Capitulo 7 derivada e integracion mayra monica

GUIA PARA RARA EL DOCENTE DE

MATEMATICAS 11 GRADO

Por:

Mayra Jiménez & Mónica Rodríguez

Dirección:

Dr. Rafael Ahumada

2

Análisis matemático

Introducción

Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No

basta con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos,

organizar programas y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de

profesores que sientan la necesidad de evaluar los efectos de nuevas propuestas o

hipótesis de aprendizaje, de determinar errores, dificultades y obstáculos,

aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza- aprendizaje, en

que el saber entra en juego, la didáctica de la Matemática (Godino, 2003).

En este curso, se estudia el concepto de las integrales y su aplicación. Esta

temática desempeña un papel fundamental desde el último nivel escolar (11° grado),

hasta los niveles universitarios; A pesar de ser una temática interesante, no deja de ser

un dolor de cabeza para los jóvenes en grado superiores.

Por eso, este trabajo tiene la finalidad de cambiar la concepción que tienen los

estudiantes y profesores acerca de los principios fundamentales del contenido de las

integrales y sus aplicaciones, como también, desistir de la metodología tradicional que

conlleva al estudiante a la memorización de fórmulas y de algoritmos.

Se presenta una nueva alternativa diseñada de tal forma que el estudiante comprenda

cada uno de los procedimientos necesarios para plantear cualquier situación-

problema; donde, tiene la intención de poner en práctica el uso de la didáctica, como

herramienta para la enseñanza fácil de este contenido, su objetivo principal es incluir

al estudiante como parte activa de la enseñanza para que desarrolle la potencialidad

del razonamiento lógico y pueda crear su propio lenguaje significativo. El estudiante

debe saber cuándo aplicar estos conocimientos, por qué funcionan y cómo verificar que

las respuestas que ofrecen son correctas.

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Tabla De Contenido Introducción .................................................................................................................................................. 2

Capítulo 7 ........................................................................................................................................................... 4

Derivabilidad e integración ............................................................................................................................... 4

Derivada ............................................................................................................................................................. 6

Recordemos 1: Rectas Tangentes ................................................................................................................. 6

Recordemos 2: Velocidad Instantánea ......................................................................................................... 7

Definición de derivada .................................................................................................................................. 8

Definición básica de Derivada: ..................................................................................................................... 9

Diferenciabilidad ......................................................................................................................................... 10

teorema De Derivabilidad: ..................................................................................................................... 10

Derivación ................................................................................................................................................... 11

Fórmulas de derivación. ......................................................................................................................... 11

Reglas de derivación: .............................................................................................................................. 14

Ejercicios propuestos: ............................................................................................................................ 17

Regla de la cadena ....................................................................................................................................... 18

Ejercicios propuestos: ............................................................................................................................ 20

Integración ....................................................................................................................................................... 21

Recordemos 1: Área de una región limitada por rectas ............................................................................ 21

Recordemos 2: Sumatorias ......................................................................................................................... 22

Antiderivadas .............................................................................................................................................. 24

Integral indefinida ...................................................................................................................................... 26

Propiedades de las integrales indefinidas ............................................................................................. 27

Tablas de integración inmediata ............................................................................................................ 29

Métodos de integración .............................................................................................................................. 31

* Integración por sustitución ................................................................................................................. 31

* Integración por partes ......................................................................................................................... 34

Integral indefinida ...................................................................................................................................... 37

Primer teorema fundamental del cálculo .............................................................................................. 39

Segundo teorema fundamental del cálculo ........................................................................................... 39

Área ......................................................................................................................................................... 42

Calculo de Áreas .......................................................................................................................................... 43

Bibliografía .................................................................................................................................................. 46

Webgrafia .................................................................................................................................................... 46

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Capítulo 7 Derivabilidad e integración

Mayra Alejandra Jimenez Consuegra & Mónica Cecilia Rodríguez Sarabia

Estándares

Pensamiento variacional

Interpretar las nociones de derivada como razón de cambio instantánea de

cantidades variables y funciones en textos matemáticos.

Establecer el significado de la variación instantánea de una magnitud respecto a

otra.

Utiliza las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

Interpretar la integral definida como el límite de una sumatoria.

Relacionar derivadas e integrales por medio del teorema fundamental del

cálculo.

Pensamiento numérico

Utiliza las propiedades de los números reales para interpretar la derivada como

un número que da sentido a la razón de cambio instantáneo entre las cantidades

de dos magnitudes

Pensamiento espacial

Ampliar el conjunto de figuras geométricas a las cuales se les puede calcular área

o volumen

5


Un paseo por la historia

Históricamente el concepto de derivada fue desarrollado casi paralelamente por Isaac

Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Las primeras publicaciones relacionadas con el

tema fueron de Leibniz; sin embargo, se han encontrado manuscritos que evidencian

que el trabajo de Newton es anterior. Esta situación derivo indispuestas entre los

científicos partidarios de uno y otro, debido a la rivalidad entre Inglaterra y Alemania

Newton llego al concepto de derivada estudiando las rectas tangentes a una curva,

mientras que Leibniz lo hizo estudiando la velocidad de un móvil. Siendo profesor

Cambridge, Newton publicó su obra máxima titulada Philosophiae Naturalis Principia

Matemática, que resumía en tres libros sus descubrimientos en física y matemáticas,

aunque con una notación bastante complicada y difícil de leer y comprender. En el libro

tercero, Newton presenta su teoría de las fluxiones, conceptualmente equivalente a las

derivadas. Leibniz por su parte, fue quien introdujo la mayor parte de la notación del

cálculo diferencial e integral. Fue el primero en utiliza “función”, el símbolo “=” para la

igualdad y los símbolos “ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 " y " ∫ " para denotar la derivada y la integral

respectivamente. La facilidad en la utilización de la notación contribuyó a que el

desarrollo del cálculo fuese más rápido en el continente Europeo que en Inglaterra. El

problema de la recta tangente a una curva, junto con el problema de los extremos

relativo (máximos y mínimos), son las aplicaciones graficas más conocidas de la

derivada.

Un tipo de problema que dio origen al

cálculo en el siglo XVII consistió en

encontrar longitudes de curvas, áreas

limitadas por curvas y volúmenes limitados por superficies. Arquímedes utilizo hace

dos mil años un método que consistía en utilizar regiones poligonales que aproximaran

el área de la región dada; aumentando luego el número de lados se buscaba que la nueva

región poligonal aproximara mejor el área y así se continuaba el proceso, tratando de

llenar la región dada (método llamado de exhaución).

6


Derivada

Recordemos 1: Rectas Tangentes Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de la función f, en el punto x0 como se muestra en la figura.

La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Como se observa en la

siguiente figura.

7


La pendiente de la recta secante entre los puntos (X0, f(X0)) y (X0 + h, f(X0+h)) sería

msec = 𝑓(X0+h )−𝑓(𝑥0)

ℎ

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más

pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y

resolveríamos nuestro problema; es decir:

Recordemos 2: Velocidad Instantánea

Suponga que se tengan la ecuación del espacio recorrido por un móvil, y que sea función

del tiempo; es decir e=f (t). Suponga ahora que se quiere determinar la velocidad media

Vm en un intervalo de tiempo [t0+t0+h] esta estaría dada por:

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo

Δt cada vez más pequeño; es decir:

Es interesante notar que la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la

pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará

la definición de la derivada.

8


Definición de derivada

ɳ(x) =𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎 )

− − − − − − − − −𝑥 − 𝑎

; X≠ 𝑎

tangӨ =𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎 )

− − − − − − − − −𝑥 − 𝑎

= ɳ(x)

ɳ(x) es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A= (a, f(a))

Bx= (x, f(x)); x ≈ a; x ≠ a

Si f representa la distancia de un móvil que se desplaza de a hacia x, x es el tiempo.

ɳ(x): velocidad promedio del móvil entre A= (a, f(a)) y Bx= (x, f(x)).

Interpretación:

ɳ(a): es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto x=a

ɳ(a): velocidad instantánea en x=a.

9


Definición básica de Derivada:

Cuando la derivada en " x0" existe se dice que es f es diferenciable en " x0”.

Otras notaciones que se emplean para la derivada son: y´ o Dxy, Leibniz utilizó la

notación 𝑑𝑦

𝑑𝑥. En cualquier caso, la derivada en "x" sería:

𝑓´(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )− − − − − − − − −

ℎ

Ejemplo: empleando la definición de derivada f(x) = 2x+1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )− − − − − − − − −

ℎ

= limℎ→0

[2(𝑥 + ℎ) + 1] − [2𝑥 + 1]− − − − − − − − −

ℎ

= limℎ→0

2𝑥 + 2ℎ + 1 − 2𝑥 − 1− − − − − − − − −

ℎ = lim

ℎ→0

2ℎ− −

ℎ

= lim ℎ→0

2 f´(x) =2

10


Ejemplo: empleando la definición de derivada f(x) = X2


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥 )− − − − − − − − −

ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

− − − − − − − − −ℎ

= limℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2

− − − − − − − − −ℎ

= limℎ→0

ℎ(2𝑥 + ℎ)2

− − − − − − − − −ℎ

= limℎ→0

(2𝑥 + ℎ)

𝑓´(𝑥) = 2𝑥

Resuelva los siguientes ejercicios: empleando la definición de derivada.

1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2

2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

4. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 𝑥 − 1

5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3

DIFERENCIABILIDAD

Ahora se tratará de especificar las condiciones para que la derivada de una función de

una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o

diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para

funciones de una variable real.

TEOREMA DE DERIVABILIDAD:

Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en “X0” entonces

no es diferenciable en "X0 ".También debe entenderse que no toda función continua es

diferenciable.

11


DERIVACIÓN

El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se

lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de

técnicas y reglas.

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.

Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas

siguientes:

DEMOSTRACIONES: A continuación algunas demostraciones de las formulas.

12


el resto de demostraciones las dejamos para el lector.

13


Si f(x)=4 entonces 𝑓´(𝑥) = 0 (formula 1)

si f(x)=𝑥2 entonces f´(x)=2𝑥2−1= 2x (formula 3)

si f(x)=√𝑥 = (𝑥)1/2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓´(𝑥) =1

2𝑥

1

2−1 =

1

2√𝑥 (formula 3)

hallar la ecuación de la recta tangente a f(x)= 𝑥3 en x=1

La ecuacion de una recta y su pendiente estan dadas por:

y-y0=m(x-x0)

el punto seria x0=1 y y0 = f(x0) = (1)3= 1

la pendiente sería mtg= f´(x0)= f´(1)=3x2|x-1= 3

Ejemplo (1):

Ejemplo (2):

Ejemplo (1):

Ejemplo (4):

14


por lo tanto la ecuacion de la recta tangente sería y-1 = 3(x-1)

REGLAS DE DERIVACIÓN:

DEMOSTRACIONES

15


16


La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.

Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de

correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)

Ejemplo 2 (derivada de suma y resta)

Ejemplo 3 (derivada del producto)

Otro ejemplo de la derivada del producto

Ejemplo 4 (derivada del cociente)

17


EJERCICIOS PROPUESTOS:

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.

18


REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 1

19


Ejemplo:

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

20


EJERCICIOS PROPUESTOS:

Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son

Integración Recordemos 1: Área de una región limitada por rectas

Consideremos la siguiente

región rectangular limitadas por

las rectas

𝑥 = −2, 𝑥 = 6

𝑦 = 5, 𝑦 = 0

Entonces para hallar el área del

rectángulo necesitaremos

conocer su base y su altura.

Base = 6 - (-2)= 8;

Altura = 5 - 0= 5

Luego el área del rectángulo es: A= Base × altura = 8 × 5 = 40 u2

Calculemos ahora el área de la región rayada, se trata de un trapecio cuya área se calcula

con la formula 𝐴 =(𝑏1 +𝑏2 )

2ℎ

(semisuma de la base por la altura).

Hallemos entonces la base y la

altura del trapecio.

b1 se hallaremplazando 𝑥 por 1 en

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 así 𝑓(1) = 1 + 1 = 2

b2 se hallaremplazando 𝑥 por 4 en

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 así 𝑓(4) = 4 + 1 = 5

la altura se obtiene restando 4-1=3

luego 𝐴 =(2+5)

23 = 10.5

22


Recordemos 2: Sumatorias

Las sumas que constan de muchos términos suelen representarse por medio de

sumatorias, por ejemplo la suma de los números enteros desde el 1 hasta el 50 se

representa con una sumatoria así: ∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 5050𝑘=1

El símbolo ∑ 𝑘50𝑘=1 se lee “sumatoria de k, desde k=1 hasta 50”

Algunas sumatorias se pueden calcular con procesos derivados, como veremos para el

caso de la sumatoria anterior.

Sumando 50 veces 51

Lo mostrado en el esquema anterior conduce a las siguientes expresiones para la

suma de los números enteros desde 1 hasta n

∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑘=1

Otro proceso, un poco más elaborado, permite obtener la fórmula para la suma de los n

primeros cuadrados

∑ 𝑘2 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

𝑛

𝑘=1

∑ 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 50

50

𝑘=1

∑ 𝑘 = 50 + 49 + ⋯ + 3 + 2 + 1

50

𝑘=1

---------------------------------------------------------------------------

2 ∑ 𝑘 = (50 + 1) + (49 + 2) + ⋯ + (2 + 49) + (1 + 50)

50

𝑘=1

= 51+51+…+51+51 luego ∑ 𝑘50 𝑘=1 =

2550

2 =1225

Observemos el esquema

23


Las siguientes propiedades de la sumatorias, que resultan de las operaciones entre

números reales, nos ayudaran a calcular sumatorias a partir de otras sumatorias:

1. Si c es una constante ∑ 𝑐 = 𝑐𝑛𝑛𝑘=1

2. ∑ 𝑐𝑎𝑘 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=1

3. ∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘) = ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘

𝑛𝑘=1

4. ∑ (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) = ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=1 − ∑ 𝑏𝑘

𝑛𝑘=1

Ahora con lo recordado en 1 y 2 realicemos una aproximación de un área bajo una curva

Nos referimos a una región sombreada como se ve en

la imagen como una “región bajo la curva” la cual se

encuentra limitada por la gráfica de la

función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, el eje 𝑥 y las rectas verticales

𝑥 = 1, 𝑥 = 3

Una aproximación al área de dicha región se consigue

con el siguiente procedimiento:

Dividiendo el

intervalo [1,3] en

dos subintervalos

de la misma

longitud [1,2],[2,3], y construimos intervalos que

tengan esos intervalos como base y la altura sean

valores funcionales en los puntos medios de cada

intervalo:

𝑓(1.5) = 1.52+1=3.25, 𝑓(2.5) = 2.52+1=7.25, La

suma de las dos áreas constituyen una aproximación

al área A de la región bajo la curva:

𝐴 ≈ 𝐴2 = 1 ∗ 3.25 + 1 ∗ 7.25 = 10.50

24


Una mejor aproximación del área bajo la curva se

consigue dividiendo el intervalo [1,3] en cuatro

subintervalos, de longitud 0.5 y repitiendo el

proceso anterior con los cuatro rectángulos de base

0.5 y alturas

𝑓(1.25) = 2.5625; 𝑓(1.75) = 4.0625;

𝑓(2.25) = 6.0625; 𝑓(2.75) = 2.5625

Respectivamente.

Luego el área obtenida es:

𝐴 ≈ 𝐴4 = 0.5 ∗ 2.5625 + 0.5 ∗ 4.0625 + 0.5 ∗ 6.0625 + 0.5 ∗ 8.5625

= 0.5 (2.5625+4.0625+6.0625+8.5625)

=10.626

De lo que se concluye, que entre más subdivisiones del intervalo [1,3] tomemos, e

número de rectángulos aumenta y así obtenemos una mejor aproximación del área de

la región.

Anterior se ha desarrollado el concepto de derivada de una función, no obstante,

muchas aplicaciones del cálculo se desarrollan a partir de un problema inverso: dada la

derivada de una función, determinar la función.

Antiderivadas

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Por el teorema del valor medio, se tiene que si dos funciones tienen la misma derivada

en un intervalo, entonces estas funciones solo diferentes en una constante. Por lo tanto,

si F y G son antiderivada de f. 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝐺´(𝑥)

La antiderivada de una función también se conoce con el nombre de primitiva de la

función.

Comprobar mediante la derivación, si la función 𝑭(𝒙) es antiderivada de la función 𝒇(𝒙)

𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥); 𝑓(𝑥) = 2cos(2𝑥)

Lo primero que hay que hacer es derivar 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥),

Luego se obtiene los siguientes 𝐹´(𝑥) = cos(2𝑥)(2)

Es decir, 𝐹´(𝑥) = 2cos(2𝑥) = 𝑓(𝑥)

Ahora probemos que la función 𝑭(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐es antiderivada de la función

𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 + 𝟐)

Procedemos 𝐹(𝑥) = (𝑥2 + 2)2

Entonces 𝐹´(𝑥) = 2(𝑥2 + 2)(2𝑥)

Luego 𝐹´(𝑥) = 4𝑥(𝑥2 + 2)

De donde se obtiene que 𝐹´(𝑥) = 4𝑥(𝑥2 + 2) = 𝑓(𝑥)

En estos dos ejercicios se puede afirmar que 𝐹´(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥).

Recordemos 𝑑

𝑑𝑥[𝑠𝑒𝑛𝑥] = cos (𝑥)

Recordemos la regla de la cadena

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Resuelva los siguientes ejercicios

Utilizar la derivada para comprobar que 𝐹(𝑥)es una antiderivada de 𝑓(𝑥)recuerda que

tú eres capaz.

Te preguntaras por qué antes de dar la definición de integral indefinida, nos

introducimos en la definición de antiderivada, la respuesta está en que el conjunto de

todas las derivadas de 𝑓(𝑥) se llama integral indefinida de 𝑓 respecto a 𝑥, y se denota

con el símbolo:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

De la definición de antiderivada dada anteriormente se tiene la siguiente definición.

Integral indefinida

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El símbolo ʃ se llama “signo de la integral”

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 se lee “la integral de 𝑓(𝑥) respecto a (𝑥) es 𝐹(𝑥) mas C”

La función 𝑓es el integrando de la integral y C la constante de integración.

El 𝑑𝑥 expresa que la variable de integración es (𝑥).

Propiedades de las integrales indefinidas

Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)son dos funciones que tiene integral indefinida y k es una constante,

entonces podemos resaltar las siguientes propiedades:

∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Además de estas propiedades, a partir de la tabla de derivación, se puede obtener las

siguientes integrales llamadas inmediatas:

La integral de una función nula 𝑓(𝑥) = 0, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(0)𝑑𝑥 = 0 ∫ 𝑑𝑥 = 𝐶

La integral de la función constante

𝑓(𝑥) = 𝑘, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

La integral de función potencia 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1

La integral indefinida de una suma o resta de

funciones es igual a la suma o resta de integrales

La integral de una constante por una variable,

es la constante multiplicada por la integral.

La integral del número cero o función nula, es una

constante, que se representa con un C mayúscula

La integral de una función constante, es la constante multiplicada

por la integral del diferencial de la variable a estudiar.

La integral de una función exponencial, es el cociente entre la

variable elevado a un grado más, sobre el exponente resultante.

28


Ahora tenemos las herramientas necesarias para resolver los siguientes ejercicios:

∫ 𝟏𝟕𝒙 𝒅𝒙= 17 ∫ 𝑥 𝑑𝑥

= 17 𝑥2

2

∫[𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑]𝒅𝒙= ∫(𝑥2)𝑑𝑥 − ∫(2𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 3𝑑𝑥

= ∫(𝑥2)𝑑𝑥 − 2 ∫(𝑥)𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥

= 𝑥3

3− 𝑥2 + 3𝑥

Resolver los siguientes ejercicios poniendo en prácticas las propiedades expuestas

anteriormente:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Propiedad integral de una constante

Propiedad integral de una función potencia

Propiedad integración de una suma


Propiedad integral de una función

exponencial y operando.

Sugerencias:

Para los ejercicios 2, 5 y 7 que

tienen radicales es conveniente

aplicar propiedad:

√𝑥𝑚𝑛= 𝑥

𝑚𝑛

Para el ejercicio 4 recuerde el caso

de factorización:

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

29


Así, como hay propiedades que nos ayudan a integrar, también existen unas integrales

inmediatas que ya están demostradas, por tal solo nosotros utilizamos sus resultados y

no es necesario realizar el proceso de la integración. (Ver las siguientes tablas)

Tablas de integración inmediata

30


Resolvamos algunos ejercicios utilizando lo expuesto en las Tablas de integración

inmediata

∫( 𝟏

𝒙+ 𝟐𝒙)𝒅𝒙 = ∫

1

𝑥𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥𝑑𝑥

= 𝑙𝑛|𝑥| +2𝑥

𝑙𝑛2+ 𝐶

∫[− 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙)]𝒅𝒙 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)𝑑𝑥

= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3 tan(𝑥) + 𝐶

∫ [𝒔𝒆𝒏(𝒙) −𝟏

√𝟏−𝒙𝟐] 𝒅𝒙 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫

1

√1−𝑥2𝑑𝑥

= −𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥)

Resuelve ahora tú los siguientes ejercicios:

1. 2.

3. 4.

Propiedad integración de una suma

Tabla de integración funciones trascendentales

Propiedad integración de una resta

Tabla de integración

(funciones trigonométricas)

Propiedad integración de una resta

Tabla de integración (funciones

trigonométricas e inversa)

31


Los métodos de integración son técnicas que permiten encontrar la antiderivada de las

funciones que no aparecen en la tabla de integración inmediata.

Aunque existen tres métodos de integración en este tema solo se trabajaran dos de ellos

la integración por sustitución y la integración por partes.

* Integración por sustitución A partir de la tabla de integrales se puede deducir que para cada regla de derivación es

posible plantear una regla de integración.

Así, para la regla de la cadena (derivada) es posible plantear una regla llamada

integración por sustitución; ahora, utilizando la definición de antiderivada se tiene:

En si el método de integración por sustitución consiste en introducir una variable u que

sustituye a una expresión apropiada en función de x, de forma que la integral se

transforme en otra de variable u más fácil de integrar.

Para integrar una función por sustitución se procede de la siguiente manera:

1. Se elige la expresión algebraica que se va a sustituir y se expresa en término de 𝒖.

Así 𝑢 = 𝑔(𝑥).}

2. Se calcula la derivada de 𝒖 con respecto a 𝒙 y se escribe como referencial.

3. Se escribe el integrando en la forma 𝑓(𝑢) =𝑑𝑢

𝑘

4. Se calcula la integral resultante en términos de 𝒖.

5. Se cambia la situación para obtener una antiderivada en términos de 𝒙.

Métodos de integración

32


Resolvamos algunas integrales indefinidas, aplicando el método de sustitución:

∫(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝑢 = 𝑥2 − 1

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥

Luego ∫(𝑥2 − 1)4 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑢)4 𝑑𝑢

∫(𝑢)4 𝑑𝑢 =𝑢5

5+ 𝐶

𝑢5

5+ 𝐶 = (𝑥2 − 1)5 + 𝐶

Entonces

Se elige la expresión algebraica que se va a sustituir.

Se deriva u con respecto a x.

Se realizan las sustituciones seleccionadas.

Se aplica la propiedad de integral de una función de una potencia.

Al final volvemos la integral en términos de 𝑥


Se deriva u con respecto a x.

Se realizan las sustituciones seleccionadas.



33


∫ 𝒙𝟐 √𝟒 + 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝑢 = 4 + 𝑥3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3𝑥2 entonces 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 →

𝑑𝑢

3= 𝑥2𝑑𝑥

Practica: En cada ejercicio se ha dado un valor u para la sustitución, determinar con

relación a u el valor de du, por último resuelva la integral aplicando las propiedades.


Se deriva u con respecto a x. se

despeja convenientemente para

realizar la sustitución.

Se realizan las sustituciones

seleccionadas y se usan las propiedades

de la integración y de la potenciación.



34


* Integración por partes

Este método se emplea para calcular primitivas de funciones u(x)*v´(x), donde la

función v´(x) es difícil de integrar, obteniendo una nueva integral más sencilla.

Cuando la función integrando es un producto, para calcular su primitiva puede

emplearse un método basado en la regla de derivación del producto de dos funciones.

La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) es:

Y calculando la integral de cada uno de los miembros, se tiene:

Es decir:

De

donde:

Expresión que se utiliza para la integral por partes, para resolverlas se deben:

1. Elegir convenientemente los valores para u y para dv.

2. Luego, se debe calcular du (derivado) y v (integrado).

3. Por último se aplica la formula dada y se resuelve.

35


Realicemos la siguiente integral ∫ 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙. observa cuidadosamente cada paso de este

ejemplo:

∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 → 1. Elegimos 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥

2. ahora se calcula 𝑑𝑢 y 𝑣 asi:

si 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 →𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

𝑥 → 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 =

𝑥2

2+ 𝐶

Luego de 1 y 2 tenemos: 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥; 𝑣 =𝑥2

2+ 𝐶; 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥

Ahora aplicamos la fórmula: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 (𝑥2

2) − ∫

𝑥2

2.𝑑𝑥

𝑥

= (𝑥2𝑙𝑛𝑥

2) −

1

2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥

=𝑥2𝑙𝑛𝑥

2−

𝑥2

4+ 𝐶

luego ∫ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥

2−

𝑥2

4+ 𝐶

Observa los siguientes ejercicios:

∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 → Elegimos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

→ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

Aplicando la formula de integracion por partese tiene

∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶

Se deriva a u con respecto a x

y se despeja en términos de du Se integra de ambos lado,

con respecto a cada variable.

Se reúnen los términos para completar y

sustituir la fórmula de la integración por partes.

Se realiza producto de fracciones y la

propiedad de la función constante.

Se aplica la integración de una función de una potencia

36


∫ 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙 𝒅𝒙 → Elegimos 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

→ ahora calculemos 𝑑𝑢 y 𝑣 así:

𝑑𝑢 =𝑑𝑥

1 + 𝑥2

𝑣 = 𝑥

Aplicando la formula: ∫ 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 − ∫𝑥 𝑑𝑥

1+𝑥2

= 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 −1

2ln(1 + 𝑥2) + 𝐶

Ahora resuelve las siguientes integrales por partes, recuerda que necesitaras todas las

propiedades expuestas anteriormente:

Se derivó u con respecto a x

y se realizó el despeje de du

Se integró de ambos lados respectivamente

Integral inmediata

(ver tabla)

37


Veamos, si dada una función f(x) en un intervalo [a, b], se dice que la integral definida,

es el área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales

x=a y=b. tal cual como lo representamos en el siguiente gráfico:

Así, la integral definida se representa por: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

" ∫ " Es el signo de la integración.

𝑎 es el límite inferior de la integración.

𝑏 es el límite superior de la integración.

𝑓(𝑥) 𝑒s el integrando o función a integrar.

𝑑𝑥 es el diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra.

Viendo así el concepto de integral definida, pasemos ahora a dar una definición en

general de lo que es:

Integral indefinida

38


Ahora, después de saber la definición de integral definida, veremos unas propiedades

que nos ayudara al momento de realizar ejercicios donde apliquemos este nuevo

concepto aprendido:

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de

integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero:

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone

como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta

de integrales.

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función.

Nota: Se deben distinguir los conceptos de integral definida e indefinida, pues la integral

definida es un número, mientras que la indefinida es una función.

39


Primer teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo expresa de manera concreta la relación entre el

cálculo diferencial y el cálculo integral

Segundo teorema fundamental del cálculo

Este teorema se puede considerar como la segunda parte del teorema fundamental del

cálculo, y se utiliza para evaluar la integral definida de una función.

Veamos un ejemplo sencillo, calcular la integral de ∫ 𝟏𝟐 𝒅𝒙𝟑

𝟎

∫ 12 𝑑𝑥 = 123

0

∫ 𝑑𝑥3

0

= 6(3) − 6(0) = 18 − 0 = 18


Integrando la función para luego evaluarla

en los límites de integración dados

Se evalúa la integral, según las cotas

de integración, límite superior

menos límite inferior. Y se opera.

40


Veamos otro ejercicio: ∫ (𝟒𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙𝟐

𝟎

∫ (4𝑥 − 2)𝑑𝑥2

0

= ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥2

0

2

0

= 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑑𝑥2

0

2

0

=

Observa el siguiente ejemplo: ∫ (−𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙)𝒅𝒙𝟑

−𝟐

=

=

Propiedad de la suma de la integral

Se aplica la propiedad de la función

constante e integramos, utilizando la

propiedad de la función de una potencia

Multiplicación de fracciones y

evaluamos las cotas de integración.

Realizamos operaciones expresadas.

Aplicando la propiedad de la suma de

la integral y de la función constante

Aplicando la propiedad de la

función potencia y realizamos

el producto de las fracciones.

Evaluamos las cotas de integración

Realizamos las operaciones expresadas.

Aplicamos números mixto para

representar una fracción impropia.

41


Practica: Hallar el valor de las integrales definidas usando los métodos de integración.

Nota: Recuerda que puedes utilizar la definición, las propiedades y los teoremas

fundamentales explicados hasta ahora para desarrollar estos ejercicios prácticos.

42


Recuerda que al comienzo hablamos de unas aproximaciones del área baja una curva

usando la construcción de rectángulos, ahora veamos que hallar estas áreas resulta más

fácil si se hacen con la integral definida

Una de las interpretaciones de las integrales, se trabaja a partir del concepto de área;

por tal determinar el área de una región delimitada por rectas, resulta ser un ejercicio

bastante sencillo. Por ejemplo el área de un triángulo se halla a través de la formula

𝐴 =𝑏.ℎ

2, el área de un polígono regular, se calcula a partir de la formula 𝐴 =

𝑝.𝑎

2 y así para

cualquier figura delimitada por segmentos de rectas; pero ahora calcular el área de una

región que no está delimitada por rectas es un problema de mayor complejidad, así

como en el ejemplo anterior (el del recordatorio), donde es necesario hallar el área por

medio de una aplicación del cálculo integral definido, para obtener el área de una región

por curvas. Primero se aproximara esta región, utilizando polígonos (rectángulos) y

luego hallaremos el límite de las áreas de estos rectángulos. Tal cual como se observa

en la siguiente gráfica.

De la anterior grafica podemos deducir que para encontrar el área bajo la curva de dicha

función, se optó por dividir esta parte sombreada (rosado) en intervalos pequeños que

representan los rectángulos a integrar, con el objetivo de calcular un área aproximada

de la región limita bajo esta curva.

Área

43


A partir de los conceptos trabajados en los temas anteriores, en este tema se usara el

concepto de la integral para calcular áreas bajo curvas.

Ahora observa y aprende como calcular el área bajo la curva de

𝑓(𝑥) = √𝑥 Entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1

Calculo de Áreas

Aplicando la propiedad de la radicación.

Aplicamos propiedad de la

función potencial y el teorema

fundamental del cálculo.

Realizando operaciones

44


Ahora determinar el área de la región comprendida entre la curva

𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 𝑒𝑛 [−2,2]

=

Aplicamos propiedad de

la resta de integración y

la de una constante.

Aplicamos integral de una diferencial y

la propiedad de una función potencia.

Aplicamos el teorema fundamental del

cálculo y realizamos operaciones.

45


Pon en práctica lo aprendido y realiza cada ejercicio que se plantea a continuación:

1. halle el área de la región comprendida entre la curva 𝑦 = 2𝑥2; eje horizontal en [0,3]

2. halle el área de la región comprendida entre la recta 𝑦 = −2𝑥 − 2; eje horizontal en [-1,1]

3. determinar el área de la región comprendida entre la curva 𝑦 = 𝑥2 + 2 el eje x y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2

4. halle el área de la región comprendida entre la grafica 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥 el eje horizontal [-1,1]

46


Bibliografía

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Guerrero Casas, Flor Mª; Vázquez Cueto, María José (coordinación y dirección)

(1998): "Manual de Cálculo Diferencial e Integral para la Economía y la Empresa".

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Stewart, James (2001): "Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas". 4ª

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Capitulo 7 derivada e integracion mayra monica