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Ley de Voltaje de
KirchhoffClase 5
03/JUNIO/2014
Ley de Voltaje de Kirchhoff
La ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) establece que la suma algebraica de
las elevaciones y caídas de potencia alrededor de un lazo (o trayectoria)
cerrado es cero.
Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en
una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin
abandonar el circuito.
En la figura 1, al seguir la corriente, es posible trazar una ruta continua que
parte del punto 𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑅1 y regresa a través de 𝐸 sin abandonar elcircuito. Por tanto 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎 es un lazo cerrado.
Ley de Voltaje de Kirchhoff
Nota. Por cuestiones de uniformidad, se empleará la dirección en el
sentido de las manecillas del reloj . Sin embargo, tenga presente que el
mismo resultado se obtendrá si se elige la dirección contraria a las
manecillas del reloj y se aplica la ley de forma correcta.
Se aplica un signo positivo para una elevación de potencia (−𝑎+), y unsigno negativo para una caída de potencial (+𝑎 −). Al seguir la corriente
en la figura 1 desde el punto 𝑎 , primero se encuentra una caída de
potencial 𝑉1(+ 𝑎 −) a través de 𝑅1, y luego otra caída de potencial 𝑉2 a
través de 𝑅2. Al continuar a través de la fuente de voltaje, se tiene una
elevación de potencial 𝐸(−𝑎+) antes de regresar a punto 𝑎.
Ley de Voltaje de Kirchhoff
En forma simbólica, donde representa una sumatoria, el lazo cerrado y
las caídas y elevaciones de potencial, se tiene:
Lo cual reduce para el circuito de la figura 1 (en dirección de las
manecillas de reloj, siguiendo la corriente 𝐼 e iniciando en el punto 𝑑):
𝑉 = 0 (𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚 𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎)
+𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0
Ley de Voltaje de Kirchhoff
O bien
Mostrando que, el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la
suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.
La ley de voltaje de Kirchhoff también puede enunciarse de la siguiente
forma:
𝐸 = 𝑉1 − 𝑉2
𝑉𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑉𝑐𝑎í𝑑𝑎𝑠
Ley de Voltaje de Kirchhoff
La cual establece, en palabras, que la suma de las elevaciones alrededor
de un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de potencial.
Si el lazo se tomara en el sentido contrario de las manecillas del reloj
comenzando por el punto 𝑎, se obtendría lo siguiente:
O de la forma anterior
𝑉 = 0
−𝐸 + 𝑉2 + 𝑉1 = 0
𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2
Ley de Voltaje de Kirchhoff
La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff no necesita seguir una ruta
que incluya elementos portadores de corriente.
Por ejemplo en la figura 2 existe una diferencia en el potencial entre los
puntos 𝑎 𝑦 𝑏, incluso cuando los dos puntos no se encuentran conectadospor un elemento portador de corriente
Ley de Voltaje de Kirchhoff
Demostración de que puede existir un voltaje entre dos puntos no conectados mediante
un conductor portador de corriente
Ley de Voltaje de Kirchhoff
La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerradodará por resultado una diferencia de potencial de 4𝑉 entre los dos puntos.Es decir utilizando la dirección de las manecillas del reloj.
−12𝑉 + 𝑉𝑥 − 8𝑉 = 0
𝑉𝑥 = 4𝑉
Ejercicios
Ejercicio 1
Determine los voltajes desconocidos para las redes de las siguientes
figuras:
Ejercicios
Solución Inciso a
La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 2 en
la dirección de las manecillas del reloj dará por resultado.
Y despejando 𝑉1 tendremos lo siguiente:
El resultado indica claramente que no era necesario conocer los valores
de los resistores o de la corriente para determinar el voltaje desconocido.
+𝐸1 − 𝑉1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 0
𝑉1 = 𝐸1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 16𝑉 − 4.2𝑉 − 9𝑉 = 2.8𝑉
Ejercicios
Solución Inciso b
La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 2 en
la dirección de las manecillas del reloj dará por resultado.
Y despejando 𝑉𝑥 tendremos lo siguiente:
+𝐸 − 𝑉1 − 𝑉𝑥 = 0
𝑉𝑥 = 𝐸 − 𝑉1 = 32𝑉 − 12𝑉 = 20𝑉
Ejercicios
Solución Inciso b
Al utilizar la dirección de las manecillas del reloj para el otro lazo que
contiene a 𝑅2 𝑦 𝑎 𝑅3 se obtendrá lo siguiente
Y despejando 𝑉𝑥 tendremos lo siguiente:
Lo que coincide con el resultado anterior.
𝑉𝑥 − 𝑉2 − 𝑉3 = 0
𝑉𝑥 = 𝑉2 + 𝑉3 = 6𝑉 + 14𝑉 = 20𝑉
Ejercicios
Ejercicio 2
Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2 para la red de la siguiente figura 3
Ejercicios
Solución
Para la trayectoria 1, iniciando en el punto 𝑎 en dirección delas manecillas del reloj
+25𝑉 − 𝑉1 + 15𝑉 = 0
𝑉1 = 40𝑉
Para la trayectoria 2, iniciando el punto 𝑎 en dirección de lasmanecillas del reloj:
−𝑉2 − 20𝑉 = 0
𝑉2 = −20𝑉
Ejercicios
Solución
El signo negativo indica solamente que las polaridades
reales de la diferencia de potencial son opuestas al
polaridad supuesta indicada en la figura.
Ejercicios
Ejercicio 3
Utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff, determine los voltajes
desconocidos para la red de la figura
Ejercicios
Solución inciso a
Observe en cada circuito que existen diversas
polaridades en los elementos desconocidos, dado que
éstos pueden contener cualquier mezcla de
componentes. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff a
la red de la figura en la dirección de las manecillas del
reloj se obtendrá:
60𝑉 − 40𝑉 − 𝑉𝑥 + 30𝑉 = 0
Ejercicios
Solución
Despejando 𝑉𝑥 tenemos que:
𝑉𝑥 = 60𝑉 + 30𝑉 − 40𝑉 = 90 − 40𝑉
𝑉𝑥 = 50𝑉
Ejercicios
Solución inciso b
En la figura b la polaridad de voltaje desconocido no se
proporciona. En tales casos, realice un supuesto acerca
de la polaridad, y aplique la ley de voltaje de Kirchhoff
como antes.
Ejercicios
Solución inciso b
En este caso, si suponemos que 𝑎 es positiva y 𝑏 negativa, laaplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff en dirección de
las manecillas del reloj dará por resultado:
−6𝑉 − 14𝑉 − 𝑉𝑥 + 2𝑉 = 0 𝑦
𝑉𝑥 = −20𝑉 + 2𝑉 = −18𝑉
Dado que el resultado es negativo, sabemos que 𝑎 deberáser negativo y 𝑏 positiva, sin embargo, la magnitud de 18V escorrecta.
Ejercicios
Ejercicio 4
Para el circuito de la figura
a. Calcule 𝑅𝑇
b. Calcule 𝐼
c. Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2
d. Encuentre la potencia de los resistores de 4Ω y 6Ω
e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la
potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados.
f. Verifique la ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del
reloj)
Ejercicios
Ejercicios
Solución
a. Calcule 𝑅𝑇
b. Calcule 𝐼
c. Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2
𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4Ω + 6Ω
𝐼 =𝐸
𝑅𝑇=20𝑉
10Ω= 2𝐴
𝑉2 = 𝐼𝑅2 = 2𝐴 6Ω = 12𝑉
𝑉1 = 𝐼𝑅1 = 2𝐴 4Ω = 8𝑉
Ejercicios
Solución
d. Encuentre la potencia de los resistores de 4Ω y 6Ω
e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la
potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados
𝑃4Ω =𝑉12
𝑅1=8𝑉 2
4=64
4= 16𝑊
𝑃6Ω = 𝐼2𝑅2 = (2𝐴)
2 6Ω = 4 6 = 24𝑊
Ejercicios
Solución
e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la
potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados
𝑃𝐸 = 𝐸𝐼 = (20𝑉)(2𝐴) = 40𝑊
𝑃𝐸 = 𝑃4Ω + 𝑃6Ω
40𝑊 = 16𝑊 + 24𝑊
40𝑊 = 40𝑊 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
Ejercicios
Solución
a. Verifique la ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del
reloj)
𝑉 = +𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0
𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2
20𝑉 = 8𝑉 + 12𝑉
20𝑉 = 20𝑉 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
Ejercicios Intercambio de elementos
en serie
Ejercicio 5
Determine 𝐼 y el voltaje en el resistor de 7Ω para la red de la siguiente
figura
Ejercicios Intercambio de elementos
en serie
Solución
La red se vuelve a trazar de acuerdo a la siguiente figura
Ejercicios Intercambio de elementos
en serie
Solución
Por lo tanto tenemos
𝑅𝑇 = 2 4Ω + 7Ω = 15Ω
𝐼 =𝐸
𝑅𝑇=37.5𝑉
15Ω= 2.5𝐴
𝑉7Ω = 𝐼𝑅 = 2.5𝐴 7Ω = 17.5𝑉
Regla del Divisor de Voltaje
En un circuito en serie, el voltaje en los elementos
resistivos se dividirá en función de la magnitud de los
niveles de resistencia.
Un método denominado regla del divisor de voltaje
(RDV) que permite la determinación de los niveles de
voltaje sin tener que encontrar antes la corriente. La
regla puede derivarse mediante el análisis de la red de
la figura siguiente
Regla del Divisor de Voltaje
Regla del Divisor de Voltaje
𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑦
𝐼 =𝐸
𝑅𝑇
Y al aplicar la ley de Ohm tenemos que:
𝑉1 = 𝐼𝑅1 =𝐸
𝑅𝑇𝑅1 =
𝑅1𝐸
𝑅𝑇
𝑉2 = 𝐼𝑅2 =𝐸
𝑅𝑇𝑅2 =
𝑅2𝐸
𝑅𝑇
Regla del Divisor de Voltaje
Observe que le formato para 𝑉1 𝑦 𝑉2 𝑒𝑠:
𝑉𝑥 =𝑅𝑥𝐸
𝑅𝑇(𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒)
Donde 𝑉𝑥 es el voltaje en los elementos en serie,
y 𝑅𝑇 es la resistencia total del circuito en serie.
Regla del Divisor de Voltaje
El voltaje en un resistor en un circuito en serie es
igual al valor de ese resistor multiplicado por le
voltaje total en los elementos en serie, dividido
entre la Resistencia total de los elementos en
serie.
Ejercicios
Ejercicio 6
Utilice la regla del divisor de voltaje y determine los
voltajes y determine los voltajes 𝑉1 𝑦 𝑉3 para el circuitoen serie de la figura.
Ejercicios
Ejercicios
Solución
𝑉1 =𝑅1𝐸
𝑅𝑇=
2𝑘Ω 45𝑉
2𝑘Ω+5𝑘Ω+8𝑘Ω=2𝑘Ω 45𝑉
15𝑘Ω=90𝑉
15
𝑉1 = 6𝑉
𝑉3 =𝑅3𝐸
𝑅𝑇=8𝑘Ω 45𝑉
15𝑘Ω=360𝑉
15
𝑉3 = 24𝑉
Ejercicios
La regla puede ampliarse al voltaje presente en dos o
mas elementos en serie si la resistencia en el numerador
se desarrolla para incluir la resistencia total de los
elementos en Serie en los que se calcula el voltaje, es
decir:
𝑉′ =𝑅′𝐸
𝑅𝑇(𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)
Ejercicios
Ejercicio 7
Determine el voltaje 𝑉′ de la figura anterior en los
resistores 𝑅1 𝑦 𝑅2
𝑉′ =𝑅′𝐸
𝑅𝑇=2𝑘Ω + 5𝑘Ω 45𝑉
15𝑘Ω=7𝑘Ω 45𝑉
15𝑘Ω= 21𝑉
Ejercicios
Ejercicio 8
Diseñe el divisor de voltaje de la siguiente figura de
forma que 𝑉𝑅1 = 3𝑉𝑅2
Ejercicios
Solución
La resistencia total se define mediante:
𝑅𝑇 =𝐸
𝐼=20𝑉
4𝑚𝐴= 5𝑘Ω
Dado que 𝑉𝑅1 = 4𝑉𝑅2, por lo tanto tenemos
𝑅1 = 4𝑅2
De manera que 𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4𝑅2 + 𝑅2 = 5𝑅2
5𝑅2 = 5𝑘Ω ⟹ 𝑅2 = 1𝑘Ω 𝑦 𝑅1 = 4𝑅2 = 4𝑘Ω
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