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IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

CONTROLO2007/08

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3

IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

_

4

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

P

Kp = 30

ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-locus

Exemplo:

)2)(1(1)(

++=

sssGp

e(t)Ku(t) p=_

- ACÇÃO PROPORCIONAL (P)

pKsC =)(

é a lei de controlo mais simples

referência para os casos seguintes

0>PK

- Os diagramas root-locus representam o deslocamento dos polos da malha fechada quando se varia o ganho proporcional

- Os polos da malha fechada para os valores de parâmetros do PID indicados são representados por

- Ver adiante [slides 9-10] a resposta y(t) a escalão unitário na referência r, e a escalão unitário na perturbação d

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0

5

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

I

Kp = 30

- ACÇÃO INTEGRAL ( I )

ττ deKu(t)t

P ∫=0

)(

sKsC P=)(

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

introduz um polo na origem tipo aumenta

melhora o seguimento em regime permanente

mas ... (em geral) a estabilidade relativa piora

no Exemplo os ramos do root-locus inflectem para o SPCD para Kp > 6 o sistema é instável

associar à acção Proporcional

6

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PI

Kp = 30Ti = 2

- CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ ττ de

Te(t)Ku(t)

t

IP 0

)(1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

IP sT

KsC 11)( =s

TsK I

P

)1( +

TI : tempo integral (reset time)

polo na origem s=0 melhora o seguimento em regime permanente

zero em:

geralmente colocado próximo do polo em s=0 para não

perturbar a dinâmica devida aos restantes polos e zeros

ITs 1−=

- a substituição P PI melhorou seguimento em regime permanente, (tipo 0 tipo 1), sem alterar significativamente os ramos principais do root-locus

- no ramo junto da origem: i) polo adicional da malha fechada associado a transitório lento (τ elevado)ii) zero adicional da malha fechada em

ITs 1−=( ver resposta y(t) [slides 9-10] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

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7

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real AxisIm

ag A

xis

PD

Kp = 30Td = 0,2

- CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

dtde(t)Te(t)Ku(t) DP

[ ]DP sTKsC += 1)(

DT : tempo derivativo

DTs 1−=o zero do controlador “atrai” os ramos do root-locus afastando-os do SPCD

aumenta ξ (amortecimento) melhoria da estabilidade relativa

dttde )(a acção Derivativa introduz “antecipação” o sinal de controlo u(t) depende não só da

intensidade do erro e(t) (acção P), mas também da sua rapidez de variação (acção D)

mas ... a acção Derivativa amplifica as componentes de alta frequência dos sinais (variações bruscas, ruído, ...)r(t) ~ escalão ⇒ sinal de controlo u(t) de grande amplitude ⇒ esforços, regime não-linear

( ver resposta y(t) [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

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8

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

- CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∫ dt

de(t)TdeT

e(t)Ku(t) Dt

IP ττ

0)(1

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

reúne as acções anteriores

procura-se melhorar simultâneamente oregime permanente e a dinâmica

os zeros do controlador podem ser reais ou complexos

( ver resposta y(t) [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

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9

Resposta y(t) a um escalão unitário na referência r(t) (d = 0, n = 0)

+

C(s) Gp(s)+

_

++

r

+

yd

n

u

e

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Time (sec.)

Am

plitu

deStep Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5PI

P

PD

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

10

+

C(s) Gp(s)+

_

++

r

+

yd

n

u

e

Resposta y(t) a um escalão unitário na perturbação d(t) (r = 0, n = 0)

IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

Time (sec.)

Am

plitu

deStep Response

0 2 4 6 8 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045P

PI

PD

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

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Técnicas ANTI -WINDUP da acção Integral

Problema:

Saturação (não-linearidade) no actuador precedido de acção Integral (Ex: válvula, amplificador electrónico, ...)

erro e(t) é reduzido através da retroacção negativa

saída do controlador uc(t) cresce [pq. ui(t) = KI ∫ e(t) dt cresce: wind-up do integrador]enquanto e(t) não inverter a polaridade

enquanto uc(t) > umax (actuador em saturação: u=umax) a inversão na polaridade de e(t) ocorre lentamente

⇒ y(t) apresenta oscilações duráveis c/ elevada amplitude

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_

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Soluções:

i) desligar a acção Integral quando o actuador satura: “ if ⎜uc⎜ > umax then KI = 0 “

ii) não-linearidade “zona-morta” em retroacção negativa em torno da acção integral ( tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e conduzir uc(t)para o domínio linear)

iii) outras soluções ... (ver Bibliografia)

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_

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OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID

Configuração básica

Diferenciação aplicada ao sinal de erro:

r(t) ≈ função escalão ⇒ u(t)~ impulsivo (na prática, com elevada amplitude)

(notar que para do exemplo anterior a função de transferência

U(s)/R(s) vem não-própria, i.e., nº zeros > nº polos)

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)2)(1(1)(

++=

sssGp

_

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Configuração alternativa :

a Diferenciação é aplicada ao sinal de retroacção da saída (mais lento que e(t))

esta configuração ocorre na “retroacção de velocidade” com taquímetro ou encoder

Notar que ambas as configurações têm a mesma função de transferência da malha aberta

(loop gain) e a mesma f. t. Y(s)/D(s) (r=0, n=0) , mas diferentes U(s)/R(s) e Y(s)/R(s).

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_

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Objectivo: Limitação do ganho para as altas frequências

Diminui a amplitude do esforço de controlo u(t)Diminui sensibilidade ao ruído n(t)Mais realista (nº polos ≥ nº zeros)

I)Introdução de um polo ajustável no bloco derivativo

- Na realidade estão normalmente envolvidos mais polos (e/ou zeros) do que os incluídos nas funções de transferência dos controladores P-I-D ideais atrás

indicadas.

Contudo, desde que os polos e zeros das funções de transferência ideais sejam dominantes essa aproximação facilita a análise e o projecto.

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AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-DRegras de Ziegler-Nichols ( ajuste empírico in loco ).Baseiam-se num ensaio experimental Dois métodos:

Processoyu

y(t)

t

A

τ

R=A/τ

L=td1)()(

+=

−

τsAe

sUsY dst

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 1/RL

Proporcional-Integral Kp = 0,9/RLTI = L/0,3

Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 1,2/RLTI = 2 LTD = 0,5 L

Da curva experimental em malha aberta extraem-se: R e L

Parâmetros do PID sugeridos (resposta ao escalão da malha fechada com ξ ~ 0,21) :

I) Método da “curva de reacção”

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II) Método da “sensibilidade última” (ou do ganho último)

Tu

y(t)

+Processo

yKu_

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 0,5 Ku

Proporcional-Integral Kp = 0,45 KuTI = Tu/1,2

Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 0,6 KuTI = Tu /2TD = Tu /8

O ensaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional.

Variar ganho Kp até ao limiar da instabilidade quando se começam a observar oscilações de amplitude constante

registar: ganho último Kp = Kue correspondente período das oscilações Tu .

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I - Aplicação do método do ganho último de Ziegler-Nichols

EXEMPLO de projecto do PID

C(s) Gp(s)yr +

_)12)(2)(1(1)(

+++=

ssssGp

- pelo critério de Routh-Hurwitz: estável sse -24 < K < 546

Donde: Ku = 546 polos da malha fechada: s1 = -15 s2,3 = ± j 6,16

Tu = 2π/6,16 = 1,02 seg

Valores de parâmetros do PID aconselhados (Tabela):Kp = 0,6 Ku = 328 TI = Tu /2 = 0,51 TD = Tu /8 = 0,128

PID com dois zeros complexos conjugados em: s1,2 = -3,90 ± j 0,25.

sjsjssCPID

)25,090,3)(25,090,3(42)( −+++=

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-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Root-locus do sistema com o controlador PID calculado – notar os polos da malha fechada

Resposta ao escalão unitário

)12)(2)(1()25,090,3)(25,090,3(42)()(

+++−+++

=ssss

jsjssGpsC

se o resultado não for aceitável variar parâmetros em torno dos valores aconselhados

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643352801564332842

)()(

234

2

++++

++=

ssssss

sRsY

20

II - Projecto do controlador PID apoiado no root-locus

C(s) Gp(s)yr +

_)12)(2)(1(1)(

+++=

ssssGp

ESPECIFICAÇÕES da resposta ao escalão unitário:Sobreelevação = 20%

tempo de estabelecimento (5%) = 1 seg.erro em regime permanente nulo

Pedido: Dimensionar um controlador PID

Especificações expressões simples para sistemas de 2ª ordem sem zeros Polos desejados (supostos dominantes): - 3 ± j 6

Vamos realizar o projecto em duas etapas:i) - dimensionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando satisfazer as

especificações dinâmicas;ii) - introdução da componente Proporcional-Integral para satisfazer a especificação

de regime permanente

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i) - Componente Proporcional-Derivativa

para satisfazer as especificações dinâmicas: )()( asKsCPD +=

Condição de argumento:

α1 = 61,6 º a = 6,2

Condição de módulo: ..................... K = 60

Resultado:

º180)12(4321 +±=−−− kαααα

α1

- j 6

j 6

- 3

α4α2

α4

α4

- 2 - 1- 12 - a

α3

em simulação : Sobreelevação ≈ 30% > 20% (especificação) !(os polos projectados não se revelam dominantes )

ajuste tentativo de parâmetros em simulação, apoiado no root-locus

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)2,6.(60)( +≈ ssCPD

22

)12)(2)(1()5(60

)12)(2)(1()2,6(60)()(

++++

→+++

+=

ssss

sssssGsC p

3249815)5(60

3969815)2,6(60

)()(

2323 +++

+→

+++

+=

ssss

ssss

sRsY

)5.(60)( += ssCPD

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ajuste tentativo de parâmetros em simulaçãodeslocar o zero do controlador para “fechar” os

ramos do root-locus aumentar ξ ⇒ S% ↓

zero = -5simulação: S% ≈ 20 % , ts(5%) ≈ 1 seg

23

i) -

ii) - Controlador Proporcional-Integral-DerivativoPara anular o erro em regime permanente ao escalão acção PI

sbssC

sbsasKsC PDPID

)().())(()( +=

++=

O zero s = - b é colocado na vizinhança do polo s = 0 para que o root-locusanterior resultante da utilização do PD não seja significativamente perturbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD será conservada)

sssCPI

5,0)( +=

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

)12)(2)(1()5,0)(5(60)()(

+++++

=ssss

sssGsC p

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Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PID

PD

1503549815)5,0)(5(60

)()(

234 ++++

++=

ssssss

sRsY zeros: z1 = - 0,5 ; z2 = - 5

polos: p1,2 = -3,27± j 5,31; p3 = - 7,98; p4= - 0,48

ssssCPID

)5,0)(5(60)( ++=

Na formulação clássica do PID:

aqueles valores de parâmetros correspondem a: Kp = 330, TD = 0,182 , TI =2,20

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

simulação: S% ≈ 20 % , ts(5%) ≈ 1 seg satisfaz !

C(s) Gp(s)yr +

_