CM - elaborato GAI

FacoltàdiIngegneriaCivileeIndustrialeCorsodilaureamagistraleinIngegneriaCivile

COSTRUZIONIMETALLICHEAppuntidelcorso

Docente: Studente:

Prof. Ing. Franco Bontempi Giordana Gai

Assistenti:

Ing. Francesco Petrini

Ing. Paolo Emidio Sebastiani

Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE – APPUNTI DEL CORSO 1 STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO .............................................................................................. 1 1.1 Fenomeni di instabilità .............................................................................................................................. 1 1.1.1 Introduzione ........................................................................................................................ 1 1.1.2 Determinazione del carico critico ......................................................................................... 1 1.1.3 Teoria del 2° ordine ............................................................................................................. 2 1.1.4 Teoria del 1° ordine ............................................................................................................. 2 1.2 Sistemi discreti ................................................................................................................................ 2 1.2.1 Comportamento stabile simmetrico .................................................................................... 2 1.2.1.1 Trattazione completa .............................................................................................. 2 1.2.1.2 Teoria del 2° ordine ................................................................................................. 3 1.2.1.3 Criterio energetico .................................................................................................. 3 1.2.1.4 Riepilogo ................................................................................................................. 4 1.2.2 Comportamento instabile simmetrico ................................................................................. 5 1.2.2.1 Trattazione completa .............................................................................................. 5 1.2.3 Comportamento asimmetrico ............................................................................................. 6 1.2.3.1 Trattazione completa .............................................................................................. 6 1.3 Instabilità a scatto (Snap Through) .................................................................................................. 7 1.4 Sistemi a due gradi di libertà ........................................................................................................... 8 1.5 Sistemi continui ............................................................................................................................ 10 1.5.1 Colonna di Eulero .............................................................................................................. 10 1.5.1.1 Trattazione completa ............................................................................................ 10 1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione .............................................................................. 11 1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità .................................................................................. 12 1.5.1.4 Imperfezioni iniziali ............................................................................................... 13 1.5.2 Telaio ................................................................................................................................ 15 1.5.2.1 Telaio shear-type .................................................................................................. 15

1.5.2.2 Telaio flessibile ..................................................................................................... 16 2 TEORIA DELLA PLASTICITA’ .................................................................................................................. 17 2.1 Introduzione ................................................................................................................................. 17 2.1.1 Plasticità ............................................................................................................................ 17 2.1.2 Tipi di non linearità ............................................................................................................ 18 2.2 Plasticità di materiale ................................................................................................................... 19 2.2.1 Richiami ............................................................................................................................ 19

2.2.1.1 Stati monoassiali ................................................................................................... 19 2.2.1.2 Stati non monoassiali : criteri di rottura ................................................................ 19 2.2.1.3 Incrudimento ........................................................................................................ 20

2.2.2 Legame costitutivo acciaio ................................................................................................. 22 2.2.3 Legami semplificati ............................................................................................................ 23 2.2.4 Duttilità di materiale ......................................................................................................... 25

2.3 Plasticità di sezione/elemento ...................................................................................................... 26 2.3.1 Teoria della trave .............................................................................................................. 26

2.3.1.1 Sezione inflessa ..................................................................................................... 26 2.3.1.2 Momento ultimo della sezione .............................................................................. 27

2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa ................................................................................... 28 2.3.2.1 Campo elastico ..................................................................................................... 28 2.3.2.2 Campo elasto-plastico ........................................................................................... 29 2.3.2.3 Sezione rettangolare ............................................................................................. 30

2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica ................................................................................. 31 2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ ........................................................................................ 33

2.3.3 Elementi presso-inflessi ..................................................................................................... 34 2.3.3.1 Sezione presso-inflessa ......................................................................................... 34 2.3.3.2 Curva limite plastico .............................................................................................. 35 2.3.3.3 Curva limite elastico .............................................................................................. 36 2.3.3.4 Considerazioni ...................................................................................................... 38

2.4 Plasticità di sistema ...................................................................................................................... 39 2.4.1 Introduzione ...................................................................................................................... 39

2.4.1.1 Duttilità ................................................................................................................. 39 2.4.1.2 Collasso totale ....................................................................................................... 39 2.4.1.3 Collasso locale ....................................................................................................... 40

2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico ............................................... 41 2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata .................................................................... 41 2.4.2.2 Distribuzione dei carichi ........................................................................................ 42

2.5 Capacità portante in campo elasto – plastico ............................................................................... 43 2.5.1 Introduzione ...................................................................................................................... 43

2.5.1.1 Ipotesi ................................................................................................................... 43 2.5.1.2 Obiettivi ................................................................................................................ 43 2.5.1.3 Metodi .................................................................................................................. 43

2.5.2 Analisi incrementale .......................................................................................................... 44 2.5.2.1 Esempio ................................................................................................................ 44 2.5.2.2 Curva di pushover ................................................................................................. 45

2.5.3 Soluzioni analitiche ............................................................................................................ 46 2.5.3.1 Esempio ................................................................................................................ 46 2.5.3.2 Campo elastico ..................................................................................................... 46 2.5.3.3 Campo elasto-plastico ........................................................................................... 47 2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente .................................................................................. 48

2.5.4 Analisi limite ...................................................................................................................... 49 2.5.4.1 Concetti base ........................................................................................................ 49 2.5.4.2 Teorema statico .................................................................................................... 50 2.5.4.3 Teorema cinematico ............................................................................................. 53 2.5.4.4 Strutture intelaiate ............................................................................................... 55

3 CONNESSIONI IN ACCIAIO .......................................................................................................... 58 3.1 Definizioni ..................................................................................................................................... 58 3.1.1 Unioni in acciaio ................................................................................................................ 58

3.1.1.1 Zone nodali in un telaio ......................................................................................... 58 3.1.1.2 Unioni correnti ...................................................................................................... 58 3.1.1.3 Unioni di forza ...................................................................................................... 58

3.1.2 Sistemi di collegamento .................................................................................................... 58 3.1.2.1 Sistemi chiodati ..................................................................................................... 58 3.1.2.2 Sistemi bullonati ................................................................................................... 59 3.1.2.3 Sistemi saldati ....................................................................................................... 59

3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici ............................................................................................ 59 3.1.3.1 Introduzione ......................................................................................................... 59 3.1.3.2 Collegamento e nodo strutturale .......................................................................... 59

3.2 Classificazione dei nodi ................................................................................................................. 60 3.2.1 Introduzione ...................................................................................................................... 60

3.2.2 Classificazione per rigidezza .............................................................................................. 60 3.2.2.1 Nodo rigido ........................................................................................................... 60 3.2.2.2 Nodo semi-rigido .................................................................................................. 60

3.2.2.3 Nodo incernierato ................................................................................................. 60 3.2.2.4 Formule ................................................................................................................ 61

3.2.3 Classificazione per resistenza ............................................................................................ 61 3.2.3.1 Nodo a completo ripristino ................................................................................... 61 3.2.3.2 Nodo a parziali ripristino ....................................................................................... 61 3.2.3.3 Nodo incernierato ................................................................................................. 61

3.2.4 Classificazione per duttilità ................................................................................................ 62 3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi ............................................................................... 62

3.3 Modellazione del nodo ................................................................................................................. 63 3.3.1 Tipi di modellazione .......................................................................................................... 63

3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato .................................................. 63 3.3.2.1 Introduzione ......................................................................................................... 63 3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti ..................................................... 64

3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio ............................................................ 64 3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa ..................................................................... 64 3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa ............................................................................... 65

3.3.2.3 Determinazione del momento resistente .............................................................. 66 3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale ......................................................................... 66 3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale ......................................................................... 66 3.3.2.6 Conclusioni ........................................................................................................... 67

3.3.3 Considerazioni ................................................................................................................... 67 3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo ....................................................................................... 67 3.4.1 Non linearità di materiale .................................................................................................. 67

3.4.2 Non linearità di vincolo ...................................................................................................... 69 3.4.3 Esempio ............................................................................................................................ 72

3.5 Case History .................................................................................................................................. 73 3.5.1 Importanza delle connessioni sul comportamento globale ................................................ 73

3.5.1.1 Giunti capannoni industriali .................................................................................. 73 3.5.1.2 Ponte Minnesota .................................................................................................. 73 3.5.1.3 Azione del fuoco ................................................................................................... 74

4 COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA ................................................................................ 75 4.1 Basi della progettazione antisismica ............................................................................................. 75 4.1.1 Azioni sulla struttura ......................................................................................................... 75

4.1.2 Filosofie di progetto .......................................................................................................... 76 4.2 Costruzioni in acciaio .................................................................................................................... 76 4.2.1 Materiale .......................................................................................................................... 76

4.2.1.1 Prescrizioni per le zone dissipative ......................................................................... 76 4.2.2 Tipologie strutturali ........................................................................................................... 76

4.2.2.1 Strutture intelaiate ................................................................................................ 76 4.2.2.2 Strutture con controventi concentrici .................................................................... 77 4.2.2.3 Strutture con controventi eccentrici ...................................................................... 78 4.2.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso ................................................................ 78 4.2.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici ..................................................... 78 4.2.2.6 Strutture intelaiate con tamponature .................................................................... 78

4.2.3 Il fattore di struttura: duttilità globale ............................................................................... 78 4.2.3.1 Il fattore q0 ............................................................................................................. 78 4.2.3.2 Il rapporto αu/ α1 .................................................................................................... 79

4.2.4 Zone dissipative e duttilità locale ....................................................................................... 80 4.2.4.1 Confronto tra le Norme ......................................................................................... 80 4.2.4.2 Ordinanza 3274 ...................................................................................................... 80 4.2.4.3 NTC 08 .................................................................................................................... 81

4.3 Strategie di progettazione antisismica .......................................................................................... 83 4.3.1 Capacity design ................................................................................................................. 83

4.3.1.1 Principi base .......................................................................................................... 83 4.3.2 Panoramica dei sistemi di dissipazione .............................................................................. 83 4.3.3 Sistemi dissipativi ordinari ................................................................................................. 84

4.3.3.1 Strutture intelaiate ................................................................................................ 84 4.3.3.2 Strutture con controventi concentrici .................................................................... 86 4.3.3.3 Strutture con controventi eccentrici ...................................................................... 88 4.3.3.4 Collegamenti ......................................................................................................... 90

5 CRITERI DI PROGETTAZIONE .......................................................................................................... 91 5.1 Analisi strutturale ......................................................................................................................... 91 5.1.1 Requisiti strutturali elementari .......................................................................................... 91

5.1.1.1 SLE ......................................................................................................................... 91 5.1.1.2 SLU ........................................................................................................................ 91

5.1.1 Requisiti strutturali sistemici ............................................................................................. 92 5.1.2.1 Durabilità .............................................................................................................. 92

5.1.2.1.1 Misure per contrastare gli effetti della durabilità .................................... 94 5.1.2.2 Robustezza ............................................................................................................ 95 5.1.2.3 Trattazione statistica e SLIS ................................................................................... 97 5.1.2.4 Resilienza ............................................................................................................... 97

5.2 Progettazione ................................................................................................................................ 98 5.2.1 Orizzonte temporale di vita della struttura ........................................................................ 98

5.2.1.1 Degradazione della qualità ..................................................................................... 98 5.2.1.2 Stati della struttura ................................................................................................ 99

5.2.2 Valutazione della duttilità .................................................................................................. 99 5.2.2.1 Curva di pushover .................................................................................................. 99 5.2.2.2 Esempio ............................................................................................................... 100

5.2.3 Valutazione della robustezza ........................................................................................... 101 5.2.3.1 Curva di pushdown .............................................................................................. 101 5.2.3.2 Esempio ............................................................................................................... 101

5.2.4 Non linearità geometriche ............................................................................................... 102 5.2.4.1 Effetto P-∆ negativo ............................................................................................. 102 5.2.4.2 Effetto P-∆ positivo .............................................................................................. 103 5.2.4.3 Percorsi di carico .................................................................................................. 105

5.2.5 Strategie di progettazione ............................................................................................... 106 5.2.5.1 Specializzazione e integrazione ............................................................................ 106 5.2.5.2 Evoluzione e innovazione ..................................................................................... 107 5.2.5.3 Innovazione di Khan: outrigger ............................................................................. 108

5.3 Concezione e progetto di edifici alti ............................................................................................ 110 5.3.1 Comportamenti globali .................................................................................................... 110

5.3.1.1 Punzonamento .................................................................................................... 110 5.3.1.2 Ribaltamento ....................................................................................................... 111 5.3.1.3 Scorrimento ......................................................................................................... 111 5.3.1.4 Effetto P-∆ ............................................................................................................ 112 5.3.1.5 Equalizzazione deformazioni per carichi verticali .................................................. 114

5.3.2 Comportamenti locali ...................................................................................................... 115 5.3.2.1 Comportamento a diaframma .............................................................................. 115 5.3.2.2 Deformabilità fuori piano ..................................................................................... 116 5.3.2.3 Criticità schema tube ........................................................................................... 116

5.3.2.3.1 Conclusioni ........................................................................................... 117 5.3.2.4 Esempi telai ......................................................................................................... 119

5.3.3 Comportamenti elementari ............................................................................................. 120 5.3.3.1 Trazione ............................................................................................................... 120 5.3.3.2 Compressione ...................................................................................................... 121 5.3.3.3 Flessione .............................................................................................................. 121

5.4 Ottimizzazione strutturale .......................................................................................................... 122 5.4.1 Introduzione .................................................................................................................... 122

5.4.1.1 Turbina eolica offshore ........................................................................................ 122 5.4.1.2 Considerazioni sul costo di un edificio .................................................................. 123

5.4.2 Ottimizzazione locale ...................................................................................................... 124 5.4.2.1 Sizing ................................................................................................................... 124

5.4.3 Ottimizzazione globale .................................................................................................... 124 5.4.3.1 Morphing ............................................................................................................. 124 5.4.3.2 Topologica ........................................................................................................... 125

5.4.4 Esempio: trave semplicemente appoggiata ..................................................................... 125 5.4.4.1 Predimensionamento .......................................................................................... 125 5.4.4.2 Sizing ................................................................................................................... 125 5.4.4.3 Morphing ............................................................................................................. 126 5.4.4.4 Topologia ............................................................................................................. 126 5.4.4.5 Osservazioni ........................................................................................................ 127

5.4.5 Soluzioni per edifici alti ................................................................................................... 127 5.4.5.1 Outrigger ............................................................................................................. 127 5.4.5.2 Altre tipologie resistenti ....................................................................................... 129

5.4.6 Sottostrutturazione ......................................................................................................... 130 5.4.6.1 Sottostrutturazione verticale ............................................................................... 130 5.4.6.2 Sottostrutturazione orizzontale ........................................................................... 131 5.4.6.3 Elemento strutturale: trave forata ....................................................................... 132

1

1-STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO

1.1 Fenomeni di instabilità 1.1.1 Introduzione

Consideriamo un sistema strutturale ideale in una configurazione d’equilibrio. Applicando una piccola perturbazione al sistema possiamo avere due situazioni differenti: - il sistema oscilla ma ritorna nella configurazione iniziale indeformata; - il sistema oscilla ma si allontana dalla configurazione originaria, assumendo un’altra configurazione. Nel primo caso parliamo di equilibrio stabile, nel secondo caso invece di equilibrio instabile. Nella seconda situazione possiamo avere spostamenti rilevanti rispetto alla configurazione iniziale, causati in generale o da imperfezioni di parti della struttura (che, nella realtà, non sarà mai “ideale”), che possono quindi portare a fenomeni di instabilità locale, oppure da meccanismi di instabilità dell’equilibrio che coinvolgono la struttura nel suo insieme. I problemi che trattiamo si dicono problemi di stabilità semplici o euleriani e sono caratterizzati dalle seguenti condizioni: - il sistema strutturale è conservativo (non c’è dissipazione di energia). Questo ci consente di scrivere l’energia potenziale totale, da cui possiamo ricavare le equazioni di equilibrio del sistema, sfruttando il criterio energetico. - i carichi applicati al sistema sono posizionali (agiscono sempre nella stessa direzione). Un esempio di carico non posizionale noto è la forza di precompressione. - il materiale è elastico lineare - se gli effetti delle non linearità geometriche non sono sentiti nella fase pre-critica (struttura che inizialmente si mantiene vicina alla configurazione banale) possiamo linearizzare gli spostamenti, pur scrivendo l’equilibrio nella configurazione deformata. 1.1.2 Determinazione del carico critico

Pensiamo a una struttura soggetta a un carico P che incrementiamo con un moltiplicatore λ. La determinazione del carico critico, ovvero l’individuazione dell’innesco dell’ instabilità, avviene attraverso la risoluzione di un problema agli autovalori e alle autofunzioni (nei casi continui) o agli autovettori (nei casi discreti). Si arriva a questo problema sfruttando il teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale. In particolare, per i casi discreti, si arriva a un’espressione del tipo (푲푬 - ƛi 푲푮)흋풊= ퟎ dove 퐾 è la matrice di rigidezza elastica lineare della struttura, definita positiva 퐾 è una matrice di costanti che amplificata per ƛ produce un decremento di rigidezza complessiva della struttura tale da renderla labile secondo gli N possibili autovettori 휑 Il problema agli autovalori ammette soluzione diverse dalla banale solo se 풅풆풕(푲푬 - ƛi 푲푮) = ퟎ , altrimenti la soluzione è unica e coincide con la configurazione indeformata. Chiaramente, la situazione critica è individuata dal minore tra gli autovalori

u0 u1 u2 instabile

stabile

2

ƛcr = min (ƛi) I problemi euleriani di stabilità sono caratterizzati quindi dalla presenza di una configurazione fondamentale banale di equilibrio (indeformata o non) legata linearmente al carico: si ha un comportamento lineare in fase pre-critica. Il carico però deteriora la rigidezza. Questo fa sì che raggiunto un determinato valore del carico (detto carico critico euleriano) la rigidezza nei confronti di un modo deformativo, ortogonale alla configurazione banale, si annulla: il modo si sovrappone alla soluzione banale, dando luogo a una biforcazione del percorso di equilibrio. 1.1.3 Teoria del 2° ordine

La teoria del 2° ordine mantiene nell’espressione dell’energia solo i termini fino al 2° ordine. Questo equivale a scrivere l’equilibrio nella configurazione deformata, pur considerando l’ipotesi di piccoli spostamenti in fase pre-critica. 1.1.4 Teoria del 1° ordine

Questa trattazione non consente di individuare i punti di biforcazione dell’equilibrio. Infatti considera l’equilibrio nella configurazione indeformata e la cinematica di piccoli spostamenti che, uniti alle ipotesi di legame elastico lineare e invarianza delle condizioni al contorno, rappresentano le ipotesi di validità del Teorema di Kirchhoff sull’esistenza e unicità della soluzione del problema elastico. In questo modo troviamo quindi solo la soluzione banale.

1.2 Sistemi discreti 1.2.1 Comportamento stabile simmetrico

Figura 1.1

1.2.1.1 Trattazione completa

- Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > grandi spostamenti

- θ : unico grado di libertà del sistema - molla: relazione lineare - asta inestensibile (L non cambia) - no imperfezioni iniziali - asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta concentrata nella molla rotazionale)

3

Cinematica Ci riferiamo al punto B (per conoscere gli spostamenti degli altri punti basta sostituire la coordinata y a L). 푢 = 퐿푠푖푛휃 푣 = 퐿(1 − 푐표푠휃) Equilibrio 퐾휃– 푃퐿푠푖푛휃 = 0

푷(휽) = 푲휽푳풔풊풏휽

Il carico cresce in funzione di θ, dopo un certo livello di soglia. 1.2.1.2 Teoria del 2° ordine

- Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > piccoli spostamenti Cinematica Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, operiamo una linearizzazione. 푠푖푛휃 = 휃 푐표푠휃 = 1 Quindi avremo 푢 = 퐿휃 푣 = 0 Equilibrio 퐾휃– 푃퐿휃 = 0

푷 = 푲푳∀휽

Figura 1.2

Il sistema ha un comportamento di tipo INCRUDENTE. Il comportamento è stabile in quanto il carico critico aumenta in funzione di θ. 1.2.1.3 Criterio energetico

Ricaviamo ora le equazioni a partire dall’energia potenziale totale. Dobbiamo derivare l’espressione di ℇ rispetto all’unica coordinata lagrangiana θ. ℇ푝푒 = ½퐾휃2 ℇ푝푐 = −푃퐿(1 − 푐표푠휃) −− −−> ℇ푝푡 = ½퐾휃 − 푃퐿(1− 푐표푠휃)

4

흏ℇ풑풕흏휽

= 푲휽– 푷푳풔풊풏휽 = ퟎ Siamo tornati alla stessa espressione ottenuta precedentemente. Nello spirito della teoria del 2° ordine, utilizziamo adesso lo sviluppo in serie di Taylor troncato al 2° ordine per approssimare il cos θ.

푓( )(a)n!

∞

n=0

(푥 − 푎)

cosθ = 1 −12 θ

휕ℇ휕θ =

12퐾θ− PL 1 − 1 −

12 θ

푷 = 푲푳∀휽

Se le imperfezioni sono piccole, ci basta utilizzare la teoria del 2° ordine. All’aumentare dell’imperfezione però ci si allontana dalla situazione ideale (a sfavore di sicurezza, perché si ha un Pcr inferiore) e quindi è bene ricorrere alla trattazione completa, che tiene conto dell’imperfezione iniziale θ0

Figura 1.3

Il comportamento post-critico è di tipo incrudente. 1.2.1.4 Riepilogo

CASO HP. CINEMATICA HP. EQUILIBRIO TEORIA

1 sin θ cos θ Deformata Trattazione completa

2 sin θ ~ θ tan θ ~ θ Deformata Teoria del 2° ordine

3 sin θ ~ θ tan θ ~ θ Indeformata Teoria del 1° ordine

CASO CINEMATICA (termini considerati) TEORIA : EQUAZIONI

1 ∞ 흏ℇ퐩퐭흏훉 = K θ – PL sinθ = 0

2 2 cos θ = 1 - ½ θ2

흏ℇ퐩퐭흏훉 = K θ – PL θ = 0

3 1 cos θ = 1

흏ℇ퐩퐭흏훉 = K θ = 0

Tabella 1.1

5

1.2.2 Comportamento instabile simmetrico

Figura 1.4


- Equilibrio ----- > configurazione deformata - Cinematica ----- > grandi spostamenti Cinematica Ci riferiamo al punto B . 푢 = 퐿푠푖푛휃 푣 = 퐿(1 − 푐표푠휃) Equilibrio – 푃퐿푠푖푛휃 + (퐾퐿푠푖푛휃)퐿푐표푠휃 = 0 – 퐾퐿 푠푖푛휃푐표푠휃 − 푃퐿푠푖푛휃 = 0 푠푖푛휃(– 퐾퐿 푐표푠휃– 푃퐿) = 0 푠푖푛휃 = 0 − −−> 휃 = 0 − −−> 푠표푙푢푧푖표푛푒푏푎푛푎푙푒푷 = 푲푳 – 퐾퐿 푐표푠휃– 푃퐿 = 0 푷(휽) = 푲푳풄풐풔휽∀휽 ≠ ퟎ

- θ : unico grado di libertà del sistema - molla: relazione lineare - asta inestensibile (L non cambia) - no imperfezioni iniziali - asta ∞ rigida (la rigidezza è tutta concentrata nella molla traslazionale)

Figura 1.5

Qui il comportamento post-critico è instabile, c’è infatti una brusca caduta del carico P. All’aumentare dell’imperfezione iniziale, vediamo che ci allontaniamo sempre più dal caso ideale, leggendo un ramo di caduta con pendenza sempre maggiore.

6

1.2.3 Comportamento asimmetrico

Figura 1.6


Procedendo allo stesso modo arriviamo all’equazione di P in funzione di θ.

푃(휃) = 퐾퐿

푡푎푛휃 (1 − 1

√1 + 푠푖푛휃)

Figura 1.7

In questo caso è evidente che il segno dell’imperfezione iniziale determina l’instabilità o meno. Il ramo di sinistra è STABILE, in quanto P aumenta con θ, mentre il ramo di destra è INSTABILE, in quanto P decresce con θ. Il comportamento asimmetrico è ancora più evidente con l’aumentare dell’imperfezione iniziale.

7

1.3 Instabilità a scatto (Snap Through)

Figura 1.8

La struttura è un arco a 3 cerniere. Le aste sono caratterizzate da E, A , J. Facendo l’ipotesi di aste rigide, l’unica coordinata lagrangiana del sistema è l’angolo θ = α - φ . Definiamo i seguenti parametri: - v abbassamento in mezzeria del sistema - α angolo totale iniziale che forma l’asta con l’orizzontale - φ angolo che la configurazione indeformata forma con la deformata - L lunghezza dell’asta nella configurazione deformata - L0 lunghezza iniziale dell’asta (noto) - H0 altezza iniziale dell’arco (noto) 퐻 = 퐵푡푔휃 = 퐿 푐표푠훼푡푔휃 퐿 = 퐻/푠푖푛휃 = 퐿 푐표푠훼푡푔휃/푠푖푛휃 ∆퐿 = 퐿 – 퐿 = 퐿 (1 − 푐표푠훼푡푔휃/푠푖푛휃) ∆퐿/퐿 = 1 − 푐표푠훼푡푔휃/푠푖푛휃푫풆풇풐풓풎풂풛풊풐풏풆풅풆풍풍풆풂풔풕풆 푁 = 퐸퐴∆퐿/퐿 = 퐸퐴(1 − 푐표푠훼푡푔휃/푠푖푛휃)푺풇풐풓풛풐풂풔풔풊풂풍풆풅풆풍풍풂풔풊풏품풐풍풂풂풔풕풂 Equilibrio in direzione verticale (nella configurazione deformata) 푃– 2푁푠푖푛휃 = 0 푃 = 2퐸퐴(푠푖푛휃 − 푐표푠훼푡푔휃)

Figura 1.9

8

Il comportamento di questa struttura è da subito non lineare. Vediamo come al raggiungimento di Pcr la struttura cambia meccanismo resistente: il sistema passa da una struttura a arco a una struttura a tiranti. È l’instabilità a scatto, che coinvolge l’intero sistema. Ma in una struttura a arco come questa non è detto che si instauri il meccanismo a scatto: questo dipende dalla rigidezza flessionale delle aste. Possiamo avere infatti due situazioni: - ASTE TOZZE : il carico critico euleriano associato all’instabilità della singola asta è molto elevato. Questo fa sì che l’asta possa essere considerata come rigida e il meccanismo instabile che si instaura è quello a scatto. - ASTE SNELLE : qui invece può succedere che si instabilizzi l’asta (per raggiungimento del carico critico euleriano) prima dell’instaurarsi dell’instabilità a scatto. Se le due aste sono uguali, quella che si instabilizza sarà quella che possiede una imperfezione iniziale.

1.4 Sistemi a due gradi di libertà

Figura 1.10

Il sistema in figura possiede due gradi di libertà, che sono le rotazioni delle due aste. Per studiare la stabilità dell’equilibrio di questo sistema dovremo scrivere due equazioni di equilibrio, determinando due forme di instabilità. Quella di maggior interesse ingegneristico chiaramente è quella associata al ƛ minore. Scriviamo le equazioni utilizzando il Metodo Energetico, già illustrato precedentemente. Energia potenziale elastica ℇ푝푒 = ½퐾휃 + ½퐾휃 Energia potenziale dei carichi ℇ푝푐 = −ƛ퐿(1 − 푐표푠휃 ) − ƛ퐿(1 − 푐표푠(휃 + 휃 )) Sviluppiamo la teoria del 2° ordine --- > 푐표푠휃 = 1 − ½휃 Quindi otteniamo: ℇ푝푐 = −ƛ퐿(½휃 ) − ƛ퐿(½(휃 + 휃 )2) Energia potenziale totale ℇ푝푡 = ½퐾휃 + ½퐾휃 − ƛ퐿(½휃 ) − ƛ퐿(½(휃 + 휃 )2)

9

Adesso imponiamo 흏ℇ퐩퐭흏풒

= 0 con q = θ1

θ2

ℇ = K θ1 - ƛ L ( 2 θ1 + θ2) = 0 ℇ = K θ2 - ƛ L ( θ1 + θ2) = 0

In termini matriciali avremo 퐾 00 퐾 – 2ƛL ƛL

ƛL ƛL θ1

θ2 = 00

[푲+ 푲G] 풒 = ퟎ ------- > 푲 풒 = ퟎ

Dove la prima sottomatrice 푲 dipende esclusivamente dalla rigidezza della struttura, mentre la seconda sottomatrice 푲G dipende dal carico. All’aumentare del carico quindi si modifica la rigidezza complessiva della struttura 푲. NB. Facendo un’analisi al primo ordine il termine 푲G non compare, quindi non possiamo leggere l’instabilità del sistema. È necessario condurre almeno un’analisi al 2° ordine. Risolviamo ora il problema agli autovalori. Per farlo, dobbiamo imporre풅풆풕 푲 = ퟎ

푑푒푡 K − 2ƛL −ƛL−ƛL K − ƛL = 0

ƛ1,2 = KL

3 ± √52

ƛ1 = √ ≅ 0.382

ƛ2 = KL

3 + √52

≅ 2.618KL

Determinati gli autovalori, calcoliamo ora θ1 e θ2 .

[푲 − ƛ1푲G] = 2(√5− 2) √5 − 3√5 − 3 √5 − 1

------- > 풒ퟏ = ퟏퟎ.ퟔퟏퟖ 훉1

[푲 − ƛ2푲G] = 2(−√5− 2) −√5 − 3−√5 − 3 −√5 − 1

------- > 풒ퟐ = ퟏ−ퟏ.ퟔퟏퟖ 훉1

Le due forme di instabilità ottenute sono le seguenti.

10

1° forma instabilità 2° forma instabilità

Figura 1.11 Figura 1.12

NB. In generale, per qualunque struttura S avremo una matrice di rigidezza complessiva che è data da una parte “elastica” e da una parte che dipende dal carico. Quest’ultima non compare in un’analisi del 1° ordine. Per cui, se vogliamo considerare gli effetti P - ∆ di un edificio, dovremo necessariamente condurre un’analisi del 2° ordine.

1.5 Sistemi continui 1.5.1 Colonna di Eulero

Figura 1.13


Consideriamo un’asta incernierata alla base e con un carrello in testa che permette il solo abbassamento verticale. Il problema ora è a ∞ gradi di libertà. L’equazione di equilibrio agli spostamenti va scritta nella configurazione deformata. x = linea d’asse della colonna

IPOTESI - asta perfetta dal punto di vista geometrico (perfettamente rettilinea, verticale, con sezione costante) - materiale elastico lineare omogeneo (non ci sono sforzi iniziali) - il carico P è allineato sull’asse verticale dell’asta - l’asta può deformarsi solo nel piano della figura xy Stiamo dunque considerando un problema ideale.

11

u(x) = deformata trasversale della colonna N = sforzo normale nella colonna 푬푰풖’’(풙) + 푵풖(풙) = ퟎ La soluzione si scrive : 풖(풙) = 푨풄풐풔(휶풙) + 푩풔풊풏(휶풙) Condizioni al contorno :푢(0) = 0 − −−> 퐴 = 0 푢(퐿) = 0 − −−> 퐵푠푖푛(훼퐿) = 0 Quest’ultima mi dà due soluzioni. 퐵 = 0 --- > Soluzione banale 푢(푥) = 0 (non ci interessa) 푠푖푛(훼퐿) = 0 − −−> 훼퐿 = 푛휋

Poniamo 훼 =

푢’’(푥) + NEI 푢(푥) = 0 − − −−> 푢’’(푥) + 훼2푢(푥) = 0

퐿2 = 푛2휋

Il valore di N che annulla la soluzione sarà Ncr= n2π2

L2EI . Poiché l’asta ha infiniti gradi di libertà,

esisteranno infiniti valori di Ncr. Quello di maggior interesse però è quello relativo a n=1, cioè il primo valore per cui si innesca l’instabilità. 1° forma instabilità

Figura 1.14

2° forma instabilità

Figura 1.15

NB 1. Nel caso discreto precedentemente studiato avevamo determinato Pcr = K / L. A parità di rigidezza, il carico critico diminuisce con l’aumentare della lunghezza L della colonna. Nel caso continuo vediamo ancora come il carico critico, fissata la rigidezza flessionale E I ,dipenda solo dalla lunghezza L, che questa volta però compare elevata a quadrato. Quindi Ncr decresce più velocemente con l’aumentare di L. NB 2. Più il carico è alto (cresce con n2), più aumenta l’energia necessaria per instabilizzare la colonna. Si potrebbero raggiungere quindi carichi critici molto più alti impedendo lo sviluppo delle deformata di ordine inferiore (ad es. inserendo opportune condizioni di vincolo). 1.5.1.2 Lunghezza libera di inflessione

Quanto detto finora vale per uno schema di colonna incernierata. Volendo studiare altri schemi dovremmo risolvere l’equazione differenziale iniziale inserendo le nuove condizioni al contorno, che in generale sono diverse per ogni schema considerato. Non è un procedimento comodo.

12

Definiamo quindi la lunghezza libera di inflessione L0 come la distanza tra due punti di flesso nella deformata critica (il tratto tra i due flessi può essere considerato come un’asta doppiamente incernierata – vedi caso studiato – che presenta, nei confronti dell’instabilità, lo stesso comportamento dell’asta effettiva). Riscriviamo Ncr in questo modo.

푁푐푟 = 휋퐿

퐸퐼

Con 퐿 = 훽퐿 L = lunghezza della colonna β = fattore moltiplicativo (tabulato per molti casi semplici)

Figura 1.16

1.5.1.3 Snellezza e curva di stabilità

휌 = raggio giratore d’inerzia

휆 = 퐿/휌 snellezza. La snellezza è un parametro adimensionale che riassume le caratteristiche geometriche e le condizioni di vincolo che governano il comportamento dell’asta nei confronti dell’instabilità. 휎 = 푁 /퐴 = 휋퐸/휆 풕풆풏풔풊풐풏풆풄풓풊풕풊풄풂 Questo valore è tanto più piccolo quanto più l’asta è snella. In realtà noi sappiamo che il materiale non è indefinitamente elastico, ma presenta un limite di snervamento fy.

Imponendo 푓 = 휋퐸/휆 otteniamo 휆 = 휋y snellezza limite.

Questo valore dipende dal tipo di materiale (fy = tensione di snervamento) e dal modulo elastico. È di grande importanza perché separa le aste snelle (λ > λC ), per le quali si ha la crisi per l’instaurarsi dell’instabilità (ovvero per raggiungimento della σcr), dalle aste tozze (λ < λC ), per le quali la crisi si ha per il meccanismo di schiacciamento (ovvero per raggiungimento della fy).

Nella curva di stabilità σcr - λ si può rappresentare graficamente la separazione dei due campi. Figura 1.17

13

1.5.1.4 Imperfezioni iniziali

Nella realtà le colonne non sono mai perfette: ci saranno sempre delle imperfezioni iniziali dovute a difetti di fabbricazione o errata posa in opera dell’elemento. Se ne tiene conto considerando un’eccentricità dello sforzo normale agente sull’asta.

Figura 1.18

Seguiamo lo stesso procedimento già svolto per la colonna ideale. 풖’’(풙) + 휶2풖(풙) = −휶2풆 푐표푛휶2 = 푁/퐸퐼 푢(0) = 푢(퐿) = 0

La soluzione sarà:

푢(푥) = 푒 cos(훼푥) +1 − cos(훼퐿)

sin(훼퐿) sin(훼푥) − 1 = 푒sin[훼(퐿 − 푥) − sin(훼푥)

sin(훼퐿) − 1

Calcoliamo lo spostamento in mezzeria (che è lo spostamento massimo)

푢(퐿/2) = 푢m = 푒1

cos(αL2 )

− 1

Consideriamo un aumento dell’eccentricità , per tenere conto degli effetti del 2° ordine

푒1 = 푒 + 푢m =푒

cos(αL2 )

Ma sappiamo che

푐표푠(푥) = 1– 2푥휋

Inoltre possiamo scrivere le seguenti operazioni:

α2 = N/EI ; Ncr= π2

L2EI --- > Ncr

L2

π2=EI ----- > α2 =

NNcr

π2

L2

Quindi 푒1 =

푒

1−(αLπ )2

= 푒

1 − NNcr

La tensione massima di compressione si ottiene attraverso la formula binomia della presso-flessione:

휎 =푁퐴

+푁푒1푊

=푁퐴

+ 푁푒

푊 1− 푁푁푐푟

=푁퐴

+ 푀


Con M = N e = momento in sommità della colonna W = I

Ymax modulo di resistenza della sezione

ρ = IA raggio giratore d’inerzia

14

σm = N/A tensione media per compressione semplice che provoca crisi nella colonna

풆0 =휌2

푦maxeccentricitàlimite

Quest’ultima rappresenta una sorta di capacità della sezione, in quanto dipende solo da grandezze geometriche. Introduciamo ora due parametri: - Snellezza adimensionale λ* = λ/λcr - Misura dell’imperfezione m = e/e0 (ponendo m=0 torniamo al caso di colonna ideale) - γ = σm /fy rapporto tra la tensione che provoca la crisi nella colonna e la tensione di snervamento Facendo le dovute sostituzioni si arriva a un’equazione del tipo

훾m = 휆*2 + (1 −푚)−[휆*2 + (1 + 푚)]2 − 휆휆*2

2휆*2

Figura 1.19

Nella Normativa non troviamo m espresso in questo modo, ma compare la seguente formula. 푚 = 훼√휆*2 − 0.04

Con α dipendente dalla classe di sezione

a b c d α 0.15 0.28 0.38 0.58

Noto m , entriamo nella curva e ricaviamo γ (moltiplicatore del carico critico). NB 1. Negli EC γ si chiama χ ; nelle CNR si trova ω = 1/χ

휎 =푁휔퐴

< 휎y NB 2. Nella colonna (pensiamo a un telaio) può esserci una sollecitazione di momento che deriva dagli orizzontamenti. La formula diventa:

Tabella 1.2

15

휎 =푁휔퐴

+ 푀푒푞


Dove M = Meq è un momento equivalente (combinazione dei momenti d’estremità, se l’andamento è lineare lungo la colonna). 1.5.2 Telaio

1.5.2.1 Telaio shear type

Consideriamo un telaio shear-type, dotato di orizzontamento infinitamente rigido rispetto alle colonne (ovvero rigidezza della trave > 4-5 volte rigidezza della colonna). Agisce solo carico verticale ortogonalmente al traverso.

Figura 1.20

Come si instabilizza questa struttura? Coerentemente ai vincoli presenti (incastro alla base e nodo rigido superiormente), possiamo avere due forme di instabilità.


Per stabilire qual è la forma che si instaura guardiamo quanto vale la lunghezza libera di inflessione L0. La forma a cui associamo la maggiore lunghezza L0 sarà quella con carico critico Ncr inferiore. È facile quindi capire che la forma di instabilità è la prima. NB. Ncr2 = 4 Ncr1 Il carico critico relativo alla 2° forma è 4 volte maggiore.

16

1.5.2.1 Telaio flessibile

L’altro caso interessante è quello in cui la trave ha rigidezza molto inferiore di quella delle colonne.

Figura 1.23

Cambia il vincolo in sommità (c’è una cerniera, mentre prima il nodo era vincolato a restare rigido) e di conseguenza cambiano le forme di instabilità. Anche qui per capire quale forma si instaura guardiamo L0 e il corrispondente Ncr.


È evidente che si instaura la 1° forma. NB. In questo caso semplice abbiamo due colonne, quindi Ncr tot = 2 Ncr.

17

2-TEORIA DELLA PLASTICITÀ

2.1 Introduzione 2.1.1 Plasticità

Ci proponiamo di studiare come variano le sollecitazioni nella struttura quando questa entra in campo plastico. Consideriamo un telaio piano incastrato e, per semplicità, elementi di trave e colonna tutti uguali, con sezione rettangolare.

Figura 2.1

Figura 2.2

Aumentando il carico F aumenta il momento flettente nelle travi e nelle colonne, in maniera lineare. Questo finchè non si raggiunge la plasticizzazione in una delle sezioni (ad es. nella sezione A): lì il momento non può più aumentare, ma nelle altre sezioni si. Avremo quindi due conseguenze principali: - variano le sollecitazioni nella struttura - varia l’ascissa in cui si annullano le sollecitazioni L’entrata in campo plastico della struttura fa sì che non possiamo trascurare la presenza delle non linearità. - Non vale la sovrapposizione degli effetti (non posso calcolare la somma dei diagrammi dati da F e ∆F) - Non vale il teorema di unicità della soluzione di Kirchhoff - Le equazioni risolutive diventano non lineari

푲 풒 풒 = 푸(풒)

18

La matrice di rigidezza e/o il vettore dei carichi dipendono dallo stato deformativo e tensionale della struttura (ovvero dai gradi di libertà q che vado a cercare). La risoluzione consiste in una procedura iterativa (si aggiorna la rigidezza K in funzione dello stato deformativo). 2.1.2 Tipi di non linearità

I tipi di non linearità di cui possiamo tener conto sono: - non linearità di materiale Es. qualunque legame che non sia perfettamente elastico - non linearità geometriche Es. Fune soggetta a carichi verticali: per dare una forza verticale che equilibri i carichi deve inflettersi, assumendo una certa rigidezza (che è appunto una rigidezza geometrica)

Figura 2.3 - non linearità di vincolo Es. Vincolo monolatero

Figura 2.4 - non linearità di forze Es. Carichi che cambiano direzione, seguendo l’andamento della deformata


19

2.2 Plasticità di materiale 2.2.1 Richiami

2.2.1.1 Stati monoassiali

L’acciaio è tra i materiali per i quali il limite di plasticità è ben definito da un solo parametro σy.

Figura 2.7 NB. Se il materiale non ha limite di plasticità ben definito possiamo utilizzare soltanto legami approssimati. 2.2.1.2 Stati non monoassiali: criteri di rottura

Se siamo in presenza di stati di sollecitazione pluriassiali dobbiamo riferirci a delle superfici di snervamento. I criteri di rottura utilizzati sono i seguenti:

Figura 2.8 - TRESCA 흉 max = 흉s Dove τmax è la tensione massima in stato biassiale τs è la tensione in stato monoassiale. In particolare è noto che

휏 max = 푀퐴푋[(휎1 − 휎2); (휎3 − 휎2); (휎2 − 휎1)]

휏 s =휎s

2

휎s = 푡푒푛푠푖표푛푒푑푖푠푛푒푟푣푎푚푒푛푡표푖푛푠푡푎푡표푚표푛표푎푠푠푖푎푙푒 Figura 2.9

In questo caso il dominio è un esagono. - VON MISES 흉 = 흉풔 Dove 흉 è la tensione media attorno al punto più sollecitato, τs è la tensione in stato monoassiale. In particolare è noto che

20

휏̅ = 1

4휋푑푥 푟 푠푖푛훽푑훽 =

1√15

(휎1 − 휎2) + (휎3 − 휎2) + (휎3 − 휎1)

In questo caso il dominio è un’ellisse.


2.2.1.3 Incrudimento

STATI MONOASSIALI

Figura 2.12 STATI NON MONOASSIALI Possono presentarsi le 4 seguenti situazioni: - ISOTROPO - STATICO

Figura 2.13

cilindri che si sviluppano lungo l’asse idrostatico

E’ = pendenza ramo ascendente

La superficie cambia, mantiene le proporzioni tra le due parti, allargandosi ma restando attorno all’origine.

21

- NON ISOTROPO - STATICO

Figura 2.14 - ISOTROPO - CINEMATICO

Figura 2.15 - NON ISOTROPO - CINEMATICO

Figura 2.16

Raggiungendo il limite plastico, la superficie si allarga ma cambia forma.

La forma resta la stessa ma cambia posizione.

Cambia sia di forma che di posizione.

22

NB. In generale, quando possibile, preferiamo riferirci a stati monoassiali in quanto: - sono stati facilmente trattabili sperimentalmente, di conseguenza i dati di cui disponiamo sono meno incerti - volendo ricorrere a trattazioni numeriche che tengano conto delle non linearità, gli stati monoassiali hanno matrici di dimensioni inferiori e danno quindi meno problemi dal punto di vista computazionale - riferendoci alla trattazione di strutture canoniche (per le quali vale l’ipotesi di sezioni che traslano e ruotano restando piane), gli stati di sollecitazione possono essere visti come convoluzione degli stati tensionali delle singole fibre, che sono soggette a stati monoassiali. 2.2.2 Legame costitutivo acciaio

Si riporta il legame sperimentale dell’acciaio, ottenuto da una prova di trazione monoassiale a deformazione imposta.

Figura 2.18 Figura 2.17 Il primo tratto ha un andamento lineare, con pendenza α0= arctan(E0) : registriamo una σe

inf e una σesup ;

dopo si registra un ramo circa piatto, con allungamento a tensione costante (ci sono delle piccole ondulazioni ma sono trascurabili perché piccole). Segue un ramo non lineare, in cui devo aumentare la forza per avere ancora allungamento. A questo punto, effettuando uno scarico e un successivo ricarico, descrivo due rami curvi simmetrici rispetto a una retta, con pendenza uguale a quella iniziale α0. Tornando al ramo non lineare incrudente, raggiungiamo un valore max σmax : dopo otteniamo due rami differenti: se ci riferiamo a A0, leggiamo un ramo di softening (rilassamento) in cui la tensione diminuisce, mentre se ci riferiamo all’area effettiva vediamo che la tensione continua a aumentare. Potrei riferirmi sempre all’area iniziale A0, anche se in realtà, quando il provino è prossimo alla rottura, la strizione è talmente grande che non posso trascurare la differenza tra A e A0. La σ limite elastica si definisce in maniera convenzionale: è la tensione per cui, scaricando, ottengo una εresidua = 0.002% (il ramo non è perfettamente lineare, ma sarà leggermente curvo). A seconda del tipo di acciaio, varia la tensione limite.

23

2.2.3 Legami semplificati

- RIGIDO PLASTICO (2 parametri) Il blocco comincia a scorrere quando la forza F vince l’attrito

Figura 2.19

- ELASTO-PLASTICO BILINEARE (3 parametri) Quando la forza della molla supera l’attrito statico il blocco si muove

Figura 2.20

- ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE BILINEARE (4 parametri) Come il caso precedente, ma per far scorrere il blocco devo aumentare ancora la forza, per vincere la seconda molla

Figura 2.21

La pendenza del ramo incrudente può essere valutata con un criterio energetico.

Modello reologico: blocco ad attrito

Modello reologico: blocco ad attrito con molla

Modello reologico: blocco ad attrito con due molle

24

Figura 2.21 Altrimenti dei valori tipici sono 0.005퐸 ≤ 퐸 ≤ 0.05퐸 - ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (5 parametri) Il blocco ad attrito scorre dopo aver esteso la prima molla; poi c’è un gap, superato il quale il blocco ricomincia a scorrere (avendo vinto una seconda molla)

Figura 2.22

- ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE (6 parametri) Come il precedente, ma descrive un ramo incrudente curvilineo

휕퐸휕휀

= 푓(휀)표푔(퐸)

Figura 2.23 - MENEGOTTO-PINTO (4 parametri) Questo tipo di legame è molto utilizzato in campo sismico, per descrivere le deformazioni cicliche.

25

휎휎

= 푏휀휀

+ (1 − 푏)( 휀휀 )

[1 + 휀휀 ] /

Figura 2.24 NB. I legami ricavati precedentemente possono essere utilizzati per descrivere cicli di carico-scarico. Ci si accorge facilmente che le aree sottese (a parità di tensione massima raggiunta ) variano molto: cambia l’accuratezza. Un modello più ricco consente un’accuratezza migliore, ma aumenta la difficoltà nel gestire una modellazione governata da più parametri. 2.2.4 Duttilità di materiale

A livello di materiale, la duttilità è la capacità di assorbire deformazioni oltre il limite elastico.

Figura 2.25 Può essere calcolata in due modi:

⎩⎨

⎧ 휇 =휀휀

휇 =휀 −휀휀

26

2.3 Plasticità di sezione/elemento 2.3.1 Teoria della trave

2.3.1.1 Sezione inflessa

Ipotesi basilari: 1) sezioni traslano e ruotano restando piane 2) piccoli spostamenti (trattazione al 1° ordine) 3) assenza di instabilità (anche locale) 4) legame elasto-plastico perfetto isotropo

Figura 2.26 Aumentando il momento agente M, abbiamo che le σ e le ε aumentano, finchè nella fibra più sollecitata raggiungo σ = σy : pensando alle caratteristiche della sollecitazione, abbiamo raggiunto M = My, ovvero il momento di snervamento. Continuando a aumentare il momento agente, le ε continuano a crescere nello stesso modo, mentre per le σ aumentano le fibre plasticizzate, che hanno raggiunto la σy .

Figura 2.27

GEOMETRIA SOLIDO (una dimensione molto maggiore

rispetto alle altre 2)

PRINCIPIO DSV (estinzione degli effetti in una zona

proporzionale all’area caricata)

SEZIONI TRASLANO E RUOTANO RESTANDO PIANE

TEORIA DELLA TRAVE Ci riferiamo alle sollecitazioni di sezione e non a quelle puntuali (ovvero alle caratteristiche della

sollecitazione)

27

A un certo punto tutte le fibre della sezione saranno plasticizzate. Il momento agente sarà M = Mp , ovvero il momento di plasticizzazione.

Figura 2.28 Si definisce un indice delle risorse plastiche della sezione:

훽 =푀푀

퐹푎푡푡표푟푒푑푖푓표푟푚푎

2.3.1.2 Momento ultimo della sezione

Nella precedente trattazione non abbiamo tenuto conto del fatto che la sezione avrà un limite anche nella ε (non possiamo avere rotazione indefinita). Quindi, in generale, il momento ultimo Mu della sezione non è detto che coincida col Mp (per il quale ho σ=σy in tutte le fibre).

Mu può essere dato da −raggiungimentodellaεuinuna ibra

−raggiungimentodellacapacitàportantedellasezione

Le situazioni possono essere le seguenti: 1) 푀 ≤ 푀 푝푒푟퐿퐸퐺퐴푀퐸퐸퐿퐴푆푇푂 − 푃퐿퐴푆푇퐼퐶푂 Dipende dalla duttilità di materiale µ e dalla distanza del materiale dall’asse neutro. Riusciamo a arrivare a un momento massimo simile a Mp.

Figura 2.29 2) 푀 ≤ 푀 표푀 ≥ 푀 푝푒푟퐿퐸퐺퐴푀퐸퐸퐿퐴푆푇푂 − 푃퐿퐴푆푇퐼퐶푂퐼푁퐶푅푈퐷퐸푁푇퐸 Mu è definito quando almeno una fibra raggiunge εu. Il legame è incrudente, quindi oltre al limite plastico ci sono delle risorse (non basta che tutte le fibre siano plasticizzate). - Se si raggiunge εu quando ho ancora alcune fibre in campo elastico ---- > Mu < Mp

28

- Se si raggiunge εu quando tutte le fibre sono plasticizzate ---- > Mu > Mp

Figura 2.30 2.3.2 Teoria elasto-plastica trave inflessa

Consideriamo un concio di trave di altezza H che si inflette lungo un arco di circonferenza di apertura dφ, con raggio di curvatura r.

Figura 2.31 2.3.2.1 Campo elastico

Sfruttiamo la similitudine. 푟푎푏

=푟 + 푦푐푑

Ma sappiamo che: 푎푏 = 푙 = 1 푐푑 = 푙 + 휀(푦) = 1 + 휀(푦) Quindi possiamo scrivere 푟1

=푟 + 푦

1 + 휀(푦) − −→ 푟 + 푟휀(푦) = 푟 + 푦 − −→ 휀(푦) =푦푟

29

Ponendo 휒 = − −→ 휀(푦) = 푦휒 Quindi 휎(푦) = 퐸휀(푦) = 퐸휒푦 (dipende solo dalla geometria del problema) Ma vale anche che 휎(푦) = 푦 Quindi in campo elastico posso esprimere la curvatura χ in questo modo

흌 =푴푬푱

Ora calcolo la curvatura limite elastica

휎 =푀 퐻

2퐽

푀 = 휎 푊

흌풚 =푀퐸퐽

= 휎 푊퐸퐽

= 퐸휀 푊퐸퐽

=ퟐ휺풚풉

Questo è il limite di curvatura elastica: il suo superamento comporta l’entrata in campo plastico. 2.3.2.2 Campo elasto-plastico

Figura 2.31

휒 =휀(푦)푦

=휀푦

Non ci riferiamo più al grafico σ-ε , ma al grafico M-χ. Il campo elastico termina quando raggiungo i limiti 푀 푒휒 =

La parte centrale, non plasticizzata, la chiamiamo “nucleo elastico”, con altezza totale 2ye 흌풚흌

=ퟐ풚풆풉

Se ye tende a 0, la curvatura tende a ∞ e questo non è possibile: è chiaro che il raggiungimento di Mp è una situazione ideale, che non può verificarsi. Secondo i nostri modelli, per coerenza, dovremmo avere χ=∞. Per definire Mp introduciamo il modulo plastico z (analogo al modulo elastico W).

푀 = 휎 푧

30

Figura 2.32 Esprimiamo il diagramma delle σ come somma di tre diagrammi: - diagramma limite nucleo elastico - diagramma limite plastico - diagramma limite nucleo elastico come se fosse tutto elasticizzato - We = modulo elastico nucleo elastico - z = modulo plastico - ze = modulo plastico nucleo elastico

푴푴풚

=푊 휎푀

+푀푀

−휎 푧푀

= 푀푀

푊 휎푀

+ 1−휎 푧푀

= 훽푊푧

+ 1 −푧푧

= 휷 ퟏ −풛풆 −푾풆

풛

NB. z dipende solo dalla sezione,mentre ze e We dipendono dall’ampiezza del nucleo elastico, ovvero da ye ye può essere espresso in funzione di χy / χ.

푴푴풚

= 휷흋(흌풚흌

)

L’obiettivo è quello di esprimere M in modo generico in campo elasto – plastico. Questo perché stiamo analizzando la sezione e abbiamo bisogno di un grafico M - χ (non più σ – ε come per gli stati monoassiali ). Per una sezione inflessa, il momento in campo elastico lo sappiamo scrivere facilmente, mentre in campo plastico generalmente no. La funzione 휑( ) dipende dal tipo di sezione e spesso non è esprimibile in forma chiusa.

2.3.2.3 Sezione rettangolare

Un caso semplice è quello della sezione rettangolare. L’obiettivo è determinare 휑 .

푊 =1

12푏ℎ퐻/2

=16푏ℎ

푊 =1

12푏(2푦 )

푦=

23푏푦

푀 = 휎 푏퐻2퐻2

= 휎 푏퐻4− −−→ 푧 =

푏퐻4

− −→ 푧푒 = 푏(2푦 )

4= 푏푦

푀푀

=푀푀

1 −푧 −푊

푧=

32

1 −푏푦 − 2

3 푏푦푏퐻

4

=32 1 −

푦3 퐻4

= 32 1 −

43

(푦 퐻

) =32 1 −

13

(휒휒

)

31

Dove il termine rappresenta proprio il β della sezione rettangolare.

Figura 2.33 All’inizio c’è un ramo lineare, poi diventa non lineare, con asintoto orizzontale pari a β. Questo parametro aumenta se c’è più materiale vicino all’asse neutro. Per le sezioni tipo IPE vale 1.14.

CAMPO ELASTICO CAMPO ELASTO-PLASTICO

RELAZIONE M-χ 휒 =푀퐸퐽

푀푀

= 훽휑(휒휒

)

VALORE LIMITE M 푀 = 휎 푊 푀 = 휎 푧

VALORE LIMITE χ e RELAZIONE CON NUCLEO ELASTICO 휒 =

2휀ℎ

휒휒

=2푦ℎ

Tabella 2.1 2.3.2.4 Concetto di cerniera plastica

Consideriamo una trave semplicemente appoggiata con un carico centrale.

Figura 2.34

32

Il diagramma del momento avrà andamento lineare simmetrico, col massimo in mezzeria. Immagino di aver raggiunto il momento Mp nella sezione di mezzeria. A una certa distanza dalla mezzeria troverò M=My. Voglio trovare il valore ∆L , per capire la quota parte della trave che ha iniziato a plasticizzarsi.

푀푝퐿2

=푀푦

퐿2−

∆퐿2

훽 =푀푝푀푦

=퐿2

퐿2−

∆퐿2

=퐿

퐿 − ∆퐿− −→ 퐿훽 − ∆퐿훽 = 퐿 − −→∆푳 =

푳(휷 − ퟏ)휷

Quindi la lunghezza ∆L dipende non solo dalla luce della trave, ma anche dalle risorse in campo plastico che è in grado di offrire la sezione considerata. Se la trave avesse sezione a doppia T, posto che β=1.14, otteniamo ∆퐿 = 0.123퐿, ovvero il 12% della trave ha iniziato a elasticizzarsi. Possiamo fare l’approssimazione che la trave sia plasticizzata in un solo punto, che agisce come una cerniera in carico. Nel momento in cui si forma la cerniera, per la struttura di Fig. 2.35 avrei 3 cerniere allineate, che equivale al collasso (la struttura è diventata un meccanismo).

Figura 2.35 C’è una grande differenza tra la curvatura χ dentro e fuori la cerniera: fuori il ramo è lineare, poi inizia un tratto curvo, che termina con una cuspide in corrispondenza della mezzeria.

33

Figura 2.36 Facciamo quindi lo schema di cerniera plastica, in cui tutta la plasticizzazione avviene in un solo punto. Questo schema : - è più trattabile dal punto di vista numerico - ha un errore piccolo rispetto al modello reale (per quanto riguarda le travi) - è necessario per grandi strutture (altrimenti l’onere computazionale sarebbe troppo elevato) NB 1) Il termine cerniera plastica è improprio, perché lì il M ≠ 0 (anzi M = Mp = costante). È quindi un modello coerente per quanto riguarda il cinematismo che si istaura, ma non rispetta l’equilibrio. NB 2) La cerniera plastica è unilaterale (problema incrementale in carico). Quindi funziona a patto che l’incremento di carico sia nello stesso verso del carico che ha portato alla formazione della cerniera. Ovvero, se scarico il materiale torna indietro in modo elastico (e questo non è verosimile se pensiamo a una sezione che ha subito una plasticizzazione). 2.3.2.5 Calcolo diagramma M-χ

Figura 2.37 Per tracciare il diagramma M-χ possiamo procedere nel seguente modo.

34

Il diagramma M – χ è noto in forma chiusa quando la sezione è in campo elastico, mentre quando siamo in campo elasto-plastico l’espressione non è nota in forma chiusa, ma esistono funzioni che legano M a χ. In questo modo possiamo monitorare lo stato di una sezione, ad es. la sezione di mezzeria, all’aumentare dello stato deformativo. 2.3.3 Elementi presso-inflessi

2.3.3.1 Sezione presso-inflessa

Figura 2.38 Consideriamo una trave rettangolare (base b e altezza H) su cui agiscono contemporaneamente una compressione P e un momento flettente M. L’asse neutro non sarà più baricentrico (come nel caso di flessione semplice), ma spostato verso la fibra superiore. Il legame considerato è elasto-plastico perfetto.

Data una sezione, fisso χ = χ*

Ricavo ε * = χ* y (nell’hp. Sezioni che ruotano restando piane)

Ricavo diagramma σ (inserendo il legame costitutivo σ=σ(ε)

Procedo per ulteriori incrementi di χ*, ricavando coppie di punti (χ*,M*)

SI NO STOP

Ricavo i valori M*

N° di punti sufficienti?

35

Figura 2.39 2.3.3.2 Curva limite plastico

Consideriamo la sezione tutta plasticizzata. Scomponiamo il diagramma come la somma di due diagrammi: uno a flessione semplice e uno a compressione semplice.

Figura 2.40

푷 = 2푏휎 푦

푴 = 푧휎 − 푧 휎 =푏ℎ

4휎 −

푏(2푦 )4

휎 =휎 푏

4(ℎ − 4푦 )푐표푛

푧휎 = 푚표푚.푝푙. 푖푛푡푒푟푎푠푒푧푖표푛푒푧 휎 = 푚표푚.푝푙.푛푢푐푙푒표

I valori limite che, se agissero singolarmente, porterebbero a completa plasticizzazione la sezione sono: 푷풖 = 푷풚 = 푏휎 ℎ

푴풑 = 푧휎 = 휎푏ℎ

4

Facciamo i rapporti

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푷/푷풚 =

2푏휎 푦푏휎 ℎ

=2푦ℎ

푴/푴풑 =

휎 푏4 (ℎ − 4푦 )

휎 푏ℎ4

= 1 −4푦ℎ

= 1 − (2푦ℎ

) = ퟏ − (푷푷풚

)ퟐ

Abbiamo ottenuto l’equazione di una parabola.

푴/푴풑 = ퟏ − (푷푷풚

)ퟐ

36

Figura 2.41 2.3.3.3 Curva limite elastico

Figura 2.42 Ipotizziamo di aver raggiunto la plasticizzazione nella fibra inferiore. Allora il diagramma delle tensioni posso vederlo come la somma di due diagrammi: uno ottenuto traslando la curva in modo da avere flessione semplice e l’altro dato dalla differenza tra i due.

푴 = 휎 푊 =푏ℎ

6휎

푷 = 푏ℎ(휎 − 휎 )

Facendo delle proporzioni tra triangoli otteniamo

휎휎

=ℎ2 + 푦ℎ2

= 1 +2푦ℎ− −−→흈풚 = 흈 (ퟏ+

ퟐ풚ퟎ풉

)

푴풚 =푏ℎ

6휎 =

푏ℎ6휎 (1 +

2푦ℎ

)

푷풚 = 푏ℎ휎 = 푏ℎ휎 (1 +2푦ℎ

)

37

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

푴/푴풚 =푏ℎ

6 휎푏ℎ

6 휎 (1 + 2푦ℎ )

=1

(1 + 2푦ℎ )

푷/푷풚 =푏ℎ휎 1 + 2푦

ℎ − 1

푏ℎ휎 (1 + 2푦ℎ )

= 1−1

(1 + 2푦ℎ )

= ퟏ −푴푴풚

Questa volta non abbiamo ottenuto una relazione parabolica, ma lineare.

푷푷풚

= ퟏ −푴푴풚

Per rappresentare questa relazione e quella del Par. 2.3.3.3 nello stesso grafico occorre adimensionalizzare il momento M rispetto allo stesso valore. Noto che

푀 =푀푝훽

Sostituiamo quest’espressione nella relazione precedente: 푃푃

= 1−푀푀

−−−→푀푀

= 1 −푃푃− −−→

푀훽푀

= 1 −푃푃−−−→

푴푴풑

=ퟏ휷

(ퟏ −푷푷풚

)

Figura 2.43 Se non agisce momento, le condizioni di prima plasticizzazione coincidono con le condizioni ultime. Se invece agisce momento no, la sezione presenta delle risorse plastiche legate a β prima di arrivare al collasso.

38

2.3.3.4 Considerazioni

Figura 2.44 Prendo una sezione e la sottopongo a (M*,P*) inferiori al limite elastico. Introduco un moltiplicatore in modo da aumentare P e M in modo proporzionale: ci muoviamo su una retta. Una volta raggiunto il limite elastico, il moltiplicatore varrà λ = OB/OA. Ora posso muovermi in varie direzioni: - verticalmente : equivale a lasciare P=cost, aumentando solo il momento. La lunghezza del segmento percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse flessionali plastiche della sezione - orizzontalmente : equivale a lasciare M=cost, aumentando solo lo sforzo normale. La lunghezza del segmento percorso fino al limite plastico è un indice delle risorse plastiche a compressione della sezione - diagonalmente : facendo variare sia P che M, ho informazioni sulle risorse plastiche a presso-flessione Se una sezione è prevalentemente compressa, le risorse plastiche sono pochissime (quando si plasticizza la 1° fibra ho già quasi raggiunto la plasticizzazione dell’intera sezione). Queste superfici possono essere tradotte in tanti diagrammi M-χ, ricavati a P=cost.

Figura 2.45 Coerentemente con ciò che abbiamo detto prima, la duttilità diminuisce all’aumentare di P.

39

2.4 Plasticità di sistema 2.4.1 Introduzione

2.4.1.1 Duttilità

Utilizzeremo i concetti di cerniera plastica e duttilità di struttura, dove quest’ultima può essere calcolata come

휇 =훿훿

Dove con δ indichiamo qualunque spostamento significativo per il modo di deformarsi della struttura considerata.

Figura 2.46

Figura 2.47 2.4.1.2 Collasso totale

Per collasso totale si intende la situazione per cui la struttura diventa un meccanismo: essa non è quindi in grado di sopportare ulteriori incrementi di carico. Corrisponde alla formazione di un n° di cerniere plastiche tali da innescare un cinematismo di collasso. Vale la regola per cui una struttura n volte iperstatica collassa globalmente quando si sono formate n+1 cerniere plastiche. Esempio 1 : Trave appoggiata

Figura 2.48

40

Quando si forma la cerniera plastica in mezzeria (punto a momento massimo) la struttura diventa un meccanismo (3 cerniere allineate). Struttura 0 volte iperstatica --- > n= 1 cerniera Esempio 2 : Telaio Struttura 3 volte iperstatica --- > n= 4 cerniere

Figura 2.49 2.4.1.3 Collasso locale

Per collasso locale invece ci riferiamo alla formazione di un meccanismo che coinvolge solo una parte della struttura, che globalmente può anche non collassare. Avvengono per formazione di meno cerniere plastiche (n* < n + 1) Esempio 3 : Telaio Struttura 3 volte iperstatica --- > n* = 3

Figura 2.50

41

2.4.2 Effetti dell’iperstaticità sul comportamento elasto-plastico

2.4.2.1 Analisi trave doppiamente incastrata

Figura 2.51

푀 =1

24푝퐿

푀 = 푀 =1

12푝퐿

Le prime cerniere plastiche si formeranno in A e C contemporaneamente, data la simmetria di struttura e carico.

푀 = 푀 = 푀 − −−> 푷∗ = ퟏퟐ푴푷

푳ퟐ

Il sistema comincia a comportarsi così

Figura 2.52 Studio il problema

Figura 2.53

∆푀 =18∆푝퐿

Collassa per : 푀∗ + ∆푀 = 푀

42

124

푝∗퐿 +18∆푝퐿 = 푀

18∆푝퐿 = 푀 −

124

(12푀퐿

)퐿

18∆푝퐿 =

푀2− −−> ∆풑 =

ퟒ푴풑

푳ퟐ

푷푼 = 푃∗ + ∆푝 = 12푀퐿

+4푀퐿

= ퟏퟔ푴푷

푳ퟐ

푷푼 − 푷∗

푷∗ퟏퟎퟎ =

43− 1 100 = ퟑퟑ%풊풏풄풓풆풎풆풏풕풐풅풊풄풂풓풊풄풐%풑풆풓풑풂풔풔풂풓풆풅풂푷∗풂푷푼

NB. La struttura era 3 volte iperstatica, quindi per arrivare al collasso globale ci saremmo aspettati che le cerniere plastiche necessarie sarebbero state 4. Invece in questo caso ne bastano 3, perché sono allineate.

Figura 2.53

2.4.2.2 Distribuzione dei carichi

Se considerassi una diversa distribuzione di carico, ad es. forza F concentrata nella mezzeria della trave, cambia il grafico del momento del flettente.

Figura 2.54

푀 = 푀 = 푀 =18퐹퐿

Con un grafico di questo tipo, si formano contemporaneamente 3 cerniere plastiche quando

푀 = 푀 = 푀 = 푀 표푣푣푒푟표푞푢푎푛푑표퐹∗ = 퐹 =8푀퐿

Le capacità plastiche quindi dipendono anche dai carichi.

43

2.5 Capacità portante in campo elasto-plastico 2.5.1 Introduzione

2.5.1.1 Ipotesi

Ci proponiamo ora di studiare l’evoluzione di un sistema strutturale: aumentando progressivamente il carico vediamo come evolve il sistema, monitorando la formazione di cerniere plastiche. Le ipotesi sono le seguenti: - i carichi aumentano proporzionalmente (applichiamo un moltiplicatore λ alla distribuzione iniziale, in modo che H/V = cost ) - modello a plasticità concentrata (cerniera plastica in un solo punto) - no instabilità I parametri noti sono: - geometria, rigidezze e vincoli della struttura - distribuzione iniziale dei carichi - legame costitutivo elastico perfettamente plastico 2.5.1.2 Obiettivi

Figura 2.55 Gli obiettivi dell’analisi sono: 1) determinazione di λy , per il quale nella struttura si forma la prima cerniera plastica 2) determinazione di λult , per il quale la struttura si trasforma in un meccanismo. Ovvero calcolare il carico di collasso globale 2.5.1.3 Metodi

Possiamo utlizzare 3 metodi: - Analisi incrementale (è l’analisi più completa: consente di trovare sia λult che λy) - Soluzioni analitiche in forma chiusa (è raro che esistano, si hanno solo per casi semplici) - Analisi limite (consente di trovare solo λult )

44

2.5.2 Analisi incrementale

2.5.2.1 Esempio

Figura 2.56 Considero un telaio piano soggetto a una certa distribuzione di carico: applichiamo il moltiplicatore λ e vediamo come evolve il sistema strutturale. - tutte le sezioni sono uguali , con My = Mu = 500 KNm - duttilità infinita Ad ogni passo devo sommare lo stato tensionale incrementale a quello incrementale limite, ottenendo quello assoluto. 1 – SCHEMA STATICO INCREMENTALE

Figura 2.57 2 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE (∆M*)

Figura 2.58

45

3 – STATO TENSIONELE INCREMENTALE LIMITE (∆ML)

Figura 2.59 4 – STATO TENSIONELE ASSOLUTO LIMITE (ML)

Figura 2.60 - Formazione 1° cerniera plastica: la individuo monitorando la sezione a momento massimo - Formazione 2° cerniera plastica: guardo lo schema iniziale (struttura ancora in campo elastico) e individuo qual è la seconda sezione con momento massimo . Devo però controllare che, una volta formatasi la 1° cerniara plastica, la ridistribuzione degli sforzi sia tale che la 2° cerniera plastica si formi proprio in quella sezione (non è detto che sia così). Alla fine, avrò la formazione di 4 cerniere plastiche : la struttura è diventata un meccanismo e collassa.

Figura 2.61 2.5.2.2 Curva di pushover

Dall’esempio precedente, individuiamo λy = 25.5 (formazione 1° cerniera plastica) e λult =31.3 (formazione 4° cerniera plastica). La curva di pushover si ottiene ponendo in ascissa lo spostamento significativo ad ogni step (nel caso trattato, lo spostamento δy del punto estremo) e in ordinata il moltiplicatore di carico.

Calcolati i valori δ(λy) e δ(λult) possiamo valutare la duttilità della struttura come rapporto tra i due.

휇 =훿 λ 훿(λ )

Figura 2.62

46

2.5.3 Soluzioni analitiche

2.5.3.1 Esempio

Figura 2.62 Il sistema è 1 volta iperstatico (9 gradi di libertà , 10 gradi di vincolo). 2.5.3.2 Campo elastico

Calcoliamo la soluzione nello spirito del metodo degli spostamenti: imponendo un allungamento δ ad 푂퐴 , scriviamo la congruenza e poi ricaviamo l’equilibrio. Consideriamo piccole deformazioni.

푋 = 푠푓표푟푧표푎푠푠푖푎푙푒푂퐴푌 = 푠푓표푟푧표푎푠푠푖푎푙푒푂퐵 = 푂퐶

푂퐴훿 = 푙휀 = 푙휎퐸

= 푙푋퐸퐴

− −−> 푋 =퐸퐴훿푙

푂퐵,푂퐶훿 ≅ 훿 cos휋4− −→ 휀 =

∆푙푙

=푌퐸퐴

− −−>훿 cos 휋

4푙

푐표푠 휋4

=푌퐸퐴

Quindi otteniamo

풀 =휹푬푨풍

풄풐풔ퟐ(흅ퟒ

)

푿 = ퟐ풀

Equilibrio del nodo

47

푋 + 2푌푐표푠 = 푃푋 = 2푌

−− −−→푌 =

√

푋 = √

La prima asta che si plasticizza è 푂퐴, in quanto X>Y . La plasticizzazione avviene quando

푋 = 2푃

2 + √2= 휎 퐴

Quindi i valori limite di carico e allungamento sono

⎩⎨

⎧푃 =2 + √2

2휎 퐴

훿 =푙푋푒푙퐸퐴

=푙휎퐸

2.5.3.3 Campo elasto-plastico

Continuiamo l’analisi della struttura, considerando che ormai l’asta 푂퐴 si è plasticizzata. 푋 = 휎 퐴 = 푐표푠푡

2푌푐표푠휋4

= 푃 − 휎 퐴 − −−> 푌 =푃 − 휎 퐴√2

Le aste 푂퐵,푂퐶 si plasticizzano quando

푌 = 휎 퐴 =푃 − 휎 퐴

√2− − −−> 푷풄풓 = 푨흈풚(ퟏ+ √ퟐ)

Valutiamo la sovraresistenza plastica 푷풄풓푷풆풍

=퐴휎 1 + √2퐴휎 2 + √2

2

=1 + √2

1 + √22

=1 + √21 + √2√2

= √21 + √21 + √2

= √2 = ퟏ.ퟒퟏퟒퟐ+ ퟒퟎ%풅풊풔풐풗풓풂풓풆풔풊풔풕풆풏풛풂

Calcolo lo spostamento ultimo.

휀 =∆푙푙

=푌퐸퐴

− −−> 훿 cos 휋

4푙

푐표푠 휋4

=푌퐸퐴

휹풄풓 =퐴휎퐸퐴

푙

푐표푠 (휋4)=

휎퐸

푙(1/√2)

=2휎 푙퐸

− −−> 휹풄풓 = ퟐ휹풚표푣푣푒푟표 + ퟏퟎퟎ%풅풊풅풖풕풕풊풍풊풕à

Figura 2.64

Figura 2.63

48

2.5.3.4 Scarico a collasso incipiente

Figura 2.65

Suppongo di effettuare uno scarico a collasso incipiente. Il comportamento del sistema è elastico. L’asta OA era già plasticizzata, ma le aste OB e OC ancora no. Quello che otteniamo è che : - OA resterà allungata un po’ di più rispetto alla configurazione iniziale (proprio perché ha subito la plasticizzazione) - OB, OC dovranno allungarsi anche loro, risultando quindi tese. In conseguenza di ciò, poiché l’equilibrio nel nodo deve essere sempre valido, abbiamo che l’asta OA risulterà compressa (siamo in fase di scarico, quindi non c’è più la forza P).

⎩⎨

⎧푋 = 2푃

2 + √2

푌 =푃

2 + √2− −>

⎩⎨

⎧∆푋 = 2∆푃

2 + √2

∆푌 =∆푃

2 + √2− −> 푋 = 푋 − ∆푋

푌 = 푌 − ∆푌

⎩⎪⎨

⎪⎧푋 = 퐴휎 (1−

2 1 + √22 + √2

)

푌 = 퐴휎 (1−1 + √22 + √2

)− − −−>

⎩⎪⎨

⎪⎧푋 = −퐴휎

√22 + √2

푌 = 퐴휎 1

2 + √2

NB. In scarico le aste si prendono la stessa quota parte di carico che si prendevano in fase elastica.

49

2.5.4 Analisi limite

2.5.4.1 Concetti base

Il metodo si basa su un principio energetico che, data una distribuzione di carichi sulla struttura, permette di trovare il moltiplicatore ultimo dei carichi λult. Non permette di calcolare λy. - Superficie limite

Figura 2.66 In queste superfici, ogni combinazione di carico rappresenta un punto, mentre il processo di carico è descritto da una retta. Calcoliamo come distanza del punto λult della superficie dallo stato iniziale. - Convessità

Figura 2.67 La superficie limite deve essere comunque convessa. Solo in questo modo infatti vale λult(critico)= λmax(tra quelli ammissibili).

Figura 2.68

Può essere riferita a 1° plasticizzazione o a collasso

50

Se la superficie non fosse convessa, posto 푒̂ = versore della direzione del carico, ∃almenounλ<λmaxchemiportaancorasullasuper icielimite. 퐴퐵 = 푒̂λ 퐴퐷 = 푒̂λ 퐴퐶 = 푒̂λ 퐴퐸 = 푒̂λ Non potremmo quindi dire che λult sia proprio il λmax. (la definizione di λult non è univoca)

Figura 2.69 Se conoscessi la superficie limite nello spazio dei carichi esterni il problema di trovare λult sarebbe di facile soluzione. In realtà noi possiamo conoscere la superficie limite al più nello spazio delle tensioni (Tresca o Von Mises), che dipendono solo dalle caratteristiche del materiale, o nello spazio delle sollecitazioni (M,N), che dipendono dalle caratteristiche della sezione, ovvero dalle rigidezze. Per valutarla nello spazio dei carichi esterni dovrei conoscere la reale distribuzione dei carichi e dei vincoli. Per risolvere il problema e calcolare ugualmente λult , sfruttiamo i seguenti teoremi: - TEOREMA STATICO = λcr è il massimo tra quelli staticamente ammissibili, compatibili con le resistenze massime della struttura e con i vincoli (teorema limite superiore) - TEOREMA CINEMATICO = λcr è il minimo tra quelli cinematicamente compatibili con i vincoli esterni e le giunzioni della struttura (teorema limite inferiore) - TEOREMA UNICITÀ = tra tutti i λ possibili, λcr è l’unico che produce stati di tensione staticamente ammissibili e cinematismi compatibili. 2.5.4.2 Teorema statico

Figura 2.70 Consideriamo un sistema strutturale una volta iperstatico. Vogliamo valutare il carico critico Pcr mediante il teoremo statico.

51

Figura 2.71 Per risolvere il sistema, data la sua iperstaticità, inseriamo l’incognita iperstatica χ e studiamo il sistema principale (1) e il sistema con l’incognita χ (2).

Figura 2.72 Riportiamo i diagrammi del momento flettente(per il sistema completo iperstatico e per i sistemi 1 e 2).

Figura 2.73 (1) 푅 = 푅 = 푃 푀 = 푃푎 푀 = 푅 (푎 + 푏) − 푃푏 = 푃푎 (2)

52

푅 =χ퐿푅 = −

χ퐿

푀 = 푅 푎 =χ퐿푎

푀 = 푅 (푎 + 푏) =χ퐿

(푎 + 푏)

푀 = 푅 (푎 + 푏 + 푎) =χ퐿퐿 = χ

(1)+(2)

푀 = 푀 −푀 = 푃 −χ퐿푎

푀 = 푀 −푀 = 푃푎 −χ퐿

(푎 + 푏)

푀 = 푀 = χ Condizioni di ammissibilità statica

1)푀 ≤ 푀 − −→ 푃 −χ퐿푎 ≤ 푀

2)푀 ≤ 푀 − −→ 푃푎 −χ퐿

(푎 + 푏) ≤ 푀

3)푀 ≤ 푀 − −→ χ ≤ 푀 Stiamo cercando il Pcr che mi porta a collasso globale. Per come è fatta la struttura, se si formano le cerniere plastiche in A e in B abbiamo un collasso locale, non globale.

Figura 2.74 Quindi per avere collasso globale si deve verificare per forza o la situazione 3) o 1)+2) Situazione (a) (ovvero 1) e 3) al limite)

푃 −χ퐿푎 = 푀

χ = 푀− −−→푷풄풓 =

푀푎

+푀퐿

=푴푷푳+ 푴푷풂

풂푳

Situazione (b) (ovvero 2) e 3) al limite)

푃 푎 −χ퐿

(푎 + 푏) = 푀χ = 푀

− −−→푷풄풓 =푀푎

+푀 (푎 + 푏)

퐿푎=푴푷푳+ 푴푷(풂+ 풃)

풂푳

Risulterebbe cioè Pcr (b) > Pcr (a) . Cioè il carico critico dovrebbe essere Pcr (b). Ma non è staticamente ammissibile. Vediamo perché. So che MA è sempre > di MB (si vede dal grafico iniziale del momento flettente). Ma se assumo che MB = MP, allora dovrebbe essere MA > MP : ma questo non è staticamente ammissibile. Il carico critico è quindi Pcr (a) , l’unico che è staticamente ammissibile.

푷풄풓 =푴푷푳+ 푴푷풂

풂푳

53

2.5.4.3 Teorema cinematico

Figura 2.75 Consideriamo la stessa struttura. Per calcolare il carico critico dobbiamo: - individuare tutti i cinematismi per formazione di cerniere plastiche - applicare il principio energetico di minimo (λcr è quello che corrisponde al minimo lavoro di collasso) Ipotizziamo che le cerniere plastiche si formino: - dove sono applicati i carichi e dove sono i vincoli - dove ci sono bruschi cambiamenti di rigidezza in una direzione (es. cambio di sezione).

Figura 2.76 Inoltre consideriamo che le deformazioni plastiche siano >> di quelle elastiche. Con queste ipotesi siamo in grado di individuare due cinematismi.

Figura 2.77

훿 =훿 푎푎 + 푏

퐿푎푣푒푠푡 = 퐿푎푣푖푛푡 − −→ 푃 훿 + 푃 훿 푎푎 + 푏

= 푀 휃 +푀 휃

Le rotazioni sono:

휃 =훿푎

+ 훿

푎 + 푏

휃 = 훿

푎 + 푏

(approssimiamo le rotazioni con le tangenti)

54

Figura 2.78

훿 =훿 푎푎 + 푏

퐿푎푣푒푠푡 = 퐿푎푣푖푛푡 − −→ 푃 훿 + 푃 훿 푎푎 + 푏

= 푀 휃 + 푀 휃

Le rotazioni sono:

⎩⎨

⎧휃 =훿푎

+ 훿

푎 + 푏

휃 = 훿푎

(approssimiamo le rotazioni con le tangenti) Poiché i due sistemi sono simmetrici, ho che 훿 = 훿 푒훿 = 훿 푄푢푖푛푑푖휃 = 휃 ,푚푒푛푡푟푒휃 = 휃 Inoltre abbiamo 퐿( ) > 퐿( )

퐿( ) > 퐿( ) − −−> 푃( ) > 푃( ) − −→ λ = λ − −→ 퐼푙푃 푠푎푟à푃( )

Calcolo 푃( )

푃( )훿 + 푃( ) 훿 푎푎 + 푏

= 푀 [훿푎

+훿

푎 + 푏+

훿푎 + 푏

]

푃( ) 1 +푎

푎 + 푏 = 푀

푏 + 푎푎(푎 + 푏) − −→푃( )

푙푎 + 푏

= 푀 푙

푎(푎 + 푏) +1

푎 + 푏

푃( ) = 푀1푎

+1푙− −−> 푷풄풓

(ퟏ) = 푴푷푴푷풍 +푴푷풂

풂풍

Ritroviamo lo stesso valore ottenuto col teorema cinematico (Par. 2.5.4.2)

55

2.5.4.4 Strutture intelaiate

Figura 2.79

Consideriamo un telaio incernierato : questa struttura è 1 volta iperstatica quindi, per arrivare a un collasso globale, si devono formare 2 cerniere plastiche. Risolviamo questo problema mediante il Teorema Cinematico. Prima di tutto, individuiamo i meccanismi possibili. Sono 6.

Figura 2.80

56

1)퐻휃ℎ = 푀 휃 +푀 휃 2) −퐻휃ℎ = 푀 휃 +푀 휃

3)퐻휃ℎ + 푉12휃푙 = 푀 2휃 +푀 2휃

4) −퐻휃ℎ − 푉12휃푙 = 푀 2휃 +푀 2휃

5)퐻휃ℎ − 푉12휃푙 = 푀 2휃 + 푀 2휃

6) −퐻휃ℎ + 푉12휃푙 = 푀 2휃 +푀 2휃

Sono equazioni dirette, nel piano (H,V). 1)퐻 = 푀 + 푀 = 푐표푠푡 2) −퐻 = 푀 +푀 = 푐표푠푡

3)퐻 = −푉푙

2ℎ+

2푀ℎ

+2푀ℎ

= −푉푙

2ℎ+ 푐표푠푡

4) −퐻 = 푉푙

2ℎ+

2푀ℎ

+2푀ℎ

= 푉푙

2ℎ+ 푐표푠푡

5)퐻 = 푉푙

2ℎ+

2푀ℎ

+2푀ℎ

= 푉푙

2ℎ+ 푐표푠푡

6) −퐻 = −푉푙

2ℎ+

2푀ℎ

+2푀ℎ

= −푉푙

2ℎ+ 푐표푠푡

In questo modo descriviamo proprio la superficie limite nel piano della sollecitazioni esterne che stavamo cercando. Abbiamo 6 equazioni, che descrivono 6 rette: il dominio è esagonale.

Figura 2.81 Quindi, per i telai, riusciamo a trovare la superficie limite sfruttando il teorema cinematico.

57

Per il telaio incastrato il dominio diventa ottagonale.

Figura 2.82 NB. I due domini visti finora sono simmetrici: stiamo pensando all’acciaio, con momento plastico Mp uguale sia per flessione positiva che per flessione negativa. Se volessimo considerare un materiale come il calcestruzzo armato, dovremo tener conto che in generale l’armatura sarà asimmetrica: pertanto il grafico non risulterà simmetrico rispetto al al segno delle forze esterne (non abbiamo lo stesso comportamento per flessione positiva e negativa).

Figura 2.83

58

3 - CONNESSIONI IN ACCIAIO

3.1 Definizioni 3.1.1 Unioni in acciaio

3.1.1.1 Zone nodali in un telaio

I giunti tra gli elementi sono realizzati nelle zone di diffusione (D-Regions). Sappiamo che queste zone sono caratterizzate da concentrazione degli sforzi e non validità della teoria della trave di Bernoulli (non sono infatti verificate le ipotesi alla base della teoria di De Saint Venant): le indicazioni progettuali sono basate su teorie e modellazioni semplificate, supportate da analisi sperimentali o numeriche. Lo studio accurato delle unione è fondamentale, perché esse possono risultare il punto debole della struttura. Figura 3.1

3.1.1.2 Unioni correnti

Servono per creare profili composti a partire da ferri piatti e cantonali (profili che non esistono sui sagomari, come travi alte e profili a cassone) 3.1.1.3 Unioni di forza

Uniscono tra loro i vari elementi strutturali per formare l’intera costruzione 3.1.2 Sistemi di collegamento

3.1.1.1 Sistemi chiodati

- Non si realizzano più ma possono trovarsi nelle strutture esistenti - Venivano montati a caldo: in questo modo nei gambi si generavano spesso tensioni di trazione che portavano anche alla rottura del chiodo stesso - Non possono essere scomposte a meno che non si distruggano anche gli elementi di connessione.

TRAVE-COLONNA TRAVE-TRAVE COLONNA-COLONNA COLONNA-FONDAZIONE

59

3.1.1.2 Sistemi bullonati

VANTAGGI: - Facilità e velocità di montaggio e smontaggio - Flessibilità della struttura nel caso in cui debba subire modifiche per far fronte a nuove esigenze - Riutilizzo delle parti strutturali SVANTAGGI: - Gli elementi strutturali sono indeboliti dalla presenza dei fori - La presenza dei fori comporta una distribuzione delle tensioni caratterizzata da punte locali 3.1.1.3 Sistemi saldati

VANTAGGI: - Collegamenti più rigidi - Si evita l’indebolimento dovuto ai fori dei bulloni - Le saldature occupano meno spazio, per cui i giunti risultano più snelli - Gli elementi da unire non devono subire un trattamento iniziale (per le bullonature occorre realizzare i fori) SVANTAGGI: - In generale sono più difficili da realizzare 3.1.3 Aspetti normativi: Eurocodici

3.1.3.1 Introduzione

Gli Eurocodici trattano le connessioni in acciaio in modo molto più approfondito rispetto alle NTC 08. Per questo, per una modellazione più avanzata (che comprenda la modellazione del nodo) ci si può avvalere degli Eurocodici (“indicazioni di comprovata validità”). 3.1.3.2 Collegamento e Nodo strutturale

- Collegamento (Connection) = è la parte che interessa proprio la trasmissione delle forze al contatto tra gli elementi (saldatura per unioni saldate, piastra + bulloni per unioni bullonate). - Nodo strutturale (Joint) = coinvolge tutta quella zona in cui nascono variazioni rilevanti delle caratteristiche della sollecitazione (pannello d’anima della colonna soggetta a taglio) Figura 3.2

60

3.2 Classificazione dei nodi 3.2.1 Introduzione

Le strutture in acciaio sono usualmente progettate facendo riferimento a modelli in cui i nodi hanno comportamento ideale. Generalmente, si accetta di rappresentare il comportamento dei nodi attraverso due modelli idealizzati: incastro perfetto e cerniera perfetta. Incastro perfetto:

- completa continuità tra gli elementi collegati - trasferimento completo delle forze tra l’estremità della trave e la colonna - assenza di deformazioni parassite Figura 3.3

Cerniera perfetta:

- sufficiente capacità di rotazione della trave - assenza di momenti parassiti Figura 3.4

L’utilizzo di questi schemi comporta notevoli semplificazioni: il comportamento reale però è sempre intermedio. 3.2.2 Classificazione per rigidezza

Questa classificazione è applicabile solo al nodo trave-colonna. 3.2.2.1 Nodo rigido

Il comportamento del nodo non ha influenza significativa sulla distribuzione delle forze e dei momenti nella struttura. Stessa cosa per le deformazioni. 3.2.2.2 Nodo semi-rigido

In questo caso tra gli elementi esiste interazione, che dipende dal momento resistente e dalla rotazione di progetto. È in grado di trasmettere forze e momenti. 3.2.2.3 Nodo incernierato

61

Il nodo deve essere in grado di trasmettere forze, senza sviluppo di momenti. Inoltre, deve consentire la rotazione risultante dai carichi di progetto. 3.2.2.4 Formule

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푍표푛푎1)푁표푑표푟푖푔푖푑표푠푒 − −−> 푺풋,풊풏풊 ≥

풌풃푬푰풃푳풃

푍표푛푎2)푁표푑표푠푒푚푖 − 푟푖푔푖푑표푠푒 − −−> . ≤ 푆 , ≥

푍표푛푎3)푁표푑표푖푛푐푒푟푛푖푒푟푎푡표푠푒 − −−> 푺풋,풊풏풊 ≤ퟎ.ퟓ푬푰풃푳풃

푘 = 8푝푒푟푠푡푟푢푡푡푢푟푒푐표푛푡푟표푣푒푛푡푎푡푒

25푝푒푟푡푢푡푡푒푙푒푎푙푡푟푒푠푡푟푢푡푡푢푟푒푖푛푐푢푖퐾퐾

≥ 0.1

Figura 3.5

3.2.3 Classificazione per resistenza

Si basa sul confronto tra il momento resistente di progetto del nodo con il momento resistente degli elementi che vi convergono. 3.2.3.1 Nodo a completo ripristino

Il momento resistente di un nodo a completo ripristino deve essere non inferiore a quello degli elementi che unisce. 푀 , ≥ 푀 3.2.3.2 Nodo a parziale ripristino

È un nodo che non ricade né nella categoria di nodo a completo ripristino, né di nodo incernierato. 3.2.3.3 Nodo incernierato

Ha le caratteristiche di cui sopra (Par. 3.2.2.3) e deve valere la relazione: 푀 , ≤ 0.25푀

Figura 3.6

62

3.2.4 Classificazione per duttilità

Dipende dalle classificazioni precedenti. Si distinguono i nodi in: - nodo continuo - nodo semi-continuo - nodo semplice

3.2.5 Classificazione secondo i tipi di analisi

Nel caso di un’analisi elastica globale, le uniche caratteristiche rilevanti per la modellazione sono quelle di rigidezza. Viceversa, se stiamo effettuando un’analisi rigido- plastica ci interessano principalmente le resistenze. Infine, in tutti gli altri casi, sia la rigidezza che la resistenza governano il modo in cui il nodo dovrebbe essere modellato. La tabella seguente riassume la casistica.

63

3.3 Modellazione del nodo 3.3.1 Tipi di modellazione

I modelli per la previsione del comportamento dei nodi si dividono in 5 categorie: - test sperimentali - modelli empirici - modelli analitici - modelli agli elementi finiti - modelli meccanici (metodo delle componenti) Chiaramente, il metodo più accurato consiste nell’effettuare test sperimentali, a cui però non si può ricorrere se non in casi eccezionali, poichè però sono molto dispendiosi. 3.3.2 Metodo delle componenti: esempio di un giunto saldato

3.3.2.1 Introduzione

Detti anche modelli a molla, i modelli meccanici si basano sulla simulazione del nodo/collegamento con un insieme di componenti rigide e flessibili. Il metodo delle componenti consta di 3 fasi principali: - identificazione delle componenti - risposta delle componenti - assemblaggio delle componenti Consideriamo un giunto saldato e guardiamo come si articola il metodo.

Figura 3.7 Individuiamo le varie fonti di deformabilità. Nel caso di connessioni saldate abbiamo: - pannello d’anima della colonna a taglio - anima della colonna in trazione - anima della colonna in compressione - flangia della colonna in flessione - anima e flangia della trave in compressione

Figura 3.8

64

Le prime 3 componenti contribuiscono sia in termini di rigidezza che di resistenza , per cui vengono modellate con un legame di tipo elasto-plastico; le altre 2 componenti contribuiscono solo alla resistenza e per questo vengono modellate con un legame rigido-plastico. NB. In tale metodo, si ipotizza che la rottura delle saldature sia evitata, poiché la loro rottura è un meccanismo di tipo fragile. È auspicabile quindi che le saldature siano dimensionate sempre a vantaggio di sicurezza. 3.3.2.2 Calcolo della resistenza delle varie componenti

3.3.2.2.1 Resistenza zona soggetta a taglio

Pannello d’anima di colonna non irrigidito

푽풑풍.푹풅 =풇풚풄푨풗 √ퟑ⁄

휸풎ퟎ

Dove Av è l’area di taglio, calcolabile a seconda del tipo di sezione dell’elemento:

3.3.2.2.2 Resistenza zona compressa

Anima di colonna non irrigidita

푭풄,푹풅 = 풇풚풄풕풘풄 ퟏ.ퟐퟓ − ퟎ.ퟓ휸풎ퟎ흈풎,푬풅

풇풚풄

풃풆풇풇휸풎ퟎ

푹풆풔풊풔풕풆풏풛풂풂풍풍풐풔풄풉풊풂풄풄풊풂풎풆풏풕풐

푚푎퐹 , ≤푓 푡 푏

훾

Va inoltre calcolata la resistenza all’instabilità dell’anima della colonna, considerata come membratura compressa.

Figura 3.9

65

푙푢푛푔ℎ. 푙푖푏푒푟푎푑푖푖푛푓푙푒푠푠푖표푛푒퐿 = 푑 푙푎푟푔ℎ푒푧푧푎푒푓푓푖푐푎푐푒푏 = (ℎ + 푠 )

푵풃,푹풅 =흌푨풇풚휸풎ퟏ

=흌풕풘풄 풃풆풇풇풇풚

휸풎ퟏ푹풆풔풊풔풕풆풏풛풂풂풍풍′풊풏풔풕풂풃풊풍풊풕à

Figura 3.10

Eventualmente, si possono aggiungere piatti di rinforzo orizzontali e obliqui.

Figura 3.11 3.3.2.2.3 Resistenza zona tesa

Ala di colonna non irrigidita

푭풕,푹풅 = 풇풚풃풕풇풃(풕풘풄 + ퟐ풓풄) + ퟕ풇풚풄풕풇풄ퟐ

휸풎ퟎ

푚푎퐹 , ≤푓 푡 푡 + 2푟 + 7푡

훾

푖푛표푙푡푟푒퐹 , ≥0.7푓 푡 푏

훾푎푙푡푟푖푚푒푛푡푖푣푎푛푛표푝푟푒푣푖푠푡푖푖푟푟푖푔푖푑푖푚푒푛푡푖

Figura 3.12

66

3.3.2.3 Determinazione del momento resistente

Assumiamo che la resistenza complessiva sia governata dalla componente più debole.

푴푹풅 = 퐦퐢퐧 푽풑풍.푹풅;푭풄,푹풅; 푭풕,푹풅 풛 Con z = braccio delle forze interne

Figura 3.13 Figura 3.14 3.3.2.4 Calcolo della rigidezza rotazionale

푺풋 =푬 풉풃 − 풕풇풃

ퟐ풕풘풄

∑ ퟏ풌풊

( 푭풊푭풊,푹풅

)ퟐ

Dove - Sj è la rigidezza secante con riferimento allo snervamento (M < Mrd) - ki coefficiente di irrigidimento per il componente i-esimo - Fi forza nel componente i-esimo - Fi,Rd resistenza di progetto del componente i-esimo Figura 3.15

푘 = 0.24푎푛푖푚푎푑푒푙푙푎푐표푙표푛푛푎, 푧표푛푎푠표푔푔푒푡푡푎푎푡푎푔푙푖표

푘 = 0.8푎푛푖푚푎푑푒푙푙푎푐표푙표푛푛푎, 푧표푛푎푡푒푠푎푒푧표푛푎푐표푚푝푟푒푠푠푎

3.3.2.5 Calcolo della capacità rotazionale

- Si può assumere che un collegamento trave-colonna saldato non irrigidito, progettato in conformità con queste regole applicative, abbia una capacità di rotazione φCd di 0.015 radianti. - In un collegamento saldato trave-colonna, nel quale la colonna è irrigidita nella zona compressa ma non nella zona tesa, quando la resistenza al momento non è governata dalla resistenza della zona soggetta a taglio, la capacità di rotazione è pari a φCd =0.025 hc/hb Figura 3.16

67

3.3.2.6 Conclusioni

- I metodi illustrati non possono essere applicati ai collegamenti trave-trave - I metodi illustrati non riguardano i collegamenti in cui la trave è collegata all’anima della colonna - Questi metodi non devono applicarsi in presenza di elementi con sezioni che non siano a I o H. 3.3.3 Considerazioni

Operando con quest’approccio, potremmo arrivare a valori di momento resistente M,Rd e rigidezza S,ini del nodo tali che il nostro giunto saldato trave-colonna non risulta essere un nodo rigido / a completo ripristino (caratteristiche per cui pensavamo di averlo progettato), bensì è un nodo semi-rigido / a parziale ripristino (vedi Par. 3.2.2 e 3.2.3). Per ripristinare la continuità del nodo, così come da richiesta progettuale, possiamo inserire ulteriori elementi, ricalcolare il momento resistente (in particolare Vpl,Rd, vedi Par. 3.3.2.2.1) : - irrigidimenti orizzontali, in modo che le due forze concentrate in corrispondenze delle ali della trave siano assorbite da questi - Se ancora non basta a riportare il nodo nella categoria di nodi a completo ripristino, occorre inserire un irrigidimento obliquo.

3.4 Modellazione a elementi finiti del nodo 3.4.1 Non linearità di materiale

Consideriamo un caso semplice: una piattabanda con un unico foro dove andremo successivamente a posizionare un bullone. La piattabanda è soggetta a trazione (distribuzione di pressioni uniformi, equivalenti a una risultante pari a F).

Figura 3.17 Innanzitutto dobbiamo creare una mesh di elementi finiti, facendo in modo che non ci sia tanta differenza tra le aree degli elementi utilizzati. Inseriamo anche dei vincoli: in questo modo la lastra, soggetta a trazione, può diminuire la propria sezione per effetto Poisson.


68

Figura 3.20 In corrispondenza del foro , le σ hanno un andamento che non è uniforme: c’è una concentrazione di tensione. L’andamento è non lineare già in campo elastico.

Figura 3.21

Figura 3.22 Al crescere di p*, arriveremo a snervamento prima delle fibre in corrispondenza del foro; continuando a aumentare p* aumentano le fibre snervate, fino a arrivare a due stress-block. Calcoliamo il valore del carico p che porta alla crisi della lastra. 휎 = 푡푒푛푠푖표푛푒푑푖푠푛푒푟푣푎푚푒푛푡표푑푒푙푙 푎푐푐푖푎푖표 휎 (푎 − 푑) = 푝 푎

풑풚 = (풂 − 풅)

풂흈풚푐푖표è푝 < 휎

Il valore che porta a snervamento è inferiore alla tensione di snervamento dell’acciaio, proprio per la presenza del foro. Volendo modellare questo processo, ci si riconduce a un legame F – u , dove F è la risultante della distribuzione di pressioni applicate e u è lo spostamento.

퐹 = 푝 푎푡 = (푎 − 푑)휎 푡 t = spessore lastra Figura 3.23

69

Un legame del genere però può dare problemi con i calcolatori ( in corrispondenza di Fy abbiamo infiniti valori di u --- > non vale l’unicità della soluzione).

È meglio considerare un legame incrudente , con pendenza molto ridotta, in cui non ci sono problemi di molteplicità della soluzione.

퐻 =퐸

20 ÷ 50

Figura 3.24

3.4.2 Non linearità di vincolo

Adesso consideriamo che la lastra è vincolata a un bullone.

Figura 3.25 Ci sarà un certo gioco tra il bullone e il foro: pensando di tirare la lastra verso destra, il gioco aumenta a destra, mentre diminuisce a sinistra, fino a che le superfici del foro e del bullone entrano in contatto (cambiando la direzione della forza va tutto al contrario). Questa non linearità di contatto si può modellare come una non linearirà di materiale : mi interessa schematizzare un legame che reagisca principalmente a compressione. Abbiamo vari schemi possibili, di differente complessità. 1) NO TENSION (N O T ) Modelliamo il comportamento di una biella, reagente solo a compressione.

Figura 3.26 Elastico – lineare

Figura 3.27

70

Elastico – plastico (può rappresentare bene il punzonamento di un palo)

Figura 3.28 2) NO COMPRESSION (N O C ) In questo caso modelliamo il comportamento degli elementi tipo fune.

Figura 3.29 Elastico – lineare

Figura 3.30 Elastico – plastico

Figura 3.31

71

3) Legame che tiene conto della FRAGILITÀ (es. fibre di carbonio)

Figura 3.32 4) Come caso intermedio, si ha un legame elasto-plastico con modesta resistenza a trazione (1/20 – 1/50 di quella a compressione). È più trattabile numericamente.

Figura 3.33 5) Altra modellazione possibile è quella che tiene conto del “gioco”, ovvero del fatto che devo percorrere un certo tratto prima di avere il contatto bullone-lamiera.

Figura 3.34

72

3.4.3 Esempio

Facciamo ora uno zoom sul foro e guardiamo come si modellano i singoli elementi. La lastra è in trazione verso destra (vedi figura Par. 3.2.2)

- bullone = elemento beam - vincolo bullone – lamiera = elementi link (a cui assegniamo uno dei legami visti nel Par. 3.3.2). Figura 3.35

La dimensione del link va scelta tenendo conto della larghezza media e dello spessore (dipende quindi da quanti link ho inserito).

Figura 3.35 Una modellazione con 8 link già è sufficiente; con 16 link riusciamo a arrivare proprio alla pressione di rifollamento.

NB. Inserendo i link sui due piani (superficie esterna e interna della lamiera) possiamo valutare bene il taglio a cui è soggetto il bullone. Figura 3.36

73

3.5 Case History 3.5.1 Importanza delle connessioni sul comportamento globale

Come già anticipato nel Par. 3.1.1.1, non è raro il caso in cui i collassi globali delle strutture siano dovuti a problemi nelle connessioni, di tipo locale. Vediamo degli esempi significativi, per mettere in luce l’importanza di uno studio accurato sull’argomento. 3.5.1.1 Giunti capannoni industriali

Il recente sisma dell’Emilia del Maggio 2012 ha causato numerosi crolli di capannoni industriali. Nelle fotografie riportate, si vede come la trave sia semplicemente appoggiata sul pilastro: in presenza di sisma con elevata componente verticale questo ha portato al collasso della struttura. 3.5.1.2 Ponte Minnesota

L’imbozzamento (e

conseguente instabilizzazione) di un pannello d’anima di un

collegamento all’interno di un ponte reticolare di L = 300 m ha portato al collasso

dell’intera struttura.

Il pannello in questione aveva uno spessore pari alla metà di quello che avrebbe dovuto avere (s = 13 mm invece che 26mm).

74

3.5.1.2 Azione del fuoco

Le immagini riportate sono del Word Trade Center 5 (11 settembre 2001). L’incendio localizzato tra 4° e 5° piano ha portato al collasso degli orizzontamenti tra 4° e 8° piano. Le travi erano state realizzate secondo lo schema Gerber: l’unione collega la trave centrale con la parte di trave saldata e uscente a sbalzo dalla colonna (è tipicamente un’unione a taglio).

La connessione quindi non era posizionata nel nodo, ma più centrale (più vicina alle fiamme), e questo ha fatto si che la stessa connessione raggiungesse temperature molto maggiori di quelle che avrebbe avuto se fosse stata nel nodo. Lo schema Gerber funziona bene pensando alla “gerarchia delle resistenze” (travi deboli – pilastri forti), ma non va bene in presenza d’incendio (dalle foto si nota che sono collassate proprio questo tipo di unioni, mentre quelle realizzate nel nodo sono intatte).

75

4 – COSTRUZIONI METALLICHE IN ZONA SISMICA

4.1 Basi della progettazione antisismica 4.1.1 Azioni sulla struttura

Le azioni con cui abbiamo a che fare sono generalmente: - carichi gravitazionali - sisma - vento - neve - variazioni di temperatura Le azioni possono essere suddivise secondo la risposta strutturale. a) statiche : azioni applicate alla struttura che non provocano accelerazioni significative della stessa o di alcune delle sue parti; b) pseudo-statiche : azioni dinamiche rappresentabili mediante un’azione statica equivalente; c) dinamiche : azioni che causano significative accelerazioni della struttura o dei suoi componenti. Per quanto riguarda l’azione sismica, le norme NTC 08 assumono che essa possa essere schematizzata mediante 3 componenti traslazionali (due orizzontali X e Y, una verticale Z), tra loro indipendenti. Le componenti possono essere descritte, in funzione del tipo di analisi adottata, mediante una delle seguenti rappresentazioni.

MODELLAZIONE DELL’AZIONE TIPOLOGIA D’ANALISI Accelerazione max attesa in superficie Analisi statica lineare equivalente Spettro di risposta atteso in superficie Analisi dinamica lineare

Accelerogramma Analisi dinamica non lineare La più utilizzata, ad oggi, è l’analisi con spettro di risposta. Sorge il problema di conciliare i concetti di dissipazione, duttilità e isolamento con un’analisi di tipo lineare. Inoltre, l’approccio al progetto antisismico, per la maggior parte degli edifici, è basato sulla resistenza richiesta dal terremoto ad un sistema elastico a 1 solo grado di libertà, equivalente in termini di rigidezza e smorzamento al sistema strutturale reale (a infiniti gradi di libertà e marcatamente non lineare). L’altro problema che nasce, quindi, è proprio la possibilità di schematizzare la complessità della struttura reale mediante un’oscillatore elementare.

76

4.1.2 Filosofie di progetto

Per struttura con comportamento dissipativo si intende una struttura concepita in maniera tale da avere elementi strutturali o parti di elementi strutturali in grado di dissipare parte dell’energia sismica mediante cicli di deformazione inelastica. Sotto l’azione del sisma vi saranno dunque elementi progettati per fornire un comportamento plastico ed altri progettati per un comportamento di tipo elastico. Certamente è importante che le zone dissipative si localizzino dove la plasticizzazione o l’instabilità locale o altri fenomeni di degrado dovuti al comportamento isteretico non influenzano la stabilità globale della struttura.

4.2 Costruzioni in acciaio 4.2.1 Materiale

4.2.1.1 Prescrizioni per le zone dissipative

Nelle zone dissipative occorre verificare delle prescrizioni addizionali di sovraresistenza. La resistenza del materiale deve essere amplificata con un coefficiente di sovraresistenza γov (è il γRd della Norma), dato dal rapporto tra il valore di resistenza medio fym e quello caratteristico fyk , al fine di considerare l’aleatorietà di fy. 푓푓≥ 1.20휀 ≥ 20%

푓푓

= 훾

Acciaio 휸푹풅

S235 1.20 S275 1.15 S355 1.10 S420 1.10 S460 1.10

4.2.2 Tipologie strutturali


Composte da telai che resistono alle forze orizzontali con un comportamento prevalentemente flessionale. Le zone dissipative sono collocate principalmente alle estremità delle travi in prossimità dei collegamenti

FILOSOFIE DI PROGETTO

TRADIZIONALE (Stati Limite)

INNOVATIVA (Performance Based Design)

Comportamento dissipativo

Comportamento non dissipativo

Criteri più rigorosi per selezionare il sistema strutturale più adeguato affinchè, per specificati livelli di intensità del sisma, il

danno possa essere contenuto entro limiti prefissati

Tabella 4.1

77

trave-colonna, dove si possono formare le cerniere plastiche e l’energia viene dissipata per mezzo della flessione ciclica plastica. La plasticizzazione delle estremità delle travi funziona bene con uno schema travi deboli – pilastri forti (tipico delle GdR); per strutture metalliche, progettate principalmente per carichi verticali, è frequente invece che le travi abbiano un momento d’inerzia > di quello delle colonne. Da ciò scaturiscono problemi nella realizzazione di questi schemi. 4.2.2.2 Strutture con controventi concentrici

Le forze orizzontali sono assorbite prevalentemente da membrature soggette a forze assiali. Le zone dissipative sono collocate principalmente nelle diagonali tese. Pertanto possono essere considerati in questa tipologia solo quei controventi per cui lo snervamento delle diagonali tese precede il raggiungimento della resistenza delle aste strettamente necessarie ad equilibrare i carichi esterni. Per questa tipologia si può fare un’ulteriore suddivisione: a) controventi con diagonale tesa attiva (la resistenza alle forze orizzontali e la capacità dissipativa sono affidate alle aste diagonali soggette a trazione)

Figura 4.1 b) controventi a V (le forze orizzontali devono essere assorbite considerando sia le diagonali tese che quelle compresse; il punto d’intersezione delle diagonali giace su una membratura orizzontale che deve essere continua)

Figura 4.2

VANTAGGI - Assenza di controventi

- Numerose zone dissipative

SVANTAGGI - Collegamenti costosi

- Difficoltà per la Gerarchia delle Resistenze

La dissipazione avviene per flessione o presso-flessione degli elementi

VANTAGGI - Spostamenti laterali contenuti

- Elementi dedicati alla dissipazione

SVANTAGGI - Vincoli architettonici

Lo snervamento dei diagonali tesi deve precedere il raggiungimento dell’instabilità dei diagonali compressi.

78

c) controventi a K (il punto d’intersezione delle diagonali giace su una colonna. Questa categoria non deve essere considerata dissipativa, in quanto il meccanismo di collasso coinvolge la colonna).

Figura 4.3 4.2.2.3 Strutture con controventi eccentrici

Le forze orizzontali sono assorbite prevalentemente da membrature caricate assialmente, ma la presenza di eccentricità di schema permette la dissipazione di energia nei traversi per mezzo del comportamento ciclico a flessione e/o a taglio. Possono essere classificati come dissipativi quando la plasticizzazione dei traversi dovuta a flessione e/o a taglio precede il raggiungimento della resistenza ultima delle altre parti strutturali.

Figura 4.4 4.2.2.4 Strutture a mensola o a pendolo inverso

Costituite da membrature presso-inflesse in cui le zone dissipative sono collocate alla base. Un esempio sono i telai di edifici monopiano, in cui il 50% della massa è concentrata nel terzo superiore dell’altezza dell’edificio. 4.2.2.5 Strutture intelaiate con controventi concentrici

Le forze orizzontali sono assorbite sia dai telai che dai controventi agenti nel medesimo piano. 4.2.2.6 Strutture intelaiate con tamponature

Costituite da tamponature in muratura o calcestruzzo non collegate ma in contatto con strutture intelaiate. 4.2.3 Il fattore di struttura: duttilità globale

4.2.3.1 Il fattore q0

Il fattore di struttura q da utilizzare, per ciascuna direzione del sisma, dipende dalla tipologia strutturale, dal suo grado di iperstaticità e dai criteri di progettazione adottati e prende in conto le non linearità di materiale. Può essere calcolato secondo la formula 풒 = 풒풐푲푹 Dove q0 = valore massimo del fattore di struttura che dipende dal livello di duttilità attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto αu/ α1 (vedi paragrafo 4.2.3.2)

79

KR = è un fattore riduttivo che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della costruzione (vale 1 per costruzioni regolari in altezza e 0.8 per le non regolari).

4.2.3.2 Il rapporto αu/ α1

È il rapporto tra il valore dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo elemento raggiunge la plasticizzazione a flessione. Per valutare questo rapporto, possiamo condurre un’analisi non lineare. α1 = molltiplicatore che causa la prima plasticizzazione, definita con lo spostamento δ1

αu = molltiplicatore che causa il collasso, definito con lo spostamento δu

αe = molltiplicatore che causa uno spostamento δue= δu nel sistema elastico equivalente

Figura 4.5 - Il rapporto ρi = αu/ α1 è detto coefficiente di ridistribuzione plastica: è funzione del grado di iperstaticità strutturale e esprime la capacità della struttura di sopportare forze orizzontali superiori a quelle che producono la formazione della prima cerniera plastica - Il rapporto qµ = αe/ αu è uguale al rapporto µ = δu / δy dove δy è lo spostamento della struttura indefinitamente elastica corrispondente .

80

Per strutture regolari in pianta, per le quali non si proceda ad un’analisi non lineare, si possono adottare i seguenti valori

Edifici a un solo piano αu/ α1= 1.1 Edifici a telaio a più piani, con una sola campata αu/ α1= 1.2

Edifici a telaio a più piani e più campate αu/ α1= 1.3 Edifici con controventi eccentrici a più piani αu/ α1= 1.2

Edifici con strutture a mensola/pendolo inverso αu/ α1= 1.0 4.2.4 Zone dissipative e duttilità locale

4.2.4.1 Confronto tra le Norme

4.2.4.2 Ordinanza 3274

Il parametro “s” è definito dal rapporto tra la tensione corrispondente alla capacità portante ultima della sezione fc e la tensione di snervamento del materiale fy .

풔 =풇풄풇풚

Nel caso di profili a doppio T inflessi, esso è funzione di: - snellezza delle flange e dell’anima - proprietà del materiale - distribuzione del momento flettente lungo l’asse della membratura

푠 =푓푓

=1

0.695 + 1.632λ + 0.062λ − 0.602 bL∗≤ min{

푓푓

; 1.25}

- bf = larghezza della flangia - L* = è la distanza tra la sezione della membratura in cui il momento flettente è nullo e la sezione dove si forma la prima cerniera plastica; per membrature inflesse o presso inflesse si può adottare la posizione L* = L/2 ipotizzando che la cerniera plastica si formi all’estremità delle membrature con un diagramma flettente che si annulla in mezzeria (vero se sulla struttura agiscono solo carichi orizzontali; considerando anche carichi verticali L* è un po’ più piccolo)

λ =b2t

푓퐸λ =

d ,

2t푓퐸d , =

d2

1 +퐴퐴

휌 ≤ d

- tf e tw = spessori ala e anima - dw = altezza anima della colonna

ORDINANZA 3274

Classificazione delle membrature in categorie di duttilità sulla base della valutazione di un parametro di snellezza “s”, funzione di: - snellezza delle diverse parti che compongono la sezione - proprietà del materiale - distribuzione del momento flettente lungo l’asse della membratura

EC3 e NTC08

Classificazione delle membrature basata sulla valutazione di un parametro di snellezza “λ”, funzione di: - larghezza e spessore della sola parte compressa della sezione - proprietà del materiale

Tabella 4.2

81

- A e Aw = area della sezione e area dell’anima - ρ = Nsd/Afy rapporto tra sforzo normale di progetto e sforzo normale plastico

Figura 4.6 Mc = momento flettente corrispondente al manifestarsi dell’instabilità locale NB. Nel caso di membrature tese, 푠 = min{ ; 1.25}

Poiché ft/fy deve essere sempre > 1.2 (vedi Par. 4.2.1.1) , le membrature tese sono sempre considerate come duttili. 4.2.4.3 NTC08

Si deve garantire una duttilità locale sufficiente degli elementi che dissipano energia in flessione e/o compressione limitando il rapporto larghezza - spessore b/t secondo le classi di sezioni trasversali. Le sezioni trasversali degli elementi strutturali si classificano in funzione della loro capacità rotazionale Cθ .

푪휽 =휃휃

=휃 − 휃휃

=휽풖휽풚

− ퟏ

Essendo θu e θy le rotazioni corrispondenti rispettivamente della deformazione ultima e dello snervamento.

Figura 4.7 Si distinguono le seguenti classi di sezioni: - classe 1 = quando la sezione è in grado di sviluppare la capacità rotazionale richiesta senza subire riduzioni di resistenza. Generalmente Cθ > 3. - classe 2 = quando la sezione è in grado di sviluppare il primo momento resistente plastico, ma capacità rotazionale limitata. Generalmente Cθ > 1.5. - classe 3 = quando nella sezione le tensioni nelle fibre compresse possono raggiungere la tensione di snervamento ma l’instabilità locale impedisce lo sviluppo del momento resistente plastico - classe 4 = quando per determinare la resistenza flettente, tagliante o normale occorre tener conto dell’instabilità locale già in fase elastica. In tal caso, la sezione reale può sostituirsi con una sezione efficace.

Classe 1 Compatte Classe 2 Classe 3 Moderatamente snelle Classe 4 Snelle

82

Le classi si basano sul parametro di snellezza 흀 = 풃풕

풇풚푬

.

NB 1) “b” indica la larghezza della parte compressa (indicata invece come “c” nella tabella seguente) NB 2) Viene definito ε = 235/f considerando “E” uguale per tutti gli acciai

Figura 4.8 In funzione della classe di duttilità e del fattore di struttura q0 usato in fase di progetto, le prescrizione relative alle classi di sezioni trasversali per elementi in acciaio che dissipano energia sono le seguenti:

Classe di duttilità Valore di riferimento di q0 Classe di sezione trasversale richiesta CD “B” 2 < q0 < 4 Classe 1 o 2 CD “A” q0 >4 Classe 1

La seguente tabella invece riporta i valori tipici di snellezza “s” per profili IPE e HEA.

Figura 4.9

Tabella 4.3

83

4.3 Strategie di progettazione antisismica 4.3.1 Capacity design

4.3.1.1 Principi base

Gli elementi, o parte di essi, destinati alla dissipazione devono essere scelti e progettati in modo da favorire una particolare tipologia di collasso globale. Gli elementi, o parte di essi, non destinati alla dissipazione devono essere progettati in modo da fornire un’adeguata sovraresistenza. Per tenere conto delle incertezze sulle resistenze degli elementi si introduce un coefficiente di sicurezza α , che può essere usato per aumentare la resistenza dell’elemento duttile (caso A) o per ridurre la resistenza dell’elemento fragile (caso B).

L’Ordinanza 3274 prevede che la resistenza Rfi dell’elemento i-esimo fragile sia maggiore della somma delle sollecitazioni Sfi,G dovute ai carichi gravitazionali e delle sollecitazioni dovute all’azione sismica Sfi,E

amplificate dal fattore α. 푅 ≥ 푆 , + 훼푆 ,

Nei paragrafi seguenti vedremo come nelle NTC08 si introduce un fattore Ω analogo a α. 4.3.2 Panoramica dei sistemi di dissipazione

84

4.3.3 Sistemi dissipativi ordinari


Il meccanismo di collasso che vogliamo favorire è il primo, ovvero cerniere plastiche alle estremità delle travi, diffuse all’interno della struttura. Il secondo meccanismo è detto “piano soffice” e va assolutamente evitato. TRAVI Nelle sezioni in cui è attesa la formazione delle cerniere plastiche devono essere verificate le seguenti relazioni 푴푬풅

푴풑풍,푹풅≤ ퟏ

푵푬풅

푵풑풍,푹풅≤ ퟎ.ퟏퟓ

(푽푬풅,푮 + 푽푬풅,푴)

푽풑풍,푹풅≤ ퟎ.ퟓퟎ

NB. L’ultimo requisito è particolarmente restrittivo perché la rottura a taglio è di tipo fragile: per questo si utilizza un coefficiente di sicurezza molto alto COLONNE Le colonne devono essere verificate in compressione considerando la più sfavorevole delle combinazioni di sollecitazioni assiali e flessionali. Le sollecitazioni di progetto sono determinate nel modo seguente: 푵푬풅 = 푵푬풅,푮 + ퟏ.ퟏ휸푹풅훀푵푬풅,푬 푴푬풅 = 푴푬풅,푮 + ퟏ.ퟏ휸푹풅훀푴푬풅,푬 푽푬풅 = 푽푬풅,푮 + ퟏ.ퟏ휸푹풅훀푽푬풅,푬

MECCANISMO DEL PIANO DEBOLE

Figura 4.11

MECCANISMO IDEALE

Figura 4.10

- MEd , NEd , VEd = sollecitazioni di progetto di momento flettente, sforzo assiale e taglio - Mpl,Rd , Npl,Rd , Vpl,Rd = resistenza plastiche di progetto, flessionale, assiale e tagliante - VEd,G = sollecitazioni di taglio dovuta alle azioni non-sismiche - VEd,G = forza di taglio dovuta all’applicazione dei momenti plastici equiversi Mpl,Rd nelle sezioni in cui è attesa la formazione delle cerniere plastiche

- MEd,G , NEd,G , VEd,G = sollecitazioni dovute alle azioni non sismiche - MEd,E , NEd,E , VEd,E = sollecitazioni dovute alle azioni non sismiche - γRd = fattore di sovraresistenza - Ω = è il minimo valore degli Ωi= Mpl,Rd,i/ MEd,i di tutte le travi in cui si attende la formazione di cerniere plastiche

85

Nelle colonne in cui si attende la formazione delle cerniere plastiche, le sollecitazioni devono essere calcolate nell’ipotesi che sulle cerniere plastiche il momento flettente sia pari a Mpl,Rd. Il taglio di progetto deve rispettare la limitazione: 푽푬풅푽풑풍,푹풅

≤ ퟎ.ퟓퟎ

Minore è il tasso di sfruttamento delle travi e maggiore sarà il fattore e dunque maggiori saranno le sollecitazioni di progetto da considerare per le colonne. Il sovradimensionamento delle travi può quindi essere controproducente. Per ogni nodo deve valere la “gerarchia trave - colonna “ :

푴푪,풑풍,푹풅 ≥ 휸푹풅 푴풃,풑풍,푹풅

Dove: - MC,pl,Rd = momento resistente della colonna calcolato per tutti i livelli di sollecitazione assiale presenti nella colonna nelle combinazioni sismiche delle azioni - Mb,pl,Rd = momento resistente delle travi che convergono nel nodo trave-colonna - γRd = 1.3 per strutture in classe CD”A” e 1.1 per strutture in classe CD”B” NODI Trave – Colonna I collegamenti trave – colonna devono essere progettati in modo da possedere un’adeguata sovraresistenza per consentire la formazione delle cerniere plastiche alle estremità delle travi. In particolare, il momento flettente resistente del collegamento trave – colonna Mj,Rd deve soddisfare la relazione : 푴풋,푹풅 ≥ ퟏ.ퟏ휸푹풅푴풃,풑풍,푹풅 Dove Mb,pl,Rd è il momento resistente plastico della trave collegata. I pannelli nodali dei collegamenti trave – colonna devono essere progettati in modo da escludere la loro plasticizzazione e instabilizzazione a taglio. Tale requisito può ritenersi soddisfatto quando vale:

푽풗풑,푬풅

풎풊풏 푽풗풑,푹풅,푽풗풃,푹풅< 1.0

La forza di taglio agente sul pannello d’anima del nodo deve essere determinata assumendo la completa plasticizzazione delle travi in esso convergenti: per questo deve essere dotato di sufficiente sovraresistenza, di modo che consenta lo sviluppo del meccanismo dissipativo del telaio.

NB. Un tipo di unione che favorisce la “gerarchia della resistenze” è quella in figura, in cui la trave presenta un restringimento della sezione proprio in prossimità del collegamento.

- Vvp,Ed = sollecitazioni di taglio di progetto - Vvp,Rd = resistenza a taglio per plasticizzazione - Vvb,Rd = resistenza a taglio per instabilità del pannello

DOG BONE SECTION

Figura 4.12

86

Colonna – Fondazione Deve essere progettato in modo da risultare sovra resistente rispetto alla colonna ad esso collegata. Il momento plastico resistente sul collegamento deve rispettare l’uguaglianza: 푴푪,푹풅 ≥ ퟏ.ퟏ휸푹풅푴풄,풑풍,푹풅(푵푬풅) In cui Mc,pl,Rd è il momento resistente plastico di progetto della colonna, calcolato per lo sforzo normale di progetto che fornisce la condizione più gravosa per il collegamento di base. 4.3.3.2 Strutture con controventi concentrici

Figura 4.13

Diagonali Ci sono due fasi di comportamento : - fase 1 = i diagonali sono compressi ma ancora stabili - fase 2 = i diagonali sono ormai instabilizzati Pensando alla fase 1, si potrebbe procedere determinando le proprietà di vibrazione elastica dell’elemento, le forze di progetto e successivamente verificare la stabilità dei diagonali. Pensando alla fase 2 invece, si procede con la verifica di resistenza della diagonale tesa e successivamente di travi, colonne e collegamenti in gerarchia delle resistenze. Secondo le NTC08 , le strutture con controventi concentrici devono essere progettate in modo che la plasticizzazione delle diagonali tese preceda la rottura delle connessioni e l’instabilizzazione di travi e colonne. Le diagonali hanno funzione portante nei confronti dell’azione sismica e a tal fine, tranne che per i controventi a V, devono essere considerate solo le diagonali tese . Le membrature di controvento devono essere di classe 1 o 2 (vedi Par. 4.2.4.3 ) . Esistono limitazioni per il rapporto larghezza “d”/ spessore “t” di sezioni cave , tubolari o rettangolari: rispettivamente d/t < 36 o 18, a meno che le pareti del tubo non siano irrigidite. La risposta carico – spostamento laterale deve risultare indipendente dal verso dell’azione sismica. Per edifici con più di due piani, la snellezza adimensionale dei diagonali deve rispettare le seguenti limitazioni: 1.3 ≤ 휆̅ ≤ 2푖푛푡푒푙푎푖푐표푛푐표푛푡푟표푣푒푛푡푖푎푋 휆̅ ≤ 2푖푛푡푒푙푎푖푐표푛푐표푛푡푟표푣푒푛푡푖푎푉 Per garantire un comportamento dissipativo omogeneo delle diagonali all’interno della struttura, i coefficienti di sovraresistenza Ωi = Npl,Rd,i / NEd,i , calcolati per tutti gli elementi di controvento, devono differire tra il massimo e il minimo non più del 25% (Npl,Rd,i è la resistenza dei controventi nei confronti dell’instabilità). La verifica segue la fase 2 descritta precedentemente:

87

Figura 4.14 Travi e Colonne Travi e colonne considerate soggette prevalentemente a sforzo assiale in condizione di sviluppo del meccanismo dissipativo devono soddisfare la relazione: 푵푬풅 푵풑풍,푹풅(푴푬풅)⁄ ≤ ퟏ In cui Npl,Rd è la resistenza nei confronti dell’instabilità , valutata tenendo conto dell’interazione con il momento flettente. Nei telai con controventi a V le travi devono resistere agli effetti dovuti a azioni non sismiche senza il contributo delle diagonali ; inoltre, devono essere in grado di resistere alle forze verticali squilibrate, che si sviluppano per effetto delle azioni sismiche, a seguito della plasticizzazione delle diagonali tese e della instabilizzazione delle diagonali compresse. Per determinare quest’effetto , si può considerare una forza pari a Npl,Rd nelle diagonali tese e a γpb Npl,Rd

nelle diagonali compresse, essendo γpb = 0.30 il coefficiente che permette di stimare la resistenza residua a seguito dopo l’instabilizzazione. I collegamenti delle diagonali di controvento alle altre parti strutturali devono essere progettate nel rispetto dei requisiti di sovraresistenza . Per la verifica delle colonne, si procede come segue:

Calcolo NEd in ogni diagonale teso dovuto a azione sismica

Verifica di resistenza NEd / Nt,Rd < 1 (dove Nt,Rd è la resistenza di calcolo

a trazione del diagonale)

Calcolo Ωi = Npl,Rd,i / NEd,i per ogni diagonale e controllo che non

differiscano più del 25%

Calcolo NEd,E e NEd,G in ogni colonna dovuto rispettivamente a azione sismica e carichi

gravitazionali

푵푬풅 = 푵푬풅,푮 + ퟏ.ퟏ휸푹풅훀푵푬풅,푬 Calcolo la sollecitazione di progetto

푵푬풅 푵풑풍,푹풅(푴푬풅)⁄ ≤ ퟏ

푀 = 푀 , + 1.1훾 Ω푀 ,

Verifica di resistenza

Dove Npl,Rd è la resistenza nei confronti dell’instabilità , valutata tenendo conto dei

momenti flettenti Med , anch’essi amplificati da Ω secondo

NB. Questo nell’ipotesi cautelativa in cui ogni diagonale sia

teso al suo limite di snervamento

88

4.3.3.3 Strutture con controventi eccentrici

Figura 4.15

I controventi eccentrici dividono le travi dei telai in due o più parti. Ad una di queste parti, chiamata link o elemento di connessione, è affidato il compito di dissipare l’energia sismica attraverso deformazioni plastiche cicliche taglianti e/o flessionali. Detta “e” la lunghezza del link, esso si dice: - corto quando la plasticizzazione avviene per taglio

푒 ≤ 0.8(1 + 훼)푀 ,

푉 ,

- lungo quando la plasticizzazione avviene per flessione

푒 ≥ 1.5(1 + 훼)푀 ,

푉 ,

- intermedio quando la plasticizzazione avviene per effetto combinato di taglio e flessione

0.8(1 + 훼)푀 ,

푉 ,< 푒 < 1.5(1 + 훼)

푀 ,

푉 ,

Dove Ml,Rd e Vl,Rd sono la resistenza flessionale e a taglio di progetto dell’elemento di connessione , α è il rapporto tra il minore ed il maggiore dei momenti flettenti attesi alle due estremità dell’elemento di connessione. Per la sezioni a I, Ml,Rd e Vl,Rd sono definiti in assenza di sollecitazione assiale assiale dalle formule: 푴풍,푹풅 = 풇풚풃풕풇(풉− 풕풇)

푽풍,푹풅 =풇풚√ퟑ

풕풇(풉 − 풕풇)

Quando il valore della sollecitazione assiale di calcolo NEd presente nell’elemento di connessione supera il 15% della resistenza plastica a sollecitazione assiale della sezione dell’elemento Npl,Rd , va tenuta opportunamente in conto la riduzione della resistenza plastica a flessione e a taglio (Ml,Rd e Vl,Rd) del link. NB. La porzioni di trave esterne ai link , i diagonali, le colonne e i collegamenti si progettano per rimanere in campo elastico.

L’angolo di rotazione rigida θp tra il link e l’elemento contiguo non deve eccedere il valore di 0.08 rad per link corti, 0.02 rad per link lunghi (per gli intermedi si interpola linearmente tra questi valori). Figura 4.16

89

La resistenza ultima degli elementi di connessione (Mu, Vu), a causa di diversi effetti, quali l’incrudimento, la partecipazione della soletta dell’impalcato, e l’aleatorietà della tensione di snervamento, è maggiore di M e V. Sulla base dei dati disponibili, la sovraresistenza si calcola mediante le relazioni:

푐표푟푡푖푀 = 0.75푒푉 , 푉 = 1.5푉 ,

푙푢푛푔ℎ푖푀 = 1.5푀 ,

푉 = 2 ,

Vale sempre che i coefficienti di sovraresistenza Ωi, calcolati per tutti gli elementi di collegamento, devono differire tra il massimo e il minimo non più del 25%. I coefficienti si calcolano nel seguente modo:

⎩⎪⎨

⎪⎧푙푢푛푔ℎ푖푒푖푛푡푒푟푚푒푑푖 ∶ Ω = 1.5

푀 , ,

푀 ,

푐표푟푡푖 ∶ Ω = 1.5푉 , ,

푉 ,

Dove Ml,Rd e Vl,Rd sono momento e taglio resistenti del link, MEd e VEd sono le sollecitazioni di calcolo ottenute dalla combinazione sismica. Le membrature che non contengono elementi di connessione devono essere verificate come i controventi concentrici , in cui Ωi è il minimo tra tutti gli Ω = 1.5 , ,

, relativi agli elementi di connessione lunghi e Ωi

è il minimo tra tutti gli Ω = 1.5 , ,

, relativi agli elementi di connessione corti.

Irrigidimenti e Saldature - Il comportamento degli elementi di connessione lunghi è dominato dalla plasticizzazione per flessione. Le modalità di collasso tipiche di tali elementi di connessione sono rappresentate dall’instabilità locale della piattabanda compressa e dall’instabilità flesso-torsionale. In tal caso, gli irrigidimenti devono stare a una distanza 1.5 bf dall’estremità degli elementi di connessione. - In tutti gli altri casi, gli irrigidimenti d’anima devono essere disposti da ambo i lati in corrispondenza delle estremità diagonali. Nel caso di link corti e travi di modesta altezza (60 cm) è sufficiente che gli irrigidimenti siano disposti da un solo lato dell’anima, impegnando almeno i 3/4 dell’altezza dell’anima. Il loro spessore deve essere non inferiore a tw, e comunque non inferiore a 10mm; la larghezza deve essere pari a (bf/2)-tw Nel caso di link lunghi e intermedi, gli irrigidimenti hanno lo scopo di ritardare l’instabilità locale: pertanto, devono impegnare l’intera altezza dell’anima. Le saldature che collegano il generico elemento di irrigidimento all’anima devono essere progettate per sopportare una sollecitazione pari a Astfy, essendo Ast l’area dell’elemento di irrigidimento; le saldature che lo collegano alle piattabande devono essere progettate per sopportare una sollecitazione pari a Astfy /4.

Figura 4.17

NB. per gli intermedi si procede con un’interpolazione

Dettaglio unione

90

4.3.3.4 Collegamenti

Nel caso di membrature tese con collegamenti bullonati, la resistenza plastica di progetto deve risultare inferiore alla resistenza ultima di progetto della sezione netta in corrispondenza dei fori per i dispositivi di collegamento. Pertanto si deve verificare che:

퐴퐴

≥ 1.1훾훾

푓푓

essendo A l’area lorda, Ares l’area netta in corrispondenza dei fori (integrata da un’eventuale area di rinforzo) e γM0 e γM2 fattori parziali dati dalla Normativa. I collegamenti in zone dissipative devono avere sufficiente sovraresistenza per consentire la plasticizzazione delle parti collegate. Tale requisito, si ritiene soddisfatto per saldature a completa penetrazione. Nel caso di collegamenti con saldature a cordoni d’angolo e nel caso di collegamenti bullonati deve essere soddisfatto il requisito:

푅 , ≥ 1.1훾 푅 , = 푅 , Dove Rj,d è la resistenza di progetto del collegamento, Rpl,Rd è la resistenza plastica di progetto della membratura collegata, RU,Rd è il limite superiore della resistenza plastica della membratura collegata.

91

5 – CRITERI DI PROGETTAZIONE

5.1 Analisi strutturale 5.1.1 Requisiti strutturali elementari

I requisiti che andiamo a elencare si dicono elementari in quanto dipendono dai singoli elementi di cui è composta la struttura. 5.1.1.1 SLE

Lo stato limite di esercizio è legato alla funzionalità della struttura: è il primo che consideriamo, in quanto una struttura che non collassa ma che non rispetta i requisiti di funzionalità per i quali è stata progettata è, di fatto, inutilizzabile. I requisiti fondamentali riguardano: - drift ∆max (globale e di interpiano) - frequenza proprie di vibrazione dell’edificio - frequenza proprie di vibrazione del solaio Sono tutti legati al concetto di rigidezza della struttura.


5.1.1.2 SLU

Lo stato limite ultimo è legato al concetto di resistenza della struttura. I requisiti fondamentali riguardano: - capacità portante, inteso come valore massimo di resistenza raggiungibile; - assenza di instabilità, ovvero il valore per cui la struttura si instabilizza deve essere sufficientemente lontano dalla capacità portante richiesta; - duttilità, a vari livelli (sia in caso di carico monotono crescente che in presenza di azioni cicliche)

Figura 5.3

92

Figura 5.4 5.1.2 Requisiti strutturali sistemici

Questi requisiti dipendono dall’intero sistema strutturale. 5.1.2.1 Durabilità

Per studiare un metodo di verifica per quest’aspetto, conviene partire da un esempio. Esempio 1 Consideriamo un sistema molto semplice: un ormeggio. Dobbiamo collegare due punti fissi con una catena: l’elemento funziona quindi da tirante (no instabilità).

Figura 5.5 Ci domandiamo qual è il profilo migliore, a parità di area A, dal punto di vista della durabilità (tenendo conto cioè che siamo in presenza di acqua). Abbiamo a disposizione 2 classi di profili.

- Della prima classe, le sezioni peggiori sono le 1b e 1d, perché non sono in grado di smaltire l’acqua che accidentalmente può entrare; per lo stesso ragionamento la migliore è la 1c, mentre la 1a è intermedia, in quanto nel caso in cui subisse una piccola rotazione non sarebbe più in grado, da un lato, di smaltire l’acqua.

Buon comportamento sotto azioni cicliche

Cattivo comportamento sotto azioni cicliche

휎 =푁퐴

93

- Della seconda classe, la migliore è sicuramente la 2a : questo perché consente di ripetere la verniciatura anti-corrosione dopo un certo numero di anni dalla posa in opera (dobbiamo tenere conto che le sezioni sono già montate e bullonate). Una sezione come la 2b non consenta infatti una completa verniciatura dei pannelli neanche utilizzando il pennello. Esempio 2

Se dovessimo scegliere un profilo ottimo per un elemento verticale in mare (pensando alle colonne delle strutture offshore, o a pali di fondazione), la sezione tubolare è quella che ha un comportamento migliore, sempre dal punto di vista della durabilità. La corrosione in mare fa sì che si perda ogni anno un po’ dello spessore (supponiamo 1mm/anno). Allora, se guardiamo come si riduce la sezione, quella tubolare perde solo la superficie laterale esterna, mentre quella a doppia T, se l’anima è sottile, perde rapidamente l’intera anima. NB. Osservando i cassoni dei viadotti, si può notare con facilità che presentano tutti dei fori: ciò si fa sempre per motivi legati alla corrosione (areazione della sezione e fuoriuscita dell’acqua che percola accidentalmente). Pertanto la durabilità può essere misurato in un piano Qualità – tempo , dove come “qualità” intendiamo uno dei requisiti prima elencati (quali la rigidezza e la resistenza), a livello complessivo o di elemento. All’istante iniziale t0 , la struttura (finita e collaudata) parte con un certo livello di “qualità” (che non sarà necessariamente quello previsto in fase di progetto – vedi Par.5.2.1.2 ); nel tempo sicuramente la qualità diminuisce.

Figura 5.6

94

5.1.2.1.1 Misure per contrastare gli effetti della durabilità

Consideriamo un tirante a cui è sospeso un carico. L’area è funzione del tempo: ogni anno, infatti, perdiamo un certo spessore 푠̅. Per semplicità consideriamo un tirante con sezione quadrata di lato a. Se a0 è il valore iniziale e n è in n° discreto di anni, possiamo scrivere 푎(푡) = 푎 − 푠̅푛 Figura 5.7

Come “qualità” consideriamo la resistenza del tirante. 푄 = 푅 = 푓 퐴(푡) = 푓 (푎 − 푠̅푛) = 푅(푛) Il decadimento della resistenza è dunque parabolico col numero di anni.

Figura 5.8 Una tecnica di protezione passiva può essere quella di sovradimensionare l’elemento. Pensando alle colonne tubolari delle strutture offshore, si dimensiona la sezione in funzione della vita utile (circa 20 anni): se la resistenza,ad esempio, è garantita da uno spessore di circa 20 mm, dovrò partire da uno spessore maggiore, tenendo conto che in 20 anni la corrosione mi rimuoverà 1mm/anno*20anni=20mm (partirò quindi da un tubo sovradimensionato di 40mm). NB. Dal grafico si nota come, essendo la parabola schiacciata, la perdita sia inizialmente piccola (al limite potremmo approssimare la parabola con una retta); poi dopo un certo numero di anni la perdita diventa maggiore. Altra tecnica di protezione passiva può essere la protezione catodica. Oppure dopo un certo tempo si può effettuare una manutenzione straordinaria che ripristini la capacità portante al valore iniziale.

95

Figura 5.9 In generale, se indichiamo con R la capacità portante della struttura, la struttura più durevole è quella che degrada meno la sua resistenza nel tempo: ovvero è la struttura 푨 .

Figura 5.10 5.1.2.2 Robustezza

Un evento speciale, come un sisma particolarmente severo, può farci spostare in un piano parallelo: la qualità non si sta più degradando in modo continuo, ma c’è un salto, dopo il quale l’andamento con cui la qualità si degrada prosegue uguale o più rapido.

Figura 5.11 Per robustezza si indica la capacità della struttura di incassare eventi accidentali. È quindi l’equivalente discreto della durabilità.

96

Esempio

Consideriamo una struttura composta da due tiranti (con stessa sezione tubolare), con vita utile di 50anni. La capacità portante (=qualità) diminuisce nel tempo con un certo andamento; a un tempo t* un evento accidentale fa sì che un tubo vada fuori uso: la struttura cambia, in quanto ora c’è solo un tubo funzionante, e la capacità portante si dimezza. Riferendoci al piano Q – t , l’evento ci ha fatto spostare su un piano parallelo: se lasciamo la struttura in questo stato, essa continuerà a degradarsi ma chiaramente non si può pensare che abbia ancora una vita utile di 50 anni: collasserà prima.

Figura 5.13 In generale, se indichiamo con M la magnitudo dell’evento e R la capacità portante della struttura, la struttura più robusta è quella che alla fine dell’evento degrada meno la R: ovvero è la struttura 푩 .

Figura 5.14

Se i tubi sono uguali continua con lo stesso andamento di prima

Se il tubo esterno aveva sezione maggiore, la pendenza è maggiore di quella iniziale

Figura 5.12

97

5.1.2.3 Trattazione statistica e SLIS

La durabilità può riguardare sia fenomeni dovuti a condizioni ambientali (es. climatici), sia fenomeni legati alla fatica (es. condizioni di carico oscillante). Entrambi i processi si sviluppano nel tempo e ripetutamente negli anni: per questi eventi si riesce quasi sempre a fare una statistica. Al contrario, gli eventi che caratterizzano la robustezza non hanno base statistica, in quanto sono eventi estremi, singoli, che non ricadono nella trattazione usuale (ad esempio esplosioni in abitazioni, urti, ecc), di cui solo in rari casi è possibile fare una statistica (che resta comunque molto incerta). Definiamo un nuovo stato limite, detto stato limite di integrità strutturale (SLIS), che contempla sia azioni accidentali (esplosioni/urti) sia quelle eccezionali (sismi molto estremi). Da notare che il carattere di accidentalità è legato proprio alla “novità” del tipo di carico (es. caduta di un meteorite): per questo non è trattabile statisticamente. Un evento eccezionale invece è riferito a una base statistica. DISTRIBUZIONE DI UN’AZIONE

Figura 5.15 5.1.2.4 Resilienza

Per resilienza si intende la facilità con cui si può ripristinare la capacità portante di una costruzione qualsiasi dopo il verificarsi di un evento accidentale. In generale, se indichiamo con R la capacità portante della struttura, la struttura più resiliente è quella che consente il ripristino di R nel minor tempo: ovvero è la struttura 푨 .

Figura 5.16

Valori medi delle azioni

Situazioni fuori dal normale

Valori più estremi delle azioni

98

5.2 Progettazione 5.2.1 Orizzonte temporale di vita della struttura

5.2.1.1 Degradazione della qualità

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come si degrada la qualità di una struttura. Riassumendo: DURABILITA’ ---- > - Comportamento continuo nel tempo - Dovuta a fattori ambientali (es. corrosione) o antropici (es. fatica) ROBUSTEZZA ---- > - Perdita concentrata di capacità portante dovuta a eventi specifici - Ci spostiamo su un altro piano e in generale cambia il comportamento RESILIENZA ---- > - Rapidità con cui ripristino la qualità della struttura NB. Ricordiamo che la Q (qualità) può essere una qualunque delle proprietà elementari (rigidezza, capacità portante, stabilità, duttilità – vedi Par. 5.1.1) mentre durabilità, robustezza, resilienza sono proprietà sistemiche.

Figura 5.17

99

5.2.1.2 Stati della struttura

Una generica struttura presenterà differenti fasi nel tempo.

Allo stato di inaugurazione, la struttura avrai un certo livello di Q “as built”: in generale, questo è differente dallo stato per cui l’avevo progettata, “as design”, (frutto del “Conceptual Design”) , sia per il tempo trascorso dalla fine della realizzazione all’inaugurazione, sia per i difetti che possono presentarsi nella stessa fase realizzativa. Se valutiamo la Q a un certo tempo possiamo valutare se lo stato attuale (“as actual”) , degradato per i processi tipici che interessano la durabilità, è tale da rendere necessario un processo di manutenzione. Poi ci possono essere eventi specifici che abbattono la Q. A un certo punto comunque la struttura arriverà alla fine della sua vita utile, “as failed”, o per fessurazione eccessiva o per collasso. NB. Solitamente ragioniamo pensando di fare una Forward Analysis , di tipo predittivo, che ci consenta di valutare l’evoluzione dello stato della struttura da uno stato iniziale. È interessante anche il processo di Back Analysis, ovvero ripercorrere a ritroso la vita della struttura: questo è utile per capire per quale motivo si è giunti al collasso. 5.2.2 Valutazione della duttilità

5.1.3.1 Curva di pushover

Per valutare la duttilità ci si basa su un test nominale: fissata la convenzione del carico (nelle NTC 08 sono date 3 possibili distribuzioni: rettangolare, triangolare e proporzionali al primo modo di vibrare): e la sua risultante, inserisco il moltiplicatore λ e valuto lo spostamento significativo ∆.

Figura 5.19

Figura 5.18

100

Fisso il livello di capacità portante ultima come λu= 0.85 λmax

La definizione convenzionale di duttilità è

휇∆ = ∆ − ∆∆

NB. - La distribuzione scelta è convenzionale - La storia di carico è monotona (nella realtà, la struttura potrà subire cicli di carico – scarico , in grado di produrre effetti sostanzialmente diversi) Il fattore di struttura q può essere definito sia come rapporto tra lo spostamento ∆u in corrispondenza della formazione dell’ultima cerniera plastica e lo spostamento ∆y di prima plasticizzazione. Per semplicità, la curva di pushover può essere approssimata con una spezzata bilatera (a parità di area sottesa). In questo caso, per il calcolo di q, occorre tenere conto che cambia il ∆y . 5.1.3.2 Esempio

Consideriamo due strutture di pari altezza soggette alla stessa distribuzione di carico orizzontale.

Figura 5.20

Applichiamo il moltiplicatore di carico e confrontiamo le curve di pushover: la struttura più duttile è la struttura 푩 .

Figura 5.21

101

5.2.3 Valutazione della robustezza

5.2.3.1 Curva di pushdown

Si può condurre una prova convenzionale anche per valutare la robustezza. Ricordiamo che questa proprietà di valuta in funzione di “m” (magnitudo dell’evento). Quindi dobbiamo considerare il piano Q – m . Consideriamo la struttura seguente con una distribuzione di carichi verticali.

Figura 5.21 Individuiamo la situazione nominale e, come evento accidentale, consideriamo un urto contro una colonna, che causa un degrado delle caratteristiche geometriche (A, Ix, Iy ). Q = capacità portante f = spostamento verticale (ad es. della trave centrale) Possiamo condurre varie analisi, riducendo progressivamente le caratteristiche geometriche della struttura (ovvero considerando un evento accidentale con m maggiore). Fissata m, facciamo l’analisi inserendo il moltiplicatore di carico λ e otterremo una curva carico – f. Valutiamo così la capacità portante Q e la riportiamo sul piano Q – m. Questo lo facciamo per vari livelli di m: alla fine, nel piano Q – m avremo una serie di punti che possiamo interpolare, ottenendo una curva che decresce con un certo andamento.

Figura 5.22

102

5.2.3.2 Esempio

Immaginando di procedere in questo modo per due strutture (a parità di distribuzione di carico) possiamo confrontare le due curve ottenute nel piano Q – m.

Figura 5.23 La struttura più robusta è la struttura 푩 . 5.2.4 Non linearità geometriche

5.2.4.1 Effetto P-∆ negativo

Figura 5.24 Consideriamo una struttura soggetta a una distribuzione di carico verticale costante p e un carico concentrato H: quest’ultimo lo andiamo a aumentare progressivamente mediante un moltiplicatore λ , ai fini di condurre un’analisi non lineare.

Figura 5.24 Nel suo complesso, la struttura sbanda lateralmente di un valore ∆: si comporta più o meno come una mensola (tozza). Schematizziamo quindi la struttura come un’unica mensola (l’effetto cerniera – incastro lo vedo con una molla rotazionale) soggetta a un carico λH orizzontale e P verticale (risultante della distribuzione p). Volendo scrivere l’equilibrio nella configurazione deformata, ci accorgiamo che il momento d’incastro alla base deve equilibrare non solo il contributo dell’azione orizzontale, ma anche quello dato dall’effetto P- ∆.

103

푀 = (휆퐻)ℎ + 푃∆ Aumenta quindi la sollecitazione dell’edificio. Figura 5.25 Pensando a un materiale elastico perfettamente plastico, il degrado aumenta in presenza di carico verticale (la curva P - ∆ presenta un ramo di softening che non compare in presenza di solo carico orizzontale).

Figura 5.26 Per gli edifici alti quindi, in cui il peso proprio è importante, l’effetto P- ∆ è sempre negativo a livello globale, perché legato alla compressione. 5.2.4.2 Effetto P-∆ positivo

Figura 5.27 Consideriamo la struttura precedente dove però andiamo a inserire il moltiplicatore λ sulla distribuzione verticale. Supponiamo di rimuovere una colonna. Teoricamente la struttura è labile (ci sono infatti 3 cerniere allineate): questo però nell’ipotesi di piccoli spostamenti. Rimuoviamo ora quest’ipotesi e consideriamo grandi spostamenti: vediamo se è possibile l’equilibrio in queste condizioni.

Figura 5.28

104

Schematizziamo la struttura. Le cerniere in A e B scorrono orizzontalmente, quindi le rappresentiamo con un carrello; la parte a sinistra del punto A (e quella a destra di B) le rappresento mediante una molla con rigidezza KSx (e KDx): KDx sarà sicuramente > di KSx.

Figura 5.29 Se volessi calcolare queste rigidezze dovrei risolvere i problemi


퐹 = 퐾 ∆ 퐺 = 퐾 푢 Lo schema ottenuto è il seguente

Figura 5.31 In questo caso, c’è un effetto positivo dei carichi verticali e l’equilibrio è possibile. La parte centrale del carico grava sulla cerniera e dà trazione sulle due aste laterali; l’azione orizzontale del carrello è equilibrata dalle molle laterali. La struttura ottenuta funziona come una fune centrale tesa, sostenuta agli estremi.

Figura 5.32 L’effetto positivo è quindi legato allo sviluppo di trazione nelle aste (effetto catenaria), purchè la struttura lo consenta.

105

5.2.4.3 Percorsi di carico

Il percorso di carico dell’aliquota centrale inizialmente era rettilineo: nel momento in cui abbiamo rimosso la colonna è costretto a compiere un percorso di carico alternativo.

Figura 5.33

Figura 5.34 Ciò significa che la struttura iniziale possedeva percorsi di carico ridondanti: quando uno va fuori uso, entra in funzione l’altro. Se non avessi avuto incastri al piede, ma cerniere, la struttura sarebbe rimasta labile anche per grandi spostamenti: questo perché la parte a sinistra della cerniera A non è in grado di offrire rigidezza. Non esistono percorsi di carico alternativi, quindi la struttura collassa.

Figura 5.35

Struttura ISOSTATICA

Struttura IPERSTATICA

NON ROBUSTA

Può esistere un certo grado di robustezza, ma non è detto

106

5.2.5 Strategie di progettazione

5.2.5.1 Specializzazione e integrazione

Una struttura si dice progettata per specializzazione se ci sono parti ben precise che svolgono certi compiti in termini di “ruoli strutturali”.

Figura 5.36 In una struttura di questo tipo ad esempio si riconosce chiaramente che: - le travi hanno la funzione di raccolta dei carichi - le colonne hanno la funzione di trasferimento a terra dei carichi - il controvento laterale ha la funzione di dare stabilità sotto l’azione orizzontale Una struttura si dice invece progettata per integrazione se ci sono parti che hanno più di un ruolo.

Figura 5.37 In una struttura di questo tipo ad esempio si vede che: - le travi hanno la funzione di raccolta dei carichi - le colonne svolgono sia la funzione di trasferimento a terra dei carichi che quella di stabilizzazione per carichi orizzontali (non c’è infatti la maglia di controvento). NB. questa struttura lavora per integrazione solo con azioni orizzontali.

Figura 5.38 In questo caso invece la struttura ha una suddivisione dei compiti integrata sia per azioni orizzontali che verticali: è l’intera struttura che risenta dell’applicazione del carico.

107

Le strutture concepite per integrazione sono più robuste.

SPECIALIZZAZIONE INTEGRAZIONE ROBUSTEZZA – +

IPERSTATICITA’ – + DUTTILITA’ – +

OTTIMIZZAZIONE (costo) + – FLESSIBILITA’ + – DISMISSIONE + –

Tabella 5.1 5.2.5.2 Evoluzione e innovazione

Supponiamo di dover coprire una certa luce, garantendo un estradosso orizzontale. Ipotizziamo una sezione a IPE.

Figura 5.39 All’aumentare della sua altezza, potremmo arrivare a avere un’anima molto sottile, con conseguenti problemi di ingobbamento d’anima: dovremo predisporre delle costolature (“ribs”), che aumentano il costo dell’opera in termini di peso e di saldature. Potremmo incorrere anche nello sbandamento fuori piano della trave (instabilità flesso-torsionale), per cui l’area superiore dovrà essere un po’ più larga.

Figura 5.40 Possiamo parametrizzare tutto in funzione dell’altezza x della trave e scegliere il profilo IPE prossimo al valore ottimale. Questo modo di progettare si dice evolutivo: ho infatti già scelto all’inizio la tipologia IPE e correggo solo le sue dimensioni, ai fini di avvicinarmi alla soluzione ottima teorica. Potrei però decidere di cambiare totalmente tipologia, realizzando ad esempio una trave reticolare. Passo da una trave a IPE che lavora per flessione a una trave reticolare che lavora per sforzo assiale.

Può essere anche isostatica

Interventi selettivi per modificare la struttura

Si può fare pezzo per pezzo Suddivisione in più elementi (consente l’utilizzo

di dimensioni inferiori)

108

Questo modo di progettare si dice innovativo e procede per salti (“jump”). All’interno di questa nuova soluzione poi potrò ottimizzare in piccolo i singoli elementi che compongono la struttura, nello spirito del progetto evolutivo. Altre innovazioni potrebbero essere le seguenti:

(incompatibile però con la tipologia d’uso, poiché non ha estradosso orizzontale)

Questo schema è buono perché la trave ha 3 appoggi: quello centrale mi consente di dimezzare la luce e ridurre notevolmente il momento flettente massimo (da pL2/8 a p(L/2)2/8 ) NB. Nelle strutture innovative in generale dobbiamo essere più cautelativi; pertanto si utilizzano coefficienti di sicurezza maggiori. 5.2.5.3 Innovazione di Khan: outrigger

Per gli edifici in acciaio, la qualità è data dal numero di piani che posso ottenere. All’aumentare del numero di piani, cambia la tipologia che, sulla base dei dati disponibili, è consigliata.

109

Figura 5.41

Fino a 10 piani basta realizzare uno schema intelaiato. Andando oltre, per edifici con un numero di piani tra 10 e 20, occorre inserire una lama di controvento (che è il fattore innovativo). Dai 20 ai 40 piani è necessario disporre una lama di controvento anche orizzontalmente: è l’outrigger. L’outrigger funziona come una sezione di Bernoulli: trasla e ruota restando piana.

Figura 5.42 Guardiamo come cambia il comportamento di una struttura pendolare (elementi inestensibili) con lama centrale di controventamento con e senza outrigger. La lama di controvento può essere di vario tipo, con elementi diagonali o anche a sezione piena. La lama è come una grossa mensola, la cui sezione terminale ruota restando ortogonale alla linea d’asse. Rispetto alla lama, la trave non sarà un traverso rigido, ma subirà una certa inclinazione: complessivamente, la trave superiore non resta né piana né ortogonale alla linea d’asse.

110

L’outrigger è un dispositivo che ripristina la continuità della sezione: è talmente rigido che si considera che ruoti restando piano. Isolando l’ultimo piano, ci accorgiamo che mentre nello schema senza outrigger la colonna di sinistra è scarica (il punto in alto trasla soltanto), inserendo l’outrigger quella colonna diventa tesa: si sviluppa un meccanismo resistente che agisce sull’intera larghezza dell’edificio (nel 1° schema agiva su un braccio più piccolo). NB. Si possono utilizzare anche due outrigger: con l’ausilio dei codici di calcolo si può valutare la loro posizione ottima (tenendo conto anche di eventuali vincoli costruttivi / architettonici).

5.3 Concezione e progetto di edifici alti 5.3.1 Comportamenti globali

Sono i comportamenti che interessano la struttura globalmente come corpo rigido. La pensiamo sottoposta a considerevoli carichi verticali gravitazionali; come carichi orizzontali si considera il sistema di carico preponderante tra sisma e vento (generalmente per edifici di 20-25 piani è il vento). Figura 5.43

5.3.1.1 Punzonamento

Il primo comportamento che ci preoccupa è quello del punzonamento del suolo sotto l’azione verticale V.

Figura 5.44 Figura 5.45 Figura 5.46

- Se consideriamo che V è equilibrato solo dai pali, il sistema è isostatico (1 equazione di equilibrio in 1 incognita). 푉 = 푛푅푐표푛푛 = 푛푢푚푒푟표푑푖푝푎푙푖 Se fondazione simmetrica con due pali otteniamo

푅 =푉2≤ 푅

111

- Se consideriamo che V è equilibrato solo dalle pressioni che si sviluppano al di sotto della platea, il sistema è ancora isostatico (1 equazione di equilibrio in 1 incognita). 푉 = 푅 = 푝퐴푐표푛푝 = 푝푟푒푠푠푖표푛푒푠푢표푙표,퐴 = 푠푢푝푒푟푓푖푐푖푒푑푖푏푎푠푒푑푒푙푙푎푝푙푎푡푒푎 Otteniamo quindi

푝 =푉퐴≤ 푝

- Le due situazioni in realtà vanno viste insieme: non sappiamo più però risolvere l’equazione di equilibrio, in quanto il problema diventa iperstatico (1 equazione in 2 incognite). 푉 = 푛푅 + 푅 Non so qual è l’aliquota di V che grava sui pali e quella che grava direttamente sul terreno: dipende dalla rigidezza relativa tra i due. In generale, i pali costituiscono il sistema più rigido e assorbono circa il 70% dei carichi, mentre alla platea spetta il 30%. Supponendo però che lo strato superficiale sia rimaneggiato, tutto il carico va sui pali e potremmo stare al limite della loro resistenza (il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo infatti è 1.5). I due sistemi (pali e platea) lavorano in parallelo quindi c’è il pericolo di innesco del collasso progressivo.

5.3.1.2 Ribaltamento

L’altro comportamento pericoloso è il ribaltamento rigido dell’edificio, dovuto a azioni orizzontali. - Per la platea dobbiamo tener conto della parzializzazione: quindi non sarà tutta reagente - Per quanto riguarda i pali, avremo che per quelli compressi possiamo contare sia sulla resistenza alla base che su quella laterale, mentre per i pali tesi solo su un’aliquota della resistenza laterale.

5.3.1.3 Scorrimento

Forti azioni di taglio sulla struttura possono portare a scorrimento laterale. In questo caso è fondamentale il collegamento platea – pali di fondazione: se la platea ingloba parte dei pali, il collegamento può essere schematizzato con un incastro, altrimenti con una cerniera.

Figura 5.48 Consideriamo un suolo alla Winkler, con molle di rigidezza crescente con la profondità.

Figura 5.47

112

Figura 5.49 Nel caso di incastro, possiamo pensare la platea come un traverso rigido: le molle sono richiamate molto di più (la deformata è più ampia). Questo sistema platea – pali funziona meglio dell’analogo sistema con vincolo di cerniera. NB. In realtà sappiamo che il terreno superficiale è spesso rimaneggiato e non reagisce bene. Se considerassimo che i pali sono reagenti solo da una certa profondità non è più così significativa la differenza tra i due comportamenti. 5.3.1.4 Effetto P-∆

In presenza di azioni verticali e orizzontali, il comportamento assiale si può accoppiare col comportamento flessionale: può nascere l’effetto P-∆. Considero sempre l’edificio come corpo rigido, la cui deformabilità è concentrata in una molla alla base.

Figura 5.50 푴푨 = 푯풉 + 푷∆

Il momento alla base è dato da un momento del primo ordine (presente anche se considero l’equilibrio nella configurazione indeformata) e un momento del secondo ordine (legato alla scrittura dell’equilibrio nella configurazione deformata). Considerando un edificio di 30 piani, otteniamo uno spostamento ∆ non trascurabile. ℎ~100푚

∆ℎ~

1200

− −→ ∆~0.5푚 Questo è l’effetto P-∆ negativo.

113

Posso avere però anche un effetto P-∆ positivo. Questo se in B ho una forza P verso l’alto (cioè di trazione invece che di compressione). In questo caso il momento del secondo ordine è stabilizzante e diminuisce il momento alla base.

Figura 5.51

푴푨 = 푯풉 −푷∆ Ruotando la figura di 90°, ci accorgiamo che questo caso coincide con quello già trattato nel Par. 5.2.4.2.

Figura 5.52 NB. Se volessimo valutare quanto è deformabile globalmente il nostro edificio, ovvero quanto contano gli effetti del 2° ordine, potremmo procedere in due modi: 1) Facciamo una prima analisi lineare in presenza di carichi verticali e orizzontali, valutando il drift ∆1 del 1° ordine. Calcoliamo poi il drif ∆2 del 2° ordine, con un’analisi non lineare, tenendo conto così delle non linearità geometriche.

훿 =∆ − ∆∆

100~5− 10%

Se è > 5 – 10 % devo irrigidire l’edificio. 2) Facciamo un’analisi modale. Ricaviamo il periodo proprio T01 (possiamo calcolarlo nelle due direzioni). Tenendo conto anche degli effetti dei carichi otterremo un periodo T02> T01 (infatti stiamo considerando una rotazione maggiore della struttura, ovvero una rigidezza K minore).

훿 =푇 − 푇

푇100~5− 10%

Se è > 5 – 10 % devo irrigidire l’edificio.

114

5.3.1.5 Equalizzazione deformazioni per carichi verticali

Consideriamo un edificio di circa 10 piani, costituito da uno schema pendolare in acciaio con una lamina di calcestruzzo (che potrebbe essere l’ascensore). È un edificio progettato per specializzazione (le colonne portano i carichi verticali e il nucleo in calcestruzzo porta principalmente le azioni orizzontali). Figura 5.53

Supponiamo di essere in presenza di soli carichi verticali. Isoliamo un piano dell’edificio. In via semplificata consideriamo una distribuzione uniforme di carico di risultante Q che si ripartisce metà sulla colonna e metà sulla lamina.

Figura 5.54 Oltre a verificare che la tensione di compressione sulla colonna e sul calcestruzzo sia inferiore a quella limite, dobbiamo fare delle valutazioni sulle deformazioni. L’abbassamento della lamina sarà inferiore a quello della colonna: l’orizzontamento si inclina e avrò fessurazione in corrispondenza del vano scala.

퐶표푙표푛푛푎 ∶ 푓 =푄/2퐸 퐴

ℎ

퐿푎푚푖푛푎 ∶ 푓 =푄/2퐸 퐴

ℎ

Posso allora dimensionare in modo da avere 푓 = 푓

115

In questo modo calcolo quanto deve valere il rapporto Ac/As per avere stesso abbassamento dei due elementi. Fissato Ac in modo che la lamina sopporti i carichi orizzontali, ricavo As. Ragionando in questo modo possiamo avere stessi abbassamenti in un primo momento, ma stiamo però trascurando che il calcestruzzo subisce fenomeni di viscosità. Dopo t=10 anni la lamina si sarà abbassata di più. 푓 > 푓

Figura 5.54 Se - H tot = 100 m = 10000cm - deformazioni viscose 1 – 2 ‰ Partendo da un orizzontamento orizzontale, dopo 10 anni avrò un abbassamento di 10 cm : è un valore non trascurabile. Per evitare questa situazione si può: - partire da un vano scala un po’ più alto - inserire dei giunti deformabili (evitando così fratture diffuse) - usare calcestruzzi a bassa viscosità (es. dello 0.5‰) 5.3.2 Comportamenti locali

Sono legati agli orizzontamenti. 5.3.2.1 Comportamento a diaframma

Gli orizzontamenti possono avere un comportamento a diaframma,o lastra, con spostamenti nel piano dell’orizzontamento stesso, o a piastra, con spostamenti fuori dal piano:


Una lastra, per essere considerata un orizzontamento rigido, deve avere

퐾 > 10 − 100퐾 Per questo basta una soletta di 8 – 10 cm (non basta invece a garantire rigidezza flessionale).

116

5.3.2.2 Deformabilità fuori piano

In generale, in un telaio, il comportamento si discosta da quello “shear type”: la deformata fuori piano può essere notevole. Figura 5.57 Per contrastare la deformabilità dei piani degli orizzontamenti si adottano delle strategie:

- irrigidimento con outrigger, che crea una sezione che ruota e trasla restando “quasi rigida” (fig. 5.58); - sistemi diagrid, che prevedono un controventamento globale della struttura (fig. 5.59); - passare da uno schema a nucleo a uno schema tube, distribuendo l’area sul contorno dell’edificio (il nucleo va bene fino a 15-20 piani, mentre il tube fino a 40-50 piani) (fig. 5.60). Quella del tube è una soluzione buona ma può presentare degli aspetti critici.


5.3.2.3 Criticità schema tube

Al crescere dell’altezza dell’edificio, lo schema tube non va più bene perché la sezione dell’orizzontamento non resta rigida nel suo piano. Ricordiamo che, in generale, cerchiamo una soluzione in cui le sezioni orizzontali restino rigide perché il meccanismo resistente coinvolge l’intero edificio.

117

Figura 5.61 Consideriamo un edificio su cui agisce una distribuzione di carico orizzontale che mi dà un momento M in testa. L’edificio posso schematizzarlo , per semplicità, con una mensola. Il momento non è costante lungo l’altezza dell’edificio. Soffermiamoci su una sezione e guardiamo gli sforzi. Nell’ipotesi di sezione che ruota restando piana, ci aspettiamo delle deformazioni ε a farfalla; analogamente per le tensioni σ. Nella realtà, misurando gli sforzi con un calcolatore, otteniamo una distribuzione diversa: - l’asse neutro non cambia, in quanto non c’è risultante assiale - gli sforzi migrano sugli spigoli - poiché deve valere sempre l’equilibrio verticale ∑휎 = 0 (a prescindere da sezione piana o no) in mezzeria gli sforzi saranno inferiori, di modo che integrando la distribuzione otteniamo sempre il valore del momento M - l’andamento delle tensioni non è più rettilineo ma curvilineo Dove ci sono gli spigoli infatti, le travi sono più rigide: essendo una zona di irrigidimento, lì gli sforzi saranno più alti (vale sempre il principio per cui “la parte più rigida dello schema prende più carico”) La struttura è complessivamente isostatica. Non si può dire lo stesso per la trave però. Con De Saint Venant, nell’ipotesi di sezione che ruota restando piana, consideravamo la trave sezionalmente isostatica; nella realtà, sappiamo che la trave è iperstatica, perché è composta da tante fibre, ovvero più elementi. Se cade l’ipotesi di “sezione che ruota restando piana” (e “perfetta aderenza” parlando di calcestruzzo) il problema dell’equilibrio diventa quindi iperstatico.

푁 = 휎푑퐴푒푀 = 휎푦푑퐴

Non otteniamo direttamente ε0 e χ, perché le σ non sono lineari. 5.3.2.3.1 Conclusioni

Figura 5.62

118

퐼 > 퐼 Sicuramente l’inerzia dello schema a tube è maggiore di quella dello schema a nucleo (a parità di condizioni al contorno). I2 però è un limite superiore: per le considerazione del Par. 5.3.2.3 sappiamo che il tube può non funzionare in maniera ideale, e in tal caso avremo un’inerzia I2’ inferiore a I2.

퐼 < 퐼 < 퐼 Il tube resta comunque un modo per irrigidire l’edificio, anche se in modo non ideale.

Figura 5.63 Lo step successivo è quello di realizzare una struttura con più zone rigide, unendo più irrigidimenti, ottenendo una sorta di schema nervato: il diagramma delle tensioni cambia, si equalizza, avvicinandosi al diagramma delle tensioni che ci aspetteremmo da una sezione rigida.

- smorzamento picchi di estremità - risalita di tensione nelle zone centrali Ovvero c’è un ripristino della sezione ideale. Figura 5.64

L’altra soluzione costruttiva può essere quella di centrifugare le aree, realizzando nuclei in cemento armato laterali.

Figura 5.65

119

5.3.2.4 Esempi telai

Guardiamo degli esempi semplici per capire come si ripartiscono le tensioni in funzione della rigidezza relativa degli elementi. Vale sempre l’ipotesi di aste inestensibili, oltre all’assenza di instabilità. Telaio

Figura 5.66 Trave molto più rigida delle colonne Arrivo al caso di trave appoggiata. La trave decide la forma della deformata e le colonne la seguono.

Figura 5.67 Colonne molto più rigide delle travi È come se la trave fosse doppiamente incastrata (al limite, se la trave fosse evanescente, è come se avessi una cerniera in mezzeria, in quanto il momento lì si annulla).

Figura 5.68

Gli sforzi fluiscono verso colonne o travi a seconda del rapporto 퐼 /퐼

120

5.3.3 Comportamenti elementari

5.3.3.1 Trazione

Vediamo ora come conviene distribuire il materiale nel progetto di un elemento soggetto a pura trazione. Figura 5.69 Invece di scegliere un’area unica e fare un unico elemento teso, si cerca di suddividere l’area in più aree piccole, mettendo più elementi in parallelo. Ad esempio inseriamo 4 elementi, ognuno con A*=A/4.

Questo si fa per robustezza. Infatti l’eventuale collasso di uno di questi elementi non porta al collasso totale.

휎 =푁 4⁄퐴 4⁄

=푁퐴

푠푒푢푛푒푙푒푚푒푛푡표푐표푙푙푎푠푠푎 − −−> 휎 =푁 3⁄퐴 4⁄

=43푁퐴

= 1.33푁퐴

Aumenta il tasso di lavoro ma c’è ancora un margine (c’è il coefficiente di sicurezza). Se gli elementi fossero stati 3 saremmo arrivati al limite 휎 = ⁄

⁄ =

1.5 Figura 5.70

NB 1) Quando si progetta l’unione a taglio trave – colonna con squadretta, solitamente si inseriscono 3 bulloni: ognuno porta un taglio pari a V/3. Se uno si rompe, gli altri portano 1.5 volte il taglio iniziale. NB 2) Potremmo pensare allora di inserire tantissimi elementi, di modo che se se ne rompe uno, l’incremento è quasi nullo. Questo principio si segue solo per cavi e funi di strutture sospese. Per le strutture “solite” non si fa, perché aumentano i costi delle connessioni. Fino a 4 – 5 elementi va bene, oltre no. NB 3) Lo schema strutturale deve essere sempre il più semplice possibile.

121

5.3.3.2 Compressione

Figura 5.71 Figura 5.72 In questo caso dobbiamo tenere conto dell’instabilità. Consideriamo due casi: 1- un solo elemento di sezione rettangolare A = 2 a2 2- due elementi in parallelo, ognuno con sezione A= a2 Calcoliamo il carico critico euleriano nei due casi.

푃 = 휋 퐸[푎(2푎) ]

12ℎ=휋 퐸푎12ℎ

8

푷풄풓ퟐ = 2휋 퐸[푎(푎) ]

12ℎ=휋 퐸푎12ℎ

2 =푷풄풓ퟏퟒ

È meglio realizzare, al limite, un solo elemento di dimensioni maggiori, piuttosto che suddividere in vari elementi. 5.3.3.3 Flessione

Consideriamo un edificio di lato 5a con nucleo centrale concentrato di area A= a2 .

Figura 5.73 L’inerzia del nucleo sarà :

퐼 =푎(푎)

12=푎12

Distribuiamo adesso l’area lungo le fasce laterali. Ogni fascia avrà A* = A/4.

122

Figura 5.74 In via approssimata, tenendo conto cioè solo del contributo dei lati verticali, l’inerzia vale:

푰ퟐ = 2푏ℎ12

= 2퐴4 (5푎)

12=

25푎24

= 1.04푎 ≫ 푰ퟏ In questo caso è meglio centrifugare l’area dal nucleo.

5.4 Ottimizzazione strutturale 5.4.1 Introduzione

L’ottimizzazione può essere fatta a varie scale e con l’ausilio di vari codici di calcolo. È strettamente legata a ridurre il costo della struttura, agendo essenzialmente sul peso (e quindi sulla dimensione) degli elementi. Il costo dell’acciaio è di circa 3 – 5 € /Kg. 5.4.1.1 Turbina eolica offshore

Consideriamo un parco eolico offshore nel Mediterraneo.

Figura 5.75 Il supporto della struttura è essenzialmente tubolare, con area di impronta allargata per una più omogenea ripartizione delle tensioni. I pali sono infissi per circa 30 metri nel fondale.

123

L’oggetto entrerà in vibrazione: occorre controllare che la struttura non vada in risonanza e che gli spostamenti non siano eccessivi. La spinta orizzontale può essere molto importante (se il rotore pesa 300 t, la spinta sarà circa 100 t ) Il supporto peserà circa 1000 t = 1000000Kg. Considerando che si tratta di un parco eolico, il prezzo è molto alto: supponendo che il costo dell’acciaio si un po’ inferiore (data la grande quantità di materiale) abbiamo Singola turbina eolica ---- > Costo * Peso = 2€/Kg * 1000000 = 2 milioni di € Parco eolico (100 turbine) ----> 200 milioni di € Ottimizzazione Supponiamo di ridurre dell’1% il peso della struttura (diminuendo il diametro del tubo da 50 mm a 49.5mm). Vediamo che il risparmio è subito considerevole. Risparmio singola turbina eolica ---- > 20000 € Risparmio parco eolico (100 turbine) ----> 2 milioni di € 5.4.1.2 Considerazioni sul costo di un edificio

Consideriamo un edificio di 7 piani, soggetto a una certa distribuzione di carico verticale e orizzontale.

Figura 5.76 Soffermiamoci su una colonna: se volessimo usare le dimensioni strettamente necessarie a soddisfare i requisiti deformativi e tensionali, avrò una serie di profili con sezione che diminuisce salendo di piano in piano. Noto che il costo dipende dal peso d’acciaio di cui abbiamo bisogno, la soluzione appena descritta mi fornisce il minimo costo dal punto di vista del peso. Non bisogna dimenticarsi però del costo delle connessioni: all’aumentare del numero delle suddivisioni aumenta il numero di unioni (il costo qui è legato alla manodopera). Volendo si può anche tener conto che unioni più grandi costano un po’ di più delle unioni più piccole. Riportiamo in un grafico l’andamento del costo dovuto al peso (elementi lineari --- > B-Regions), quello dovuto alle connessioni (D-Regions), e la somma risultante.

124

Figura 5.77 L’andamento risultante presenta un minimo: troveremo un valore n* che non sarà un numero discreto. Poiché tutta la zona di minimo è circa piatta, possiamo scegliere un valore di suddivisioni prossimo a n*, che mi consente di realizzare una soluzione ottimizzata. NB. Nel progettare gli elementi e il numero di suddivisioni, occorre tenere presente che le dimensioni massime sono dettate dal trasporto degli stessi elementi. - 12 m (trasporto su strada) - 18 m (trasporto su strada con permessi speciali) - 30 m (trasporto su chiatta per impalcati da ponte) Il costo può essere legato alla qualità : l’obiettivo sarà quello di minimizzare il costo e massimizzare la qualità.

Figura 5.78 Le curve in realtà non sono continue, ma sono fatte da un numero discreto di punti. 5.4.2 Ottimizzazione locale

5.4.2.1 Sizing

Il sizing è un tipo di ottimizzazione che si fa elemento per elemento, scegliendo le dimensioni della sezione in modo da avere il minor spreco possibile di materiale. È un tipo di progettazione “evolutiva”. 5.4.3 Ottimizzazione globale

5.4.3.1 Morphing

Il morphing è un’ottimizzazione della forma dell’elemento, senza cambiarne la topologia (consente di spostare i nodi e di modificare, anche sostanzialmente, la forma risultante). È un tipo di progettazione “innovativa”.

125

5.4.3.2 Topologica

L’ottimizzazione topologica cambia il modo in cui sono connesse le varie parti della struttura. Anche questa ricade tra la progettazione “innovativa”. 5.4.4 Esempio : trave semplicemente appoggiata

5.4.4.1 Predimensionamento

Consideriamo una trave semplicemente appoggiata soggetta a un carico uniformemente distribuito q (è la condizione di carico più gravosa). Partiamo da una configurazione di trave Vierenael.

Figura 5.79

Figura 5.80 Le azioni di compressione C e trazione T sono le stesse, ma il corrente superiore, compresso, potrebbe instabilizzarsi: superiormente abbiamo bisogni di una sezione di dimensioni maggiori. I montanti verticali in prima approssimazione potremmo pensarli tutti uguali. Finito il predimensionamento, guardiamo i diagrammi di momento flettente e taglio della trave, per capire come migliorare la struttura. 5.4.4.2 Sizing

Il momento è massimo al centro: quindi i correnti superiore e inferiore avranno bisogno di una sezione maggiore in prossimità della mezzeria, minore in prossimità degli appoggi. Per i correnti potremmo optare per dei profili IPE.

126

NB. Se la sezione fosse piena, potremmo pensare di saldare delle piattabande superiormente e inferiormente nella zona della mezzeria.

Figura 5.81

Il taglio è massimo agli appoggi: i montanti quindi avranno sezione maggiore in corrispondenza degli appoggi. In condizioni perfettamente simmetriche, il montante centrale potrebbe anche non essere presente, perché il taglio si annulla in mezzeria. Per i montanti potremmo optare per dei profili HEA. 5.4.4.3 Morphing

Potremmo scegliere di cambiare la forma della trave, pur mantenendo invariata la topologia. Una scelta intelligente è quella di aumentare l’altezza della trave in mezzeria (aumenta il braccio delle forze interne, che quindi diminuiscono)

Figura 5.82

Un’altra configurazione può essere quella che vincola il corrente inferiore a non essere troppo basso.

Figura 5.83

5.4.4.4 Topologia

L’ultimo step è quello di cambiare la topologia: si possono introdurre elementi diagonali, che lavorano a sforzo assiale, per limitare la deformabilità. Cambio cioè il modo in cui le varie parti sono connesse tra loro (i punti connessi da aste si scambiano sforzi direttamente).

127

Figura 5.84 5.4.4.5 Osservazioni

In generale: - occorre tener conto di più condizioni di carico, ai fini di individuare lo stato più gravoso - le limitazioni non riguardano solo lo stato tensionale, ma anche la deformata e l’instabilità - possono esserci vincoli costruttivi che impediscono la scelta di una qualsiasi configurazione (corrente superiore tutto della stessa dimensione, o al più con due tipi di sezione – questo anche per evitare un elevato numero di collegamenti) 5.4.5 Soluzioni per edifici alti

5.4.5.1 Outrigger

Abbiamo già descritto l’outrigger (Par. 5.2.5.3): è un’ottimizzazione topologica rispetto allo schema di edificio con lama di controvento verticale.

Figura 5.85

Col “jump” passo da una curva all’altra: nella curva 2, partirò da un punto che non è ottimale. All’interno di questa curva posso procedere con un’ottimizzazione locale tipo “sizing”, che mi consente di spostarmi nella zona di minimo della curva. Consideriamo un edificio di 40 piani. Stabilito che devo utilizzare l’outrigger, si pone il problema di scegliere il piano in cui posizionarlo. Teniamo conto che la colonna compressa potrebbe dare problemi di instabilità. Guardiamo lo spostamento laterale dell’edificio sotto carico orizzontale.

128

Figura 5.86

La soluzione ottima è quella che prevede l’outrigger al 32° piano. Se ci fossero dei vincoli (impiantistici, o estestici) proprio a quel piano, potremmo comunque scegliere un piano compreso tra il 24° e il 40°: la perdita in termini di rigidezza è solo del 2-3% (questo perché la zona di minimo è piatta). Potremmo scegliere di reiterare la strategia, inserendo un secondo outrigger.

Figura 5.87

Notiamo però che, a fronte di un costo che sarà circa doppio, il guadagno in termini di spostamento non è doppio. Quindi, a meno che non ci sia un limite preciso sullo spostamento, non vale la pena ricorrere al 2° outrigger.

129

5.4.5.2 Altre tipologie resistenti

Figura 5.88 Confrontiamo le strutture 1, 4 ,9. Struttura 1 (Telaio puro) Il comportamento è puramente flessionale. Struttura 4 (Lama di controvento) Qui il comportamento complessivamente è flessionale, ma tra un piano e l’altro è reticolare. La triangolazione però è legata solo a punti consecutivi (tra piano “n” e piano “n-1”). Struttura 9 (Controventi estesi a tutta la facciata) Disporre controventi che collegano punti estremi è più efficiente. In questo caso il comportamento tra i piani è di tipo assiale. L’asta diagonale sarà più lunga, quindi più flessibile, ma la rigidezza assiale resta molto più grande di quella flessionale.

130

NB. Consideriamo una mensola d’acciaio, con un solo elementino deformabile (il resto è rigido). La deformata flessionale è molto più grande. Se possibile, preferiamo sempre strutture di tipo reticolare, in quanto hanno deformate più piccole delle strutture che lavorano per flessione. Figura 5.89

5.4.6 Sottostrutturazione

Il modello globale dell’edificio sarà un modello 3D piuttosto complesso. È comodo estrarre parte significative da questo modello, ai fini di fare delle valutazioni sui meccanismi resistenti che si sviluppano e sui miglioramenti che si possono apportare. Figura 5.90

5.4.6.1 Sottostrutturazione verticale

Questo tipo di sottostrutturazione si può fare purchè la geometria sia semplice (non di tipo curvilineo, ad esempio). Possiamo estrarre una singola parete (interna e/o esterna) e caratterizzarla con la curva pushover.

Figura 5.91

131

Per analizzare il comportamento accoppiato di due pareti, possiamo creare un modello fittizio, affiancando le due pareti e collegandole con delle bielle (elementi fittizi privi di massa): anche qui si può condurre un’analisi non lineare, vedere se c’è bisogno di aggiungere altri controventi o se già sono in numero sufficiente, controllare se lo sviluppo di cerniere plastiche avviene in maniera diffusa nella struttura o in una zona concentrata.

Figura 5.92 5.4.6.2 Sottostrutturazione orizzontale

La sottostrutturazione orizzontale è sempre realizzabile, anche in presenza di geometrie complicate. Qui si tratta di analizzare il comportamento flessionale degli orizzontamenti. Per fare il modello semplificato, isoliamo l’orizzontamento inserendo dei vincoli di cerniera a metà altezza delle colonne (lì il momento è circa nullo).

Figura 5.93 5.4.6.3 Elemento strutturale: trave forata

Analizzando il singolo elemento, ad esempio una trave, questa può essere forata per motivi impiantistici: teoricamente l’elemento è una B-Regions, ma un’analisi di dettaglio può mettere in luce gli effetti dovuti alla presenza del foro. La trave non è più una generica IPE.

Figura 5.94

132

Vediamo come possiamo modellare questa elemento. Inseriamo 3 nodi per monitorare la freccia in mezzeria. Modello 1: trascuro la presenza del foro Sottostimo la freccia rispetto a quella reale.

Figura 5.95 Modello 2: considero che il foro sia su tutto l’elemento Sovrastimo le freccia rispetto a quella reale.

Figura 5.96 I risultati ottenuti sono molto differenti. È probabile, ma non ancora certo, che il risultato sia intermedio. Modello 3: delimito la zona forata Ottengo una freccia intermedia rispetto agli altri due modelli.

Figura 5.97

Stiamo però commettendo un errore concettuale in questa modellazione: la zona forata la stiamo modellando con una sezione, ipotizzando che continui a ruotare restando piana. In realtà sappiamo che il nucleo superiore può muoversi indipendentemente da quello inferiore. Modello 4: deformata a taglio È come se avessi un elemento di trave nel baricentro della zona superiore e un altro analogo nel baricentro della zona inferiore. Per collegarli al resto della struttura utilizzo dei link rigidi (materializzano la sezione che ruota e trasla restando piana).

Figura 5.98

Se guardiamo come si deforma l’elemento, notiamo che non conta solo la deformata flessionale, ma anche quella a taglio.

133

Figura 5.99 Nella zona del foro la deformata è quella tipica del telaio “shear type”. Possiamo aspettarci una freccia maggiore di quella del modello 2, i modelli 1,2,3 tenevano conto solo della deformata flessionale (essendo modelli con la sola linea d’asse). Col modello 4 abbiamo permesso di rappresentare la modalità deformativa tagliante, che si somma a quella flessionale. È utile in questo caso l’utilizzo di elementi finiti di Timoshenko.

Figura 5.100 Modello 5: elementi shell Una modellazione ancora più avanzata si raggiunge inserendo degli elementi bidimensionali shell.

FacoltàdiIngegneriaCivileeIndustrialeCorsodilaureamagistraleinIngegneriaCivile

COSTRUZIONIMETALLICHEEsercitazioni

Docente: Studente:

Prof. Ing. Franco Bontempi Giordana Gai

Assistenti:

Ing. Francesco Petrini

Ing. Paolo Emidio Sebastiani

Anno Accademico 2013 – 2014

INDICE - ESERCITAZIONI 1 INSTABILITA’ ............................................................................................................................................. 1 1.1 Struttura con comportamento stabile simmetrico ......................................................................................... 1 1.1.1 Modellazione struttura ........................................................................................................ 1 1.1.2 Analisi svolte ....................................................................................................................... 1 1.1.2.1 Linear Static ............................................................................................................ 1 1.1.2.2 Linear Buckling ........................................................................................................ 1

1.1.2.3 Non Linear Static ..................................................................................................... 2 1.1.3 Risultati ............................................................................................................................... 2 1.2 Struttura con comportamento instabile simmetrico ..................................................................................... 3 1.2.1 Modellazione struttura ........................................................................................................ 3 1.2.2 Analisi svolte ....................................................................................................................... 3 1.2.2.1 Linear Static ............................................................................................................ 3 1.2.2.2 Linear Buckling ........................................................................................................ 3

1.2.2.3 Non Linear Static ..................................................................................................... 4 1.2.3 Risultati ............................................................................................................................... 4 1.3 Struttura con comportamento asimmetrico .................................................................................................... 5 1.3.1 Modellazione struttura ........................................................................................................ 5 1.3.2 Analisi svolte ....................................................................................................................... 5 1.3.2.1 Linear Static ............................................................................................................ 5 1.3.2.2 Linear Buckling ........................................................................................................ 5

1.3.2.3 Non Linear Static ..................................................................................................... 6 1.3.3 Risultati ............................................................................................................................... 6 1.4 Riepilogo comportamenti ............................................................................................................... 7 1.5 Arco a tre cerniere .......................................................................................................................... 8 1.5.1 Aste tozze ........................................................................................................................... 8 1.5.1.1 Modellazione struttura ........................................................................................... 8 1.5.1.2 Analisi svolte ........................................................................................................... 8 1.5.1.2.1 Analisi di buckling ..................................................................................... 8

1.5.1.2.2 Analisi non lineare ..................................................................................... 8 1.5.1.3 Risultati ............................................................................................................................... 9

1.5.2 Aste snelle ......................................................................................................................... 10 1.5.2.1 Modellazione struttura ......................................................................................... 10 1.5.2.2 Analisi svolte ......................................................................................................... 10

1.5.2.2.1 Analisi di buckling ................................................................................... 11 1.5.2.2.2 Analisi non lineare ................................................................................... 11

1.5.2.3 Risultati ................................................................................................................. 11 2 PLASTICITA’ .............................................................................................................................................. 13 2.1 Sistema di aste reticolari ............................................................................................................... 13 2.1.1 Modellazione struttura ...................................................................................................... 13 2.1.2 Risoluzione ........................................................................................................................ 14

2.1.2.1 Fase di carico ........................................................................................................ 14 2.1.2.1.1 Analisi svolte .......................................................................................... 14

2.1.2.1.2 Risultati .................................................................................................. 14 2.1.2.2 Fase di scarico ....................................................................................................... 16

2.1.2.2.1 Analisi svolte .......................................................................................... 16 2.1.2.2.2 Risultati .................................................................................................. 16

2.1.3 Confronti Straus7 – soluzione analitica .............................................................................. 17

2.2 Trave iperstatica ........................................................................................................................... 18 2.2.1 Modellazione struttura ...................................................................................................... 18 2.2.2 Risoluzione ......................................................................................................................... 18 2.2.2.1 Analisi svolta ......................................................................................................... 18 2.2.2.2 Risultati ................................................................................................................. 19 2.2.3 Confronti Straus7 – teoremi statico e cinematico ............................................................. 20 2.3 Telaio piano incastrato ................................................................................................................. 21 2.3.1 Modellazione struttura ...................................................................................................... 21 2.3.2 Analisi svolte ..................................................................................................................... 22 2.3.2.1 Flessione ............................................................................................................... 22 2.3.2.2 Pressoflessione ..................................................................................................... 24 2.3.2.2.1 Calcolo diagrammi M – χ (N) .................................................................... 24 2.3.2.2.2 Risultati ................................................................................................... 27

2.3.3 Confronti ............................................................................................................................... 29

1

1 - INSTABILITÀ

1.1 Struttura con comportamento stabile simmetrico


1.1.1 Modellazione struttura

PROFILO IPE 200 L [m] 4

MOLLA ROTAZIONALE

K [KNm/rad] 100 Tabella 1.1

L’unico grado di libertà del sistema strutturale è la rotazione θ (la rigidezza è tutta concentrata nella molla, quindi l’asta risulta rigida e può solo ruotare attorno alla cerniera di base).

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 mm

Tabella 1.2 1.1.2 Analisi svolte

Per svolgere le analisi utilizziamo il codice di calcolo Straus 7. Inizialmente analizziamo la struttura “ideale”, così come rappresentata in figura; successivamente terremo conto della presenza di imperfezioni iniziali al fine di valutare come cambia il carico critico Pcr. 1.1.2.1 Linear Static

Lanciamo l’analisi statica lineare. È l’analisi al 1° ordine, che non ci consente di cogliere la biforcazione dell’equilibrio: il materiale è elastico lineare e la soluzione è quella banale θ = 0. Ci serve però per svolgere la successiva analisi. 1.1.2.2 Linear Buckling

È l’analisi del 2° ordine; come “Initial Conditions” inseriamo i risultati dell’analisi precedente. Quest’analisi ci consente di trovare il carico critico in corrispondenza del quale si instabilizza la struttura.

Codice di calcolo: Straus 7 Figura 1.4

2

Ci aspettiamo di trovare un valore prossimo a quello ottenuto con la trattazione teorica svolta precedentemente

푷풄풓 =푲푳

=100퐾푁푚

푟푎푑4푚

= ퟐퟓ푲푵

Dall’analisi di buckling otteniamo 1° valore --- > 24.91 KN 2° valore --- > 290000 KN (non ha significato fisico: stiamo leggendo i modi di vibrare della struttura, che sono ∞ ; a noi interessa solo il primo perché la configurazione deformata della struttura che studiamo è descritta dall’unico parametro θ , e quindi il sistema struttura presenta un’unica forma di instabilità). 1.1.2.3 Non Linear Static

Vogliamo adesso tenere conto delle imperfezioni iniziali, ovvero delle non linearità geometriche. A tal fine, diamo una piccola rotazione iniziale all’asta.

휃 ≅ℎ

100÷

ℎ1000

Prima di lanciare l’analisi, dobbiamo impostare i “Load Increment” , ovvero i moltiplicatori del carico P e dello spostamento U: definiamo sia i Load Case (pensando a un’analisi a forza imposta) che i Freedom Case (pensando a un’analisi a spostamento imposto). Nella definizione dei Load Case pensiamo di superare il carico critico precedentemente determinato. NB. In questo caso già sappiamo che il comportamento è di tipo incrudente , quindi basterebbe un’analisi a controllo di forza. Lanciamo l’analisi e ripetiamo la procedura aumentando l’imperfezione iniziale. Ci aspettiamo che la soluzione si allontani da quella della struttura ideale, senza imperfezioni. 1.1.3 Risultati

Estraiamo i dati dell’ analisi non lineare e li combiniamo su Excel . Il comportamento è STABILE SIMMETRICO. All’aumentare dell’imperfezione iniziale ci allontaniamo dalla curva teorica, ma il comportamento resta sempre di tipo incrudente ( il carico critico aumenta all’aumentare di θ).

Figura 1.5

3

1.2 Struttura con comportamento instabile simmetrico




MOLLA TRASLAZIONALE

K [KN/m] 100 Tabella 1.3

L’unico grado di libertà del sistema strutturale è la rotazione θ (la rigidezza è tutta concentrata nella molla, quindi l’asta risulta rigida e può solo ruotare attorno alla cerniera di base).

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 mm

Tabella 1.4 1.2.2 Analisi svolte

1.2.2.1 Linear Static

Lanciamo l’analisi statica lineare. Come già specificato nel Par 1.1.1.1, ci serve per svolgere la successiva analisi. 1.2.2.2 Linear Buckling

È l’analisi del 2° ordine; come “Initial Conditions” inseriamo i risultati dell’analisi precedente. Quest’analisi ci consente di trovare il carico critico in corrispondenza del quale si instabilizza la struttura. Ci aspettiamo di trovare un valore prossimo a quello ottenuto con la trattazione teorica svolta precedentemente

푷풄풓 = 푲푳 = 100퐾푁푚

∗ 4푚 = ퟒퟎퟎ푲푵

Dall’analisi di buckling otteniamo 1° valore --- > 400.0 KN 2° valore --- > 40600000 KN (come specificato nel Par. 1.1.1.2 non ha significato fisico).

Codice di calcolo: Straus 7 Figura 1.9

4

1.2.2.3 Non Linear Static


휃 ≅ℎ

100÷

ℎ1000

Prima di lanciare l’analisi, dobbiamo impostare i “Load Increment” , ovvero i moltiplicatori del carico P e dello spostamento U: definiamo sia i Load Case (pensando a un’analisi a forza imposta) che i Freedom Case (pensando a un’analisi a spostamento imposto). NB. Poiché la struttura ha un comportamento di tipo instabile, già sappiamo che è necessaria l’analisi a spostamenti imposti: un’analisi con carico crescente infatti non ci consentirebbe di valutare il ramo decrescente. Lanciamo l’analisi e ripetiamo la procedura aumentando l’imperfezione iniziale. Ci aspettiamo che la soluzione si allontani da quella della struttura ideale, senza imperfezioni. 1.2.3 Risultati

Estraiamo i dati dell’ analisi non lineare e li combiniamo su Excel .

Figura 1.10

Il comportamento è INSTABILE SIMMETRICO. All’aumentare dell’imperfezione iniziale ci allontaniamo dalla curva teorica, e il comportamento resta sempre di tipo instabile ( il carico critico diminuisce all’aumentare di θ).

5

1.3 Struttura con comportamento asimmetrico



Tabella 1.5

Tabella 1.6 L’unico grado di libertà del sistema strutturale è la rotazione θ (la rigidezza è tutta concentrata nella molla, quindi l’asta risulta rigida e può solo ruotare attorno alla cerniera di base). Modelliamo la molla come un elemento Truss, ovvero un elemento tipo asta reticolare che porta solo sforzo assiale. Scegliamo una sezione quadrata di A = 0.1m2 e assegniamo una rigidezza equivalente all’elemento mediante la formula seguente:

퐾 =퐸퐴퐿− −−> 퐸 =

퐾퐿퐴

=100 ∗ (4 ∗ √2)

0.1= 5656.8

퐾푁푚

1.3.2 Analisi svolte

1.3.2.1 Linear Static

Lanciamo l’analisi statica lineare. Come già specificato nel Par 1.1.1.1, ci serve per svolgere la successiva analisi. 1.3.2.2 Linear Buckling

È l’analisi del 2° ordine; come “Initial Conditions” inseriamo i risultati dell’analisi precedente. Quest’analisi ci consente di trovare il carico critico in corrispondenza del quale si instabilizza la struttura.


MOLLA TRASLAZIONALE (elemento “truss”) K [KN/m] 100

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 mm Codice di calcolo: Straus

7 Figura 1.13

6

Ci aspettiamo di trovare un valore prossimo a quello ottenuto con la trattazione teorica svolta precedentemente

푷풄풓 =푲푳ퟐ

=100퐾푁푚 ∗ 4푚

2= ퟐퟎퟎ푲푵

Dall’analisi di buckling otteniamo 1° valore --- > 199.9 KN 2° valore --- > 19000000 KN (come specificato nel Par. 1.1.1.2 non ha significato fisico). 1.3.2.3 Non Linear Static


휃 ≅ℎ

100÷

ℎ1000

Prima di lanciare l’analisi, dobbiamo impostare i “Load Increment” , ovvero i moltiplicatori del carico P e dello spostamento U: definiamo sia i Load Case (pensando a un’analisi a forza imposta) che i Freedom Case (pensando a un’analisi a spostamento imposto). Lanciamo l’analisi e ripetiamo la procedura aumentando l’imperfezione iniziale. Ci aspettiamo che la soluzione si allontani da quella della struttura ideale, senza imperfezioni. 1.3.3 Risultati

Estraiamo i dati dell’ analisi non lineare e li combiniamo su Excel .

Figura 1.14

Il comportamento è ASIMMETRICO. All’aumentare dell’imperfezione iniziale ci allontaniamo dalla curva teorica, e il comportamento è di tipo instabile da un lato e stabile dall’altro : il segno dell’imperfezione iniziale è determinante ai fini della stabilità del sistema.

7

1.4 Riepilogo comportamenti Riportiamo i comportamenti incontrati finora in un unico grafico adimensionalizzato rispetto al carico critico.

Figura 1.15

8

1.5 Arco a tre cerniere

Figura 1.16

1.5.1 Aste tozze

1.5.1.1 Modellazione struttura

Tabella 1.7

Scegliamo una struttura molto tozza perché vogliamo studiare il meccanismo di instabilità a scatto. Tabella 1.8

1.5.1.2 Analisi svolte

Lanciamo come al solito l’analisi lineare, l’analisi di Buckling e infine l’analisi non lineare. 1.5.1.2.1 Analisi di buckling

Il carico di buckling è molto elevato (il profilo scelto è infatti molto grande).

1.5.1.2.2 Analisi non lineare

Vogliamo adesso studiare il comportamento non lineare della struttura. Lanciamo due analisi.

PROFILO HEB 600 L0 [m] 3 H0 [m] 0.5

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 cm

P cr 50799 KN

Figura 1.17

9

- Una prima analisi a controllo di spostamento, con spostamento imposto nella cerniera centrale, in cui leggiamo l’abbassamento progressivo della struttura (l’andamento risultante coincide con quello ottenuto sfruttando la relazione analitica vista nel Cap. 1.3 degli “Appunti del corso”). - Una seconda analisi a controllo di forza, con forza concentrata nella cerniera centrale, in cui riusciamo a cogliere visivamente l’instabilità della struttura . 1.5.1.3 Risultati

Riportiamo di seguito gli andamenti ottenuti.

Step 193

Step 194

Per chiarezza visiva, riportiamo in un altro grafico gli andamenti precedenti e il livello relativo all’instabilità euleriana, ottenuta dall’analisi di buckling. E’ evidente che la struttura è talmente tozza che non può instabilizzarsi l’asta: interviene prima il meccanismo a scatto. Se continuassimo a aumentare gli incrementi di carico potremmo leggere un ramo

P cr (snap through) 9640.8 KN

Figura 1.18

Figura 1.19

Figura 1.20

10

crescente, perché la struttura ha cambiato comportamento: nella nuova configurazione lavora come un sistema strutturale di tiranti, o funi, e di conseguenza può reggere un ulteriore aumento di carico.

Figura 1.21

1.5.2 Aste snelle

1.5.2.1 Modellazione struttura

Tabella 1.9

Scegliamo una struttura snelle al fine di mostrare il differente meccanismo di instabilità. Tabella 1.10

1.5.2.2 Analisi svolte

In generale, nel caso di aste snelle, non è detto che si instauri il meccanismo a scatto, anzi: una delle due aste può instabilizzarsi prima. Per modellare questo fenomeno dobbiamo dare un’imperfezione iniziale a una delle due aste: possiamo assegnare una deformata iniziale, oppure un carico uniformemente distribuito ortogonalmente all’asta .

PROFILO IPE 200 L0 [m] 3 H0 [m] 2

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 cm

Figura 1.22

11

A questo punto possiamo lanciare l’analisi non lineare. 1.5.2.2.1 Analisi di buckling

Il carico di buckling è molto inferiore a quello calcolato nel caso di aste tozze.

1.5.2.2.2 Analisi non lineare

Lanciamo anche qui due analisi : spostamento imposto e carico imposto (come descritto nel Par. 1.5.1.2.2). 1.5.2.3 Risultati

Step 29

Step 30

Riportiamo di seguito gli andamenti ottenuti. L’asta con imperfezione iniziale si instabilizza quando il carico P è di poco inferiore al carico ottenuto con l’analisi di buckling (vedi Par. 1.5.2.2.1)

P cr 3247.3 KN

Figura 1.23

Figura 1.24

12

Figura 1.25

Per chiarezza visiva, facciamo uno zoom del grafico precedente. Questa volta le aste sono talmente snelle che la crisi avviene per raggiungimento del carico euleriano: in particolare, si instabilizza proprio l’asta a cui avevamo dato l’imperfezione iniziale.

Figura 1.26

Quando l’asta si instabilizza, la struttura si ripiega su sé stessa: successivamente, con l’analisi non lineare a controllo di forza, riusciamo a leggere un ramo crescente. Infatti la struttura adesso funziona con un meccanismo a tiranti, e il carico può continuare aumentare.

13

2 – PLASTICITA’

2.1 Sistema di aste reticolari

Figura 2.1


ASTE TUBOLARI D [cm] 15

Spessore t [cm] 1

P iniziale 1 KN δ iniziale 0.1 mm

σy 235 MPa La struttura è una volta iperstatica.

Codice di calcolo: Straus 7

Figura 2.2

Tabella 2.1

14

2.1.2 Risoluzione

2.1.2.1 Fase di carico

2.1.2.1.1 Analisi svolte

Per svolgere un’analisi di tipo non lineare utilizziamo il codice di calcolo Straus 7. Scegliamo di condurre un’analisi a controllo di spostamenti: definiamo quindi i “freedom case” con passo molto piccolo. 2.1.2.1.2 Risultati

Estraiamo dal programma i valori di: - spostamento verticale del nodo incernierato, - sforzi normali nelle aste (centrale e laterale) Riportiamo di seguito l’andamento degli sforzi normali con lo spostamento imposto, tutto adimensionalizzato rispetto all’area per la tensione di snervamento dell’acciaio σy.

ASTA CENTRALE PLASTICIZZATA

FASE DI CARICO (σ < σy)

Figura 2.4

Figura 2.3

15

In una prima fase di carico si ha che lo sforzo normale aumenta linearmente nelle due aste, sebbene ciò accada in proporzioni diverse: quella centrale assorbe una quota parte maggiore di carico applicato. A un certo step, l’aste centrale inizia a snervarsi: lo sforzo si mantiene costante e pari al valore di tensione di snervamento per area della sezione. L’altra asta invece non raggiunge lo snervamento e per questo il suo sforzo continua a aumentare linearmente, ma con pendenza maggiore di quella che aveva precedentemente: questo perché deve sopportare anche l’aumento di carico che l’altra asta non è in grado più di assorbire, in quanto snervata.

ASTA CENTRALE PLASTICIZZATA; ASTE LATERALI COLLASSO INCIPIENTE

FASE DI CARICO (σ > σy)

Figura 2.6

Figura 2.5

16

2.1.2.2 Fase di scarico

2.1.2.1.1 Analisi svolte

Vogliamo ora vedere come si ripartiscono gli sforzi in caso di scarico. Per fare ciò aggiungiamo altri incrementi di carico nei “freedom case”: in realtà questa volta si tratta di incrementi decrescenti. In questo modo leggiamo uno spostamento applicato che gradualmente diminuisce, fino a annullarsi. 2.1.2.1.2 Risultati

Estraiamo nuovamente dal programma i valori di: - spostamento verticale del nodo incernierato, - sforzi normali nelle aste (centrale e laterale) Integriamo il grafico precedente con le curve di scarico (quelle tratteggiate in figura).

Figura 2.7

Nella fase di scarico si percorrono dei rami paralleli a quelli percorsi durante la prima fase di carico (puramente elastica). Notiamo che quando arriviamo allo stato in cui il carico applicato è nullo (P = 0) lo stato di sforzo nelle aste è diverso da zero e, soprattutto, diverso anche in segno. L’asta centrale, in seguito alla plasticizzazione, subisce un allungamento residuo tale che, alla fine dello scarico, risulta compressa: per equilibrio, le aste laterali inclinate devono essere tese.

FASE DI SCARICO

17

ULTIMO STEP (P = 0 )

2.1.3 Confronti Straus7 – soluzione analitica

Ci proponiamo ora di confrontare l’andamento ottenuto dall’analisi numerica (Straus7) con la soluzione analitica studiata precedentemente (vedi Capitolo 2 dell’Elaborato teorico, par. 2.5.3). Guardiamo 4 punti notevoli di cui conosciamo il valore esatto dalla trattazione analitica.

Figura 2.9

SOLUZIONE ANALITICA STRAUS 7

Punto 1 1 +√22

= 1.707 1.715

Punto 2 1 + √2 = 2.414 2.413

Punto 3 −√2

2 + √2= −0.400 -0.414

Punto 4 1

2 + √2= 0.285 0.293

1 2

3

4

Figura 2.8

Tabella 2.2

18

2.2 Trave iperstatica

Figura 2.10


TRAVE IPE 500 L [m] 8 a [m] 3 b [m] 2

P iniziale 1 KN δ iniziale 1 mm My = Mu 500 KNm

La struttura è 1 volta iperstatica per carichi verticali. 2.2.2 Risoluzione

2.2.2.1 Analisi svolta

Facciamo un’analisi non lineare a controllo di spostamenti : definiamo gli incrementi nei “freedom case”. Ci interessa studiare come, all’aumentare della sollecitazione di momento flettente, si formano le 2 cerniere plastiche che portano a collasso la struttura.

In particolare, la prima cerniera plastica si formerà in corrispondenza dell’incastro, trasformando il sistema da iperstatico a isostatico (trave appoggiata). A questo punto la struttura presenta ancora delle risorse plastiche: arriva infatti a collasso quando si forma la seconda cerniera plastica, in corrispondenza del punto B.

Figura 2.12


Figura 2.11

Tabella 2.3

19

Per studiare questo comportamento, dobbiamo definire un legame momento curvatura da assegnare all’elemento di trave. Scegliamo un legame molto semplice, in cui il momento di prima plasticizzazione coincide col momento ultimo della sezione. Il valori di curvatura lo otteniamo mediante la seguente espressione, essendo funzione quindi del momento di plasticizzazione e delle proprietà del sistema (geometria e rigidezza).

휒 =푀퐸퐼

Figura 2.13

2.2.2.2 Risultati

Figura 2.14

Figura 2.15

20

Riportiamo la curva pushover, ottenuta estraendo i dati della forza totale applicata (a partire dalle reazioni vincolari verticali) e dello spostamento verticale del punto B.

In particolare, si possono trovare i valori di spostamento e forza applicata in corrispondenza dei quali si arriva alla formazione della cerniera plastica.

1° cerniera plastica 2° cerniera plastica δy 1 cm 17 cm

P tot = 2 P 336.4 KN 456.3 KN P 168.2 KN 228.1 KN

2.2.3 Confronti Straus7 – teoremi statico e cinematico

Confrontiamo il valore di carico critico ottenuti col teoremo statico e cinematico (vedi Capitolo 2 dell’Elaborato teorico, par. 2.5.4.2 e 2.5.4.3) con il carico ultimo ricavato da Straus7 (in corrispondenza del quale la struttura collassa). Ricordiamo l’espressione valida per i teoremi statico e cinematico.

푃 =푀 퐿 +푀 푎

푎퐿=

500 ∗ 10 + 500 ∗ 33 ∗ 8

= 229.2퐾푁

Straus 7 Teorema Statico Teorema cinematico

P cr 228.1 KN 229.2 KN 229.2 KN

0

100

200

300

400

500

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Ptot

[KN

]

δ y [m]

Curva di pushover

Figura 2.16

Tabella 2.4

Tabella 2.5

21

2.3 Telaio piano incastrato


TRAVE IPE 500 L [m] 12 H [m] 5

Dx _ 1 [m] 4 Dx _ 2 [m] 8

δx iniziale 0.4 mm δy iniziale 0.5 mm

La struttura è 3 volte iperstatica. Ci proponiamo di studiare la formazione di cerniere plastiche nella struttura.


Figura 2.17

Figura 2.18

Tabella 2.6

22

2.3.2 Analisi svolte

2.3.2.1 Flessione

L’analisi più semplice che si può condurre è quella che considera la formazione di cerniere plastiche come se fossimo in presenza di sola flessione. E’ chiaro che non è così , poiché negli elementi sarà presente anche sforzo assiale, ma per adesso studiamo questo caso semplificato. Invece di inserire un legame bilineare (come quello in Figura 2.7) utilizziamo il grafico che deriva da uno studio in Matlab (vedi paragrafo 2.3.2.2), relativamente al caso N = 0, e successivamente ricaviamo la curva pushover (estraendo i dati di carico verticale e spostamento orizzontale).

Mmax 464 KNm duttilità infinita

1° cerniera plastica λ = 82


Figura 2.19

Figura 2.20

Tabella 2.7

23

050

100150200250300350

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Ptot

[KN

]

δ y [m]



Curva di pushover

Figura 2.23

Figura 2.22

Figura 2.21

24

λ δx 1° cerniera plastica 82 31.8 cm 2° cerniera plastica 91 35.4 cm 3° cerniera plastica 103 40.2 cm 4° cerniera plastica 157 61.7 cm

2.3.2.2 Pressoflessione

Adesso invece teniamo conto della presenza di sforzo assiale. Sappiamo che il legame momento – curvatura cambia con la presenza di sforzo assiale: in particolare diminuiscono le risorse plastiche della sezione. Ci aspettiamo quindi che la formazione delle cerniere plastiche avverà prima, ovvero in corrispondenza di uno spostamento minore. Lo sforzo assiale varia ad ogni step dell’analisi. Quale è opportuno considerare quindi ai fini di un’analisi che rispecchi il reale comportamento della struttura? Scegliamo 4 valori di sforzo normale come media degli sforzi nelle due colonne (dell’analisi precedente), pensando di suddividere l’analisi in 4 campi.

N1 70 KN campo elastico N2 140 KN 1° – 2° cerniera plastica N3 145 KN 2° – 3° cerniera plastica N4 155 KN 3° – 4° cerniera plastica

2.3.2.2.1 Calcolo diagrammi M-χ (N)

Implementiamo un programma in Matlab, che ci permette di cogliere la progressiva entrata in campo plastico della sezione (limitandoci all’uso di Excel, avremmo ottenuto soltanto dei diagrammi bilineari).

%Dati% %1) Si definisco i parametri geometrici e maccanici della sezione %Geometria% %IPE 500% b = 200%mm h = 500%mm Sa = 5.6 %mm e = 8.5 %mm A = 116*10^-4 %m^2 E = 200000 %Mpa% %2) Si ricava i valori tenso-deformativi corrispondenti al limite elastico epsy = 1.175*10^-3 chiy = epsy/(h/2)*10^3 %1/m sigy = epsy*E%Mpa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%SVOLGIMENO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 3) Si definisce la forza di compressione presente sulla sezione in esame N1 = 0 %kN sig1 = N1/A*10^-3 %Mpa eps1 = N1/(E*A) %% 4) Creazione matrici: n = [100] %è il numero di fibre in cui si pensa di discretizzare meta della sezione in esame. % si crea un vettore riga dentro al quale andremo ad inserire i risultati

Tabella 2.8

Tabella 2.9

25

% ottenuti dall'integrazione delle sigma, calcolate sulle singole fibre, % effettuata con il metodo dei trapezi. Asig = zeros(1,n) % % si crea un vettore riga dentro al quale andremo ad inserire il prodotto tra la forza concentrata ottenute dall'integrazione delle sigma %ed il braccio che ha tale forza rispetto all'asse neutro M = zeros(1,n)% rappresenta un vettore dove ogni componente è una quota parte del momento globale della sezione t = 200 %numero di incrementi in cui si discretizza la curvatura Mplot = zeros (1,t) % è un vettore riga dove ogni componente è data dalla sommatoria di tutti i momenti calcolati in M chiplot = zeros (1,t) % è un vettore riga dove ogni componente è data dalla discretizzazione della curvatura m = n-1 % 5) I cicli for s = 1 :t % il primo ciclo ha lo scopo di determinare i valori di momento in funzione della discretizzazione della curvatura p = t-s for j = 0:m % Il secondo ciclo ha lo scopo di determnare il valore di momento reagente della sezione data una curvatura % 5.1) Si impone una curvatura costante chi = 0.05*10^-3/p %1/mm % 5.2) Si ricava la tensione dovuta alla sola componente flessionale % della fibra j-esima sigfj = E*chi*h/2*(1-j/n)%Mpa % 5.3) Si ricava la tensione totale della fibra j-esima sigtj = sigfj+sig1%Mpa if sigtj > sigy % Il ciclo if ha lo scopo di determinare se la tensione totale apena ricavata è minore o maggiore a quella di snervamento sigfj = sigy-sig1 end % 5.4) Si ricava la tensione dovuta alla sola componente flessionale % della fibra j-esima+1 sigfj_1 = E*chi*h/2*(1-(j/n+1/n))%Mpa % 5.5) Si ricava la tensione totale della fibra j-esima+1 sigtj_1 = sigfj_1+sig1%Mpa if sigtj_1 > sigy sigfj_1 = sigy-sig1 end % i seguenti cicli if servono per determinare se le generiche fibre % j-esiama e j-esiama+1 sono posizionate sull'ala o sull'anima della trave % in funzione di dove sta la fibra si avrà un trapezio di base b o Sa if h/2*(1-(j/n+1/n)) > (h/2-e) % 5.6) si effettua l'integrazione delle sigma calcolate alla varie % fibre con il metodo dei trapezi e si posizione il risultato di ogni % integrazione in una delle componenti del vettore riga Asig Asig(1,j+1) = (sigfj+sigfj_1)*(h/(2*n))*1/2*b*10^-3 %kN end if h/2*(1-(j/n+1/n)) < (h/2-e) Asig(1,j+1) = (sigfj+sigfj_1)*(h/(2*n))*1/2*Sa*10^-3 %kN end % 5.7 ) si ricava il momento dato da ogni forza concentrata derivante % dall'integrazione delle sigma M (1,j+1) = 2*Asig(1,j+1)*(h/2*(1-j/n)-1/(2*n))*10^-3 %kNm % si determinano le matrici del momento e della curvatura che verranno % plottate Mplot (1,s) = sum(M) chiplot (1,s) = chi end end

26

%%%%%%%%%%%%%%%PLOTTAGGIO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% hold on figure(1) plot(chiplot*10^3,Mplot,'LineWidth',2,'Marker','o','MarkerSize',3,'MarkerFaceColor','b')

A questo punto, lanciamo un’analisi con restart, cambiando il legame M-χ in corrispondenza della formazione di ogni cerniera plastica.

Figura 2.25

050

100150200250300350400450500

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

M [K

Nm

]

χ [1/m]

Momento - curvatura

N = 0

N = 70

N = 140

N = 145

N = 160

Figura 2.24

27

2.3.2.2.2 Risultati

λ δx 1° cerniera plastica 69 26.7 cm 2° cerniera plastica 72 27.9 cm 3° cerniera plastica 78 30.2 cm 4° cerniera plastica 134 52.6 cm



Figura 2.26

Figura 2.27

Tabella 2.10

28

0

50

100

150

200

250

300

350

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Ptot

[KN

]

δ y [m]

Curva di pushover



Figura 2.29

Figura 2.28

Figura 2.30

29

2.3.3 Confronti

Confrontando le curve pushover è evidente che la presenza di sforzo assiale comporta plasticizzazione a un livello inferiore di carico. Il ramo elastico è sostanzialmente lo stesso.

NB. Il gradino che si vede nella curva rossa è dovuto proprio al tipo di modellazione. In corrispondenza di quello step di carico abbiamo inserito il nuovo legame M – χ : leggiamo quindi una discontinuità data dalla scelta di discretizzazione del campo di sforzo assiale N.

0

50

100

150

200

250

300

350

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Ptot

[KN

]

δ y [m] Figura 2.31

Education

CM - elaborato GAI