Capitolo 4 titoli obbligazionari

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

Finanza Computazionale

La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli Obbligazionari



Il Principio di Arbitraggio

Valutazione Titoli a Tasso Fisso

Curve per Scadenza Spot

Curve per Scadenza a Termine

Valutazione Titoli a Tasso Variabile

Duration e Convexity

Ratei, Corso Secco e Tel-Quel


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena

comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.

Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo.

Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di

arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis).

Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:

Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di

rischio.

E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di

arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter

ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;

Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Una conseguenza importante del principio di

assenza di arbitraggio è rappresentata dal seguente risultato

Due portafogli contententi qualsivoglia attività finanziarie tali da avere lo stesso valore ad un istante di tempo futuro T devono avere lo stesso valore anche oggi.


Il Principio di Assenza di Arbitraggio Consideriamo infatti due portafogli A e B tali che A(T) = B(T); Supponiamo che il valore all’istante iniziale t di A sia minore di

quello di B cioè che sia A(t) < B(t); All’istante t prendiamo a prestito il portafoglio B e lo vendiamo sul

mercato incassando il valore B(t); con il ricavato compriamo il portafoglio A, poiché A(t) < B(t) ci

rimangono B(t) – A(t) unità di valore; Al tempo T vendiamo il portafoglio A e con il ricavato compriamo il

portafoglio B con il quale chiudiamo la posizione di prestito (posizione corta). Poiche a T il valore dei due portafogli è uguale quest’ultima operazione non comporta esborsi di denaro;

Il risultato finale della nostra strategia è di averci garantito un profitto sicuro pari a B(t) – A(t) e questo partendo da un investimento nullo: abbiamo realizzato un arbitraggio!

Alcune ipotesi fondamentali :

1. Non esistono costi di transazione

2. È possibile effettuare vendite allo scoperto (ossia prendendo a prestito dei titoli)











Rendimento a Scadenza Se definiamo il valore al tempo t di uno ZC come P(t,T) abbiamo di fatto

un’operazione finanziaria nella quale l’investimento di un capitale di P(t,T) euro al tempo t ci dà diritto ad ottenere 1 euro (per semplicità!) al tempo T.

Quindi di fatto P(t,T) non è altro che la funzione di sconto per un investimento che parta a t e termini a T;

Allora se indichiamo con i(t,T) il tasso di interesse sullo stesso periodo di investimento espresso su base annua, la legge di capitalizzazione composta discreta ci permette di scrivere

Se il tempo è misurato in anni, il tasso d’interesse su base annua che otteniamo su questa operazione è

tTTtiTtP

)),(1(

1),( tTTti

TtP

)),(1(

1),(

1,

1,

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tT

TtPTti

1

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1,

/1

tT

TtPTti


Rendimento a Scadenza Consideriamo la legge di capitalizzazione composta continua

)(

)(ln

)(

1

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)(

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)(

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TV

tV

tTtV

TV

tTr

tV

TVtTr

tV

TVe

etVTV

tTr

tTr


Rendimento a Scadenza Possiamo anche utilizzare una rappresentazione alternativa

del guadagno ottenuto sull’operazione, facendo riferimento al concetto di tasso di rendimento a scadenza, definito come

che corrisponde al concetto di intensità di interesse discusso nel capitolo precedente (ricordiamo che non è altro che il tasso nominale annuo espresso in capitalizzazione continua).

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,ln

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1ln

1

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TtitT

TtP

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TtitT

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TtP

TTP

tTTth

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TtP

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TtP

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Titoli zero-coupon-bond

Definiamo P(t,tk,xk) il valore in t di un titolo zero-coupon bond (ZCB). Si tratta di un titolo che non paga cedole intermedie e che dà diritto a ricevere un quantità xk in tk

Definiamo v(t,tk) la funzione di sconto, cioè il il valore in t di un’unità di valuta disponibile in tk

Assumendo infinita divisibilità dei titoli otteniamo che l’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede

P(t,tk,xk) = xk v(t,tk)


Valutazione di titoli a cedola fissa(coupon bond)

Si definisca P(t,T;c) il prezzo di un titolo che paga cedola c su uno scadenzario {t1, t2, …, tm=T}, con rimborso del capitale in un’unica soluzione alla scadenza T.

I flussi di cassa di questo titolo possono essere replicati da un paniere di ZCB per valore nominale pari a c in corrispondenza delle scadenze ti per i = 1, 2, …, m – 1 e uno ZCB per un valore nominale pari a 1 – c in corrispondenza della scadenza T.

L’operazione di arbitraggio che consiste nell’acquisto/vendita delle cedole e del valore del capitale e vendita/acquisto del coupon bond è nota come coupon stripping.

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m

m

kk ttvttcvcTtP

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m

m

kk ttvttcvcTtP











Curva dei rendimenti spot

SCADENZE

TASSI D’INTERESSE


Prezzi dei titoli e fattori di sconto Sulla base dei prezzi dei titoli zero-coupon bond e dei titoli

con tasso fisso osservati sul mercato è possibile ricavare la funzione di sconto che stabilisce una relazione di equivalenza finanziaria tra un importo unitario disponibile a una data futura tk ed una somma v(t,tk) disponibile in t.

La funzione di sconto è ricavata sfruttando l’assunzione di esclusione di arbitraggio discussa negli esempi precedenti.

Una fra le tecniche più utilizzate per ricavare la funzione di sconto è definita bootstrapping.


Procedura di bootstrapping: l’idea Supponiamo che nell’istante t il mercato sia strutturato su m periodi

con scadenze tk = t + k, k=1....m, e su queste scadenze siano osservati i prezzi di zero-coupon-bond P(t,tk) o titoli a tasso fisso P(t,tk;ck).

La procedura di bootstrapping consente di ricavare i fattori di sconto in funzione di quelli precedenti

Consideriamo di nuovo la formula che esprime il prezzo di un coupon bond

)1)(,(),(

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1

1

1

11

cttvttcv

ttvttcvttcvttvttcvcTtP

m

m

kk

mm

m

kkm

m

kk

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1

1

1

11

cttvttcv

ttvttcvttcvttvttcvcTtP

m

m

kk

mm

m

kkm

m

kk

Separiamo dalla sommatoria l’ultimo termine (notate che ora la sommatoria arriva solo fino a m - 1

Mettiamo in evidenza la funzione di sconto fra t e t(m)


Procedura di bootstrapping: l’idea La procedura di bootstrapping consente di ricavare i fattori di

sconto in funzione di quelli precedenti; La funzione di sconto corrispondente all’ultima scadenza si

ricava banalmente dalla precedente equazione...

Con una procedura iterativa si possono poi ricavare tutte le altre funzioni di sconto.

k

k

iikkk

k c

ttvccttPttv

1

,;,,

1

1

k

k

iikkk

k c

ttvccttPttv

1

,;,,

1

1


La struttura per scadenza dei tassi di interesse

La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto.

Può essere rappresentata in capitalizzazione composta discreta

1),(),(

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1),(

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ttkk

ttk

k

k

k

ttvtti

ttittv

1),(),(

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1),(

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ttk

k

k

k

ttvtti

ttittv




Può essere rappresentata in capitalizzazione composta continua

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),(

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tt

ttvtti

ttttittv

k

kk

kkk

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tt

ttvtti

ttttittv

k

kk

kkk




Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice

1),(

11),(

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1),(

kkk

kkk

ttvtttti

ttittttv

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11),(

),(1

1),(

kkk

kkk

ttvtttti

ttittttv


Interpolazione lineare ed esponenziale Consideriamo una generica funzione y = y(x) e supponiamo di non conoscerne la forma

analitica ma di disporre soltanto di una tabella di valori di coppie x-y. Da un punto di vista del tutto generale l’interpolazione è un processo tramite il quale è

possibile determinare il valore della variabile y corrispondente ad un determinato valore di x quando x cade fra due valori noti xi e xi+1.

L’obiettivo è determinare il valore interpolato di y con la migliore precisione possibile. Il sistema più semplice consiste nell’unire con una linea retta i due punti che

comprendono il punto di interesse, questa procedura è chiamata interpolazione lineare e il valore di y interpolato si ottiene semplicemente come il valore delle ordinate corrispondente al punto x sulla retta che congiunge xi e xi+1:

dove yi = y(xi) e yi+1=y(xi+1) e

1

11

1

1

1

1

)1(

)(

ii

ii

ii

ii

iii

ii

iii

yy

xx

xxy

xx

xxyxx

xx

yyyy

ii

i

xx

xx

1

1


Interpolazione lineare ed esponenziale Possiamo pensare di scrivere una procedura che permetta, in modo

del tutto generale, di ottenere una serie di valori interpolati della y prendendo come input: a) un insieme di valori di x ; b) una tabella che contenga i valori tabulati noti della funzione y = y(x).

Per questo definiamo un tipo dati al quale daremo il nome TabellaFunzione costituito da un vettore di ascisse, uno di ordinate ed un intero che indica il numero di punti presenti nella tabella

Type TabellaFunzione

NrPunti As Integer

x() As Double

y() As Double

End Type

I vettori sono definiti come array dinamici per cui dovremo aver cura di dimensionarli opportunamente prima di utilizzarli.


Interpolazione lineare ed esponenzialeSub InterpolazioneLineare(Tabella As TabellaFunzione, _

x_inter() As Double, _

y_inter() As Double)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

For i = 1 To UBound(x_inter)

If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then

y_inter(i) = Tabella.y(1)

ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then

y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti)

Else

For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1

If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _

x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then

y_inter(i) = Tabella.y(j) + _

(Tabella.y(j + 1) - Tabella.y(j)) * _

(x_inter(i) - Tabella.x(j)) / _

(Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j))

End If

Next

End If

Next

End Sub

Una volta alimentata la tabella con i valori delle ascisse e delle ordinate, possiamo passare quest’ultima come parametro ad una procedura assieme ad un vettore di ascisse nelle quali desideriamo interpolare la funzione.

Il vettore x_inter() conterrà questi valori.

In output la procedura valorizzerà il vettore y_inter() con i risultati del processo di interpolazione lineare.


Interpolazione lineare ed esponenziale Si noti che se il valore dell’ascissa di interpolazione è minore

del valore minimo delle ascisse presenti nella tabella di input, il valore interpolato di y viene posto uguale al primo valore disponibile della funzione, cioè al primo elemento della tabella.

In modo del tutto analogo i valori delle ascisse superiori al massimo presente in tabella producono come risultato un valore di y uguale all’ultimo valore della tabella.

Naturalmente questa scelta (proposta per motivi di semplicità) può non essere ottimale per ogni problema.


Interpolazione lineare ed esponenziale Le procedure di interpolazione lineare possono dare

spesso luogo a risultati insoddisfacenti specialmente quando i punti con i quali interpolare hanno un andamento marcatamente non lineare.

E’ il caso ad esempio della funzione di sconto che ha un andamento di tipo esponenziale...


Interpolazione lineare ed esponenziale Come si vede chiaramente

dalla figura, in casi come questo l’applicazione di una procedura di interpolazione di tipo lineare può risultare eccessivamente imprecisa per cui conviene ricorrere ad altre tecniche di interpolazione.


Interpolazione lineare ed esponenziale Fra queste sicuramente una delle più importanti in campo matematico-finanziario è rappresentata

dall’interpolazione esponenziale che, come suggerisce il nome stesso, si ottiene ipotizzando che i punti noti siano generati da una funzione di tipo esponenziale.

Supponiamo di disporre, al tempo t = 0, del valore della funzione di sconto per due scadenze diverse t1 e t2 con tassi di rendimento a scadenza rispettivamente pari a h1 e h2

Indichiamo con h il tasso interpolato linearmente alla scadenza compresa fra t1 e t2

essendo

Sia F la funzione di sconto alla scadenza

Possiamo scrivere

da cui con semplici passaggi ricaviamo

111

theF 222

theF

21 )1( hhh

12

2

tt

t

heF

2

2

1

121

ln)1(lnexp)1(exp

t

F

t

Ft hht F

21 /)1(2

/1

tttt FFF


Sub InterpolazioneEsponenziale(Tabella As TabellaFunzione, _

x_inter() As Double, _

y_inter() As Double)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim Lambda As Double

Dim Theta1 As Double

Dim Theta2 As Double

For i = 1 To UBound(x_inter)

If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then

y_inter(i) = Tabella.y(1)

ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then

y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti)

Else

For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1

If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _

x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then

Lambda = (Tabella.x(j + 1) - x_inter(i)) _

/ (Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j))

Theta1 = x_inter(i) / Tabella.x(j)

Theta2 = x_inter(i) / Tabella.x(j + 1)

y_inter(i) = (Tabella.y(j)^(Theta1 * Lambda)) _

*(Tabella.y(j + 1)^(Theta2 * (1 - Lambda)))

End If

Next

End If

Next

End Sub

Interpolazione lineare ed esponenziale

12

2

tt

t


Esempio ProgrammazioneVBA


1 - Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto

2 – Interpolazione lineare ed esponenziale

1 - Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto

2 – Interpolazione lineare ed esponenziale











Operazioni a termine

Un’operazione a termine è uno scambio tra una somma

v(t,,T) determinata al tempo t e pagata al tempo ≥ t in

cambio di un’unità di valuta disponibile al tempo T.

L’operazione a pronti è un caso particolare in cui = t, e

ovviamente v(t,,T) = v(t,T).

v(t,,T) è definito come il prezzo a termine (forward price)

stabilito in t di un investimento che inizia in ≥ t e

restituisce un euro in T.


Operazioni a termine In un’operazione a termine entrano in gioco

quindi tre tempi...

Data Definizione

operazione, tData Inizio Investimento,

Data Termine

operazione, T

Periodo Investimento = (T - )


Prezzi a pronti e a termine Consideriamo la seguente strategia

1. Acquisto a pronti di una quantità nominale di v(t,,T) unità di valuta disponibile in ;

2. acquisto a termine, per regolamento in , di un’unità di valuta disponibile in T;

3. Indebitamento a pronti di per la restituzione di un’unità di valuta in T.

t T

1 -v(t,)v(t,,T) v(t,,T)

2 - v(t,,T) 1

3 v(t,T) -1

Tot v(t,T) -v(t,)v(t,,T) 0 0


Prezzi a pronti e a termine E’ facile osservare che questa strategia fornisce un pay-off

nullo sia in in che in T. Se il valore della strategia al tempo t è diverso da zero,

esiste una possibilità di arbitraggio per una delle due controparti.

Quindi la strategia deve valere zero anche all’istante iniziale t...

),,(),(),(

0),,(),(),(

TtvtvTtv

TtvtvTtv


Prezzi a pronti e a termine I prezzi a pronti e a termine sono quindi legati da una relazione che

esclude la possibilità di arbitraggio sopra descritta

L’informazione sulla funzione di sconto a termine è quindi

interamente contenuta nella funzione di sconto a pronti

Questa relazione induce un nesso funzionale tra curva dei tassi a

pronti e curva a termine

),(

),(),,(),,(),(),(

tv

TtvTtvTtvtvTtv


La struttura per scadenza dei tassi a termine

La struttura per scadenza dei tassi a termine è un modo di rappresentare la funzione di sconto a termine

Può essere rappresentata in capitalizzazione composta discreta

1

1

T

T

Ttv

tv

TtvTtf/1

/1

),(

),(

),,(),,(

1

1

T

T

Ttv

tv

TtvTtf/1

/1

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Può essere rappresentata in capitalizzazione composta continua

T

ttitTTtiT

TtvtvT

TtvTtf

))(,())(,(

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T

ttitTTtiT

TtvtvT

TtvTtf

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Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice

1),(

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1),,(

11),,(

Ttv

tv

T

TtvTTtf

1),(

),(1

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11),,(

Ttv

tv

T

TtvTTtf




1 - Dalla curva spot alla curva a termine2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato

1 - Dalla curva spot alla curva a termine2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato





Curve per Scadenza Spot Valutazione


Titoli a Tasso Variabile




Cedole indicizzate

Una cedola indicizzata è determinata sulla base di un indice, tipicamente un tasso d’interesse, osservato a una data , definita data di reset.

Il caso tipico (noto come natural time lag) è quello di una cedola con periodo di godimento da a T data di reset e data di pagamento T tasso di riferimento per la determinazione della cedola

i( ,T) (T – ) = 1/v ( ,T) – 1

Si noti che tipicamente il tasso indicizzato è a capitalizzazione semplice, per la convenzione di mercato che utilizza tale meccanismo su tassi con scadenza inferiore all’anno.


Cedole Indicizzate

Data Reset (nella nostra approssimazione coincide con

la data inizio maturazione)

Data Scadenza Cedola T

Periodo di Maturazione (T - )

),( Ti ))(,(),( TTiTC ))(,(),( TTiTC

Si oss

erva su

l merca

to...Il tasso spot...


Il portafoglio di replica Qual è il portafoglio di replica di una cedola indicizzata, riferita a

un nominale pari a un’unità di valuta? Si noti che al tempo il valore della cedola, determinata in e

pagata in T, sarà dato da

v ( ,T) i( ,T) (T – ) = 1 – v ( ,T)

Il portafoglio di replica che è naturale scegliere è quindi Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta

disponibile in Una posizione corta (finanziamento) per un’unità di valuta

disponibile in T

Valore della Cedola pagata in T

Funzione di Sconto che attualizza il valore della cedola al tempo

),(1))(,(),(

1),(

1))(,(

),(

1))(,(1

))(,(1

1),(

TvTTiTv

TvTTi

TvTTi

TTiTv

Importante: si noti l’utilizzo della legge di capitalizzazione semplice


Flussi di cassa di una cedola indicizzata Una cedola indicizzata corrisponde quindi a...

una posizione di investimento a breve termine finanziata con... indebitamento a lungo termine, per un ammontare pari al valore

nominale C su cui è calcolata la cedola. Una cedola indicizzata nasconde quindi una posizione di debito

(leverage)

t T

C

C

C = 1 – v ( ,T)

1

1


Flussi di cassa di una cedola indicizzata Se valutiamo la cedola al tempo t dobbiamo attualizzare entrambi i flussi; Per questo abbiamo bisogno del valore della funzione di sconto...

da t a : v(t, ) e... da t a T : v(t,T)

t T

C

C

1

1

),( tv

),( Ttv

Valore attuale flusso attivo

Valore attuale flusso passivo

Valore attuale cedola ),(),( Ttvtv


Prezzo di non arbitraggio: cedole indicizzate Quindi il portafoglio di replica consente di valutare la cedola al tempo t come:

cedola indicizzata = v(t,) – v(t,T)

A abbiamo che il valore della posizione risulta infatti:

1 – v(,T) = v(,T) [1/ v(,T) – 1]

= v(,T) i(,T)(T – )

= fattore di sconto X cedola indicizzata

Al tempo t il valore della cedola può essere scritto

v(t,) – v(t,T) = v(t,T)[v(t,) / v(t,T) – 1]

= v(t,T) f(t,,T)(T – )

= fattore di sconto X tasso forward


Flussi di cedole indicizzate Consideriamo uno scadenzario

t,t1,t2,…tm

dove ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole, ognuna

delle quali è pagata in ti+1.

t è la data di valutazione del flusso di cedole. E’ agevole verificare che il valore del flusso di cedole corrisponde a

Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta alla data di reset della prima cedola (t1)

Una posizione corta (finanziamento) per un’unita di valuta alla data di pagamento dell’ultima cedola (tm)


Floater Un titolo indicizzato (floater) è caratterizzato da uno scadenzario t,t1,t2,…tm

In t1 viene pagata la cedola corrente c (valore cv(t,t1))

ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole indicizzate pagate in ti+1 (valore

v(t,t1) – v(t,tm))

Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione in tm.

Valore delle cedole: cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)

Valore del capitale: v(t,tm)

Valore complessivo del titolo = Valore delle cedole + Valore del capitale

= [cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)] + v(t,tm) = (1 + c) v(t,t1)

Un titolo indicizzato è finanziariamente equivalente a un titolo a breve, con

scadenza in corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata

e cedola pari alla cedola corrente


Debito indicizzato = Debito a breve Flussi di Centrobanca TV

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

mag-00

giu-00 lug-00 ago-00 set-00 ott-00 nov-00 dic-00 gen-01 feb-01 mar-01 apr-01 mag-01

giu-01 lug-01 ago-01

Capitale

Passivo

Attivo


Reverse floater Un titolo a indicizzazione inversa, o reverse floater, è caratterizzato

da uno scadenzario

t,t1,t2,…tj, …tm

Fino alla scadenza tj vengono pagate cedole fisse (tipicamente molto alte)

A partire dalla data di reset tj le cedole vengono determinate sulla base della formula

rMax – i(ti,ti+1)

dove è un parametro di leverage. Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione alla scadenza


Reverse floater Un titolo reverse floater può essere scomposto in

Un flusso attivo di cedole fisse pagate alle scadenze

t1,t2,…tj Un flusso attivo di cedole fisse pari a

(ti+1 – ti)rMax , i = j + 1, …m – 1.

Un flusso passivo di cedole indicizzate su un capitale pari a volte il valore nominale

Un titolo zero-coupon-bond che paga il nominale alla scadenza

Un reverse floater corrisponde quindi a un investimento a lungo termine finanziato con un’esposizione a breve termine, per un ammontare multiplo del valore nominale

La posizione di debito a breve e investimento a lunga rende il prodotto estremamente sensibile a aumenti i) del livello e ii) dell’inclinazione della curva dei tassi


Titoli indicizzati: sommario Un flusso di cedole indicizzate può essere

rappresentato in due modi matematicamente e finanziariamente equivalenti Posizioni di credito e debito su scadenze diverse Sostituendo i tassi forward in luogo dei valori delle

cedole future Nell’analisi di sensitività non deve essere mai

dimenticato che variazioni delle curva a pronti dei tassi hanno due effetti sulla valutazione delle cedole indicizzate: Aumento o diminuzione del loro valore attuale Aumento o diminuzione dei tassi forward, e quindi

dei livelli delle cedole


Titoli indicizzati: sommario Nei titoli a indicizzazione diretta i due effetti si muovono in senso

opposto, attenuando gli effetti di variazioni dei tassi sul valore del titolo. In particolare, l’effetto di un aumento dei tassi sul valore delle cedole

è positivo e si contrappone a quello sul valore del rimborso del capitale a scadenza. L’effetto netto è quello di un titolo finanziariamente equivalente a un titolo a breve termine che scade in corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata e paga la cedola corrente

Nei titoli a indicizzazione inversa i due effetti si muovono nello stesso senso. Rialzi dei tassi comportano una diminuzione del valore atteso delle

cedole, oltre che del loro valore attuale, un effetto che si somma a quello sul valore attuale del capitale.











Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari Ogni curva dei rendimenti rappresenta un particolare tipo di

mercato obbligazionario e la variazione della curva

distribuisce profitti e perdite tra gli operatori dei desk fixed

income.

Modelli economici e tecniche statistiche sono stati sviluppati

per analizzare il comportamento della curva dei tassi.

I risultati di analisi della dinamica della curva dei tassi e le

previsioni sulle sue evoluzioni future sono utilizzati per

prendere posizioni sul mercato (riding the yield curve) o per

scegliere politiche di copertura.


Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari L’analisi tradizionale degli effetti di spostamenti della curva è

tipicamente limitata a una particolare tipologia di spostamento, il cosiddetto spostamento parallelo (parallel shift): si assume che i tassi si muovono dello stesso ammontare su tutte le scadenze della curva dei rendimenti

In realtà questo tipo di focus non è molto limitativo. Infatti, un’evidenza empirica ricavata su gran parte delle curve dei rendimenti consiste nell’identificazione di tre tipologie fondamentali di spostamento: i) spostamenti paralleli (parallel shift); ii) mutamenti di inclinazione (twist) e iii) variazioni di segno opposto su scadenze intermedie e scadenze

estreme (hump). Inoltre, il primo tipo di spostamento spiega generalmente ben più

del 90% della varianza dei rendimenti.


Richiami di Matematica

Lo sviluppo in Serie di Taylor Ricordiamo che per una funzione continua e derivabile con derivate

continue, si può definire il seguente sviluppo in serie che può essere impiegato per utili approssimazioni

Per es. lo sviluppo al secondo ordine in un intorno di x0 ci da

k

xkk

i

xxdx

xfd

kxf )(

)(

!

1)( 0

00

200000

202

2

00

))((2

1))(()(

)()(

2

1)(

)()()(

00

xxxfxxxfxf

xxdx

xfdxx

dx

xdfxfxf

xx



Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord) Possiamo utilizzare le precedenti formule per esprimere

direttamente la variazione della funzione in un intorno del punto x0 ...

... o la variazione percentuale

200000

200000

))((2

1))(()()()(

))((2

1))(()()(

xxxfxxxfxfxfxf

xxxfxxxfxfxf

20

00

00 )()(

)(

2

1)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(xx

xf

xfxx

xf

xf

xf

xfxf

xf

xf



Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord) Nel seguito utilizzeremo diffusamente le formule relative al primo

ordine...

... e al secondo

200

200

)(

)(

2

1

)(

)(

)(

)(

)(2

1)()(

xxf

xfx

xf

xf

xf

xf

xxfxxfxf

xxf

xf

xf

xfxxfxf

)(

)(

)(

)(,)()( 0

0 1

2


Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli

zero-coupon (capitalizzazione composta continua) Consideriamo un titolo zero-coupon-bond con scadenza al tempo T e

con valore

P(t,T) = v(t,T)

Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il tasso sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità infinitesima ? Se il tasso è calcolato a capitalizzazione composta continua la risposta è ottenuta calcolando la derivata

tTTtdi

Ttdi

TtdP

TtPTtP

TtdP

tTTtiTtv

),(,

,

,

1

),(

),(

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1

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,

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1

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tTTtPtTTtPTtP

TtdP

TtPtTtTTtitTtTTtiTtdi

d

Ttdi

TtdP

TtdiTtdi

TtdP

TtPTtP

TtdP

tTTtiTtv

calcolo del dettaglio


Movimenti della curva dei tassi e valore dei

titoli a cedola fissa

cttP

ttvttttcvtt

cttP

cttP

tti

ttv

tti

ttvccttP

m

mm

m

iii

m

m

m

mm

i i

im

;,

,,

;,

;,

,

,

,

,;,

1

1

Consideriamo il prezzo di un coupon bond che paga cedola fissa c e scade al tempo tm.

Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità infinitesima ?

Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua la risposta è ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al primo ordine

m

imim ttvttvccttP

1

,,;,


Il coefficiente che moltiplica la variazione arbitraria di tasso prende il nome di DURATION;

La DURATION rappresenta una media ponderata delle scadenze dei flussi offerti da un titolo.

Il peso di ciascuna scadenza all’interno della media è dato dal rapporto fra il valore attuale del flusso corrispondente a tale scadenza e il prezzo del titolo.

m

im

m

mi

m

i

m

immii

m

ttcttP

ttvtt

cttP

ttcv

ttttvcttttvcttP

D

1

1

;,

,

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,

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1

m

im

m

mi

m

i

m

immii

m

ttcttP

ttvtt

cttP

ttcv

ttttvcttttvcttP

D

1

1

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,

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,

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1

Duration


Duration e sentitività dei titoli a movimenti della curva dei tassi

La duration è rilevante perché misura la sensitività di titoli a spostamenti paralleli, infinitesimi, della curva dei tassi, calcolati in capitalizzazione continua

iD

cttP

cttP

m

m

;,

;, iD

cttP

cttP

m

m

;,

;,

i


Duration di portafogli

La duration è un operatore lineare, quindi la duration di un portafoglio è uguale alla media ponderata delle duration.

Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari P i, ciascuno dei quali dotato di duration Di ( i = 1,2,...k).

Assumiamo una variazione di un ammontare infinitesimo su tutte le scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto percentuale di questo shock sul valore del portafoglio?

iW

PDiD

W

W ik

iiW

1

iW

PDiD

W

W ik

iiW

1


Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli zero-coupon (capitalizzazione discreta) Consideriamo un titolo zero-coupon-bond con scadenza al

tempo T e con valoreP(t,T) = v(t,T)

Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il tasso sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità infinitesima ? Se il tasso è calcolato a capitalizzazione composta discreta la risposta è ottenuta calcolando la derivata

Tti

tTTtdi

Ttdi

TtdP

TtPTtP

TtP

TtiTtv tT

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,

,

,

1

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),(

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Tti

tTTtP

Tti

tT

TtPTtP

TtP

TtPTti

tT

Tti

TtitTTtitT

Ttdi

TtdP

TtdiTtdi

TtdP

TtPTtP

TtP

TtiTtv

tTtT

tT

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1

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),(

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,1

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,

,

1

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,1,

1

calcolo del dettagli


Una definizione di DURATION che è utilizzata per rappresentare la sensitività di un titolo a movimenti infinitesimi del tasso d’interesse, calcolato a capitalizzazione composta discreta è quella di DURATION MODIFICATA (DM)

i

DDM

1 i

DDM

1

Nel caso del nostro zero-coupon-bond possiamo infatti scrivere

iDMi

i

tT

TtP

TtP

1,

, iDMi

i

tT

TtP

TtP

1,

,

Duration Modificata


Duration Modificata Per i titoli con cedola fissa, o in generale portafogli di titoli a

cedola fissa, la duration modificata consente di determinare la variazione percentuale del valore rispetto a variazioni infinitesime del tasso interno di rendimento. Infatti, definendo y il tasso interno di rendimento e un insieme di flussi Fk di un portafoglio W

…calcoliamo…

yWDMyWDy

yW

yFW

y

yyFy

yytFyy

WW

n

k

tk

n

k

n

k

tk

ttkk

k

kk

1

1)1(

1

1

)1(1

1)1(

1

1 1

1

n

k

ttk

kyFW1

)1(


Una rappresentazione più accurata Assumiamo che il tasso d’interesse, calcolato a

capitalizzazione continua, i(t,T) aumenti di una quantità finita . Di quanto diminuisce il prezzo P(t,T) di uno zero coupon bond?

Una risposta più accurata di quella fin qui trovata può essere ottenuta con un’espansione di Taylor arrestata al secondo ordine

22

22

2

2

1

,

,

,

,

,

1

2

1

,

,

,

1

,

,

tTtTTtP

TtP

Ttdi

TtPd

TtPTtdi

TtdP

TtPTtP

TtP


L’estensione a un titolo con cedola

2

2

1

2

1

22

2

12

2

1

;,

,,

2

1

;,

,,

;,

;,

,

,

,

,

2

1

,

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,

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cttP

ttvttttcvtt

cttP

ttvttttcvtt

cttP

cttP

tti

ttv

tti

ttvc

tti

ttv

tti

ttvccttP

m

mm

m

iii

m

mm

m

iii

m

m

m

mm

i i

i

m

mm

i i

im

Estendiamo l’analisi precedente a un coupon bond che paga cedola fissa c e scade al tempo tm.

Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità finita ?

Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua una risposta accurata è ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al secondo ordine

m

imim ttvttvccttP

1

,,;,


Come la duration rappresenta la media, ed cioè il momento primo, delle scadenze ponderata per il valore attuale dei flussi, è naturale definire il momento secondo in modo analogo.

Otteniamo così un indicatore di ordine superiore alla duration, denominato CONVEXITY e formalmente definito come

m

immii

m

ttvttttcvttcttP

C1

22 ,)(,)(;,

1

m

immii

m

ttvttttcvttcttP

C1

22 ,)(,)(;,

1

Osserviamo immediatamente che la CONVEXITY corrisponde al termine di secondo ordine nell’espansione di Taylor del prezzo del titolo rispetto a uno shock finito nella curva dei tassi.

Questo indicatore permette quindi il confronto e la valutazione fra titoli diversi che, a parità di DURATION, manifestano differenti variazioni di prezzo in presenza di uguali variazioni di tasso.

Convexity



La duration e la convexity consentono quindi di determinare in maniera accurata la sensitività di titoli a spostamenti paralleli, di dimensione finita, della curva dei tassi, calcolati in capitalizzazione continua

2

2

1

;,

;,iCiD

cttP

cttP

m

m

2

2

1

;,

;,iCiD

cttP

cttP

m

m


Duration e convexity di portafogli Come la duration, anche la convexity è un operatore lineare, e

la convexity di un portafoglio è uguale alla media ponderata delle convexity.

Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari P i, ciascuno dei quali dotato di duration Di e convexity Ci ( i = 1,2,...k).

Assumiamo una variazione di un ammontare finito su tutte le scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto percentuale di questo shock sul valore del portafoglio?

2

11

2

2

1

2

1i

W

PCi

W

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W

W ik

ii

ik

iiWW

2

11

2

2

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2

1i

W

PCi

W

PDiCiD

W

W ik

ii

ik

iiWW


Il caso della capitalizzazione composta discreta Consideriamo un titolo zero-coupon-bond con scadenza al tempo T

e con valoreP(t,T) = v(t,T)

Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il tasso sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità finita ?

Se il tasso è calcolato a capitalizzazione composta discreta la risposta è ottenuta calcolando la derivata

2

,1

1

2

1

,1,

,

,1,

Tti

tTtT

Tti

tT

TtP

TtP

TtiTtv tT


Come alla duration corrisponde una formula di duration modificata che tiene conto della capitalizzazione nel tempo discreto, così anche la convexity può essere aggiustata per tener conto del tempo discreto.

Anche in questo caso, l’utilizzo sarà quello di valutare in maniera più accurata l’effetto sul prezzo di una variazione finita del tasso interno di rendimento y.

In questo caso la CONVEXITY formalmente definita come

T

tttt

mmtt

ii

mmi y

tttt

y

ctttt

cttPC

1)1(

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1

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ctttt

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1)1(

)1(

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;,

1

Convexity


Duration e convexity

Duration e convexity possono essere viste come: Il momento primo e secondo delle scadenze di una serie di

flussi ponderati per il loro valore finanziario La derivata prima e seconda del valore di un insieme di

flussi rispetto a uno spostamento parallelo della curva dei rendimenti, calcolati in regime di capitalizzazione composta continua

In regime di capitalizzazione composta discreta duration e convexity descrivono la derivata prima e seconda della relazione tra tasso interno di rendimento di un flusso di poste finanziarie ed il loro valore attuale.











Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel” Poiché i titoli non vengono negoziati solo nei giorni di stacco cedole

diventa necessario stabilire la quota di interessi spettanti ai due contraenti (venditore e compratore) in relazione al periodo di detenzione del titolo stesso.

Nasce così il concetto di rateo che prende in considerazione tre componenti: il livello di cedola da ripartire pro-tempore; il numero di giorni del periodo sulla base del quale la cedola viene

ripartita; il numero di giorni intercorsi fra l’incasso dell’ultima cedola e il giorno

dell’operazione;


Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel” I prezzi comunemente quotati suoi mercati si riferiscono

al cosiddetto corso secco, che è il prezzo al quale è quotato il solo capitale di un titolo a reddito fisso escludendo cioè il rateo degli interessi maturati.

Il corso tel quel è invece il prezzo inclusivo degli interessi maturati dall’ultimo giorno di godimento al giorno di stipulazione del contratto.

In quest’ultimo caso il titolo è provvisto della cedola in maturazione.

Fra i due corsi vale quindi la semplice relazione:

RPP cstq


Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel” Per il calcolo del rateo occorre conoscere le convenzioni di calcolo relative

al mercato sul quale il titolo è trattato. Per quanto riguarda il mercato italiano le convenzioni attualmente in vigore

sono riportate nella tabella seguente, a titolo di riferimento vengono riportate anche le convenzioni utilizzate nel periodo precedente al 1 gennaio 1999 data a partire dalla quale molte modalità di calcolo sono state cambiate.

Dal 1 gennaio 1999 Titoli

Prima del 1 gennaio 1999 Titoli Esistenti Nuove Emissioni

BOT ACT/365 ACT/365 ACT/360 CTZ ACT/365 ACT/ACT ACT/ACT BTP 30/360 ACT/ACT ACT/ACT

Titoli di Stato

CCT 30/360 30/360 ACT/ACT Tasso variabile 30/360 30/360 ACT/ACT Emissioni

Corporate tasso fisso 30/360 ACT/ACT ACT/ACT

A partire dalla prima cedola dopo il 1 gennaio 1999


Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel” La formula per il calcolo del rateo è estremamente semplice

dove c è il valore della cedola semestrale; d1 è il numero di giorni che intercorrono fra la data valuta e l’inizio del

periodo di maturazione della cedola; d2 è il numero di giorni effettivo del periodo di godimento della cedola.

Il numero di giorni viene calcolato sul mercato italiano secondo la convenzione Actual/Actual considerando quindi il numero effettivo di giorni calcolato sulla base del calendario civile includendo eventualmente il 29 febbraio qualora questo sia compreso negli intervalli di tempo da calcolare.

2

1

d

dcR




Ratei, prezzi tel-quel, duration & convexityRatei, prezzi tel-quel, duration & convexity

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Capitolo 4 titoli obbligazionari