Cap10 diagrama bode

1/Cap.10

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

ioPa

scoa

l

CONTROLO2º semestre – 2007/2008

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 10 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas

transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.

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Resposta em Frequência

• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal

Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:

• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,

• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,

• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho,

• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !

Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel

Ribeiro, IST Press, 2001

Reprodução proibida

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Resposta em Frequênciaconceito (revisão)

G(s)r(t)=A sinw1t y(t)

21

21

sA)s(R

ω+ω

= )s(Gs

A)s(Y 21

21

ω+ω

=

entrada sinusoidalcomo é a componente forçada da resposta ?

)ps()ps)(ps()s(N)s(G

n21 +++=

L

Assumem-se pólos simples sem

perda de generalidade

∑= +

+ω−

+ω+

=n

1i i

i

1

2

1

1

ssR

jsc

jsc)s(Y

)j(Gj2

A)s(Gjs

Ac 1js1

11

1ω−−=

ω−ω

=ω−=

11js1

12 c)j(G

j2A)s(G

jsAc

1=ω=

ω+ω

=ω=

tsn

1ii

tj1

tj1

i11 eRe)j(Gj2

Ae)j(Gj2

A)t(y −

=

ωω− ∑+ω+ω−−=

resposta forçada resposta natural

)t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da

componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.

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resposta natural

)t(ye)j(Gj2

Ae)j(Gj2

A)t(y ntj

1tj

111 +ω+ω−−= ωω−

resposta forçada

G(s) – função complexa de variável complexa

)s(Gargje)s(G)s(G =)j(Gargj

11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω−=ω−

ímpar função )j(Gargpar função )j(G

ω

ω

)j(Gargj11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω=ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ω=

ω−ω−ωω

j2e.ee.e)j(GA)t(y

)j(Gargjtj)j(Gargjtj

1f

1111

componente forçada da saída

))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=

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• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:

– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas

com a amplitude e fase do sinal de entrada

G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))

sinal de entrada

componente forçada do sinal de saída

desfasagem

• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1

• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1

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Função Resposta em Frequência

• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do

eixo imaginário

ω==ω

js)s(G)j(G

• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a

Transformada de Fourier da Resposta Impulsional

)]t(h[TF)j(G =ω

Representação gráfica da Função Resposta em Frequência

• Que funções é preciso representar ?• |G(jw)|• Arg G(jw)

• Que tipo de representação• Diagrama de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols

Estudo daestabilidade deSLITs em cadeiafechada

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica

Representação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)

2nn21

2nn11

)w/s(w/s21)(s1(s)w/s(w/s21)(sT1(K

)s(G22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

2nn21

2nn11

)w/jw(w/w2j1)(s1(jw)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K

)jw(G22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

2nn21

2nn11

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

exemplo

função de transferência

função resposta em frequência

Característica de amplitude

quociente de produtos de termos

O diagrama de Bode (amplitude) representa

)jw(Glog20)jw(GdB=

dB

2nn2dB1dB

dB

2nn1dB1dB

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

soma algébrica de termosCaracterística de fase

))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(

))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2

nn21

2nn11

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)

K)s(G =

K)jw(G =

dBdBK)jw(G =

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=

0K se º180

0K se º0)jw(Garg

180º

função de transferência

função resposta em frequência

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s10)s(G =

jw10)jw(G =

( ) wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB

−=−=

Recta com declive –20dB/década

passando em 0dB para w=1

º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=

• Qual é o ganho estático deste sistema ?• Qual é o ganho de baixa frequência ?• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada

r(t)=2sin(100t) ?

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sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

( )2dB

wT1log20)jw(G +−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa frequência

Alta frequência

dB01log20)jw(GdB

=−≅

Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB

−−=−≅

Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T

assímptota de baixa frequência

assímptota de alta frequência

característica de amplitude

)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa frequência

Alta frequência

º0)jw(Garg ≅

2)jw(Garg π

−≅

característica de fase

T1w =4

)jw(Garg π−=

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sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

T=0.5Pólo = - 2

w=2rad/s – frequência de corte do pólo

- 20dB/dec0 dB/dec

assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência

0º

- 45º

- 90º

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sT11)s(G+

=jwT11)jw(G

+=

Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a –90º passando a –45º na frequência de corte.

T=0.5Pólo = - 2

T1w =

dB32log20)wT(1log20)jw(G 2dB

−=−=+−=

3dB

2 200.2

2 200.2

º45)j1arg()jw(Garg −=+−=

T101w = º71.510

j1arg)jw(Garg −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

T10w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=

5.71º

5.71º

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Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

Largura de Banda (a 3dB)

• Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.

• A Largura de Banda traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada

Ko

Ko-3dB

wwBW

Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,

Largura de Banda =frequência de corte do pólo

LB=2rad/s

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Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

1

11 ws

w)s(G+

=2

22 ws

w)s(G+

=12 ww >

ganho estático unitário

w1 w2

1/w11/w2

Largura de banda maior

Resposta mais rápida

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250)s(G+

=

• Ganho estático ?• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência

• Fase para • Baixas frequências• Altas frequências

PERGUNTAS

RESPOSTAS

• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec

• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)

• Fase para • Baixas frequências

• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0º

• Altas frequências• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º

s/rad 0w →

∞→w

A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições

de dois pólos reais simples.

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250)s(G+

=

2)5s(250)s(G+

=2

5s1

10)s(G⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

forma das constantes de

tempo

Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB

6dB

-90º

2*5.71º

2*5.71º

-180º

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Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência

22 )5s(250)s(G+

=)5s(

50)s(G1 +=

Sistema de 1ª ordemPólo real simples em –5Ganho estático = 10

Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em –5Ganho estático = 10

• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?

Sistema 1 Sistema 2

Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte

s/rad 5LB1 =

s/rad 15.3LB2 ≅

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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100)s(G

++=

• Ganho estático ?

3 pólos

0 zeros

Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100)s(G

++=

• Ganho estático ?

3 pólos

0 zeros

Assimptota de alta frequência com declive de 3*(-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º

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+ 20dB/dec

45º

90º

3dB


• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ?Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas

relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte

T=0.1

Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a 90º passando a +45º na frequência de corte.

20

2)wT(1log20jwT1log20 +=+

1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+

frequência de corte do zero

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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais

)1.0s()10s(1.0)s(G

++

=

- 90º

90º

45º

0º

0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

20dB

40dB

-20dB

-40dB

-20dB/dec

contribuição do zero

ganho estático

Excesso pólos-zeros = 0

Assimptota de alta frequência com declive nulo

- 45º

0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

Não há pólos nem zeros na origem

A fase para muito baixa freq. é nulaExcesso pólos-zeros = 0

A fase para muito alta freq. é nula

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Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência

• Ganho de Baixa Frequência

00wK)jw(Glim =

→ganho estático do sistema

y(t)lim)s(G limKt0s0 ∞→→

==Para uma entrada escalão unitárioGanho da

Resposta em Frequência à frequência w=0

2)1s(s)s(G+

=2)1s(

1)s(G+

=

+20dB/dec-20dB/dec

-40dB/dec

1 100.1 0.1 1 100dB0dB

-20dB -20dB

-40dB-40dB

23/Cap.10


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Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos

2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+= ganho estático

unitário2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

2

nndB w

www2j1 log20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+−=

Característica de amplitude

2

n

2

2n

2

dB ww2

ww1log20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

nww <<

nww >>

dB0)jw(GdB≅ Assimptota de baixa frequência

2

n

2

2n

2

dB ww2

wwlog20)jw(G ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

10 <ζ≤

n

2

n wwlog40

wwlog20 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

Assimptota de alta

frequência

Declive de –40dB/dec

passando em 0dB para w=wn

w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados

24/Cap.10


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2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

10 <ζ≤

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−= frequência de

ressonância

nr w w 0 →⇒→ζnr ww <

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2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

10 <ζ≤1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−=

2r121)jw(G

ζ−ζ=

1=ζ

dB6

ζ=

21)jw(G n

em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário

Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência

707.0>ζ

26/Cap.10


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2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

212

n

n

ww1

ww2

arctg)jw(Garg θ−θ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ζ−=

Característica de fase

nww <<

nww >>

10 <ζ≤

w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados

)jww2s)(jww2s(w)s(G

dndn

2n

−ζ++ζ+=

σ

jw

njw

1jwθ1

θ2

º0)jw(Garg ≅

º180)jw(Garg −≅

nww = º90)jw(Garg −=

27/Cap.10


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2nn

2

2n

wsw2sw)s(G

+ζ+=

2

nn ww

ww2j1

1)jw(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ζ+

=

10 <ζ≤

)jww2s)(jww2s(w)s(G

dndn

2n

−ζ++ζ+=

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

1=ζ

0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ?

Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?

28/Cap.10


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Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge

http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html

Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington

• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela

actuavam, em particular do vento

• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema

• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados

http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/

http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.html

http://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html

29/Cap.10


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Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

1s10s)s(G1 +

+=

1s10s)s(G2 +

−=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

jw110wj1

.10)jw(G1 +

+=

jw110wj1

.10)jw(G2 +

−−=

2

2

21w110w1

.10)jw(G)jw(G+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

a mesma característica de

amplitude

)w(arctg10warctg)jw(Garg 1 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )w(arctg

10warctgº180)jw(Garg 2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

zθpθ pθ

zθ

pz1 )jw(Garg θ−θ=pz2 )jw(Garg θ−θ=

- 90º

0º

90º0.1 1 10 100

- 90º

0º

90º0.1 1 10 100

180º

-10 -1 -1 10

30/Cap.10


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Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

1s10s)s(G1 +

+=

1s10s)s(G2 +

−=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

31/Cap.10


©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

ioPa

scoa

l


Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3

32/Cap.10


©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

ioPa

scoa

l


Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

Sistema 2

( )10s1s10)s(G

±±

±=

Sistema 1

Sistema 3

10s1s10)s(G1 +

−=

10s1s10)s(G2 −

+−=

10s1s10)s(G3 +

+=

33/Cap.10


©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

ioPa

scoa

l


Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

)25s4s)(as(a*25)s(G 2 +++

=)25s4s(

25)s(G 2 ++=

a=1a=3

a=8

a=1

a=3

a=8

34/Cap.10


©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

ioPa

scoa

l


Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

2nnp

2

2nnz

2

2n

2n

pp

zz

z

p

wsw2swsw2s

ww

)s(G+ζ+

+ζ+= Sistema 1 1 0.2 1 0.5

Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5

pnzn w wpz

ζζ

identifique os sistemas

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Cap10 diagrama bode