Cap7 parte ii-projecto apoiado em root-locus

1/Cap.7-Parte II

ROOT LOCUS - Projecto

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap. 7 - Parte II Projecto apoiado em Root Locus

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Eduardo Morgado

Maio de 2008

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foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO

2º semestre – 2007/2008

2/Cap.7-Parte IIIST-DEEC-LEEC- Controlo – 2004/2005

“Root Locus” – Exemplo de Projecto

22

2 1)()()(

ssUsY

dtyduf =⇒==

Sistem Físico – y0

u=fm=1Kg

Massa que se desloca sem atrito ao longo da coordenada y (inércia pura).

Objectivo: projectar um sistema de controlo emmalha fechada para estabilização em posição.

Sistema instávelem malha aberta

Tentativa #1 – Ganho Proporcional

r2

1s0>k

y


Traçado do “Root-Locus”

0=−

= ∑ ∑−mn

zp jiaσ

21s

1,0;0)12(==

−+

= kmn

kk πφ

O sistema não é estável em malha fechada

Verificação:

m=0n=2

n=2 ramosn-m=2 assímptotas

Centro das assímptotas

Ângulos das assímptotas

00 90,90 −

Não existem porções do diagrama no eixoReal (excepto o ponto 0, quando k=0)



Tentativa #2 – Acção Proporcional e Derivativa

r2

1s

0>k )1( +s

Acção proporcionalAcção derivativa

(inclusão de um zero em s=-1 rad/s, no semi-planocomplexo esquerdo, para “atrair” o diagrama para a zona de “estabilidade”) – esquecer por enquanto o facto de que o controlador não é causal.

-1

-1

Porções do diagrama no eixo real

y



Traçado das Assímptotas

-1

Porções do diagrama no eixo real

2)1(

ss + n=2 ramos

n-m=1 assímptota(1 zero em infinito)

1)1(00 +=−−+=−

= ∑ ∑−mn

zp jiaσ

0;0)12(==

−+

= kmn

kk πφ

Centro das assímptotas

Ângulos das assímptotas

0180

Comportamento geral do diagrama:Quando k tende para 0,polos em malha fechada polos em malha aberta

Quando k tende para infinito,polos em malha fechada zeros em malha aberta, incluindo os zeros em infinito.


PormenoresA – ângulos de saída dos polos

-1

O zero exerce um efeito atractor e “encurva” o diagrama para a esquerda

Verificar estas zonas( A e B) em pormenor

AB

0s

0,0 30 ≅→ αs

- ponto de teste

21 αα =

0s

Zkkss ∈+=−−=+ ;)12()/)1arg(( 1232 πααα

3α

Condição de argumento

Quando

2/;)12(2 11 παπα ±=→∈+=−→ Zkk

O diagrama sai dos pólos na “vertical”.


011 2 =+

+s

sk

imaginárioeixonoraízumaéjSeja ωω :

02 =++→ kkss

Confirmação de que o não diagrama não cruza o eixo imaginário (excepto no ponto 0).

Polinómio característico:

02 =++→ kkss

02 =++−→ kjkωω0==→ kω (não existem intersecções

não triviais com o eixo imaginário)

Ponto de entrada no eixo real (“Breakin”)

111 2

2 +−=→−=

+ssk

ssk

0)2(0)1()1(2

2

2

=+→=+

−+−= ss

ssss

dsdk

Raízes possíveis: 0 (trivial), -2

-2

Confirmar esta raíz dupla

8/Cap.7-Parte II

Interpretação física do efeito estabilizador da acção derivativa

r2

1s

0>k )1( +s

r2

1s

0>k

ks

Retroacção local de velocidade(termo dissipativo artificial, semelhante ao efeito de um amortecedor)

(sistemas equivalentes sobo ponto de vista de estabilidade)

y

y

Nos dois casos, o denominador de Y(s)/R(s) é

02 =++ kkss

Termo estabilizante, fruto da retroacção local de velocidade


Mas ... existe uma constrição prática. Não é possível realizar diferenciadores puros!

r2

1s

0>kps

s++1 y

1;)1( >>+

+ pps

ps

Estratégia: substituir o termo (s+1) por

Sistema causal, passa-baixo,com largura de banda “muito superior” a 1 rad/s.

Para valores possíveis de p, ver o exercício a seguir

Redefinir k como kp

10/Cap.7-Parte II

Exemplo de projecto mais realista

21)(s

sP =

%5.20≤Ssts 75.0%)5( ≤

Objectivos: dado o sistema a controlar

Projectar um controlador K(s) tal que:

a. O sistema em malha fechada é estável

b. O sistema em malha fechada exibecomportamento (dominante) de segunda ordemcom

b.1. Sobreelevação

b.2. Tempo de estabelecimento

475.0305.0ln%)5( ≥⇒≤≅= n

nnst ξω

ξωξω

Resolução:

45.0%5.20)1/exp( 2 ≥⇒≤−−= ξξξπSb.1

b.2


Exemplo de projecto mais realista

nξω−

)45.0arcsin(

0

Zona desejada para os polos dominantesem malha fechada

112

1

894.71

89.845.0;4−−

−

≈=−⇒

=⇒≥≥

radsrads

rads

n

nn

ξω

ωξξω

4−

Localização possível dos polos: -4+j8, -4-j8

+j8

12/Cap.7-Parte II


IST-DEEC-LEEC- Controlo – 2004/2005

pszssK

++

=)(Tipo de controlador:

Tentativa: fazer z=4 rad/s e determinar p tal quese cumpram (caso seja possível!) as especificações.

Utilizando a condição do argumento:

ok 180)12(4321 +±=−−− αααα

o901 =α 0132 117)2(tan180; ≈−== −oαα

o364 =α

α 1

- j 8

j 8

- 4

α 4

α 2 = α 3

eℜ

mℑ

- p

M 1

M 4 M 2=M 3

Localizar este pólo

o

x368tan 1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

x

115411;11 −=+=≈ radspx o

13/Cap.7-Parte II



Para calcular o valor de ganho necessário,utilizar a condição do módulo:

- j 8

j 8

-4eℜ

mℑ

--15

M 1

M 4 M 2=M 3

-4+j8

.136

|4||||15|

1||

1.|15||4|

0)()(1

.1

.2.3.4

84|

2

84|2

84|

==⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=⇒

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⇒

=+

+−=

+−=

+−=

MMMMK

sssK

sssK

sGsK

js

js

js

14/Cap.7-Parte II



alão unitário 5441362153

544136...)(2)(

)()()(

+++

+==

+++

+=

sss

s

zsKsps

zsKsRsY

Sobreelevação ≈ 45 % !! >> 20% desejada

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

z = 4p = 15K = 136

Resposta ao escalão unitário

15/Cap.7-Parte II



Root locus: f. t malha aberta: )15(

)4(2 +

+

ss

sK

Mapa polos-zeros da malha fechada para K = 136:

zeros: s = - 4 polos: s1,2 ≈ - 4 ± j 8 s3 ≈ - 7

-25 -20 -15 -10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

z = 4 p = 15 K = 136

pólos em cadeia fechada

! Efeitos de pólos e zeros adicionais (além dos

projectados s1,2 = -4 ± j 8 ) !

! Polos projectados não são dominantes !

16/Cap.7-Parte IIINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Controlo – 2007/2008

Considerações adicionais

Para diminuir a Sobreelevação S“fechar” mais os ramos principais do root-locus

• deslocar o pólo do controlador para a esquerda e/ou • deslocar o zero do controlador para a direita

Variação consistente do ganho Pólos da malha fechada deslocam-se sobre o root-locus

TENTATIVAS z=3 p=25 K=250

Resposta ao escalão unitário

75025025250

)()()(

)()(

232 +++=

++++

=sss

szsKsps

zsKsRsY

Sobreelevação ≈25% Tempo de estabelecimento (5%) ≈ 0,75s


Considerações adicionais

TENTATIVAS z=3 p=25 K=250

Root-Locus

)25(:..

++

sabertamalhatf 2s

3)(sK

Mapa pólos-zeros da malha fechada para K=250

zeros: s=-3 pólos: s1,2≈-10±j7, s3 ≈-5

Pergunta: haverá, com este controlador, um conjunto de valoresde parâmetros mais conveniente? (tente …)

Se o resultadonão satisfaz

Ensaiar outro controlador (com diferente estrutura)

Compromisso entre desempenho, complexidade, robustez, …

18/Cap.7-Parte II



Dimensionamento do controladorpor via puramente algébrica

Este procedimento, aplicável a casos simples, não dispensa a etapa posterior de ajuste de parâmetros, guiada pelo root-locus!

01.)()4(1

2=

++

+sps

sK 04.. 23 =+++ KsKsps

KsKsps 4.. 23 +++

[ ][ ] xxsxssxsjsjs 80)880()8(...)()84()84( 23 +++++==++−−−−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+

=+

KxKx

px

480880

8

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

66,1466,6

33,133

pxK

Equação característica:

Polinómio característico como função dos parâmetros do controlador:

Polinómio característico desejado:

• o polinómio característico é do 3º grau• além dos pólos projectados de 2ª ordem existe um

terceiro pólo da malha fechada em s = -x )

...

por identificação dos polinómios característicos assim formados, obtém-se:


Projecto apoiado no Root-Locus - Síntese

Dados:• Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s))

• Especificações de regime permanente tipo

• Especificações dinâmicas pólos desejados da malha fechada

(pólos de 2ª ordem supostos dominantes)

Projecto:Estrutura do Controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)

Dimensionamento do Controlador C(s)

via algébricaapoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo

simulação e comparação com o desempenho desejado

ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)

simulação

Education

Cap7 parte ii-projecto apoiado em root-locus