38
Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013- 2014 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc Đối tượng: Học sinh lớp 9 Số tiết: 15 tiết I. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là một môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông. Nó giúp học sinh phát triển tư duy logic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất đạo đức, hơn nữa môn toán là một môn học công cụ nên việc học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Tuy nhiên môn toán cũng là môn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn khi học toán, song không vì vậy mà toán học thiếu đi sự hấp dẫn đối với người học. Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh gii là phân môn Bất đng thức và giá tr lớn nhất, giá tr nh nhất. Nhưng đây cũng là phần rất khó của bộ môn Toán. Bất đng thức là một vấn đ cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càng được quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đp và thú v nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiu sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh gii, học sinh có năng khiếu học toán. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiu bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó. Tuy nhiên cái khó đây không nm gánh nặng v lượng kiến thức mà yêu cầu óc quan sát, linh cm tinh tế và sức sáng tạo ri rào của người học, vì thế người học luôn có thể gii được bng những kiến thức rất cơ bn và Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Trang 1/31

Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

  • Upload
    canh

  • View
    660

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường

Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc

Đối tượng: Học sinh lớp 9

Số tiết: 15 tiết

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là một môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông. Nó giúp học sinh phát triển tư duy logic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất đạo đức, hơn nữa môn toán là một môn học công cụ nên việc học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Tuy nhiên môn toán cũng là môn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn khi học toán, song không vì vậy mà toán học thiếu đi sự hấp dẫn đối với người học.

Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh gioi là phân môn Bất đăng thức và giá tri lớn nhất, giá tri nho nhất. Nhưng đây cũng là phần rất khó của bộ môn Toán.

Bất đăng thức là một vấn đê cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càng được quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đep và thú vi nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiêu sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh gioi, học sinh có năng khiếu học toán. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đăng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiêu bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó. Tuy nhiên cái khó ơ đây không năm ơ gánh nặng vê lượng kiến thức mà ơ yêu cầu óc quan sát, linh cam tinh tế và sức sáng tạo rôi rào của người học, vì thế người học luôn có thể giai được băng những kiến thức rất cơ ban và việc hoàn thành được những chứng minh như vậy là một niêm vui thực sự.

Trong công tác bôi dưỡng học sinh gioi môn toán thì bài toán bất đăng thức, giá tri nho nhất, lớn nhất là một bài toán có kha năng rèn luyện cho học sinh óc phán đoán và tư duy logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giai quyết dạng toán này.

Đối với học sinh trung học cơ sơ, việc chứng minh một bất đăng thức thường có rất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng đinh nghĩa hoặc bất đăng thức Cauchy để chứng minh. Tuy nhiên việc sử dụng bất đăng thức Cauchy để chứng minh các bài toán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu học sinh phai biết cách biến đổi một cách hợp lý, thậm chí là phai rất tinh tế.

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 1/31

Page 2: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1. Bất đẳng thức Cauchy

a. Cho hai số thực không âm a,b. Khi đó ta có: . Dấu “=” xay ra khi a=b

b. (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm .Khi đó ta có:

Dấu “=” xay ra khi .

Bất đăng thức này còn được gọi là bất đăng thức liên hệ giữa trung bình cộng

và trung bình nhân hay bất đăng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean)

Chứng minh:

-Với n=2 bất đăng thức hiển nhiên đúng và dấu băng xay ra khi và chỉ khi a1=a2.

- Gia sử bất đăng thức đúng đến n=k, tức là ta có:

, dấu băng xay ra khi .

-Xet khi n=k+1.Với ta có:

(1)

Theo gia thiết quy nạp, suy ra (2)

Dấu “=” trong (2) xay ra (theo gia thiết quy nạp) khi

Đặt và khi đó (2) dạng (3)

Từ (3) ta có (4)

Dê dàng thấy răng:

Do nên suy ra Do đó bất đăng thức Cauchy

cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra bất đăng thức Cauchy đúng

.

Dấu băng xay ra khi .

2. Ví dụ .

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 2/31

Page 3: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Ví dụ 1.

Cho các số thực dương x, y, z thoa mãn . Chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Chứng minh tương tự, ta được:

(Đăng thức xay ra khi và chỉ khi )

(Đăng thức xay ra khi và chỉ khi )

Cộng vế với vế các bất đăng thức trên, ta được:

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi .

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi .

Từ (1) và (2), ta có điêu phai chứng minh.

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi .

Chú ý: Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đăng thức Cauchy như ví

dụ trên mà thường phai biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rôi mới sử dụng

bất đăng thức Cauchy. Khi biến đổi, ta thường sử dụng những số hạng của một vế

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 3/31

Page 4: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

cộng thêm các số hạng thích hợp và sử dụng bất đăng thức Cauchy . Khi biến đổi, ta

lưu ý một số nhận xet sau:

Nhận xét 1 . Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.

Ví dụ 2. Với các số thực dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phai có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất

đăng thức Cauchy cho 3 số không âm. Chăng hạn, số hạng sẽ ứng với bộ ba số

. Cứ như vậy, ta thu được bất đăng thức cần chứng minh.

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cô-si, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Ví dụ 3. Với các số thực không âm a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 4/31

Page 5: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Nhận xét 2. Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng

bậc của số hạng cần mô tả.

Ví dụ 4. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phai không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu băng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đăng

thức. Bậc của số hạng cần mô ta là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai.

Chăng hạn, số hạng có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phai chứa nhân tử

b. Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

(1)

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi :

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 5/31

Page 6: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Lại có, (2)

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi .

Từ (1) và (2) suy ra:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi .

Ví dụ 5. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phai không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu băng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đăng

thức. Bậc của số hạng cần mô ta là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng là

một.

Chăng hạn, số hạng có chứa mẫu là b, c và bậc của số hạng thêm vào là 1 nên

các số hạng thêm vào là b, c:

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 6/31

Page 7: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Nhận xét 3. Khi bậc không bằng nhau thì số hạng cộng thêm có thể là hằng số.

Ví dụ 6. Với các số dương a, b, c thoa mãn điêu kiện , chứng minh

răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Cho thay vào điêu kiện ta tính được

Sử dụng bất đăng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hăng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô ta điêu kiện và bất đăng thức cần chứng minh.

Chăng hạn, với số hạng ab trong điêu kiện xác đinh, ta sử dụng các số hạng

:

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 7/31

Page 8: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Ví dụ 7. Với các số dương a, b, c thoa mãn điêu kiện , chứng

minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Biến đổi điêu kiện, ta được:

Cho thay vào điêu kiện ta tính được

Sử dụng bất đăng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hăng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô ta điêu kiện và bất đăng thức cần chứng minh.

Chăng hạn, với số hạng trong điêu kiện, ta sử dụng bất đăng thức Cauchy cho

các số dương , ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 8/31

Page 9: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Giải. Ta có:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Nhận xét 4. Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất đẳng

thức để thêm hệ số cho thích hợp.

Ví dụ 8. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phân tích: Cho thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

chăng hạn số hạng ta thu được . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa

nhân tử . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng và sử dụng bất đăng thức

Cauchy với n = 3:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 9/31

Page 10: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đăng thức cần chứng minh.

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Tương tự, ta có:

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Ví dụ 9. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 10/31

Page 11: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Phân tích: Cho thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng

minh, chăng hạn số hạng ta thu được . Mặt khác, số hạng này lại có mẫu

chứa nhân tử . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng và sử dụng

bất đăng thức Cauchy với n = 3:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đăng thức cần chứng minh.

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Tương tự, ta có:

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi )

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi )

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 11/31

Page 12: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Nhận xét 5. Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức

phụ.

Ví dụ 10. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Dấu đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Tương tự, ta có:

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi: )

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi: )

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đăng thức phụ:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 12/31

Page 13: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi: )

Ta có:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Ví dụ 11.

Cho x, y, z là các số dương và . Chứng minh răng:

Giải.

Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:

Thật vậy, ta có:

Áp dụng bất đăng thức trên, ta có:

Bất đẳng thức phụ 2 : với các số dương a ,b, c, ta có:

Áp dụng bất đăng thức trên, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 13/31

Page 14: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Theo gia thiết:

Do đó:

Từ (1), (2), (3) ta có điêu phai chứng minh.

Ví dụ 12.

Cho x, y, z là các số dương thoa mãn . Chứng minh răng

Giải. Áp dụng bất đăng phụ với các số dương x, y:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi x = y.

Ta có:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi:

Tương tự, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 14/31

Page 15: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi: )

(Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi: )

Cộng vế với vế của các bất đăng thức trên, ta được:

Dấu đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Nhận xét 6. Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các

bất đẳng thức đơn giản.

Ví dụ 13. Với các số dương a, b, c thoa mãn , chứng minh răng:

Đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Đặt , ta thu được: .

Ta có:

Biến đổi tương tự, ta được:

Bất đăng thức cần chứng minh có dạng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 15/31

Page 16: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Áp dụng bất đăng thức trong Ví dụ 1, ta có:

Do đó, ta có điêu phai chứng minh.

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Ví dụ 14. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Chia ca hai vế cho , ta được:

Đặt bất đăng thức cần chứng minh có dạng:

Bất đăng thức trên đó được chứng minh ơ Ví dụ 6.

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Nhận xét 7. Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy.

Ví dụ 15. Với a, b, c dương, chứng minh răng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 16/31

Page 17: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Giải. Đặt

Ta có:

Mặt khác, ta có:

Chứng minh tương tự, ta được:

Cộng vế với vế các bất đăng thức trên , ta được:

Ta có điêu phai chứng minh.

Ví dụ 16. Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh răng:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 17/31

Page 18: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Giải. Đặt

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên dương.

Ta có:

Bất đăng thức cần chứng minh có dạng:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế các bất đăng thức trên , ta được:

Áp dụng bất đăng thức , ta được:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 18/31

Page 19: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Nhận xét 8. Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng

không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 17. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế các bất đăng thức trên, ta có:

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi

Ví dụ 18. Với các số dương a, b, c, chứng minh răng:

Đăng thức xay ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 19/31

Page 20: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Cộng vế với vế các bất đăng thức trên, ta có:

Đăng thức xay ra khi và chỉ khi

3. MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

3.1. KỸ THUẬT CAUCHY NGƯƠC DẤU

3.1.1.Ví dụ mở đầu:

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

(Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”- NXB giáo

dục-Tr 77).

Lời giải:

Chứng minh bất đăng thức riêng:

Ta có:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 20/31

Page 21: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

(Bất đăng thức luôn đóng).

Dấu “=” xay ra a=b

Do đó, ta có: (1)

Tương tự, ta có: , dấu “=” xay ra khi b=c (2)

, dấu “=” xay ra khi a=c (3)

Cộng (1),(2),(3) vế với vế ta được :

(ĐPCM)

Dấu “=” xay ra a=b=c

Nhận xét: Bất đăng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ

không “tự nhiên” khi tác gia đưa ra bất đăng thức riêng . Ta thấy

răng khi đã tìm ra bất đăng thức riêng này thì bài toán trơ nên thật đơn gian, tuy nhiên

làm thế nào để tìm ra bất đăng thức riêng đó, đó là điêu ta cần phai giai đáp cho học

sinh và giúp học sinh tìm ra bất đăng thức riêng trong các bài tương tự.

3.1.2. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.

Chứng minh rằng: .

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đăng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có:

?

Như vậy ta sẽ được một bất đăng thức đổi chiêu, và do đó ta không có được điêu phai

chứng minh.

Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:

, thật may mắn vì đến đây ta được một bất đăng

thức cùng chiêu. Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rôi cộng chúng lại ta được

điêu phai chứng minh

Lời giải:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 21/31

Page 22: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Ta có:

Tương tự ta có

Cộng các bất đăng thức trên với nhau vế với vế ta được:

Mặt khác ta có:

Từ đó suy ra

Nhận xét: Như vậy ta thấy răng qua một phep biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta

muốn áp dụng bất đăng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu

thức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đăng thức Cauchy cho mẫu mà vẫn

được các bất đăng thức cùng chiêu. Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:

Lời giải:

Ta có: .Dấu “=” xay ra khi a=b.

Tương tự ta có: .Dấu “=” xay ra khi b=c.

. Dấu “=” xay ra khi a=c.

Cộng ba bất đăng thức trên vế với vế ta được :

Dấu “=” xay ra khi a=b=c.

Từ bài toán Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài toán tương tự sau:

Ví dụ 20: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

.

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 22/31

Page 23: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Ví dụ 21:Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:

.

Ví dụ 22: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

Ví dụ 23: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:

.

Ví dụ 24:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:

Ví dụ 25: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:

Ví dụ 26: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3,ta có:

Ví dụ 27: Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:

.

Hướng dẫn

Ta có: .

Từ đó ta cần chứng minh: (*)

Vì .

Bây giờ chúng ta cùng trở lại với Ví dụ mở đầu:

.

Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có:

.

Như vậy, ta có bất đăng thức riêng mà tác gia Nguyên Đức Tấn đã

đưa ơ Ví dụ trên mà tôi đã giới thiệu .

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 23/31

Page 24: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

3.2. KỸ THUẬT CHON ĐIÊM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.

3.2.1. Điêm rơi trong đánh giá tư trung binh công sang trung binh nhân.

Ví dụ 28 : Cho . Tìm giá tri nho nhất của biểu thức

Phân tích:

Sai lầm thường gặp khi giai bài toán trên là: Áp dụng bất đăng thức Cauchy cho

các số không âm ta có: .Vậy min S=2

Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 mâu thuẫn với gia thiết .

Tim lời giải đung:

Vì bất đăng thức Cauchy xay ra dấu “=” tại điêu kiện các số tham gia phai băng nhau,

nên thay cho việc áp dụng bất đăng thức Cauchy cho cặp số ta sẽ áp dụng bất

đăng thức Cauchy cho cặp số .Khi đó để bất đăng thức Cauchy xay ra dấu “=” thì

.Mặt khác ta nhận thấy min S đạt được khi a=3(trong điêu kiện ).Do đó ta

có sơ đô điểm rơi ứng với a=3

.Từ đó ta có lời giai đúng sau:

Lời giải đung:

Ta có .Dấu “=” xay ra

khi a=3

Vậy MinS=

Ví dụ 29: Cho a,b là hai số dương có tích băng 1.Chứng minh răng

Phân tích:

Ta dự đoán dấu băng trong bất đăng thức đã cho xay ra khi

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 24/31

a =3

Page 25: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Với a=b=1 ta có sơ đô điểm rơi: .Từ đó ta có lời giai:

Lời giải:

Ta có:

Dấu “=” xay ra khi .

Ví dụ 30: Cho thoa mãn: .

Tìm giá tri nho nhất của biểu thức T=

Phân tích:

Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đăng thức Cauchy cho các số không âm a,b,c

ta được: suy ra minT=4.

Nguyên nhân sai lầm: minT=4 mâu thuẫn với

gia thiết

Tim lời giải đung:

Vì dấu “=” xay ra khi nên khi đó

Sơ đô điểm rơi:

Lời giải đung:

Ta có:

Dấu “=” xay ra khi .

Vậy minT=

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 25/31

Page 26: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

3.2.2. Điêm rơi trong đánh giá tư trung binh nhân sang trung binh công

Ví dụ 31: Cho và .Tìm giá tri lớn nhất của

Phân tích:

Sai lầm thường gặp:

Tương tự: và

Từ đó suy ra:

Nguyên nhân sai lầm: max S= mâu thuẫn với gia thiết

.

Tim lời giải đung:

Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại:

Khi đó ta có

Lời giải đung:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Từ đó suy ra . Dấu “=” xay ra khi

Vậy MaxS=

Ví dụ 32: Cho thoa mãn a+b+c=1. Chứng minh răng

Phân tích: Do vế trái của biểu thức cần chứng minh là một biểu thức đối xứng với

a,b,c nên dấu “=” xay ra khi .Khi đó ta có: .

Lời giải:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 26/31

Page 27: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

Từ đó ta có :

Tương tự:

suy ra

Dấu “=” xay ra khi

3.3. KỸ THUẬT ĐÔNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Ví dụ 33: Chứng minh răng:

Phân tích:

Do ca hai vế là các biểu thức bậc 1 nên biểu thức cộng thêm cũng phai có bậc 1

Lại có cũng là biểu thức bậc 1, từ đó ta có lời giai sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các bất đăng thức trên vế với vế ta được: hay

.Dấu “=” xay ra khi a=b=c

Ví dụ 34: Cho và . Chứng minh răng:

Phân tích: Vì vế trái là một biểu thức có bậc 2 nên ta sử dụng gia thiết để

đưa bất đăng thức đã cho thành bất đăng thức đông bậc 2:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 27/31

Page 28: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

. Khi đó biểu thức cộng thêm cũng phai là một biểu

thức bậc 2.

Lời giải:

Áp dụng bất dăng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các bất đăng thức trên vế với vế ta được:

Do .Suy ra: Hay

Dấu “=” xay ra khi

Môt số ví dụ có cách giải tương tự

Ví dụ 35: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh răng:

a)

b)

Ví dụ 36: Cho .Tìm giá tri nho nhất của biểu thức

Ví dụ 37: Cho . Tìm giá tri nho nhất của biểu thức

Ví dụ 38: Cho và .Tìm giá tri nho nhất của biểu thức

Ví dụ 39:Cho và .Tìm giá tri nho nhất của biểu thức:

Ví dụ 40: Cho Cho và .Tìm giá tri nho nhất của biểu thức:

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 28/31

Page 29: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

III. KẾT LUẬN

Như vậy, ngoài việc áp dụng trực tiếp bất đăng thức Cauchy thì một số lượng

lớn các bài toán cần phai áp dụng bất đăng thức dưới những biến dạng và những kỹ

thuật khác nhau. Các kỹ thuật này đã làm cho việc áp dụng bất đăng thức Cauchy trơ

lên phong phú và đa dạng hơn nhiêu. Nó cũng giúp giai quyết các bài toán một cách

nhanh chóng và hiệu qua hơn.

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán sử dụng bất đăng thức Cauchy

mặc dù lượng kiến thức phai sử dụng là không nhiêu song lại yêu cầu óc quan sát, linh

cam tinh tế và sức sáng tạo rôi rào để có những nhận dạng một cách chính xác và có

những biến đổi hợp lý trước khi áp dụng bất đăng thức Cauchy.

Với cùng một bài học nhưng mỗi giáo viên có một phương pháp tiếp cận,một

phương pháp giang dạy khác nhau điêu đó tùy thuộc vào mức độ nhận thức của học

sinh. Với cùng một chuyên đê nhưng khi trình độ của học sinh không giống nhau thì

phương pháp giang dạy cũng không thể như nhau.Vì vậy người giáo viên càn phai tìm

được một phương pháp dạy, một cách tiếp cận vấn đê sao cho phù hợp với đối tượng

học sinh của mình nhất.

Trên đây là một chuyên đê nho mà ban thân tôi thấy rất càn thiết trong

quá trình bôi dưỡng học sinh gioi,hy vọng chuyên đê này sẽ góp phần nang cao chất

lượng học sinh gioi của ban thân tôi và các bạn đông nghiệp trong thời gian tới. Rất

mong sự đóng góp ý kiến của cá đông nghiệp.

Xin chân thành cam ơn!

Vĩnh tường, ngày 01 tháng 3 năm 2014

Người viết

Phùng Văn Long

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 29/31

Page 30: Cđ một số kỹ thuật sd bđt cauchy

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1]. Trần Phương

“Nhưng viên kim cương trong bất đẳng thức toán hoc.”NXB Tri Thức-Năm 2009

[2].Nguyên Đức Tấn

“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”-NXB Giáo Dục-Năm 2003

[3].Nguyên Đê-Nguyên Hoàng Lâm

“Các bài toán bất đẳng thức hay và khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001

[4].Nguyên Vũ Thanh

“263 bài toán bất đẳng thức chon loc”-NXB Đại Hoc Quốc Gia TPHCM-Năm 2000

[5].Nguyên Kim Hùng

“Sáng tạo bất đẳng thức”-NXB Hà Nội –Năm 2010

[6].Trần Tuấn Anh

“Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức”-NXB Tổng hợp TPHCM-Năm 2006

[7].Phan Huy Khai

“10.000 bài toán sơ cấp- bất dẳng thức”-NXB Hà Nội-Năm 2001

[8].Phan Huy Khai

“Chuyên đề bất đẳng thức chon loc cho hoc sinh phổ thông cơ sở”- NXB Giáo dục-

1998

[9].Nguyên Văn Quí-Nguyên Tiến Dũng-Nguyên Việt Hà

“Các dạng Toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nho nhấ...”-NXB Đà

Năng-1998

[10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu

“Old and New Inequality”- Gil publishing House

[11] Old and new inequaliti.-internet

Phùng Văn Long-THCS Vĩnh TườngTrang 30/31