Embed Size (px)
Citation preview
1
Chương 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục
Mômen quán tính của mặt cắt ngang Mômen quán tính của một số hình phẳng
đơn giản Công thức chuyển trục song song của
mômen quán tính Công thức xoay trục của mômen quán tính
2
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục
O
y
xx
ydF
xC
yCC
=
=
∫
∫
F
y
F
X
xdFS
ydFS
3
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục
Sx, Sy
x, Sy là (chiều dài)3 Do x, y có thể âm hoặc dương nên Sx, Sy có thể âm hoặc dương.SX=0, Sy=0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ SX=0 thì trục x đi qua trọng tâm mặt cắt.Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm
4
Trọng tâm mặt cắt
=
=
F
Sy
F
Sx
xC
yC
5
Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục
=
=
∫
∫
F
2y
F
2X
dFxJ
dFyJ JX, Jy
y, có thứ nguyên là (chiều dài)4
6
Mômen quán tính của mặt cắt ngang Mômen quán tính độc cực (mômen quán
tính đối với một điểm)
∫ρ=F
2P dFJ
O
y
xx
y
p
F
dF
ρ là khoảng cách từ A(x,y) đến gốc tọa độ, với ρ2 = x2 +y2 ( )∫ +=+=
F
yx22
p JJdFyxJ
7
Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính ly tâm
∫=F
xy xydFJ
8
Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là
là . Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt
Nếu thì bất kỳ
9
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản Mặt cắt hình chữ nhật
12
hbJ
3
y =
12
bhJ
3
x =
10
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản
Mặt cắt hình tam giác
12
bhJ
3
x =
11
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản Mặt cắt hình tròn
2
RJJ
4
yx
π==
44
yx
44
P
D05,064
DJJ
D1,032
DJ
≈π==
≈π=
12
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản
Mặt cắt ngang hình vành khăn
( ) ( )
( ) ( )4444
444444
105,01642
11,01323232
ηηπ
ηηπππ
−≈−===
−≈−=−=
DDJ
JJ
DDdD
J
Pyx
P
13
ix , iy
F
Ji
F
Ji
yy
xx
=
=
14
Mặt cắt hình chữ nhật:
Mặt cắt hình tròn:
Mặt cắt hình vành khăn:
12
hi x =
12
bi y =
4
Dii yx ==
2yx 1
4
Dii α+==
15
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy. Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY
+=+=byY
axX
16
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
+++=
++=
++=
abFbSaSJJ
FaaS2JJ
FbbS2JJ
yxxyYX
2yyY
2xxX
17
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính Nếu x, y là hệ
trục trung tâm, thì Sx = Sy = 0
+=
+=
+=
abFJJ
FaJJ
FbJJ
xyYX
2yY
2xX
Nếu xy là hệ trục quán tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0
=
+=
+=
abFJ
FaJJ
FbJJ
YX
2yY
2xX
18
Công thức xoay trục của mômen quán tính
Vấn đề Có diện tích mặt cắt ngang F Giả sử biết: mômen quán
tính của diện tích F (Jx, Jy, Jxy) đối với hệ trục Oxy.
Tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục Ouv
19
Công thức xoay trục của mômen quán tính
Gọi (u, v) là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta cóu = xcosα + ysinαv = -xsinα + ycosα (a)
Mômen quán tính đối với hệ trục Ouv là
=
=
=
∫
∫
∫
Fuv
F
2v
F
2u
uvdFJ
dFuJ
dFvJ
20
( )α−α+αα−αα=
αα+α+α=
αα−α+α=
22xyyxuv
xy2
y2
xv
xy2
y2
xu
JJJJ
J2JJJ
J2JJJ
cossincossincossin
cos.sincossin
cos.sinsincos
α−α−
=
α+α−
++
=
α−α−
++
=
2J22
JJJ
2J22
JJ
2
JJJ
2J22
JJ
2
JJJ
xyyx
uv
xyyxyx
v
xyyxyx
u
cossin
sincos
sincos
21
Công thức xoay trục của mômen quán tính
Vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm được xác định từ điều kiện Juv=0 hay
yx
xy
JJ
J22tg
−−=α
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính
( )
( ) 2xy
2yx
yx
2xy
2yx
yx
J4JJ2
1
2
JJJ
J4JJ2
1
2
JJJ
+−−+
=
+−++
=
min
max
22
Ví dụ 4.1
Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt
23
Ví dụ 4.1
Xác định trọng tâm mặt cắt
aF
yFy
ii
iii
c 3
53
1
3
1 ==∑
∑
=
=
24
Ví dụ 4.1
Mômen quán tính chính trung tâm
4
3
143
321
a
JJJJ Fx
Fx
Fxx
=
++=
419
321
a
JJJJ Fy
Fy
Fyy
=
++=
25
Ví dụ 4.1
Bán kính quán tính chính
aaF
Ji xx 993,1
12.3
143 2 ===
aaF
Ji yy 258,1
12
19 2 ===
26
Ví dụ 4.2Một thanh ghép gồm
hai thanh Thép chữ ⊂ có số
hiệu N0 20a Thép góc đều cạnh
có số hiệu N08(80x80x6). Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
27
Ví dụ 4.2
Đối với thép chữ ⊂ (số hiệu N0 20a)
h = 20cmb1= 8cm
z1 = 2,27cm
F1 = 25cm2
Jx1 = 1660cm4
Jy1 = 137cm4
28
Ví dụ 4.2
Đối với thép chữ góc đều cạnh (số hiệu N0 8 (80x80x6)
b2= 8cm
z2 = 2,19cm
F2 = 9,38cm2
Jx2 = Jy2 = 57cm4
Jx0 = Jmax = 90,4cm4
Jy0 = Jmin = 23,5cm4
29
Ví dụ 4.2
Xác định trọng tâm mặt cắt:
cmy
cmx
C
C
13,2
217,1
==
Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C1 và C2 là tọa độ trọng tâm của thép ⊂ và thép V:
C1(-1,217; -2,13),
C2(3,25; 5,68)
30
Ví dụ 4.2
Mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
21 FX
FXX JJJ +=
21 FY
FYY JJJ +=
21 FXY
FXYXY JJJ +=
31
Ví dụ 4.2
( ) 421
2C
Fx
FX cm41773132x251660FYJJ
1
1
1
1 ,, =+=+=
( ) ( ) 422
22C
Fx
FX cm635968538957FYJJ 2
2
2 ,,, =+=+=
( ) 421
2C
Fy
FY cm61732171x25137FXJJ
1
1
1
1 ,, =+=+=
( ) 422
2C
Fy
FY cm156253x38957FXJJ
2
2
2
2 =+=+= ,,
32
Ví dụ 4.2 Để tính được mômen quán
tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục O2x2y2.
α+α−
= 2J22
JJJ
00
00
22 yxyx
yx cossin
sin2α=sin900=1Jx0y0=0
4yx cm4533
2
5234990J
22,
,, =−=
33
Ví dụ 4.2
4
111
4325,64
2513,221,10
1
11
1
cm
xx
FbaJJ Fyx
FXY
=+=
+=
4
222
6,206
38,9)68,525,3(45,33
2
22
2
cm
x
FbaJJ Fyx
FXY
=
+=
+=
34
Ví dụ 4.2
4FX
FXX cm2133JJJ 21 =+=
4FY
FYY cm330JJJ 21 =+=
4FXY
FXYXY cm271JJJ 21 =+=
35
Ví dụ 4.2
Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là:
30103302133
271x2
JJ
J22
YX
XY ,tan −=−
−=−
−=α
Giải ra ta được α1= -8036’, α2=81024’
36
Ví dụ 4.2
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm
( )2
J4JJ
2
JJJ
2XY
2YXYX +−
±+=minmax
( )
4
4
22
minmax
5,292
5,2171
2
271.43302133
2
3302133
cm
cm
J
=
+−±+=
37
Ví dụ 4.3
Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt
38
Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa độ C(1,5a; 4a). Qua C lập hệ trục trung tâm XCY, khi đó C1, C2 đối với hệ trục XCY là
( )( )a2aC
aa50C
2
1
−− ,
,,
Xác định trọng tâm mặt cắtChọn hệ trục xOy, chia mặt cắt thành hai hình, trọng tâm mặt cắt được xác định từ công thức
ay
ax
C
C
4
5,1
==
39
Ví dụ 4.3
4FX
FXX a32JJJ 21 =+=
4FY
FYY a17JJJ 21 =+=
4FXY
FXYXY a12JJJ 21 =+=
Mômen quán tính chính
40
Ví dụ 4.3
Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
61a17a32
a12x2
JJ
J22
44
4
YX
XY ,tan −=−
−=−
−=α
Giải ra ta được α1= -290, α2=610
41
Ví dụ 4.3
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là:
( )2
J4JJ
2
JJJ
2XY
2YXYX +−
±+=minmax
( ) ( )4
42424444
a8510
a6538
2
a124a17a32
2
a17a32J
,
,
minmax =+−±+=
