Cevianas Notáveis (Prof. Andréa Thees)

Atividade 1: Medianas

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?id=55

A mediana de um triângulo é um segmento que liga um vértice do ao ponto médio do lado oposto.

1.1 Instruções:

No applet acessado você pode mudar forma do triângulo arrastando qualquer um dos vértices.O botão “Show Median” exibe as 3 medianas do triângulo, traçadas de cada um dos seus vértices. O botão “Show Measurements” fornece a medida de cada uma das medianas, e o botão “Show Sum Relationships” mostra um gráfico que com a relação entre a soma das medidas dos lados, o perímetro (p) e a soma das medidas das medianas.

1.2 Exploração:

Arraste os pontos A, B e C para ajustar o tamanho e a forma do triângulo. Clique no botão “Show Median” para apagar cada uma das 3 medianas.

Você percebeu algo em relação às 3 medianas do triângulo? Em particular, o que você observou em relação à interseção das medianas? Você acha que isso sempre irá acontecer? Ajuste o triângulo e teste sua hipótese.

Pesquise na Internet. Qual o nome do ponto de encontro das 3 medianas?

Clique no botão “Show Measurements” e “Show Sum Relationships”. Aparecerão as medidas das medianas, assim como um gráfico mostrando a relação entre o perímetro (p) do triângulo e a soma das medidas das medianas. Note que o perímetro é igual à soma das medidas dos lados AB + BC + AC.

A soma das medidas das medianas pode ser igual a ¾ do perímetro do triângulo? Ajuste os vértices do triângulo e descubra.

A soma das medidas das medianas pode ser igual ao perímetro? Ajuste os vértices do triângulo e descubra.

O que você concluiu sobre a relação entre a soma das medidas das 3 medianas e o perímetro do triângulo?

Atividade 2: Bissetriz

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=157

Se você quiser inscrever uma circunferência num triângulo, onde estará o centro desta circunferência? Este applet permite que você encontre o incentro de um triângulo, assim como a explicação desta propriedade geométrica.

2.1 Instruções:

O botão “Show/Hide” pode ser usado para mostrar as bissetrizes e a circunferência com centro na interseção das bissetrizes.

Arraste o ponto indicado na circunferência até que a mesma seja tangente aos 3 lados do triângulo.

2.2 Exploração:

O centro da circunferência inscrita em um triângulo é chamado de incentro do triângulo. Onde fica o incentro?

Atividade 3: Localização do Hospital

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=156

Membros de uma comunidade estão tentando encontrar a melhor localização para um novo centro médico para atender os moradores de 3 cidades: Helena, Boise e Salt Lake City. Onde o centro médico deverá ser construído, de forma que a distância dele até cada uma das 3 cidades seja a mesma?

3.1 Instruções:

Arraste o Hospital para locais diferentes. Você poderá ver a distância do hospital até cada cidade.O botão “Show/Hide Bisector” mostra a mediatriz de cada lado do triângulo. O botão “Show/Hide Circle” mostra a circunferência com o hospital no centro. O ponto dobre a circunferência pode ser arrastado para ajustar o seu tamanho.No início da atividade, as distâncias entre as cidades são reais. Entretanto, para investigar outras localidades, esses 3 pontos podem ser arrastado para outras posições.

3.2 Exploração:

Onde o hospital deve ser construído para atender às populações das 3 cidades? Por que as mediatrizes dos lados de um triângulo estão relacionadas com este problema?

Atividade Extra: Investigação sobre a Reta de Euler

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?id=51

A Reta de Euler relaciona 3 pontos especiais referentes aos triângulos: circuncentro – centro da circunferência circunscrita e ponto de interseção das mediatrizes dos 3 lados

de um triângulo. ortocentro – interseção das 3 alturas de um triângulo baricentro – interseção das 3 medianas de um triângulo

Instruções:

Arraste os pontos A, B ou C para mudar o tamanho e forma do triângulo.Os botões do lado direito (para mostrar ou esconder linhas e pontos) podem ser usados para construir a Reta de Euler de um triângulo. O botão “Show Side Lenghts” mostra as medidas de AB, BC e CA. O botão “Show Distances” mostra as distâncias entre pontos especiais. Clique em “Star Over” para recomeçar.

Exploração:

Para determinar a Reta de Euler em qualquer triângulo, siga os passos:

For any triangle, determine the Euler line with the following steps:

1. Construir as mediatrizes do triângulo.2. Construir o circuncentro O, a interseção das 3 mediatrizes.3. Esconda as mediatrizes.4. Construir as Alturas do triângulo.5. Construir o ortocentro H, a interseção das alturas.6. Esconder as alturas.7. Construir as medianas do triângulo.8. Construir o baricentro G, a interseção das medianas.9. Esconder as medianas.10. Construir a Reta de Euler.

Você pode arrastar alguns dos vértices do triângulo para mudar sua forma.

O que acontece ao circuncentro, ao ortocentro, e ao baricentro do triângulo? É possível para que o circuncentro, o ortocentro, e o baricentro coincidam? Depois de desenhar a Reta de Euler, ajuste os vértices do triângulo. Para que tipo de triângulo especial

estes três pontos coincidem? Clique no botão “Show Side Lengths” e repare a relação entre os comprimentos dos lados quando os

pontos coincidem. O que acontece quando o triângulo é isósceles? E quando o triângulo é retângulo?

Atividades traduzidas de: http://illuminations.nctm.org/ (acesso em 10/04/2010)

Para mais informações:http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/08/pontos-notaveis-de-um-triangulo.htmlhttp://www.exatas.com/matematica/euler.html