico

2do armónico 1er sobretono

3er armónico 2do sobretono

.

.

. n ……………………………… n-ésimo armónico {n-ésimo-1} sobretono

8.7) Ondas sonoras


n ≡1

n ≡2

n ≡3

217


Caso particular e importante de ondas mecánicas longitudinales.

→ Múltiples aplicaciones

Metrología

Medicina

Música

Prospección minera

Paleontología

Comunicaciones

Militar

Tecnología

Negocios

“Afectivo”

“Desarrollo de la inteligencia”

…

Estas ondas se pueden clasificar de diversas formas:

→ ν: Frecuencia

→ I: Intensidades

→ β : Nivel de I

Mostraremos estas correlaciones en el siguiente grafico,



Definición: Nivel de intensidad, β

0

10logI

Iβ

≡

u [β] ≡ decibel ≡ dβ

El Tema de Contaminación Ambiental: Contaminación por sonido


ν(Hz) I(w/m2) β(dB)

O supersónicas Umbral Superior

20x103 1 120

O sonoras Umbral Inferior

20 10-12 ≡ I0 0

O subsónicas

219


Componentes de contaminación:

→…

→…

→…

→La componente acústica: Nivel recomendado por las entidades de Salud Ambiental…60-70 dB!

8.8) Energía y potencia

Caso de O en la cuerda,

i) Energía por unidad de longitud

→ 2 21

2

EnergíaE A

Longitudµ ω≡ ≡% (J/m); A: amplitud, w: frecuencia

ii) Potencia

→ 2 21

2vP A wµ≡

8.9) Efecto Doppler

→ Reportado por Christian Doppler en 1842.


v

m

Lµ ≡

220


→ ν: relacionado al cambio aparente de la frecuencia de una fuente sonora.

→ La generalización hecha por H Fizeau en 1848 para las OEM generara cambios trascendentales en las concepciones del universo (Hubble-Bigbang)

O: Observador: F: fuente sonora, ampliable a cualquier O sonora.

ν: Frecuencia emitida por la F y detectada por el O, ambos estacionarios.ν': Frecuencia aparente de la F detectada por O.

v0: velocidad del OvF: velocidad de la Fv : velocidad del sonido (∼ 340 CN)

' 0

F

v v

v vν ν

±= m

S6P22)


ν0 νF

Observador Fuente

221


Si ϕ (x,t) = 0,1 sen (3,14 x -1,05t + π/12) con x y ϕ en m y t en s, es la ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda de masa 300 g y 5m de longitud. Hallar:

a) La velocidad de la onda.b) La velocidad de la partícula situada en x = 0,3 m y en t = 3 s.c) Los puntos más cercanos a x = 1 m cuya diferencia de fase con éste sea π/

3.d) La aceleración de una partícula en función del tiempo situada en x = 0,8 m.e) La tensión en la cuerda.

Solución:

( ) { }, 0,1 1,05 /12y x t sen x tπ π= − +

m = 0,3; l = 5

a) 1,05w

vT k

λ λπ

ν≡ ≡ ≡ ≡

b) 0,1 1,05 1,05 , 0,3 312yv x cos x t x tππ ≡ − − + ≡ ∧ ≡

…

c) t∀

{ {1 1: 1,05 (1) 1,0512 12 3

x x t tπ π ππ π

− + − − + ≡

11

11

3

4

3x x− ≡ → ≡

2 2 2

2

3:

3x x x

ππ π− ≡ ≡→

d) ( ) 20,1 1,05 1,05 , 0,8

12ya x sen x t xππ ≡ − + ≡

…

e) ,w T m

v u Tk u l

λ≡ ≡ ≡ ≡ → ≡

S6P44)


x2 x≡1 x1

222


La función de onda de una onda estacionaria sobre una cuerda está dada por y(x,t) = 0,02 sen (0,3x) cos (25t) donde x y y están en centímetros y t está en segundos,

a) Halle la longitud de onda y la velocidad de las ondas componentesb) ¿Cuál es la longitud de la cuerda si esta función representa la tercera

armónica?c) ¿En qué puntos es la velocidad de la partícula permanente cero?

Solución:

( ) { } { }, 0,02 0,3 cos 25y x t sen x t≡

a) 2

0,

20,3

3k

π λλ

π≡ ≡ → ≡

25

0,3

wv

k≡ ≡

b) ( )? , 3estL si y x t n≡ → ≡

3

2 2

0,3 3

LL

n

πλ ≡ ≡ → ≡= ?

c)

¿? Hacer maqueta experimental.

S6P18) Una cuerda con densidad lineal 5 x 10-2 kg/m se someta a una tensión de 50N.


0 L x

1 2x

λ≡ x2 ≡λ

223


a) ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales de frecuencia 60 Hz y una amplitud de 60 cm?

b) Deducir las relaciones que usa.

SOLUCION:

25 10 , 50Tµ λ −≡ ≡ × ≡

a) ?/ : 60 0,6sP O y Aν≡ ≡ ≡

( ) 22 2 21 12 2

2 2

TP vA P T A v v yµ ω µ π ω πν

µ≡ → ≡ × × ← ≡ ≡

( ) ( )2 22 2 21 150 5 10 0,6 2 60

2 2P vA Pµ ω π−≡ → ≡ × × × × ×

40,41P kW≡

b) ...?E

Pt

≡

¿? Hacer maqueta experimental.

S6P13) Una fuente puntual emite ondas sonoras con una salida de potencia promedio de 80,0 w,



a) Encuentre la intensidad a 3,00 m de la fuenteb) Encuentre la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40 dB.

SOLUCION:

P= 80

a) ( ) 22

80

40

4,

371

PI I

P

A rπ π≡≡ ≡ ≡ →

b) ? / 40r β≡ ≡

12

00

10log 10I

II

β − ≡ ← ≡

122

41 2

42

2,52 1

8080 10440 10log 10

10 40rr

rπ

π−

×≡ → ≡ →

≡ ×

¿? El no escuchar una fuente sonora implica que no llegan dichas ondas a nuestro oído.


r

225

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