Cđ giải hpt không mẫu mực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THCS & THPT HAI BÀ TRƯNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÔNG MẪU MỰC

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

PHÚC YÊN - 2014

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Phần nội dung 6

1.1 Một số hệ phương trình thường gặp . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . 6

1.1.2 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . 6

1.1.3 Hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một

phương trình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Hệ đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Hệ đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Hệ đẳng cấp bậc hai đối với hai biến x & y . . . . 8

1.2 Một số kiến thức cần nắm vững khi giải hệ phương trình

không mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 10

1.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . 10

1.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2. Một số bài tập tự luyện 26

2.1 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi

tuyển sinh vào các trường THPT chuyên, lớp chọn và đề thi học sinh

giỏi các cấp, đặc biệt là thi học sinh giỏi môn toán lớp 9.

Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài

toán khó, đòi hỏi người học phải có năng lực tư duy logic, kiến thức phải

chắc chắn về hệ phương trình.

Chính vì vậy giải hệ phương trình luôn gây được sự hấp dẫn đối

với người dạy lẫn người học. Có nhiều phương pháp để giải hệ phương

trình, tuy nhiên không có phương pháp nào vạn năng để giải được mọi

bài toán.

Trong quá trình giảng dạy học sinh ôn thi vào lớp 10 và bồi dưỡng

học sinh giỏi toán 9,tôi thấy học sinh gặp phải khó khăn và lúng túng

khi giải hệ phương trình đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu

mực. Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá đưa việc giải các

hệ phương trình không mẫu mực về giải hệ phương trình quen thuộc, cơ

bản là vấn đề trăn trở, suy nghĩ của bản thân tôi cũng như nhiều đồng

nghiệp. Để bồi dưỡng chuyên môn đồng thời giúp các em học sinh lớp 9

có thêm một vài phương pháp giải hệ phương trình nên tôi viết chuyên

đề với tên đề tài:

"Một số phương pháp

giải hệ phương trình không mẫu mực"

Với một số phương pháp giải hệ này tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong

việc rèn luyện tư duy toán học cho các em học sinh và là nguồn tài liệu

nhỏ giúp các em luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho các kì thi

Trường THCS &THPT Hai Bà Trưng Chuyên đề Toán

học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10.

2. Mục đích nghiên cứu

Trang bị cho học sinh về một số phương pháp giải hệ phương trình

không mẫu mực mạng lại hiệu quả rõ rệt.

Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kĩ năng giải toán, qua đó

học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Thông qua tìm tòi, tổng hợp để đưa ra được các dạng bài tập và

phương pháp giải cho từng dạng bài toán giúp học sinh có kiến thức

chắc về nội dung hết sức quan trọng của chương trình.

4. Đối tượng nghiên cứu

Hệ phương trình trong chương trình đại số 9.

Phân loại các dạng toán và phương pháp giải mỗi dạng

5. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn nghiên cứu

Chuyên đề được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương

trình toán đại số 9

Hệ phương trình không mẫu mực

6. Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo sách, báo, tài liệu.

Thực tiễn giảng dạy

GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 4


Tham khảo các đề thi HSG các tỉnh, đề thi các trường chuyên


Chương 1

NỘI DUNG

1.1 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1.1.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa 1.1. Là hệ phương trình có dạng:

{ax + by = c (1)

a′x + b′y = c′ (2)

trong đó phương trình (1), (2) là phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.

Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:

• Phương pháp thế

• Phương pháp cộng đại số

• Phương pháp đồ thị

• Sử dụng máy tính cầm tay

• Phương pháp tính theo định thức,...

1.1.2 HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Định nghĩa 1.2. Là hệ phương trình có dạnga1x + b1y + c1z = d1 (1)

a2x + b2y + c2z = d2 (2)

a3x + b3y + c3z = d3 (3)

trong đó phương trình (1), (2) và (3)

là phương trình bậc nhất ba ẩn x, y và z.

Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:



• Phương pháp cộng đại số

• Phương pháp đồ thị

• Sử dụng máy tính cầm tay

• Phương pháp tính theo định thức,...

1.1.3 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI

ẨN VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Định nghĩa 1.3. Là hệ phương trình có dạng{ax + by + c = 0

f(x, y) = 0

trong đó x, y là ẩn và f(x, y) là biểu thức chứa hai biến x, y

Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng:


1.1.4 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Định nghĩa 1.4. Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của hai

ẩn cho nhau trong mỗi phương trình thì từng phương trình đó không

thay đổi

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi tương đương làm xuất hiện x + y và x.y

Bước 2: Đặt S = x + y và P = x.y (với S2 ≥ 4P )



Bước 3: Giải hệ phương trình với ẩn mới là S, P . Tìm được S, P

Bước 4: Tìm nghiệm x; y của hệ phương trình đã cho

1.1.5 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Định nghĩa 1.5. Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của

hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành

phương trình kia và ngược lại.

Cách giải: Trừ vế cho vế tương ứng của các phương trình để biến đổi

về phương trình tích có nhân tử là x− y, rồi thế ẩn này theo ẩn kia để

giải hệ phương trình.

1.1.6 HỆ ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI BIẾN x & y

Định nghĩa 1.6. Là hệ phương trình có dạng

{ax2 + bxy + cy2 = d

a′x2 + b′xy + c′y2 = d′

Cách giải:

Nếu x 6= 0 thì ta đặt y = kx rồi nhận xét và chia vế cho vế ta được

phương trình ẩn k, tìm được k từ đó tìm được x, y

Nếu x = 0 thì viết lại hệ phương trình đã cho và giải hệ phương trình

đó.

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

• Các hằng đẳng thức.

• Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử



• Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

• Tính ∆ và ∆′

• Cách giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn,...

• Các phép biến đổi tương đương.



1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÔNG MẪU MỰC

Không có phương pháp chung để giải mọi hệ phương trình không mẫu

mực. Tùy theo đặc trưng các phương trình của hệ mà ta lựa chọn những

phương pháp như: Biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp

đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức,... để dưa hệ đã cho thành các hệ đơn

giản hơn hoặc các hệ quen thuộc ( mẫu mực) từ đó ta tìm ra tập nghiệm

của hệ phương trình.

1.3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc

biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng

đơn giản hơn.

DẠNG 1 Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích

của các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình:

{xy + x + y = x2 − 2y2 (1)

x√

2y − y√x− 1 = 2x− 2y (2)

Nhận xét: Dễ dàng thấy phương trình (1) của hệ có thể đưa về phương

trình tích, từ đó ta tìm được x theo y, thay vào phương trình (2), từ đó

tìm được giá trị y, giá trị x. Lời giải

• Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0 (∗)

pt (1)⇔ x2 − xy − 2y2 − (x + y) = 0

⇔(x2 − y2

)− y (x + y)− (x + y) = 0

⇔ (x + y) (x− 2y − 1) = 0

⇔ x = 2y + 1, (x + y ≥ 1)



• Thay x = 2y + 1 vào phương trình (2) và biến đổi:

(y + 1)(√

2y − 2)

= 0⇔ y = 2, (do y ≥ 0)⇒ x = 5

• Do x = 5, y = 2 thỏa mãn điều kiện (*).

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là

(x; y) = (5; 2)


{6x2 − 3xy + x = 1− y (1)

x2 + y2 = 1 (2)

Lời giải

pt (1)⇔ 6x2 − 3xy + 3x− 2x + y − 1 = 0

⇔(6x2 − 2x

)− (3xy − y) + (3x− 1) = 0

⇔ (3x− 1) (2x− y + 1) = 0

⇔

x =1

3y = 2x + 1

• Thay x =1

3vào phương trình (2) và biến đổi ta được:

y2 =8

9⇔

y =2√

2

3

y = −2√

2

3

• Thay y = 2x + 1 vào phương trình (2) và biến đổi :

x2 + (2x + 1)2 = 1⇔ 5x2 + 4x = 0

⇔ x (5x + 4) = 0

⇔

x = 0

x = −4

5



• Với x = 0 thì y = 1

• Với x = −4

5thì y = −3

5

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) =

(1

3;2√

2

3

), (x; y) =

(1

3;−2√

2

3

),

(x; y) = (0; 1) , (x; y) =

(−4

5;−3

5

).

DẠNG 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình rồi biến

đổi về phương trình tích


{x3 + y3 = 1 + y − x + xy (1)

7xy + y − x = 7 (2)

Lời giải Cộng vế với vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta

được:

x3 + y3 + 6xy = 8⇔[(x + y)3 − 23

]− 3x2y − 3xy2 + 6xy = 0

⇔ (x + y − 2)(x2 + y2 + 4− xy + 2y + 2x

)= 0

⇔ (x + y − 2)[(x− y)2 + (x + 2)2 + (y + 2)2

]= 0

⇔

[x + y − 2 = 0

(x− y)2 + (x + 2)2 + (y + 2)2 = 0

⇔

[y = 2− x

x = y = −2



Với y = 2− x, thay vào phương trình (2), ta được:

7x2 − 12x + 5 = 0⇔

x = 1

x =5

7

⇔

x = y = 1

x =5

7

y =9

7

Với x = y = −2, không thỏa mãn phương trình (2) của hệ loại


(x; y) = (1; 1) , (x; y) =

(5

7;9

7

)

Ví dụ 1.4. Giải hệ phương trình:x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5

4(1)

x4 + y2 + xy (1 + 2x) = −5

4(2)

(I)

Lời giải

(I)⇔

x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5

4(x4 + 2x2y + y2

)+ xy = −5

4

⇔

(x2 + y

)+ xy

(x2 + y

)+ xy = −5

4(3)(

x2 + y)2

+ xy = −5

4(4)

Trừ vế với vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được:(x2 + y

)+ xy

(x2 + y

)−(x2 + y

)2= 0⇔

(x2 + y

) (x2 + y − 1− xy

)= 0

⇔

[x2 + y = 0

x2 + y − 1− xy = 0

⇔

[y = −x2

x2 + y = 1 + xy



Với y = −x2, thay vào phương trình (2) ta được:

x3 =5

4⇔ x =

3

√5

4khi đó y = − 3

√25

16Với x2 + y = xy + 1 thay vào phương trình (4) ta được:

(xy + 1)2 + xy = −5

4⇔ (xy)2 + 3xy +

9

4= 0

⇔(xy +

3

2

)2

= 0⇔ xy +3

2= 0

⇔ xy = −3

2

Khi đó

x2 + y = −1

2

xy = −3

2

⇔

x = 1

y = −3

2Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là:

(x; y) =

(3

√5

4;− 3

√25

16

); (x; y) =

(1;−3

2

)

DẠNG 3:Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương

trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn đó là ẩn y, lúc đó ta xem

x là tham số.

Biểu diễn y qua x bằng cách giải phương trình bậc hai ẩn y

Ví dụ 1.5. Giải hệ phương trình:{y2 = (x + 8)

(x2 + 2

)(1)

16x− 8y + 16 = 5x2 + 4xy − y2 (2)

Nhận xét: Viết phương trình (2) về dạng phương trình bậc hai ẩn y

, x là tham số thì phương trình này có ∆′ là bình phương của một biểu

thức, ta tìm được giá trị y, từ đó tìm được x.



Lời giải

Biến đổi phương trình (2) về dạng:

y2 − (4x + 8) y +(16 + 16x− 5x2

)= 0 (3) là phương trình bậc hai ẩn

y, x là tham số.

Có ∆′ = 9x2, phương trình (3) có hai nghiệm là y = 4−x hoặc y = 5x+4

Với y = 4− x thay vào phương trình (1) ta được:

(4− x)2 = (x + 8)(x2 + 2

)⇔ (x + 2) (x + 5)x = 0⇔

x = 0

x = −2

x = −5

Do đó hệ có nghiệm

(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) = (−5; 9) ,

Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) ta được:

(5x + 4)2 = (x + 8)(x2 + 2

)⇔ x (x− 19) (x + 2) = 0⇔

x = 0

x = 19

x = −2

Do đó, Hệ có nghiệm:

(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2;−6) ,


(x; y) = (0; 4) , (x; y) = (19, 99) , (x; y) = (−2;−6) , (x; y) = (−2; 6) , (x; y) =

(−5; 9) ,


{x2 + 2 = 3x + y − xy (1)

x2 + y2 = 2 (2)

Nhận xét: Viết phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai ẩn x

, y là tham số thì phương trình này có ∆ là bình phương của một biểu

thức, ta tìm được giá trị x, từ đó tìm được y.

Lời giải Biến đổi phương trình (1) về dạng: x2 + (y − 3)x + (2− y) =

0 (3) là phương trình bậc hai ẩn x, y là tham số.



Ta có: ∆ = (y − 1)2, khi đó phương trình (3) có hai nghiệm là

x = 1, x = 2− y

Với x = 1, thay vào phương trình (2) ta có y = ±1

Với x = 2−y, thay vào phương trình (2) ta có (2− y)2+y2 = 2⇔ y = 1

khi đó x = 1

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (1;−1)

1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

• Phương pháp này có thể đặt một hoặc hai ẩn để đưa hệ đã cho

thành hệ đơn giản hơn với các ẩn phụ mới. Giải hệ đối với ẩn phụ

mới, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình ban đầu.

• Có thể từ hệ phương trình đã cho nhìn thấy ngay ẩn phụ mới, cũng

có khi phải thông qua một vài phép biến đổi mới có thể nhìn thấy

việc đặt ẩn phụ


{2√

x2 + 3y −√

y2 + 8x− 1 = 0

x (x + 8) + y (y + 3)− 13 = 0

Nhận xét: Cả 2 phương trình của hệ ta đều thấy có biểu thức:√x2 + 3y và

√y2 + 8x nên ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ hai ẩn mới.

Lời giải Điều kiện:

{x2 + 3y ≥ 0

y2 + 8x ≥ 0(∗)

Đặt a =√

x2 + 3y; b =√

y2 + 8x (a ≥ 0, b ≥ 0)



Hệ phương trình đã cho trở thành:{2a− b = 1

a2 + b2 = 13⇔

{b = 2a− 1

a2 + (2a− 1)2 = 13

⇔

{b = 2a− 1

(5a + 6) (a− 2) = 0

⇔

b = 2a− 1 a = 2

a = −6

5(loại)

Do đó{a = 2

b = 3⇒

{ √x2 + 3y = 2√y2 + 8x = 3

⇔

y =

4− x2

3(4− x2

3

)2

+ 8x = 9

⇔

y =4− x2

3(x− 1) (x + 5)

(x2 − 4x + 13

)= 0

⇔

y =

4− x2

3[x = 1

x = −5

⇔

{

x = 1

y = 1{x = −5

y = −7

(thỏa mãn điều kiện)

Bằng cách thử, vậy hệ có nghiệm là

(x; y) = (1; 1), (x; y) = (−5;−7)


{x2 + y2 + 2y = 4 (1)

2x + y + xy = 4 (2)



Nhận xét: Chưa nhìn thấy ngay để dùng phương pháp đặt ẩn phụ, ta

biến đổi phương trình (1) và phương trình (2) để xuất hiện biểu thức

chung x(y + 1) và x + (y + 1) Lời giải{x2 + y2 + 2y = 4

2x + y + xy = 4⇔

{x2 + (y + 1)2 = 5

x (y + 1) + [x + (y + 1)] = 5

Đặt a = x + (y + 1), b = x(y + 1)

Khi đó{a2 − 2b = 5

a + b = 5⇔

{b = 5− a

a2 − 10 + 2a = 5⇔

{b = 5− a

a2 + 2a− 15 = 0

⇔

b = 5− a[a = 3

a = −5

⇔

[a = 3; b = 2

a = −5; b = 10

Với a = 3, b = 2 ta có

{x + (y + 1) = 3

x (y + 1) = 2⇔

[x = y = 1

x = 2; y = 0

Với a = −5, b = 10 ta có

{x + (y + 1) = −5

x (y + 1) = 10hệ này vô nghiệm

Bằng cách thử, vậy hệ có nghiệm:

(x; y) = (1; 1), (x; y) = (2; 0)


{y + xy2 = 6x2 (1)

1 + x2y2 = 5x2 (2)

Nhận xét:

• Nếu x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

• Nếu x 6= 0 chia cả hai vế của phương trình (1) và phương trình (2)

cho x2 6= 0 để 2 phương trình xuất hiện biểu thức chung1

x+ y và

y

x



Lời giải

Với x = 0, không thỏa mãn hệ phương trình

Với x 6= 0 chia cả hai vế (1) và (2) cho x2 6= 0 ta được:y

x2+

y2

x= 6

1

x2+ y2 = 5

⇔

y

x

(1

x+ y

)= 6(

1

x+ y

)2

− 2y

x= 5

Đặt S =1

x+ y; P =

y

x. Khi đó ta có{P.S = 6

S2 − 2P = 5⇔

{S = 3

P = 2

Ta có

{x = 1

y = 2hoặc

x =1

2y = 1

Bằng cách thử, Vậy hệ phương trình có nghiệm:

(x; y) = (1; 2) , (x; y) =

(1

2; 1

)


(x + y)

(1 +

1

xy

)= 5(

x2 + y2)(

1 +1

x2y2

)= 49

Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại 1, nếu ta đặt ẩn phụ theo tổng và

tích như cách thông thường thì được hệ phương trình ẩn mới vẫn phức

tạp.

Nhưng nếu thông qua một vài bước biến đổi, sau đó mới sử dụng phương

pháp đặt ẩn phụ thì được hệ phương trình đơn giản hơn.

Lời giải Điều kiện x 6= 0, y 6= 0



Ta có(x + y)

(1 +

1

xy

)= 5(

x2 + y2)(

1 +1

x2y2

)= 49

⇔

(x +

1

x

)+

(y +

1

y

)= 5(

x2 +1

x2

)+

(y2 +

1

y2

)= 49

Đặt a = x +1

x; b = y +

1

yKhi đó ta có hệ phương trình{

a + b = 5

a2 + b2 = 53⇔

{a = 5− b

(5− b)2 + b2 = 53⇔

{a = 5− b

(b + 2) (b− 7) = 0

⇔

{

a = 5− b

b = −2{a = 5− b

b = 7

⇔

{

a = 7

b = −2{a = −2

b = 7

Do đó

x +

1

x= 7

y +1

y= −2

x +1

x= −2

y +1

y= 7

⇔

x =7∓√

45

2y = −1 x = −1

y =7∓√

45

2

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là

(x; y) =

(7 +√

45

2;−1

); (x; y) =

(7−√

45

2;−1

)GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 20


(x; y) =

(−1;

7 +√

45

2

); (x; y) =

(−1;

7−√

45

2

)

1.3.3 PHƯƠNG PHÁP THẾ

Rút ra một ẩn hoặc 1 biểu thức hoặc một số từ phương trình này thế

vào phương trình kia để được 1 phương trình đơn giản hơn, nhờ đó ta

có hệ phương trình đơn giản hơn.

Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy 1 phương

trình của hệ mà một ẩn chỉ có bậc nhất hoặc ở cả hai phương trình của

hệ có cùng 1 biểu thức chung

Nhiều khi phải thông qua một vài bước biến đổi tương đương rồi mới có

thể sử dụng phương pháp thế được

Ví dụ 1.11. Giải hệ phương trình:{x2 (y + 1) (x + y) = 3x2 − 4x + 1 (1)

xy + x + 1 = x2 (2)

Nhận xét: Dễ dàng rút y từ phương trình (2) của hệ, thay vào phương

trình (1) ta được phương trình ần x, từ đó có lời giải như sau:

Lời giải

• Ta thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2)

• Với x 6= 0, thì (2) ⇔ xy = x2 − x − 1 ⇔ y =x2 − x− 1

x, thay vào



phương trình (1) ta được:

x2.

(x2 − x− 1

x+ 1

).

(x +

x2 − x− 1

x

)= 3x2 − 4x + 1

⇔(x2 − 1

) (2x2 − x− 1

)= (x− 1) (3x− 1)

⇔ x (x− 1)(2x2 + x− 5

)= 0

⇔ (x− 1)(2x2 + x− 5

)= 0 (vìx 6= 0)

⇔

x = 1

x =−1±

√41

4

Với x = 1 thì y = −1

Với x =−1 +

√41

4thì y =

−27 + 3√

41

20

Với x =−1−

√41

4thì y =

−27− 3√

41

20Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm là

(x; y) = (1;−1)

(x; y) =

(−1 +

√41

4;−27 + 3

√41

20

),

(x; y) =

(−1−

√41

4;−27− 3

√41

20

)


{ √7x + y +

√2x + y = 5 (1)

√2x + y + x− y = 2 (2)

Nhận xét: Cả hai phương trình của hệ đều có biểu thức√

2x + y nên

từ phương trình (2) ta rút√

2x + y = 2 + y−x rồi thế vào phương trình

(1).

Lời giải Điều kiện:

{7x + y ≥ 0

2x + y ≥ 0



• Từ phương trình (2) suy ra√

2x + y = 2 + y − x (x− y ≤ 2), thế

vào phương trình (1) ta được:√

7x + y = 3 + x− y (x− y ≥ −3)

• Do đó ta được:−3 ≤ x− y ≤ 2

7x + y = 9 + x2 + y2 + 6x− 2xy − 6y

2x + y = 4 + y2 + x2 + 4y − 4x− 2xy

⇔

−3 ≤ x− y ≤ 2

5x + 2y = 5 + 10x− 10y

2x + y = 4 + y2 + x2 + 4y − 4x− 2xy

⇔

−3 ≤ x− y ≤ 2

x = 2y − 1

2 (2y − 1) + y = 4 + y2 + (2y − 1)2 + 4y − 4 (2y − 1)− 2xy

⇔

−3 ≤ x− y ≤ 2

x = 2y − 1

y2 − 11y + 11 = 0

⇔

−3 ≤ x− y ≤ 2

x = 10 +√

77

y =11 +

√77

2 x = 10−√

77

y =11−

√77

2

⇔

x = 10−√

77

y =11−

√77

2

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

(x; y) =

(10−

√77;

11−√

77

2

)GV: Nguyễn Thị Thanh Huyền Trang 23



{x3 + 2xy2 + 12y = 0 (1)

x2 + 8y2 = 12 (2)

Nhận xét: Nếu thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình (1) thì ta có thể

biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích

Lời giải

Thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình (1) ta được:

x3 + 2xy2 +(x2 + 8y2

)y = 0⇔ (x + 2y)

(x2 − xy + 4y2

)= 0

⇔

[x = −2y

x2 − xy + 4y2 = 0

Hệ phương trình đã cho tương đương

{

x = −2y

x2 + 8y2 = 12(I){

x2 − xy + 4y2 = 0

x2 + 8y2 = 12(II)

Giải hệ (I):

{x = −2y

y2 = 1⇔

{

x = −2

y = 1{x = 2

y = −1

Giải hệ (II):

(x− y

2

)2+

15

4y2 = 0

x2 + 8y2 = 12⇔

{x = 0; y = 0

x2 + 8y2 = 12hệ vô nghiệm


(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (2;−1)


{y3 + xy2 + 3x− 6y = 0 (1)

x2 + xy = 3 (2)



Lời giải Ta có{y3 + xy2 + 3x− 6y = 0 (1)

x2 + xy = 3 (2)⇔

{y3 + xy2 + 3x− 2.3y = 0 (3)

x2 + xy = 3

Thay 3 = x2 + xy vào phương trình (3) ta được:

y3 + xy2 +(x2 + xy

)x− 2y

(x2 + xy

)= 0⇔ (x + y) (x− y)2 = 0

⇔

[x = −yx = y

• Với x = −y, thay vào phương trình (2) ta được y2−y2 = 3, phương

trình vô nghiệm

• Với x = y, thay vào phương trình (2), ta được:

y2 + y2 = 3⇔

y =

√3

2

y = −√

3

2

Bằng cách thử, vậy hệ phương trình có nghiệm

(x; y) =

(√3

2;

√3

2

), (x; y) =

(−√

3

2;−√

3

2

)


Chương 2

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.1 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 2.1. Giải hệ phương trình sau:

{y (xy − 2) = 3x2

y2 + x2y + 2x = 0

Gợi ý:

Cộng theo từng vế của hai phương trình rồi biến đổi thành phương trình

tích

Đáp số:

(x; y) = (0; 0) , (x; y) =

(−13√

3;− 3√

3

), (x; y) = (2;−2)


y2 + 1

y=

x2 + 1

x

x2 + 3y2 = 4

Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−1;−1) ,

(x; y) =

(√3;

1√3

); (x; y) =

(−√

3;− 1√3

)


{x2 + xy = 6

x3 + y3 + 18y = 27

Gợi ý: Thay 6 = x3 + xy vào phương trình (2)

Đáp số: (x; y) = (2; 1)



{xy + x + 1 = 7y

x2y2 + xy + 1 = 13y2

Gợi ý: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt x +1

y= a,

x

y= b

Đáp số: (x; y) = (3; 1) , (x; y) =

(1;

1

3

)


{x2 − xy + x− y = 4

3x2 − 3xy − 5x + 5y = 4

Gợi ý: Thế 4 = (x + 1) (x− y) vào phương trình (2) rồi biến đổi thành

phương trình tích

Đáp số: (x; y) = (3; 2)


{x2 + xy + y2 = 19(x− y)2

x2 − xy + y2 = 7 (x− y)

Gợi ý: Viết phương trình (1) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn x

Đáp số: (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2;−3) ,


{4x2 + y4 − 4xy3 = 1

4x2 + 2y2 − 4xy = 2

Gợi ý: Trừ theo từng vế của phương trình (2) và phương trình (1) rồi

biến đổi thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (0;−1) ,

(x; y) = (−1;−1) , (x; y) =

(− 1√

5;

1√5

), (x; y) =

(1√5

;− 1√5

),



Bài tập 2.8. Giải hệ phương trình sau{x2 + y2 + x + y = 8

x2 − 3y2 + 2xy − x + 5y − 2 = 0

Gợi ý: Viết phương trình (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn x

Đáp số:

(x; y) = (1; 2) , (x; y) = (−3;−2) ,

(x; y) =

(−1 + 3

√69

10;7 + 3

√69

10

), (x; y) =

(−1− 3

√69

10;7− 3

√69

10

).


x2 + y2 +2xy

x + y= 1

√x + y = x2 − y

Gợi ý: Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−2; 3)


{x3 − y3 = 4x + 2y

x2 − 1 = 3(1− y2

)Gợi ý: Thay 4 = x2 + 3y2 vào phương trình (1) và biến đổi thành

phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (2; 0) , (x; y) = (−2; 0) , (x; y) =

(−5√

7

7;

√7

7

),

(x; y) =

(5√

7

7;−√

7

7

), (x; y) = (−1; 1) , (x; y) = (1;−1) ,




{x2 − 2xy + x− 2y + 3 = 0

y2 − x2 + 2xy + 2x− 2 = 0

Gợi ý: Nhân hai vế của phương trình (1) với (2) rồi cộng theo từng vế

phương trình (2)

Đáp số:

(x; y) =

(−5−

√21

2;−1−

√21

2

), (x; y) =

(−5 +

√21

2;−1 +

√21

2

),


{x(xy − 2y2

)= 3

x2 + y − 2xy = 4

Gợi ý: Trừ vế với vế phương trình (1) và phương trình (2) rồi biến đổi

thành phương trình tích

Đáp số:

(x; y) = (3; 1) , (x; y) = (−1;−1) ,

(x; y) =(

3 +√

10; 3), (x; y) =

(3−√

10; 3),


x2 +

4

y2= 4

x− 2

y− 4x

y= −2

Gợi ý: Đặt x− 2

y= a,

4x

y= b

Đáp số:

(x; y) = (0; 1) , (x; y) =

(2 + 2

√7

3;1 +√

7

2

)



(x; y) =

(2− 2

√7

3;1−√

7

2

)

Bài tập 2.14. Giải hệ phương trình sau:x− 2y − 2

x+ 1 = 0

x2 − 4xy + 4y2 − 4

x2+ 1 = 0

Gợi ý: Đặt x− 2y = a,2

x= b

Đáp số: (x; y) = (2; 1)


{x4 − x3y + x2y2 = 1

x3y − x2 + xy = −1

Gợi ý: Trừ vế với vế của phương trình (1) và phương trình (2), Rồi

đặt x2 − xy = t

Đáp số: (x; y) = (1; 0) , (x; y) = (−1; 0) ,


{(x− y)

(x2 + y2

)= 13

(x + y)(x2 − y2

)= 25

Gợi ý: Trừ theo từng vế phương trình (1) và phương trình (2), rồi đặt

x− y = a, xy = b

Đáp số: (x; y) = (3; 2) , (x; y) = (−2;−3) ,

Bài tập 2.17. Giải hệ phương trình sau:{x2 + y2 + x + y = 4

x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2

Gợi ý: Phương pháp thế



Đáp số:

(x; y) =(−√

2;√

2), (x; y) =

(√2;−√

2)

(x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1;−2)


{x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9

x2 + 2xy = 6x + 6

Gợi ý: Thế xy =6x + 6− x2

2vào phương trình (1)

Đáp số: (x; y) =

(−4;

17

4

)


{x (x + 2) (2x + y) = 9

x2 + 4x + y = 6

Gợi ý: Đặt x (x + 2) = a; 2x + y = b

Đáp số: (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (−3; 9)


{ √2x + y + 1−

√x + y = 1

3x + 2y = 4

Gợi ý: Đặt ẩn phụ

Đáp số: (x; y) = (2;−1)

Bài tập 2.21. Giải hệ phương trình sau:4xy + 4

(x2 + y2

)+

3

(x + y)2= 7

2x +1

x + y= 3

Gợi ý: Đặt ẩn phụ

Đáp số: (x; y) = (1; 0)




KẾT LUẬN

Kiến thức được trình bày trong chuyên đề đã được giảng dạy cho các

em học sinh giỏi lớp 9 và các lớp luyện thi vào lớp 10

Kết quả thu được khả quan, các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi

cái mới, cái hay, các em có niềm tin trong học tập, không ngại khó, yêu

thích môn Toán.

Với loại hệ phương trình này người thầy phải biết phân loại bài, biết vận

dụng sáng tạo phương pháp và định hướng cách giải cho học sinh

Mặc dù rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề nhưng không tránh khỏi

những thiếu xót, hạn chế nhất định. Vì vậy tôi mong muốn được đồng

nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Để hoàn

thành được chuyên đề này tôi xin được chân thành cảm ơn Ban giám

hiệu, các đồng chí trong tổ Toán - Lý - Tin đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ

tôi trong suốt quá trình làm chuyên đề.

Phúc Yên, ngày 07 tháng 03 năm 2014

Người viết

Nguyễn Thị Thanh Huyền

Education

Cđ giải hpt không mẫu mực