ConjuntosCapítulo 1

• Teoría de conjuntos• Conjunto• Conjunto vacío• Conjunto universal• Conjunto de

conjuntos• Conjunto potencia• Subconjuntos

propios• Conjuntos iguales• Desigualdad de

conjuntos

• Conjuntos finitos e infinitos

• Unión• Intersección• Conjuntos disjuntos• Diferencia entre

conjuntos• Complemento de un

conjunto• Conjunto producto• Diagrama de árbol• Diagramas de Venn -

Euler

Conceptos claves

• Cualquier colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre si un objeto pertenece o no al conjunto al cual pertenecemos

Conjunto

• Instrumento matemático útil para la sistematización de nuestra forma de pensar

• Permite la capacidad de análisis y comprensión de interrelaciones

Teoría de conjuntos

• Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas.

• Es posible determinar un conjunto por enumeración o descripción.

Determinación de un conjunto

• También llamado extensión• En este método los elementos que lo

integran se colocan dentro de llaves { } y separados por comas.

• Ejemplos:– A = { 3, 4, 5}– B = { Luis, Christian, Kirk}

Enumeración

• También llamado comprensión.• En esta forma se enuncia una propiedad o atributo

que caracterice a todos los elementos del conjunto.• Ejemplos:

– D = { los números menores que -2}– F = {los divisores de 21}

• Otra forma de describir es utilizando una variable genérica, por ejemplo x , como indicador de elementos y una frase o relación matemática.

• Se utiliza el símbolo “|” como “tal que” y también es encerrado entre llaves.

• Ejemplo: A = {x | x es una vocal}

Descripción

• Se dice que un elemento pertenece a un conjunto sí y sólo sí éste se encuentra dentro del conjunto mencionado.– Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} , se dice que

• El símbolo se lee “pertenece a” o “ es elemento de”

• En el caso , se lee: “no pertenece a” o “no es elemento de”

Relación de pertenencia

• Los conjuntos que no tienen elementos se denominan “conjunto vacío”.

• Se representan con el símbolo “ ”• También se representa con las llaves

vacías “{ }”

Conjunto vacío

• Sea U un conjunto.• Si U ≠ , es cierto conjunto cuyos

subconjuntos están en consideración, se dice que el conjunto dado es un conjunto universal.

• Se representa con el símbolo U.• Ejemplo: U = { Pueblos de Puerto Rico}

– Subconjuntos de U:• A = {Mayagüez, Hormigueros, Cabo Rojo}• B = { San Juan}

Conjunto universal

• Los elementos de un conjunto, a su vez conjuntos

• Ejemplo:– Un año es un conjunto de conjuntos porque el

año es un conjunto de meses, mientras que los meses son un conjunto de semanas y las semanas son un conjunto de días, etc.

Conjunto de conjuntos

• A todos los subconjuntos de un conjunto se les llama “conjunto potencia”.

• Se expresa como P(A).• Ejemplo:

– Dado el conjunto A ={ a, b, c}– P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},

{a,b,c} }

Conjunto potencia

• Un conjunto está contenido en sí mismo.– A A

• Conjunto vacío “ ” es subconjunto de todo conjunto.– A

• Cardinalidad de un conjunto:– Cantidad de elementos de l conjunto

• Cardinalidad n del conjunto potencia P(A):– Se obtiene con 2n , donde n es el número de

elementos de del conjunto A y se denota con n[P(A)]– Ejemplo: A = {a, b, c}

• su cardinalidad es n(A) = 3• la cardinalidad de del conjunto potencia:

n[P(A)] = 23 = 8

Notas:

• Subconjuntos propios– Los subconjuntos de un conjunto, sin

considerar el conjunto que lo genera– Hay tantos como 2n - 1, donde n también es el

número de elementos del conjunto.

Notas:

Relación de conjuntos

• Para que dos conjuntos sean iguales, deben tener los mismos elementos y en consecuencia, debe cumplirse simultáneamente:

• Notación: • “=” “es igual a”, “igual a”• “ ” “sí y sólo sí ”• “ ” “ es subconjunto de”

Conjuntos iguales

• No se cumple en forma simultánea

• Ejemplo:– A = { 1, 2, 3} – B = {1, 2, 3, 4}

• Con sólo observar la cardinalidad de ambos conjuntos (cantidad de elementos en cada uno) notamos que no son iguales.

• Se denota con el símbolo “≠” y se lee “no es igual a” o “es diferente”

Desigualdad de conjuntos

• Un conjunto es finito cuando sus elementos se pueden poner por correspondencia biunívoca con un subconjunto de los primeros k números naturales, si no es así, entonces es un conjunto infinito.

• Conjunto finito:– M = {x | 6 < x < 75} – M = {7, 8, 9, 10, 11, … , 74} – Es un conjunto finito de 68 elementos

• Conjunto infinito:– H = { }– H = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Conjuntos finitos e infinitos

• Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinarlos para obtener otros conjuntos.

• Todas son operaciones binarias (operación matemática, que necesita el operador y dos operandos o argumentos para que se pueda calcular un valor)

Operaciones entre conjuntos

• Unión• Intersección• Conjuntos disjuntos• Diferencia entre conjuntos• Complemento de un conjunto• Conjunto producto• Diagrama de árbol

Operaciones entre conjuntos

• Si se reúnen los elementes de dos o más conjuntos para formar uno solo.

• Si existen elementos comunes entre los conjuntos originales, éstos no se repiten en el conjunto unión.

• La unión se representa con el símbolo “U”, colocado entre los dos conjuntos: A U B

• Se lee “A unión B”• También se establece por descripción,

usando el símbolo“ | ” (“tal que”):

Unión

• Sean los conjuntos:Ejemplo

Propiedades de la unión de conjuntos

• La intersección de dos conjuntos A y B que forman los elementos comunes a ambos conjuntos

• Se denota con el símbolo “ ” • se lee “A intersección B”• También se puede establecer por

descripción:

Intersección

• Sean los conjuntos:Ejemplo

Propiedades de la intersección de conjuntos

• Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes

• Ningún elemento de A está en B• Ningún elemento de B está en A• A y B son disjuntos o ajenos entre sí y su

intersección es el conjunto vacío:

Conjuntos disjuntos

• Con los conjuntos:

• Los conjuntos A y B son disjuntos:

Ejemplo 1:

• Con los conjuntos:

• Los conjuntos C y D NO son disjuntos:

Ejemplo 2:

• Los paréntesis indican qué operación se debe hacer primero.

• Cuando una expresión algebraica contiene varios paréntesis, comenzamos desde adentro hacia afuera

Uso de paréntesis

• Sean los conjuntos:– T = {1, 2, 3}– P = {1, 3, 4, 5}– L = {5, 6, 7}

• Obtener:

– Primero obtenemos T P = {1, 2, 3, 4, 5}– Ahora buscamos (T P) L = {5}

Ejemplo

• Dados dos conjuntos A y B, el conjunto diferencia se define como la diferencia de A – B.

• “ A – B” Se lee “A menos B” , “A diferencia B”

• Cuando el conjunto se determina por descripción usando el símbolo de “tal que”, la diferencia se expresa:

Diferencia entre conjuntos

• Dados los conjuntos:

• Halla A-B:

Ejemplo:

• Cuando se ha establecido un conjunto universal U, la diferencia de U y la de un conjunto cualquiera (A), se le llama el “complemento de A”

• Se expresa A’• En algunos libros se expresa Ac

Complemento de un conjunto

• Dados los conjuntos:

• Halla A’:

Ejemplo:

Operaciones con conjuntos

• Sean los conjuntos: – A = {a, e} – B = {1, 2, 3}

• El producto cartesiano de dos conjuntos A × B, en este orden, es el conjunto de todas los posibles pares ordenados, tales que la primera correspondiente del par ordenado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B.

• La expresión A × B se lee “A cruz B”• Si es expresado por descripción:

Conjunto producto

• Sean los conjuntos: – A = {a, e} – B = {1, 2, 3}

• A × B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (e, 1), (e, 2), (e ,3) }

Ejemplo