Capitulo1

INF 162 Prof. Luiz Alexandre Peternelli

1

CAPÍTULO 1 - Conceitos introdutórios

Conceitos de estatística, população e amostra.(V.M.11) Estatística é uma área da ciência ligada com a extração de informação

de dados numéricos e a sua utilização na tomada de decisões (estabelecimento deinferências) sobre uma população da qual os dados foram obtidos.

(M.G.1)Estatística corresponde ao campo da ciência que trata da coleção,apresentação, análise e uso de dados numéricos para a tomada de decisões e solução deproblemas.

De modo geral podemos definir população como sendo o conjunto de elementosque têm, em comum, determinada característica. As populações podem ser finitas ouinfinitas. Além disso existem populações que, embora finitas, são consideradas infinitaspara qualquer finalidade prática.

Entende-se por amostra qualquer conjunto de elementos retirado da população,desde que esse conjunto seja não-vazio e tenha menor número de elementos do que apopulação.

Por exemplo, na predição da fração de fumantes que preferem a marca de cigarros“fumacê” nós assumimos que aqueles que forem entrevistados costituem uma amostrarepresentativa da população de todos os fumantes (que apesar de numericamente ser umapopulação finita, pode ser considerada infinita para efeitos práticos).

Como um outro exemplo considere o problema de determinar a efetividade deproteção contra ferrugem de um certo tipo de tinta. Para simplificar suponhamos que 20máquinas que trabalham nas mesmas condições foram pintadas e após um certo períodode tempo verificou-se que 16 delas conservam-se intactas (ainda protegidas). Quer-sesaber se essa tinta protege realmente as máquinas. Nesse caso a amostra consiste de 20máquinas. Qual seria a população?

O que seria, então, de interesse primário? a amostra ou a população?Nos exemplos citados acima nós estamos primordialmente interessados na

população. Na maioria dos casos seria impossível obtermos todos os dados de interesseda população. Portanto, a amostra pode ser de interesse imediato, mas estamosprimordialmente interessados em descrever a população da qual a amostra foi extraída.

Por que estudar estatística?

Qualquer um, tanto na carreira profissional quanto na vida diária através docontato com jornais, televisão, e outros meios de divulgação de informações se deparamcom informações na forma de dados numéricos.

Possíveis razões para o estudo da Estatística:• Atualização

para facilitar o entendimento de artigos em revistas especializadas, que utilizam muitoa estatística para a apresentação e interpretação dos resultados.

• Desenvolvimento de trabalhosÉ de fundamental importância para o auxílio no desenvolvimento de trabalhoscientíficos e posteriores conclusões.


2

obs.: para quem tiver interesse no desenvolvimento de trabalhos de iniciaçãocientífica, ou mesmo, mais tarde, para quem pretender realizar um curso de pós-graduação. (podem ter certeza que farão, no mínimo, mais uma estatística na pós-graduação).

O uso da estatística.Já que engenheiros e demais cientistas frequentemente se vêem obtendo e

analizando dados, o conhecimento de estatística é especialmente importante nessescampos da ciência. Poderíamos dizer que o conhecimento de estatística e probabilidadepode ser uma ferramenta poderosa para ajudar esses profissionais na idealização de novosprodutos e sistemas, melhorando idéias já existentes e idealizando, desenvolvendo emelhorando processos de produção.

O presente material (curso) visa equipar voçês, futuros engenheiros e cientistas,com as ferramentas estatísticas básicas para praticar, com sucesso, esses aspectos em suasprofissões.

No texto, nossa atenção estará voltada em grande parte para aplicações nas áreasdos estudantes desse curso, porém não hesitaremos em referir-nos também a outras áreas,de modo que o leitor poderá observar a grande generalidade da maioria das técnicasestatísticas. Por exemplo:• O método estatístico usado para estimar a tensão de ruptura ou o coeficiente de

dilatação térmica de um metal serve também para estimar o tempo médio que levauma secretária para executar uma tarefa ou a média do Q.I. (quociente de inteligêcia)dos alunos que pretendem ingressar em algum curso da UFV.

• O método estatístico que é usado para comparar o trabalho de duas máquinas servepara comparar também a efetividade de dois processos de ensino, o mérito de doisfertilizantes ou a audiência de dois programas de rádio.

Há, no entanto, ocasiões onde as exigências dos diferentes campos tem obrigado odesenvolvimento de técnicas estatísticas especiais. Dessa forma o problema de previsãoeconômica nos leva à métodos especiais usados na análise de séries de dados dosnegócios; problemas de testes de Psicologia (testes não paramétricos) nos levam à análisedos fatores e assim por diante.

No campo da engenharia, por exemplo, podemos destacar o problema do controlede qualidade que exige métodos especiais, ocorrendo o mesmo no desenvolvimento dateoria da confiabilidade.


3

Tópico Especial

Somatório e produtório

1. SOMATÓRIO

1.1. Introdução

Muitos dos processos estatísticos exigem o cálculo da soma. Para simplificar arepresentação da operação de adição nas expressões algébricas, utiliza-se a notação Σ,letra grega sigma maiúsculo.

As principais representações são:

1) Xii

n

=∑

1

= X X Xn1 2+ + +! , soma simples

2) X X X Xi ni

n2

12

22 2

1= + + +

=∑ ! , soma de quadrados (SQ)

3) ( )Xii

n

=∑

1

2 = ( )X X Xn1 22+ + +! , quadrado da soma

4) X Y X Y X Y X Yi i n ni

n

= + + +=∑ 1 1 2 2

1! , soma de produtos (SP)

5) X Y X X X Y Y Yi j n mj

m

i

n

= + + + + + +==∑∑ ( ).( ... )1 2 1 2

11! , produto das somas

Lê-se Xii

n

=∑

1

como: somatório de X índice i, com i variando de 1 até n, onde:

n, é a ordem da última parcela ou limite superior (LS) do somatório;i=1, é a ordem da primeira parcela da soma ou limite inferior do somatório (LI);i, é o índice que está indexando os valores da variável X (outras letras como j, l,k podem ser utilizadas).

Exemplo:Considere as variáveis X e Y que representam, respectivamente, as notas de duasdisciplinas, para um grupo de 6 alunos.

X = {90, 95, 97, 98, 100, 60}Y = {60, 70, 80, 60, 90, 75}


4

Verifique se os seguintes somatórios fornecem as respostas conforme apresentado.

a) Xii=∑ =

1

6

540 b) Xii

2

1

6

49738=∑ = c) Xi

i=∑

=

1

6 2

291600

d) X Yi ii=∑ =

1

6

39190 e) X Yii

ii= =

∑ ∑

=

1

6

1

6

234900

1.2. Número de Termos (Parcelas) do Somatório (NT)

O número de termos ou parcelas de um somatório (NT) pode ser obtido por:NT = (LS - LI) + 1 – r,

onde r é o número de restrições a que o somatório está sujeito.

Exemplos: Obter o número de termos para os seguintes somatórios:

a) Xii=∑

3

8

, NT = (8-3) + 1 = 6

b) Ykkk

=≠

∑19 11

15

,

, NT = (15 - 1) + 1 - 2 = 13

1.3. Propriedades de Somatório

As propriedades facilitam o desenvolvimento das expressões algébricas com anotação do somatório. O objetivo é desenvolver as expressões até chegar às somassimples e/ou somas de quadrados.

P.1. Somatório de uma constante k

O somatório de uma constante é igual ao produto do número de termos pelaconstante.

ki

n

=∑

1

= k + k +...+ k = nk

Exemplos:

a) 51

10

i=∑ = [(10 - 1) + 1](5) = 10(5) = 50

b) Yji=∑

3

12

= [(12 -3) + 1] Yj = 10 Yj


5

P.2. Somatório do produto de uma constante por uma variável

O somatório do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto daconstante pelo somatório da variável.

kXii

n

=∑

1

= kX kX kX k X X X k Xn n ii

n

1 2 1 21

+ + + = + + + ==∑... ( ... )

Exemplo:

i

ni

ii

nXX k

= =∑ ∑= =

1 1212

12

,

P.3. Somatório de uma soma ou subtração de variáveis

O somatório de uma soma ou subtração de variáveis é igual à soma ou subtraçãodos somatórios dessas variáveis.

Sem perda de generalidade, para três variáveis X Y e W, , tem-se:

( )X Y W X Y Wi i i i i ii

n

i

n

i

n

i

n

+ − = + −====∑∑∑∑

1111

1.4. Somatório Duplo (opcional para o momento. Será discutido oportunamente)

Considere a Tabela a seguir:

1 2 ... j ... s1 X11 X12 ... X1j ... X1s X j

j

s

11=

∑

2 X21 X22 ... X2j ... X2s X jj

s

21=

∑

... ... ... ... ... ... ... ...i Xi1 Xi2 ... Xij ... Xis Xij

j

s

=∑

1

... ... ... ... ... ... ... ...r Xr1 Xr2 ... Xrj ... Xrs Xrj

j

s

=∑

1

Xii

r

11=

∑ Xii

r

21=

∑ ... Xiji

r

=∑

1

... Xisi

r

=∑

1

G

Xij → i = 1,2, ..., r (índice de linha) j = 1,2, ..., r (índice de coluna).

G = total geral


6

G X X X Xii

r

ii

r

iji

r

isi

r

= + + + + += = = =∑ ∑ ∑ ∑1

12

1 1 1

... ...

( )= + + + + +=∑ X X X Xi i ij isi

r

1 21

... ...

= = == ===∑∑∑ X X Xij ij

i j

r s

j

s

i

r

..,

,

1 111

, ou ainda G X X Xij ijj i

s r

i

r

j

s

= = == ===∑∑∑ ..

,

,

1 111

Total da i-ésima linha: X Xij ij

s

==∑ .

1

Total da j-ésima coluna: X Xij ji

r

==∑ .

1

1.5. Exercícios Propostos

1) Considerando os seguintes valores:

X X X XY Y

1 2 3 4

1 2 3 4

2 6 7 91 4 5 11

= = = == = = = Y Y

Calcular:

a) ( )Yii

−=∑ 2 2

1

3

b) ( )X Yi ii

−=∑ 4

1

4

c) (opcional) i

ij

X= =∑ ∑ +

1

3

2

4

2( )

d) (opcional) i

i jj

X Y= =∑ ∑ −

2

4

2

3

3( )

R: a) 14 b) -60 c) 63 d) 51

2) Efetuar

a) ( )iji

2

1

3 1+= −∑ b) (opcional)

i j

i ji

i= =∑ ∑ + −

3

6

0

2 3( ).( )

R: a) 5(3 + 1/j) b) 429/20

3) Calcule X1 e X3 , dado que:


7

X X

X X

ii

ii

i iii

ii

= =

= =

= =

=≠

=≠

∑ ∑

∑∑

42 364

34 324

1

62

1

6

2

11 3

6

11 3

6

,,

R: X1 = 2 e X3 = 6 ou X1 = 6 e X3 = 2.

4) Calcular: (opcional)

a) ( )i jji

+==∑∑

2

4

1

5

b) i jij

⋅==∑∑

1

6

5

9

a) 90 b) 735

2. PRODUTÓRIO

2.1. Introdução

O símbolo produtório é utilizado para facilitar a representação dos produtos.Utiliza-se a notação ∏ , letra grega pi maiúsculo.

Representação: X X X Xi ni

n

==

∏ 1 21

. .....

Fatos:

1) b b bn1 2. . .... = bii

n

=∏

1

2) b b b b b bn fatores

i

nn. . ....

" #$$ %$$= =

=∏

1

3) cX cX cX cX c X X X c Xi ni

nn

nn

ii

n

= = == =

∏ ∏1 21

1 21

. ..... . . .....

4)

( )( )X Y X Y X Y X Y X X X Y Y Y X Yi i n n n ni

n

ii

n

ii

n

= = =

= = =

∏ ∏ ∏1 1 2 2 1 2 1 21 1 1

. ... . ... . ...


8

5) i n ni

n

=∏ = =

1

12 3. . ..... !

6) ( )log log . ... log log ... log logX X X X X X X Xi ni

n

n ii

n

= = + + + == =

∏ ∑1 21

1 21

2.2. Exemplo:Sabendo-se que:

X XY Y

1 2 3

1 2 3

2 3 53 5 7

= = == = =

X Y

Calcular:

a) X X X Xii =∏ = = =

1

3

1 2 3 2 3 5 30. . . .

b) Y Y Y Yii

= = ==

∏ 1 2 31

3

3 5 7 105. . . .

c) 3 3 27 30 8103

1

3

1

3

. ( )X Xi iii

= = ===

∏∏

d) X Y X Yi ii

ii

ii

. . ( )( )= = =

∏ ∏ ∏=

= =1

3

1

3

1

3

30 105 3150 .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:

X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8} n=10

Calcule:

a) Xii=∑

1

10

b) Xii

2

1

10

=∑ c) X i

i=∑

1

10 2

d) X

X

i

ii

i

2 1

10 2

1

10

1010 1

−

−

=

=

∑∑

e) ( )Xii

−=∑ 4

1

10

f) ( )Xii

−=∑ 4 2

1

10

g) ( )Xi

i

−

−=∑ 4

10 1

2

1

10

h) X i

i=∑

1

10

10


9

2) Sabendo-se que X ii

= −=∑ 6

1

5

e X ii

2

1

5

12==∑ , calcule:

a) ( )4 51

5

X ii

+=∑ b) ( )X Xi i

i−

=∑ 2

1

5

c) ( )X ii

−=∑ 3 2

1

5

3) Desenvolver e calcular: (opcional)

a) ( )i bjji

+==∑∑

2

6

1

3

b) ( )i jij

−==∑∑

1

5

1

2

c) ( )i jji

+==∑∑ 3

0

2

1

2 2

d) cbji ==∑∑

0

8

1

7

e) iji

2

1

5

1

4

==∑∑

4) Utilizando os dados da Tabela abaixo, calcule:

ji

1 2 3 4

1 8 7 5 9

2 4 0 10 2

a) X ii

11

2

=∑ b) X j

j1

1

4

=∑ c) (opcional) X ij

ji ==∑∑

1

4

1

2

d) Xijjj=≠

∑13

4

e) X jj

22

3

=∑ f) 1

212

4

X jjj=≠

∑ g) 6 113

4

X jjj=≠

∏ h) X jjj

212

4

=≠

∏


10

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA--Departamento de Informática/CCEINF 161 - Iniciação à Estatística; INF 162 – Estatítica ILista de Exercícios: Somatório e Produtório

1) Escrever usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso:

a)X Y X Y X Y1 1 2 2 4 4

2

2 2 2−

+−

+−

b) a!c) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Y1 1 1 2 1 3+ + +d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322212312111 YXYXYXYXYXYX +++++

e) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Yn n1 1 2 2⋅ ⋅ ⋅!

2) Considere os seguintes valores:

X X X X X X X XY Y Y Y Y Y Y

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

2 4 6 8 10 12 14 161 3 5 7 9 11 13 15

= = = = = = = == = = = = = = = Y

Calcule os seguintes somatórios e produtórios:

a) (opcional) ( )Xiji

−==∑∑ 3

2

5

1

8

b) X

Yii

i 2

2

1

8

−

=

∑ c) Xii=∏

1

4

d)X Yi i

i 32

4

=∏

3) Desenvolver:

a) iji

2

1

3 1+

=−∑ b) (opcional)

( )i j ji jij

j

2 2

2

4

14

5 −+==

≠

∑∑

c) ( )ii

+

=∑ 8

1

5 2

d) ( )ii

+=

∏ 81

5

4) Se X X Y Yii

ii

= = = = == =∑ ∑12 56 3 5 6

1

32

1

3

1 2 3 e Y , calcule:

a) 91

3

i=∑ b) 12

1

3

Xii=∑ c) i

ix2

1

3

2−

=∑ d) ( )X Yi i

i=∑

1

3


11

5) Se X X X Y Y1 2 3 1 2 32 4 3 5 6= = = = == 6 e Y , calcule:

a) ( )X Yi ii=∑

1

3

b) ( ) ( )X Yi ii

− −=∑ 2 5

1

3

6) Calcule X X9 21 e , sabendo-se que:

X X X Xii

ii

iii

iii

= = = == = =

≠=≠

∑ ∑ ∑ ∑200 1206 190 11541

502

1

50

19 21

502

19 21

50

e e

7) Dados:i Yi Xi

1 3 102 5 113 9 154 10 195 2 216 1 26

Calcule as seguintes quantidades:

a) Xii=∑

1

6

c) f Xi ii

2

1

6

=∑

b) fii=∑

1

6

d)f X

f

i ii

ii

=

=

∑

∑1

6

1

6

8) Sabendo-se que:

X X X X XY Y Y Y Y

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 4 8 7 63 8 2 5 6

= = = = == = = = =

, , , ,, , , ,

Calcule:

a) Xiii=≠

∑12

5

d) ( )2 32

4

Xii

−=∑

b) 41

5

Xii=∑ e) X Yi i

i=∑

1

5

c) ( )Xii

+=∑ 6

3

5

f) ( )X Yi ii

+=∑

1

5


12

RESPOSTAS

2) a) 192 b) 140 c) 19,59 d)746,66

3) a) 5 31

+

j

b) -18 c) 3025 d)

154440

4) a) 27 b) 144 c) 50 d)Não é possível

5) a) 62 b) 4

6) 4 e 6

7) a) 102 b) 30 c) 8098 d)15,93

8) a) 24 b) 112 c) 39 d) 29

e) 128 f) 52

Education

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