1

( Rotational and rolling motion)

( rigid object )

( pure rotational motion

2

(Angular displacement velocity and acceleration)

O xy P O r

r ( O

q x q r x y

P (arc) s (radian : rad)

O (

z )

3

rs

r

s

6.1a

6.1b

o

o

P Q t (the angular displacement)

if

i = initial : f = final

4

P Q t = tf-ti

f- i

( the average angular speed) (omega bar)

t

itft

if

5

(instantaneous angular speed) w t t

ttotlim

rad/s s- radian

i f t (the average angular acceleration ) ( alpha

t

6

titft

if 6.5

7

t

t/

dt

d

tt 0lim 6.6

radians/second

8

( angular position) ( angular speed) ( angular acceleration )

v (linear speed) a (linear acceleration)x,v,a

xy

the right hand rule ) a

9

(The rotational motion with constant angular acceleration)

ti = , tf = t integrate dtd

f

i

tt

0

tif6.7

integrate

tidt

d

10

ttdt

f

i

tdtid

00

2

2

1ttiif

t

)(222ifif

6.8

6.9

11

ativfv

2

2

1atatixfx

)(222ixfxaivfv

tif

2

2

1ttiif

)(222ifif

12

. Rotating wheel.

. rad/s ti(a) t = s (b) t = s

(a) 2

2

1ttiif

2

2

1tti

2).2)(2/50.3(2

1)00.2)(/00.2( oossradssrad

rad0.11

reereerad deg630)deg3.57)(11(

13

(b) tif

)00.2)(2/50.3()/00.2( ssradsradf

sradf /00.9

14

The angular and linear quantities)

P

velocity) P

dt

dsv

rs

O P

15

dt

dr

dt

dsv

dt

d

rv 6.10

r v

at P v t

16

dt

dr

dt

dvta

rta 6.11

v /r P

rv

22

rr

vra

6.12

P

a P

rataa ta

17

42422222 rrrrataa 6.13

ar

P a = at + ar

18

. CD playerCD

CD CD

CD

. m/s

A compact disk

19

(a) r = mm track r = mm

track

sradm

sm

ir

vi /5.5631023

/3.1

min/2104.5min/60/2

/5.56revs

revrad

srad

20

track

sradm

sm

fr

vf /4.222108.5

/3.1

min/2101.2min/60/2

/4.22revs

revrad

srad

21

(b) CD

(angular position )

f

sss 4473)33(min)/60min74(

)(2

1fi

tfiif )(2

1

revss

revrev 4108.2)447360

min1min)(/210min/540(

2

10

22

(c ) track

mssmtivfx 3108.5)4473)(/3.1(

Rotational energy )

i mi vi

2

2

1ivimiK

23

r iriv

i i ivirimivimi iKRK 22

2

12

2

1

i irimRK 2)2(2

1

(the moment of inertia) Kg.m

i irimI 26.15

24

2

2

1IRK 6.1

6

( rotation kinetic energy)

v

2

2

1IRK

2

2

1mvE

25

. The oxygen moleculeO xy Z

. x - kg

(a) z

Z d/

2

2

12)2

(2)2

(2 mdd

md

mi irimI

2.461095.1

2)101021.1)(261066.2(2

1

mkg

mkg

26

(b) Z . x

2

2

1IRK

J

sradmkg

211006.2

2)/121060.4)(2.461095.1(2

1

27

. Four rotating masses

28

(a) y

m y ( ri m y)

22222 MaMaMai irimyI

y

222)22(2

12

2

1MaMayIRK

29

m

y

x x

22maxI

22MbK R

(b) xy O ( z )

ri

222222222 mbMambmbMai

MairimzI

2222222 )()22(2

1

2

1mbMambMaIK zR

30

(a) (b)

(a) y

(calculation of moments of inertia)

mintegral i imirI 2 0m

idmrimirm

I 22

0lim 6.1

7

31

V differential

Vm/

dVdm/

dVrI 2

r r

32

Uniform hoopM R

dm O

33

dm r = R z O

222 MRdmRdmrzI

R

34

Uniform rigid rod

y)

y y/

35

dx dm

dxL

Mdxdm

dm r = x

dxL

Lx

L

ML

Ldx

L

MxdmrI

y

2/

2/

22/

2/

22

2

12

12/

2/3

3ML

L

L

x

L

M

36

Uniform solid cylinderR M

z )

I

r dr L dV LrdrLdAdV )2(.

37

4

2

1

0

322 LRR

drrLdmrIz

LR2 LRMVM 2//

2

2

14)2(2

1MRR

LR

MLzI(1)

L

38

39

the parallel-axis theorem)

2MDCMII 6.18

40

M L y

Question

2

2

1MLCMI

3

3

12)2

(2

2

12 MLL

MMLMDCMII

2

48

7MLI

41

(Torque)

O F

F

FdrFsin6.19

FF

42

r d

d (moment arm)

r O

d

F

sinrd F

F

F

43

O

( counterclockwise )

dO

1F

2F

1F

2F

11dF

22dF

221121 dFdF

44

The net torque on a cylinder

R1F

2F

(a) z )

O RR2F

1F

45

1F

2F

11FR

22FR

221121 FRFR

1F

2F

46

(Relationship between torque and angular acceleration)

tF

rF

47

m r Ft Fr

tmatF

Ft

rtmartF

rta

)2()( mrrmr

48

z

I 6.20

I

O dm

49

dm

dFtta

tadmtdF )(

d dFt

tardmtrdFd )(

rta

)2()( dmrrrdmd

50

integrate ta

dmrdmr 2)2(

O

dmr2

I 6.21

51

(Rolling motion of a rigid object)

( pure rolling motion)

cycloid

52

R

. a) Rs

Rdt

dR

dt

dsCMv

6.22

53

Rs

Rdt

dR

dtCMdv

CMa 6.23

54

P P

P Vcm

Vcm

55

P P

translation motion ) ( the rotational motion ) . a

. c

RCMv 22

CMvCMvCMvRCMv 2

2

2

1PIK 6.2

4

IP P

56

2MRCMIPI

22

2

12

2

1MRCMIK

57

RCMv

2

2

12

2

1CMMvCMIK 6.25

2

2

1CMI

2

2

1CMMv

58

59

RCMv

2

2

12)(2

1CmMV

RCMv

CMIK

2)2(2

1CMvM

RCMI

K 6.26

Mgh h

MghCMvMRCMI 222

1

2/1

2/12

MRCMIgh

CMv

6.27

60

K=

MghgU

gh2

2

5

2MRCMI

61

2/1

7

10

2/1

2

25/21

2gh

MR

MR

ghCMv

x

gh2

sinxh

sin7

102 gxCMv

xCMaCMv 22

sin7

5gCMa

62

vCMsing

sing

63

64

CMMafMgxF sin

0cosMgnyF

(1)

x

n Mg

fR

CMIfRCM

65

2

5

2MRCMI RCMa /

CMMaRCMa

R

MR

RCMI

f5

22

5

2

(2)

sin7

5gCMa

a

maF F

F

66

O

r F xy z

z z z z z

F r

sinrF

r F

67

r F

Fr 6.2

8A

B

BA

sinAB A

B

BAC

sinABC

68

cross product

sinAB A

B

C

C

A

B

C

BA

C

A

B

69

cross product

ABBA

6.31

A

B

BA

A

A B

B

BA

ABBA

CABA)CB(A 6.3

2cross product t

Bdt

Ad

dt

BdA)BA(

dt

d

6.33

70

โดยเวกเตอรห์น่วย i , j , k ของการคูณแบบ cross product ปฏิบติัดังกฎเหลา่น้ี

i i j j k k 0 (6.34a)

i j j i k (6.34b)

ijkkj (6.34c)

k i i k j (6.34d)

ผลคูณเวกเตอรข์องเวกเตอรใ์ด ๆ A

และ B

สามารถเขียนใหอ้ยูใ่นรปูแบบของ ดีเทอรม์แินนท์

(determinant form ) ดังน้ี

A B

i j k

A A A

B B B

i

A A

B Bj

A A

B Bk

A A

B Bx y z

x y z

y z

y z

x z

x z

x y

x y

ซึง่ใหผ้ลการค านวณดังน้ีkBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy )()()(

(6.35)

71

ตวัอยา่ง 6.13 ผลคณูแบบ cross product

เวกเตอร ์A i j2 3 และเวกเตอร ์

B i j2 อยูบ่นระนาบ xy จงหา BA

และ

พสิจูน์ว่า A B B A

วิธีท า

จากสมการที ่ 6.34a ถงึ 6.34b จะไดว่้า A B i j i j( ) ( )2 3 2

kkkijji 734))(3()22(

จะเหน็ว่าเทอม i i j j k k 0 ดงัสมการที ่6.34 a

ตอ่ไปจะพสิจูน์ว่า A B B A

B A i j i j( ) ( )2 2 3

)22()3( ijji

3 4 7k k k

ดงัน้ัน

B A k7

เทยีบกบัผลจากสว่นแรกจะไดว่้า

A B B A

เปน็จรงิ

72

(Angular momentum of a particle)

73

m

L

P

r

PrL

m

O

r

v L

P

r

74

PrL

SI kg.m / s

xy

L r P

Pr L

vmP

L

sinmvrL

r P L r P

00 1800 or

r P

6.36

6.37

75

dtPdF /

dt

PdrFr

6.3

8

Pdt

rd

dt

PdrPr

dt

d

dt

Ld

)(

dt

rdv

vmP

76

dt

Pdr

dt

Ld

6.3

9

dt

Ld

6.40

dtPdF /

L

P

P

77

i iLnLLLL

21

dt

Ld

i iLdt

d

i dt

Ldext

6.41

78

xy

r PrL

79

(a) O

L

r v

mvromvrL 90sin

xy xy

L

L

vmP

v r PrL

v

L r v L

kmvrL

)( L

80

(b) จงหาขนาดและทศิทางของ L ในเทอมของอตัราเรว็เชงิมมุ

วิธีท า

เน่ืองจาก v r ส าหรบัอนุภาคทีห่มนุเป็นวงกลมจะได้ว่า

L mvr mr I2

เมือ่ I คือโมเมนต์ความเฉ่ือยของอนุภาครอบแกน z ซึง่ผ่านจดุ O เน่ืองจากเป็นการหมนุทวนเข็ม

นาฬิกา

มทีศิตามแกน z ( ดูเน้ือหา 6.1 ) โดย L

มทีศิเดียวกบั

หรอื L I I k

Question kg m/s

81

(Angular momentum of a rotating rigid object)

z

L

IL

z O irivim iriv

82

2irimiL

z

Li

L

i irimi irimzL

22

IzL 6.42

I z I

Idt

dI

dtzdL

6.43

83

dtzdL/

IdtzdL

ext 6.44

IL L

84

kg /s

z z

zL

L

85

2.035.02)12.0)(6(5

22

5

2mkgmkgMRI

)/2)(/10)(2.035.0( revradsrevmkgIL

smkg /2.2.2

86

M l m m

87

a)

2

12

1MlI

2mrI

2

22

2

212

12

1 lm

lmMlI

2134

2mm

Ml

)3

(4

21

2

mmMl

IL

88

b)

m = m

m g

22or

Iext

cos211l

gm 1

m g

cos2

122 gm 2

89

O

cos)21(2

121 glmmext

m > mI

ext

Iext

)213/(

cos)21(2

mmMl

gmm

Iext

(vertical position) (horizontal position)

22or or0

Questionm > m

90

m mR

mm

91

vRm1 vRm2 RIvI /

R

vIvRmvRmL 21

(1)

mm g

R gRmext 1

92

dt

dLext

R

vIvRmvRm

dt

dgRm 211

dt

dv

R

I

dt

dvRmmgRm 211(2)

dv/dt = a

2/)21(1

RImm

gma

93

(Conservation of angular moment )

0dt

Ldext

6.45

L

6.46

n

ค่าคงท่ีnL

94

2mrI IL

คา่คงที่fLiL

6.47

Lz z LIzL

คา่คงท่ีfωfIiωiI 6.48

95

( isolated system)

fUfKiUiK

fPiP

fLiL

96

I IL

97

supernova km

km4101

98

T TI

rT

2

2

4101

0.3)30(2

2

km

kmdays

ir

fr

iTfT

sdays 23.06107.2

99

(the Merry-Go-Round)

M = kg R =

. rad/s r = . m

100

IS

22

2

1mRMRSiIPiIiI

r < R

22

2

1mrMRsfIpfIfI

R Ipf

101

ffIiiI

fmrMRimRMR 22

2

122

2

1

imrMR

mRMR

f 22

2

1

22

2

1

sradsradf /1.4/0.215200

240200

102

oiL

iL

L

103

iL

whellLiLsystemL

iLwhellinvertedL

104

iL

iLstoolstudentLiLfL

iLstoolstudentL

2

105

/s

(a) (b)

(a) )(222

ifif

2

2222

/47)2)(60(2

)2)(/30(0

)(2srad

radsrev

if

if

(b) tif

s

t if

447

)2)(30(0

106

s /s

(a) (b)

(a) tif

t

if

2/86.07

/60srev

s

srev

22 /38.5)/86.0)(2( sradsrev

107

(b) t

revssrevsrev

tif 21)7(2

)/6/0(

2

radrev 132)21)(2(

kg cm

222 .96.0)4.0)(6( mkgmkgMrI

2

2

1I

sradรอบradsรอบ /4.31)/2)(60min/1min)(/300(

JsradmkgKE 4732)/4.31)(2.96.0(2

1

108

II

2211II

21

11

II

I

109

kg m/s

2.2106.1 mkg

2

2

12

2

1mvIKE

2

2

22 )/4)(4(2

1

1.0

/4).106.1(

2

1smkg

m

smmkg

J8.44

kg . m . rad /s

smkgsradmkgmrIL /2.36.0)/0.6(2)2)(3(2

12

2

1

110

http://www.lehigh.edu/~jcl3/lecture.html

2. http://www.pas.rochester.edu/~tipton/p121-1n.pdf

3. http://www.udayton.edu/~amophys/125/fift/fift.html

4. http://www.rockpile.phys.virginia.edu/arcoo/arch16.pdf

5. http://www.webcomposer.pace.edu/moremland/hs-physics/hs-phys-lec8.html