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VII. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL :

Son EDO de la forma: + P(x)y = Q(x) o + P(y)x = Q(y)Solución:

1) Simplificar la EDO a su forma general identificando P(x) y Q(x). (oP(y) y Q(x)).2) Igualar Q(x) [Q(y)] a cero para obtener una EDO de variables

separadas; ésta se resuelve, obteniéndose una y = f(x) ∗ φ(x) [x =f(y) ∗ φ(y)]. (A).

3) Se sustituye (A) y su derivada en la EDO lineal dada y se despejaφ (x) [φ (y)] (B).

4) Se integra (B) y se sustituye φ(x) [φ(y)] en (A) obteniéndose lasolución general.

Ejemplos:

1) x y + 5xy + 3x = 0 se divide entre x → y + y = −3xP(x) = 5x y Q(x) = −3x

y + 5x y = 0 ; dydx = −5x y ; dyy = −5 dxxln y = −5 ln x + lnφ(x) ; y = x φ(x)dydx = −5x φ(x) + x φ (x)Ahora se sustituye y = f(x) y su derivada en la EDO Linealquedando: −5x φ(x) + x φ (x) + 5x x φ(x) = −3x

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φ (x) = −3x ; φ(x) = −39 x + c = −13 x + c= −13 +

2) cos ydx = (x sin y + tan y)dy → − x =dxdy − x sin ycos y = 0 ; dxdy = x tan y ; dxx = tan ydy

ln x = ln(sec y) + lnφ(y) ; x = φ(y) sec ydxdy = φ (y) sec y + sec y tan yφ(y)Ahora se sustituye x = f(y) y su derivada en la EDO Linealquedando:

φ (y) sec y + sec y tan yφ(y) − φ(y) sec y tan y = tan ycos yφ (y) = tan ycos y ∗ 1sec y ; φ (y) = tan y ; φ(y) = ln(sec y) + c

x = sec y[ln(sec y) + c]

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VIII. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI:

Su forma general es:dydx + P(x)y = Q(x)y o dxdy + P(y)x = Q(y)x donde n ∈ Z − {0,1}Solución:

1) Simplificar la EDO a su forma general.

2) Multiplicar ambos miembros de la EDO por obteniéndose:1y dydx + P(x) 1y = Q(x) (A)3) Hacer el cambio de variablez = 1y = y ; se deriva dzdx = (1 − n)y dydx

Se despeja .

4) Se sustituye z y en la ecuación (A) obteniéndose una EDO

Lineal.

Ejemplos:

1) y(x + y)dx − x dy = 0 → − =1y dydx − 1xy = 1x

z = 1y ; dzdx = − 1y dydx ; dydx = −y dzdx1y −y dzdx − zx = 1x ; dzdx + zx = − 1x EDO Linealdzdx + zx = 0 ; dzz = − dxx

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ln z = − ln x + lnφ(x) ; z = x φ(x)dzdx = −x φ(x) + φ (x)x ; −x φ(x) + φ (x)x + x φ(x)x = − 1xφ (x) = −1x ; φ(x) = − ln x + cz = x [− ln x + c] ; 1y = c − ln xx

= − ln2) 2 sin x + y cos x = y (x cos x − sin x)

Se divide entre 2 sin quedando: + cot x = (x cot x − 1)1y dydx + cot x2y = 12 (x cot x − 1)z = 1y ; dzdx = − 2y dydx1y −y2 dzdx + z cot x2y = 12 (x cot x − 1)dzdx − z cot x = 1 − x cot x EDO Lineal

dzdx = z cot x ; dzz = cot xdxln z = ln(sin x) + lnφ(x) → z = φ(x) sin xdzdx = φ (x) sin x − cos xφ(x)

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φ (x) sin x − cos xφ(x) − φ(x) sin x cot x = 1 − x cot xφ (x) = 1sin x − x cos x(sin x) → φ(x) = csc xdx − x cos x(sin x) dxφ(x) = ln|csc x − cot x| − (−x csc x + ln|csc x − cot x|)φ(x) = x csc x + c ; z = (x csc x + c) sin xz = x + c sin x ; 1y = x + c sin x ; y = 1x + c sin x

= √ + sin+ sin