Embed Size (px)
Citation preview
1
จานว
นจนภ
าพ
จานว
นเชงซอ
น
คาขอ
ง i n
การเท
ากนข
องจานว
นเชงซอ
น การบ
วกลบ
จานว
นเชงซอ
น การค
ณจานวน
เชงซ
อน
ดวยจานวน
จรง
การค
ณจานวน
เชงซ
อน
ดวยจานวน
เชงซ
อน
สงยค
ของจานวน
เชงซ
อน
การห
ารจานว
นเชงซอ
น เอก
ลกษณ
และต
วผกผ
น
ของจานวน
เชงซ
อน
คาสม
บรณข
องจานว
นเชงซอ
น จานว
นเชงซอ
นในร
ปเชงขว
การห
ารากท
n
กราฟ
จานว
นเชงซอ
น
การแกส
มการทผ
ลลพธ
เปนจ
านวน
เชงซ
อน
โจทย
ปญหา
2
จานวนเชงซอน
1. จานวนจนตภาพ (Imaginary Number)
จานวนจนตภาพ คอ จานวนทมลกษณะเปนจานวนจรงลบทอยภายในเครองหมาย
เราใชสญลกษณ i แทน 1− เราสามารถเขยนจานวนจนตภาพตางๆ ไดในรปของ i ดงน เชน
1. 9 9( 1) 9 1 3 1 3i− = − = ⋅ − = − =
2. 16 16( 1) 16 1 4 1 4i− = − = ⋅ − = − =
3. 43 43( 1) 43 1 43i− = − = ⋅ − = เปนตน
2. คาของ ni เมอ n I +∈ เราสามารถหาคา ni ไดดงน
3
เมอ 11n i i= ⇒ =
2
3 2
4 2 2
2 1 1 13 ( 1)4 ( 1)( 1) 1
n in i i i i in i i i
= ⇒ = − − = −
= ⇒ = = − = −
= ⇒ = = − − =
5 4
6 4 2 2
7 4 3 3
8 4 4 4
5 (1)6 (1) 17 (1)8 (1) 1
n i i i i in i i i in i i i i in i i i i
= ⇒ = = =
= ⇒ = = = −
= ⇒ = = = −
= ⇒ = = =
i i i ii i i ii i i i
n หารดวย 4 เหลอเศษ 1 ni i⇒ =
n หารดวย 4 เหลอเศษ 2 1ni⇒ = −
n หารดวย 4 เหลอเศษ 3 ni i⇒ = −
n หารดวย 4 เหลอเศษ 0 1ni⇒ = ตวอยาง เชน
1. 25 ?i = 25 หารดวย 4 เหลอเศษ 1 25i i⇒ = 2. 1003 ?i = 1003 หารดวย 4 เหลอเศษ 3 1003i i⇒ = − 3. 2014 ?i = 2014 หารดวย 4 เหลอเศษ 2 2014 1i⇒ = − 4. 100000 ?i =
100000 หารดวย 4 เหลอเศษ 0 (ลงตว) 100000 1i⇒ = เปนตน
1 2⇒ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
i i i ii i i ii i i i
i i⇒ −1 − 1
n
ni
4
3. จานวนเชงซอน (Complex Number) จานวนเชงซอนประกอบไปดวย 2 สวนคอ
1. สวนจรง คอสวนทเปนจานวนจรง แทนดวยสญลกษณ a โดยท a R∈ 2. สวนจนตภาพ คอสวนทเปนจานวนจนตภาพ แทนดวยสญลกษณ b มความหมายวา bi
โดยท b R∈ และ 1i = − จานวนเชงซอน เปนเซตของจานวนจรงยเนยนกบเซตของจานวนจนตภาพ แทนดวยสญลกษณ z ( , )z a bi a b= + = a คอสวนจรงอาจแทนดวยสญลกษณ Re( )z b คอสวนจรงอาจแทนดวยสญลกษณ Im( )z ขอสงเกต
1. จานวนเชงซอน ( , )z a b a bi= = + ท 0a z bi= ⇒ = เราเรยกจานวนเชงซอน z วา “จานวนจนตภาพแท”
2. จานวนเชงซอน ( , )z a b a bi= = + ท 0b z a= ⇒ = เราเรยกจานวนเชงซอน z วา “จานวนจรง”
ตวอยาง เชน
1. 5 6 5 6 (5, 6)i+ − = + = ⇒ จานวนเชงซอนนม สวนจรงเทากบ 5 และ สวนจนตภาพเทากบ 6
2. 8 8 (0) (8,0)i= + = ⇒ จานวนเชงซอนนม สวนจรงเทากบ 8 และ สวนจนตภาพเทากบ 0
3. 6 0 6 (0, 6)i− = + = ⇒ จานวนเชงซอนนม สวนจรงเทากบ 0 และ สวนจนตภาพเทากบ 6 …… เปนตน
จานวนเชงซอน
สวนจรง สวนจนตภาพ
5
4. การเทากนของจานวนเชงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = + 1 2z z= กตอเมอ a c= และ b d=
( , ) ( , )a b c d = ตวอยาง เชน
1. ให 1 3z x i= + และ 2 5z yi= + จงหา x และ y วธทา
1 2
3 5
z z
x i yi
=
+ = +
5x∴ = และ 3y =
5. การบวกลบจานวนเชงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = + 1 2
1 2
( , ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )
z z a c b d a c b d iz z a c b d a c b d i
+ = + + = + + +− = − − = − + −
ตวอยาง เชน
1. ถา 1 7 5z i= + และ 2 4 10z i= − จงหา 1 2 1 2,z z z z+ − และ 2 1z z− วธทา
เทากน
เทากน
เทากน
เทากน
6
1) …….. 1 2 (7 5 ) (4 10 )z z i i+ = + + −
1 2
1 2
(7 4) (5 10)11 5
z z iz z i+ = + + −
∴ + = −
2) …….. 1 2 (7 5 ) (4 10 )z z i i− = + − −
1 2
1 2
1 2
7 5 4 10(7 4) (5 10)
3 15
z z i iz z i
z z i
− = + − +− = − + +
∴ − = +
3) …….. 2 1 (4 10 ) (7 5 )z z i i− = − − +
2 1
2 1
2 1
4 10 7 5(4 7) ( 10 5)
3 15
z z i iz z i
z z i
− = − − −− = − + − −
∴ − = − −
ขอสงเกต
1 2 2 1( )z z z z− = − −
6. การคณจานวนเชงซอนดวยจานวนจรง
ให ( , )z a b a bi= = + และ k R∈
( , ) ( ) ( )kz ka kb ka kb i= = + ตวอยาง เชน
1. ให 1 4 2z i= − และ 2 1 3z i= + จงหาคาของ 1 23 2z z− วธทา
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3 2 3(4 2 ) 2(1 3 )3 2 (12 6 ) (2 6 )3 2 12 6 2 63 2 (12 2) ( 6 6 )
3 2 10 12
z z i iz z i iz z i iz z i i
z z i
− = − − +− = − − +− = − − −− = − + − −
∴ − = −
7
2. ให 1 22 5 2z z i− = + และ 1 2 3z i= + จงหาคาของ 2z วธทา
1 2
1 2
2 1
2
2
2
2
2
2 5 22 (5 2 )
2 (5 2 )2(2 3 ) (5 2 )(4 6 ) (5 2 )4 6 5 2(4 5) (6 2)
1 4
z z iz i z
z z iz i iz i iz i iz i
z i
− = +− + =
= − += + − += + − += + − −= − + −
∴ = − +
7. การคณจานวนเชงซอนดวยจานวนเชงซอน
ให 1 2( , ) , ( , )z a b a bi z c d c di= = + = = +
1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )z z a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc i⋅ = ⋅ = − + = − + +
หรอ อาจทาการคณแบบพบกนหมดเหมอนกบการคณพหนาม ดงน
1 2
1 22
1 2
1 2
1 2
( )( )( )( ) ( )( )
[ ( ) ] [( ) ( ) ]( ) ( )
( ) ( )
z z a bi c diz z a bi c a bi di
z z ac bc i ad i bd iz z ac bc i ad i bd
z z ac bd ad bc i
= + += + + +
= + + += + + −
∴ = − + +
ตวอยาง เชน
1. จงหาคา (2 )(3 5 )i i+ + วธทา
2
(2 )(3 5 ) (2 )(3) (2 )(5 )(2 )(3 5 ) (6 3 ) (10 5 )(2 )(3 5 ) 6 3 10 5(2 )(3 5 ) (6 5) (3 10) 1 13
i i i i ii i i i ii i i ii i i i
+ + = + + +
+ + = + + ++ + = + + −+ + = − + + = +
8
2. จงหาคา (3 4 )(3 4 )i i+ − วธทา
2 2
2
(3 4 )(3 4 ) 3 (4 )(3 4 )(3 4 ) 9 16(3 4 )(3 4 ) 9 16( 1)(3 4 )(3 4 ) 9 16
(3 4 )(3 4 ) 25
i i ii i ii ii i
i i
+ − = −
+ − = −+ − = − −+ − = +
∴ + − =
3. กาหนด 1 (2, 5)z = − และ 2 ( 1,3)z = − จงหา 1 2 13z z z−
วธทา
1 2 1
1 2 12
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
3 (2 5 )( 1 3 ) 3(2 5 )3 (2 5 )( 1) (2 5 )(3 ) (6 15 )
3 ( 2 5 6 15 ) (6 15 )3 ( 2 11 15) (6 15 )3 13 11 6 15
3 7 26
z z z i i iz z z i i i i
z z z i i i iz z z i iz z z i i
z z z i
− = − − + − −− = − − + − − −
− = − + + − − −− = − + + − −− = + − +
∴ − = +
สมบตของการบวกลบและคณจานวนเชงซอน
ให 1 2,z z และ 3z เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ k R∈
1) 1 2 2 1
1 2 1 2( )z z z zz z z z
+ = +− = + −
2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z+ + = + +
3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )k z z kz z z kz= =
4) 1 2 1 2( )k z z kz kz+ = +
5) 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z= 6) 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z+ = +
จาก….(หนา)2-(หลง)2=(หนา-หลง)(หนา+หลง)
9
แบบฝกหด 1. จงบอกคา Re(z) และ Im(z) ของจานวนเชงซอน z ตอไปน
1.1) 2 3z i= + 1.2) 5 7z i= −
1.3) 1 32 2
z i= +
1.4) 7z = − 1.5) 15z =
10
1.6) 2 3z = − − 1.7) 4 7z i= + 1.8) 2 9z = + − 2. จงหาจานวนจรง a,b ททาใหสมการในแตละขอตอไปนเปนจรง 2.1) 2 3 4 6a bi i− = + 2.2) 2 5 12a b abi i+ − = −
11
2.3) 2 10a bi+ = 2.4) 3 ( ) 2a a b i i+ − = + 2.5) ( )(2 5 ) 3a bi i i+ + = −
12
2.6) (3 4) (2 ) ( 5) ( 3)a a b i b a i+ + + = + + + 2.7) (2 9) (9 2 ) (2 3 ) ( 2 )a a i b a b i+ + − = − + −
13
3. จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน 3.1) 2(4 )i+ 3.2) 2(2 2 )i− 3.3) (3 2 )(2 4 )i i+ + 3.4) ( 2 3 )( 2 3 )i i− +
14
3.5) (2 )(1 3 )( 4)i i i+ + − 4. กาหนดให 1 3 4z i= + และ 2z a bi= + ถา 1 2 1 7z z i= − + จงหา 2z
15
5. จงหาคาของ 2 3 2557...i i i i+ + + + 6. ให 1 22 5 , 4 3z i z i= − = + และ 3 1z i= + จงหาคาของ 6.1) 1 22 4z z− 6.2) 1 2 3( 2 )z z z+ +
16
7. จงแสดงวา 1 2 3 0n n n ni i i i+ + ++ + + = เมอ n I +∈
8. ถา 1 5
2iz − +
= จงหาคาของ 22 2 3z z+ +
17
9. ให 1z และ 2z เปนจานวนเชงซอนใดๆ ถา 1 2 18z z+ = − และ
1 2 14z z i− = แลว 1z มคาเทาใด 10. ถา (3 )( ) 5 3 2i a bi i i− + − = + จงหาคา 15 20a b+
18
8. สงยคของจานวนเชงซอน ให z=a+bi และเปนจานวนเชงซอนใดๆ สงยคของ z เขยนแทนดวยสญลกษณ z มความหมายวา a-bi
[ ] [ ]z a bi z a bi= + → = − ตวอยาง เชน
1. สงยคของ 1 2i+ คอ 1 2i−
2. สงยคของ 1 2i− คอ 1 2i+
3. สงยคของ 3 5i− คอ 3 5i+
4. สงยคของ 3 5i+ คอ 3 5i− …………เปนตน
5. กาหนดให 1 22 4 , 3 5z i z i= + = − จงหา 1 2z z และ 1 2z z วธทา
หา 1 2z z 1) หา 1 2z z
1 2
1 22
1 2
1 2
1 2
1 2
(2 4 )(3 5 )(2 4 )(3) (2 4 )(5 )
(6 12 ) (10 20 )(6 12 ) (10 20)6 12 10 20
26 2
z z i iz z i i i
z z i i iz z i iz z i i
z z i
= + −= + − +
= + − += + − −= + − +
∴ = +
19
2) หา 1 2z z
1 2
1 2
26 2
26 2
z z i
z z i
= +
∴ = −
หา 1 2z z
1) หา 1 2,z z
1
1
2 4
2 4
z i
z i
= +
∴ = −
2
2
3 5
3 5
z i
z i
= −
∴ = +
2) หา 1 2z z
1 2
1 2
21 2
1 2
1 2
(2 4 )(3 5 )
(2 4 )(3) (2 4 )(5 )
(6 12 ) (10 20 )
6 12 10 20
26 2
z z i i
z z i i i
z z i i i
z z i i
z z i
= − +
= − + −
= − + −
= − + +
∴ = −
ขอสงเกต
1 2 1 2z z z z=
สมบตของสงยคของจานวนเชงซอน
ให 1,z z และ 2z เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ k R∈
20
1) z z=
2) 1 2 1 2z z z z± = ±
3) kz k z=
4) 1 2 1 2z z z z=
5) 1 1
22 2
( ) , 0z z zz z
= ≠
9. การหารจานวนเชงซอน
ให 1z a bi= + และ 2z c di= + เราสามารถหาคาของ 1
2
zz ได โดยการ
นาสงยคของ 2 2( )z z มาคณทงเศษและสวน จะทาใหตวสวนกลายเปนจานวนจรง ดงน
12 2
2
( )( ) ( )( )( )( )
z a bi a bi c di a bi c diz c di c di c di c d
+ + − + −= = =
+ + − +
ตวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 3 45
ii
+−
วธทา
2 2
2
3 4 (3 4 )(5 )5 (5 )(5 )
3 4 (3 4 )(5) (3 4 )( )5 5
3 4 (15 20 ) (3 4 )5 25 1
3 4 (15 20 3 4)5 26
i i ii i ii i i ii ii i i iii i ii
+ + +=
− − ++ + + +
=− −
+ + + +=
− ++ + + −
=−
21
3 4 11 235 26
3 4 11 23( )5 26 26
i ii
i ii
+ +=
−+
∴ = +−
2. จงหาคาของ
2511
ii
+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
วธทา
25251 (1 )(1 )1 (1 )(1 )
i i ii i i
⎛ ⎞+ + +⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
25 25
2 2
2525 2
25 25
25 25
2525
25
1 (1 )(1) (1 )( )1 1
1 (1 )1 1 1
1 (1 1)1 2
1 21 2
11
11
i i i ii i
i i i ii
i i ii
i ii
i ii
i ii
+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
+⎛ ⎞∴ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
3. ให 21 2
1 3izi
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ จงหาคา z
วธทา
22
2
2
2
2 2
22
2
2
2
2
1 21 3
(1 2 )(1 3 )(1 3 )(1 3 )
(1 2 )(1) (1 2 )(3 )1 (3 )
(1 2 ) (3 6 )1 9
(1 2 ) (3 6)1 9
1 2 3 610
1 21 3
(1 2 )(1 3 )(1 3 )(1
izi
i izi i
i i izi
i i izi
i iz
i iz
izi
i izi
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
− − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
− −=
+
2
2
2 2
22
2
2
2
2
3 )
(1 2 )(1) (1 2 )(3 )1 (3 )
(1 2 ) (3 6 )1 9
(1 2 ) (3 6)1 9
1 2 3 610
5 510
i
i i izi
i i izi
i iz
i iz
iz
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
− − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
23
2
2
2 2
1 12 2
1 12 2
1 1 1 122 2 2 2
1 1 14 2 4
2
z i
z i
z i i
z i
iz
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + −
∴ =
10.เอกลกษณและตวผกผนของจานวนเชงซอน 10.1 เอกลกษณและตวผกผนของการบวก
ให z a bi= + เปนจานวนเชงซอนใดๆ
1) เอกลกษณของการบวกของ z คอ 0 0 0z z z+ = + =
2) ตวผกผนของการบวกของ z คอ -z
( ) ( ) 0z z z z+ − = − + =
10.2 เอกลกษณและตวผกผนของการคณ ให z a bi= + เปนจานวนเชงซอนใดๆ
1) เอกลกษณของการคณของ z คอ 1
1 1z z z⋅ = ⋅ =
24
2) ตวผกผนของการคณของ z คอ 1 1z
z− =
1 1 1z zz z
⋅ = ⋅ =
วธการหาคาของ 1z
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
1 (1)( )( )( )
1 ( )( )
1
1
z a bia bi
z a bi a bia bi
z a bia bi
z a ba b i
z a b a b
=+
−=
+ −−
=−−
=+
∴ = −+ +
ตวอยาง เชน
1. ให 3 5z i= + จงหาคาของ z− และ 1z
วธทา 1) หาคา z−
3 5(3 5 )
3 5
z iz i
z i
= +− = − +∴ − = − −
2) หาคา 1z
25
2 2
2 2
3 51 1
3 51 (1)(3 5 )
(3 5 )(3 5 )1 3 5
3 (5 )1 3 5
3 51 3 5
341 3 5
34 34
z i
z ii
z i ii
z ii
zi
z
iz
= +
=+
−=
+ −−
=−−
=+
−=
∴ = −
2. ให 1 2 3z i= − และ 1 2 22 1 0z z z+ − = จงหาตวผกผนการคณของ
22
1( )zz
วธทา
1) จาก ……………… 1 2 22 1 0z z z+ − =
1 2 2
1 2
21
21
21
21
12
2 1
( 2) 11
( 2)
1( 2)
12
12
1 2
z z z
z z
zz
zz
zz
zz
zz
+ =
+ =
=+
=+
=+
=+
∴ = +
26
2) หา 2
1z
จาก…………………. 12
1 2zz
= +
2
2
2
1 (2 3 ) 2
1 (2 3 ) 2
1 4 3
iz
iz
iz
= + +
= − +
∴ = −
3. กาหนดให 9 10 11 126...z i i i i= + + + + เมอ 2 1i = − แลว 12z− มคาเทากบเทาใด
วธทา 1) หา z
จาก…………….. 9 10 11 126...z i i i i= + + + +
9 10 11 12 13 14 15 16
121 122 123 124 125 126
( ) ( ) ...)
z i i i i i i i ii i i i i i
= + + + + + + + + +
( + + + + +
( 1 1) ( 1 1) ... ( 1 1) 1
1z i i i i i i i
z i= − − + + − − + + + − − + + −
∴ = − +
2) หา 12z−
27
1
1
1
12 2
1
1
1
22
221(2)( 1 )2
( 1 )( 1 )2 22
( 1)2 221 12 22
22 1
zz
zi
izi i
izi
iz
iz
z i
−
−
−
−
−
−
−
=
=− +
− −=
− + − −− −
=− −
− −=
+− −
=
∴ = − −
11. คาสมบรณของจานวนเชงซอน ให z a bi= + คาสมบรณของ z เขยนแทนดวยสญลกษณ z สามารถหาคาของ z ไดดงน
2 2z a bi a b= + = +
ตวอยาง เชน
1. ให 1 2z i= + จงหา z วธทา
2 2
1 2
1 2
5
z i
z
z
= +
= +
∴ =
2. ให 5z i= จงหา z วธทา
28
2 2
50 5
0 5
25
5
z iz i
z
z
z
== +
= +
=
∴ =
สมบตของคาสมบรณของจานวนเชงซอน
ให 1,z z และ 2z เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ ,k R n I +∈ ∈
1) z z z= − =
2) 2z z z= ⋅
3) kz k z=
4) 1 2 1 2z z z z=
5) 11
2 2
zzz z
= เมอ 2 0z ≠
6)
nnz z= ตวอยาง เชน
1. ให 2 3z i= + จงหาคาของ 8z
วธทา
88
88 2 3
z z
z i
=
= +
29
88
88
8 2 2 8
8 8
8 4
2 3
( 2 3 )
( 13)
13
z z
z i
z
z
z
=
= +
= +
=
∴ =
2. ถา 1 1 3z i= + และ 2 1 3z i= + จงหาคาของ 6 2
1 2z z วธทา
6 2 6 21 2 1 2
6 26 21 2 1 2
266 21 2
6 2 2 2 6 2 2 21 2
6 2 6 21 2
6 2 3 21 2
6 21 2
1 3 1 3
( 1 3 ) ( 1 ( 3) )
( 10) ( 4)
10 2
4,000
z z z z
z z z z
z z i i
z z
z z
z z
z z
=
=
= + +
= + +
=
= ⋅
∴ =
3. จากสมการ 22 3 4
2 1 2i i zi i
+ ++ =
− + จงหาคาของ z
วธทา 1) หา 2z
2
2
2 3 42 1 2(2 )(2 ) (3 4 )(1 2 )(2 )(2 ) (1 2 )(1 2 )
i izi ii i i izi i i i
+ += +
− ++ + + −
= +− + + −
2 3 4 11 2
5 5i iz + −
= +
30
2
2
14 25
14 25 5
iz
z i
+=
∴ = +
2) หา z
จาก…………………2 14 2
5 5z i= +
2
2 2 2
2
2
2
14 25 5
14 2( ) ( )5 5
20025
8
2 2
2 2
z i
z
z
z
z
z
= +
= +
=
=
=
∴ =
4. กาหนดให ,a b R∈ ซง (3 4 )( )( 12 5 ) 2 4i a bi i i+ + − − = − จงหาคา
ของ a bi+ วธทา จาก……………….. (3 4 )( )( 12 5 ) 2 4i a bi i i+ + − − = −
2 2
2 2 2 2
(3 4 )( )( 12 5 ) 2 4
3 4 12 5 2 4
2 43 4 12 5
2 ( 4)
3 4 ( 12) ( 5)
i a bi i i
i a bi i i
ia bi
i i
a bi
+ + − − = −
+ + − − = −
−+ =
+ − −
+ −+ =
+ − + −
31
2025 1692 5
(5)(13)
2 565
a bi
a bi
a bi
+ =
+ =
∴ + =
5. กาหนดให 4(2 3 ) 2
( )i i
x yi+
=+ จงหาคา x yi+
วธทา
จาก……………………..4(2 3 ) 2
( )i i
x yi+
=+
4
4
4
2 2 4
4
2
(2 3 ) 2( )
2 32
2 3
2
( 2 ( 3) )2
( 7 )2
7249224.5
i ix yi
ii
x yi
ix yi
i
x yi
x yi
x yi
x yi
x yi
+=
+
+=
+
++ =
++ =
+ =
+ =
+ =
∴ + =
32
แบบฝกหด
1. กาหนดให 3 1
2 2z i= − จงหาคาของจาเนนเชงซอนตอไปน
1.1) z 1.2) z z 1.3) z z+ 1.4) z z−
33
1.5) 2z 1.6) 2( )z 2. จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน
2.1) 1 65 7
ii
+−
34
2.2) 23
ii
+−
2.3) 3
2
(1 )(1 )
ii
+−
35
2.4) 1 11 1
i ii i
+ −+
− +
2.5) (4 3 )(1 )
1 2i i
i− +
+
36
2.6) 23 (4 5 )
2i ii
−⎛ ⎞ − −⎜ ⎟+⎝ ⎠
2.7) (1 )(2 3 )
4i i
i+ −
+
37
2.8) 1
111 i
++
2.9) 7 1 4( 1) (1 )
3 2ii ii
++ − +
−
38
2.10)
25842
1 i⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
2.11) 3 5 99...i i i i⋅ ⋅ ⋅ ⋅
39
3. จงหาสงยค ( )z ของจานวนเชงซอนตอไปน
3.1) 1 3
(2 )(2 5 )iz
i i−
=+ +
3.2) 6 4 2
(1 ) 4 2 1z
i i i= − +
+ − −
40
3.3) 4 11 ,
1
niz n Ii
+++⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠
3.4) 1
11
1
iz ii
i
= ++
++
41
4. ถา 3 43 4
izi
+=
− จงหาสวนจรงและสวนจนตภาพของ 1zz
+
5. ถา 2 5z i= − จงหาคาของ 13zz
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
42
6. เมอ z เปนจานวนเชงซอนท 6(7 24 )(3 4 ) 1i i z− + = จงหา z
7. จงหาคาของ 30 1932 1i i
i−−
43
8. ให z เปนจานวนเชงซอน จงแสดงวาขอตอไปนเปนจรง
8.1) iz iz= − 8.2) Im( ) Re( )iz z=
44
8.3) Re( ) Im( )iz z= −
9. คาสมบรณของ
2
2 2
( 2 3 )(1 3 ) ( 3 4 )
ii i
++ − − มคาเทากบเทาใด
45
10. กาหนดให 1 2,z z และ 3z เปนจานวนเชงซอน ซงสอดคลอง 1 2 3 1z z z = และ
1 1 31 2 3
1 1 1z z zz z z
+ + = + + พจารณาขอความตอไปนถกหรอไม
10.1) 1 21 2
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )z zz z
− − = − −
46
10.2) ถา 1 1z ≠ แลว 3 3 4z i z i+ − =
11. ให z a bi= + ซง 0b > ถา z สอดคลองกบ
2
2
4 321
64
z z
z
+ −=
− และ
61z z = แลว a b+ มคาเทากบเทาใด
47
12. กราฟของจานวนเชงซอน ในระบบจานวนจรง เราสามารถเขยนกราฟของจานวนจรงไดใน “ระนาบพกดฉาก” แตในระบบจานวนเชงซอน เราตองเขยนกราฟของจานวนเชงซอนใน “ระนาบพกดเชงซอน” ทประกอบไปดวย แกนจรง(แกน x) และแกนจนตภาพ (แกน y) อยางเชน จานวนเชงซอน z a bi= + โดย ,a b R∈ เราสามารถแทนจานวน z ดวยจดบนระนาบพกดเชงซอน ไดดงน
เราสามารถแทนจานวนเชงซอน z a bi= + ดวยเวกเตอรซงมจดเรมตน (0,0) และจดสนสด (a,b)
ความหมายของกราฟของจานวนเชงซอนกรณตางๆ มความหมายดงน
1. ความหมายของ z คอ ขนาดของเวกเตอร z ดงน
( , )a b a bi= + b
a
Y(แกนจนตภาพ)
X(แกนจรง)
z
( , )a bb
a
Y
X
2 2z a b= +
z = ระยะหางจากจด (0,0) ไปยงจด (a,b)
48
2. ความหมายของ -z
3. ความหมายของ z
4. ความหมายของ 1 1( )z
z−
Y
X a
b
b−
a− z a bi= +
z a bi− = − −
Y
X a
b z a bi= +
b− z a bi= −
Y
X a
b z a bi= +
b− z a bi= −1z−
1 1 1zz z
− = =
49
5. ความหมายของ 1z z− เมอ 1 ( , )z c d= และ ( , )z a b=
6. ความหมาย 1 2z z+
7. ความหมาย 1 2z z−
Y
X a
b z a bi= +
c
d 1z z−
1z z− = ระยะหางจากจด (c,d) ไปยงจด (a,b)
Y
X
1z c di= +
1z
2z
1 2z z+
Y
X
1z2z
2z−
1 2z z−
50
ตวอยาง เชน
1. จงพจารณากราฟของ 2z = วธทา
1) ให z a bi= + → z คอ ระยะหางจากจด (0,0) ไปยงจด (a,b) ใดๆ ตองเทากบ 2 หนวย
2) จากความหมายในขอ 1) คอนยามของกราฟวงกลมซงมจดศนยกลางท (0,0) และมรศมเทากบ 2 หนวย ดงกราฟขางลางน
2. จงพจารณากราฟของ 1z i z i− + = +
วธทา
1) เขยน 1z i− + และ z i+ ใหอยในรป 1z z− ดงน
1 (1 )z i z i− + = − − และ ( )z i z i+ = − −
2) กาหนดให z a bi= + วเคราะหกราฟของ 1z i z i− + = +
(1 ) (1, 1)z i z− − = − − ⇒ ระยะหางจากจด (a,b) ไปยงจด (1,-1)
( ) (0, 1)z i z− − = − − ⇒ ระยะหางจากจด (a,b) ไปยงจด (0,-1)
(1 ) ( )z i z i∴ − − = − − ⇒ มความหมายวา เปนกราฟของทางเดนของจด (a,b) ซงหางจากจด (1,-1) และจด (0,-1) เปนระยะทางเทากน ซงคอกราฟเสนตรงทแบงครงและตงฉากกบเสนตรงทเชอมจด (1,-1) กบ (0,-1) ดงน
Y
X
( , )z a b=
(2,0)
(0,2)
( 2,0)−
(0, 2)−
51
หรอ อาจวเคราะหกราฟของ 1z i z i− + = + ไดอกวธหนง ดงน 1) กาหนดให ( , )z x y x yi= = +
2) 1z i z i− + = +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) 0( 1 )( 1 ) 0( 1)(2 1) 02 1 0
12
z i z i
x yi i x yi i
x y i x y i
x y x y
x y x yx xx xx x x x
xx
x
− + = +
+ − + = + +
− + + = + +
− + + = + +
− + + = + +
− =
− − =− − − + =
− − =− =
∴ =
Y
X
• •(1, 1)−
(0, 1)−1( , 1)2
−
•จดกงกลางระหวางจด (0,-1) กบ (1,-1)
1Re( )2
z = ,กราฟเสนตรงของจานวนเชงซอนทมสวนจรงเทากบ12
52
3. จงพจารณากราฟของ 3 4 1z i− + = วธทา
1) เขยน 3 4 (3 4 )z i z i− + = − − 2) (3 4 ) 1 (3, 4) 1z i z− − = ⇒ − − =
มความหมายวา “เปนกราฟของทางเดนของจด (a,b) ซงมระยะหางจากจด (3,-4) เทากบ 1 หนวย” ซงกคอ กราฟวงกลมทมจดศนยกลางทจด (3,-4) และมรศม 1 หนวย ดงน วธท 2 ให ( , )z x y x yi= = +
2 2
2 2
3 4 1
3 4 1
( 3) ( 4) 1
( 3) ( 4) 1
( 3) ( 4) 1
z i
x yi i
x y i
x y
x y
− + =
+ − + =
− + + =
− + + =
∴ − + + =
4. พจารณากราฟของ 2z z z+ =
วธทา
1) แปลงสมการ ……………2z z z+ =
Y
X
( , )z a b=(3, 4)−
•
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (3,-4) และมรศม 1 หนวย
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (3,-4) และมรศม 1 หนวย
53
2
22
2 22
2 22
22
2
2
2
2
2
2
( )
( 1)
( 1)
1
1
1 1
z z z z z
z zz z z
z z z z
z z z z
z z z
z zz
z zz
zz
z
z
+ =
+ =
+ =
= −
= −
= −
= −
= −
∴ − =
จาก 2 1 1z z z z+ = ⇒ − =
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (1,0) และมรศม 1 หนวย
ให z a bi= + , กราฟทางเดนของจด (a,b) ซงมระยะหางจากจด (1,0) เทากบ 1 หนวย
Y
X
( , )z a b=
(1,0)• •
(2,0)
54
วธท 2 กาหนดให ( , )z x y x yi= = +
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
2 ( )
22 0
( 2 1) 0 1( 1) 1
z z z
x yi x yi x yi
x x y
x x yx x yx x y
x y
+ =
+ + − = +
= +
= +
− + =
− + + = +
∴ − + =
5. พจารณากราฟของ 16 4 1z z+ = + วธทา แปลงสมการ……………
16 4 1z z+ = + 2 2
2 2
2
2
2
2
16 (4 1)
16 16 1
( 16)( 16) 16( 1)( 1)
( 16)( 16) 16( 1)( 1)
16 16 16 16( 1)
16 16 16 16 16 16 16
16 16 16
16 16 16
240 1524015
z z
z z
z z z z
z z z z
zz z z zz z z
zz z z zz z z
zz zz
zz zz
zz
zz
+ = +
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
+ + + = + + +
+ + + = + + +
+ = +
− = −
=
=
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (1,0) และมรศม 1 หนวย
55
2
16
16
4
zz
z
z
=
=
∴ =
วธท 2 กาหนดให ( , )z x y x yi= = +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
16 4 1
16 4 1
( 16) 4 ( 1)
( 16) 4 ( 1)
( 16) 16[( 1) ]( 16) 16( 1) 16( 16) 16( 1) 16
z z
x yi x yi
x yi x yi
x y x y
x y x yx y x yx x y y
+ = +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + +
+ − + = −
ให z a bi= + , กราฟทางเดนของจด (a,b) ซงมระยะหางจากจด (0,0) เทากบ 4 หนวย
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (0,0) และมรศม 4 หนวย
Y
X
( , )z a b=
(4,0)
(0,4)
( 4,0)−
(0, 4)−
56
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
( 32 256) (16 32 16) 1532 256 16 32 16 15
15 240 1515 15 240
16
x x x x yx x x x y
x yx yx y
+ + − + + =
+ + − − − =
− + =
+ =
∴ + =
13. จานวนเชงซอนในรปเชงขว(Polar Form) กาหนดให z a bi= + โดยท ,a b R∈ วาดกราฟของ z เราสามารถเขยน z a bi= + ใหอยในรปมม θ ไดดงน จาก z a bi= +
2 2
2 2 2 2
(cos sin )
a bz a b ia b a b
z z iθ θ
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥
+ +⎣ ⎦
= +
เราเรยก θ วา อารกวเมนต(argument) ของ z ตวอยาง เชน
กราฟวงกลมจดศนยกลางทจด (0,0) และมรศม 4 หนวย
( , )z a b a bi= = + b
a
Y
X
2 2z a b= +
θ
จานวนเชงซอนในรปเชงขว(Polar Form)
57
1. จงเขยน 3z i= + ในรปของจานวนเชงซอนเชงขว วธทา
2 2
2 2 2 2
3
3( 3) 1( 3) 1 ( 3) 1
3 122 2
2(cos30 sin 30 )
2(cos sin )6 6
z i
iz
z i
z i
z iπ π
= +
⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
= ° + °
= +
สมบตของจานวนเชงซอนในรปของเชงขว
ให 1 1 2 2(cos sin ), (cos sin )z z i z z iθ θ= + = ∝ + ∝ และ
n R∈ โดยท ,θ ∝ เปนมมใดๆ
1) [ ]1 2 1 2 cos( ) sin( )z z z z iθ θ= + ∝ + + ∝
2) [ ]11
2 2
cos( ) sin( )zz i
z zθ θ= − ∝ + − ∝
3) [ ]1 1 cos( ) sin( )nnz z n i nθ θ= +
4) [ ]1 1 cos( ) sin( )z z iθ θ= − + −
5) [ ]11
1
1 cos( ) sin( )z iz
θ θ− = − + −
58
ตวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 10( 1 )i− + วธทา
1) หา ( 1 )i− + ในรปจานวนเชงซอนเชงขว
[ ]
2 2
2 2 2 2
1( 1 ) ( 1) 1( 1) 1 ( 1) 1
1 1( 1 ) 22 2
( 1 ) 2 cos135 sin135
3 3( 1 ) 2 cos sin4 4
ii
i i
i i
i iπ π
⎡ ⎤−− + = − + +⎢ ⎥
⎢ − + − + ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎛ ⎞− + = +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
− + = ° + °
⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
2) หา 10( 1 )i− + จากสตร [ ]1 1 cos( ) sin( )nnz z n i nθ θ= +
[ ]
10 10
10 5
10
10
10
10
3 3( 1 ) ( 2) cos[(10)( )] sin[(10)( )4 4
30 30( 1 ) 2 cos sin4 4
( 1 ) 32 cos(7 ) sin(7 )2 2
3 3( 1 ) 32 cos sin2 2
( 1 ) 32 0 ( 1)
( 1 ) 32
i i
i i
i i
i i
i i
i i
π π
π π
π ππ π
π π
⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− + = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
− + = + −
∴ − + = −
59
2. จงหาคาของ1003 1( )
2 2i+
วธทา
1) หา 3 1( )
2 2i+ ในรปจานวนเชงซอนเชงขว
3 1( ) (cos30 sin 30 )2 23 1( ) (cos sin )
2 2 6 6
i i
i iπ π
+ = ° + °
+ = +
2) หา 1003 1( )
2 2i+ จากสตร [ ]1 1 cos( ) sin( )nnz z n i nθ θ= +
100
100
100
100
100
3 1( ) cos(100)( ) sin(100)( )2 2 6 6
3 1 100 100( ) cos sin2 2 6 63 1 2 2( ) cos(16 ) sin(16 )
2 2 3 33 1 2 2( ) cos sin
2 2 3 33 1 1 3( ) ( )
2 2 2 2
i i
i i
i i
i i
i i
π π
π π
π ππ π
π π
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
+ = +
+ = + + +
+ = +
−∴ + = +
3. จงหาคาของ6
4
(1 )( 1 )
ii
−− −
วธทา
60
66
6
444
63
6
442
6
4
6
1 1( 2)(1 ) 2 2
( 1 ) 1 1( 2)2 2
2 cos( ) sin( )(1 ) 4 4
( 1 )2 cos sin
4 4
2 cos[(6)( )] sin[(6)( )](1 ) 4 4
( 1 ) cos[(4)( )] sin[(4)( )]4 4
(1 )(
iii
i
iii
i
iii i
i
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎤−⎢ ⎥− ⎣ ⎦=− − ⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦
− −⎡ ⎤+⎢ ⎥− ⎣ ⎦=− − ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
− −⎡ ⎤+⎢ ⎥− ⎣ ⎦=− − ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
−− [ ]
[ ][ ]
4
6
4
6
4
3 32 cos( ) sin( )2 2
1 ) cos sin
2 0(1 )( 1 ) 1
(1 ) 2( 1 )
i
i i
iii
i ii
π π
π π
− −⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦=− +
+−=
− − −
−∴ = −
− −
61
แบบฝกหด 1. จงวาดกราฟของความสมพนธตอไปนในระนาบเชงซอน
1.1) 2 2 3z i− − =
1.2) 1 5 10z z− + + =
62
1.3) 21 0z z z z− + + + =
1.4) Re( ) 2z i− <
63
1.5) 1 2z − <
1.6) 1 2 Re( ) 2z i z+ − = +
64
1.7) 1 3 4z≤ + ≤
1.8) 1 1 4z z+ + − ≤
2. ถา z เปนจานวนเชงซอน ซง 3 4z i= − และ 1 30z − = แลวจงหาคา z
65
3. กาหนดให 1 2,z z และ 3z เปนจานวนเชงซอนซงมสมบตวา
1 2 3 1 2 31, 0z z z z z z= = = + + = และให Re( )z แทนสวนจรงของจานวนเชงซอน z จงพจารณาขอความตอไปนวาถกหรอผด
ก. 1 21Re( )2
z z =
ข. 1 2 3z z− =
66
4. ถา z เปนจานวนเชงซอนจานวนหนงทอยในควอดรนตท 1 บนระนาบเชงซอนม 2 5z = และสวนจนตภาพเทากบ 1 0จงหาอนเวอรสการคณของ z
5. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรปเชงขว
5.1) 2 2 3i− + 5.2) 2 2i− −
67
5.3) 8 3 8i− 5.4) 10i 5.5) -4
5.6) 1 3i+
68
5.7) 4 3i+ 6. จงหาคาของ
6.1) ( )( )6[cos120 sin120 ] 2[cos30 sin 30 ]i i° + ° ° + °
6.2) ( )
( )cos( 60 ) sin( 60 )
cos30 sin150ii
− ° − − °° + °
69
6.3) 20 10( 3 ) (2 3 2 )i i− + +
6.4) 8(1 3 )i+
70
6.5) 10[2(cos sin )]
5 5iπ π
+
7. ถา 1 cos12 sin12z i= ° + ° และ 2 cos16 sin16z i= ° − ° แลว
15
1
2
zz
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ มคาเทาใด
71
8. กาหนดให 1 2,z z เปนจานวนเชงซอนท 1 2 22 1z z z= + และ 6
1 cos sin18 18
z iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ จงหา
12z −
72
9. ถา 1 4(cos145 sin145 )z i= ° + ° และ
2 3(cos115 sin115 )z i= ° + ° แลว คาของ 2
1 2z z− เทากบเทาใด
10. ถา 32 1 3z i= + และ
18
27
z a bii z
= +− เมอ a,b เปนจานวนจรง จงหาคา
a+b เทากบเทาใด
73
14. การหาคารากท n ของจานวนเชงซอน รปแบบของสมการของจานวนเชงซอนทตองใชหลกการหารากท n ตวอยาง เชน
3 6 41 3 , 1, 3z i z z i= + = − = เมอ z เปนจานวนเชงซอน เปนตน กคอ ถาเรา
จะหาคาของ z ททาให 3 1 3z i= + แลว คาของ
13(1 3 )z i= + เราตองนา
1 3i+ มาหารากท 3 ซงสมารถหารากไดโดยใชหลกการในรปของเชงขว คอ
ถา nz a bi= +
เขยนในรปของเชงขวได
( )cos sin ,0 360nz z iθ θ θ= + ≤ ≤ °
กรณท 1………. ( )cos sinnz z iθ θ= +
( )1 1
1
cos sin
cos sin
n n
n
z z i
z z in n
θ θ
θ θ
= +
⎛ ⎞∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
กรณท 2………. ( )cos[360 ] sin[360 ]nz z iθ θ= + + +
( )1 1
1
1
cos[360 ] sin[360 ]
[360 ] [360 ]cos sin
360 360cos[ ] sin[ ]
n n
n
n
z z i
z z in n
z z in n n n
θ θ
θ θ
θ θ
= ° + + ° +
° + ° +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
° °⎛ ⎞∴ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
74
กรณท 3……….
( )cos[360 360 ] sin[360 360 ]nz z iθ θ= ° + ° + + ° + ° +
( )1 1
1
1
cos[360 360 ] sin[360 360 ]
[360 360 ] [360 360 ]cos sin
360 360 360 360cos[ ] sin[ ]
n n
n
n
z z i
z z in n
z z in n n n n n
θ θ
θ θ
θ θ
= ° + ° + + ° + ° +
° + ° + ° + ° +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
° ° ° °⎛ ⎞∴ = + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
i ii ii i
กรณ n……….
( )cos[360 ( 1) ] sin[360 ( 1) ]nz z n i nθ θ= ° − + + ° − +
( )1 1
1
1
1
1
cos[360 ( 1) ] sin[360 ( 1) ]
[360 ( 1) ] [360 ( 1) ]cos sin
360 360cos[360 ] sin[360 ]
360 360cos[360 ] sin[360 ]
3cos[
n n
n
n
n
n
z z n i n
n nz z in n
z z in n n n
z z in n n n
z zn
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
= ° − + + ° − +
° − + ° − +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
° °⎛ ⎞= ° − + + ° − +⎜ ⎟⎝ ⎠
° °⎛ ⎞= ° + − + ° + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ = −60 360] sin[ ]in n n
θ° °⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
ตวอยาง เชน 1. จงหารากท 3 ของ i
วธทา 1) หารากท 3 ตวแรกของ i ใหได
3
n
75
1 13 3
13
13
cos90 sin 90
(cos90 sin 90 )
90 90(cos sin )3 3
(cos30 sin 30 )
z iz i
z i
z i
z i
== ° + °
= ° + °
° °= +
∴ = ° + °
2) เขยนวงกลมแสดงรากทงหมด โดยเรมตนจากรากแรก แลวแบงวงกลมออกเปน 3 สวน
เทาๆกน สวนละ 360 120
3°
= °
3) รากตวท 1 คอ 3 1cos30 sin 30
2 2i i° + ° = +
รากตวท 2 คอ 3 1cos150 sin150
2 2i i° + ° = − +
รากตวท 3 คอ cos 270 sin 270i i° + ° = −
cos30 sin 30i° + ° cos150 sin150i° + °
cos 270 sin 270i° + °
120°
120°120°
76
2. จงหารากท 6 ของ 4 4 3i+ วธทา
1) หารากท 6 ตวแรกของ 4 4 3i+ ใหได
1 1 16 6 6
16
16
4 4 3
1 38( )2 2
8(cos 60 sin 60 )
8 (cos 60 sin 60 )
60 602(cos sin )6 6
2(cos10 sin10 )
z i
z i
z i
z i
z i
z i
= +
= +
= ° + °
= ° + °
° °= +
∴ = ° + °
2) เขยนวงกลมแสดงรากทงหมด โดยเรมตนจากรากแรก แลวแบงวงกลมออกเปน 6 สวน
เทาๆกน สวนละ 360 60
6°
= °
2(cos70 sin 70 )i° + °
60°60°60°
60°60°60°
2(cos10 sin10 )i° + °
2(cos130 sin130 )i° + °
2(cos190 sin190 )i° + °
2(cos 250 sin 250 )i° + °2(cos310 sin 310 )i° + °
77
3) รากตวท 1 คอ 2(cos10 sin10 )i° + °
รากตวท 2 คอ 2(cos70 sin 70 )i° + °
รากตวท 3 คอ 2(cos130 sin130 )i° + °
รากตวท 4 คอ 2(cos190 sin190 )i° + °
รากตวท 5 คอ 2(cos 250 sin 250 )i° + °
รากตวท 6 คอ 2(cos310 sin 310 )i° + °
15. การแกสมการทมผลลพธเปนจานวนเชงซอน 15.1 สมการพหนามทมกาลงเปน 2
สมการอยในรปแบบ 2 0, , ,az bz c a b c R+ + = ∈ และ z เปนจานวน
เชงซอน คาตอบของสมการหรอรากของสมการจะอยในรปแบบดงน คอ
2 4 , 02
b b acz aa
− ± −= ≠
ตวอยาง เชน
1. จงหารากของสมการ 2 1 0z z+ + =
วธทา 2
2
42
1 1 4(1)(1)2(1)
1 1 42
1 321 3
2 2
b b acza
z
z
z
z i
− ± −=
− ± −=
− ± −=
− ± −=
−∴ = ±
78
ขอสงเกต
ในสมการ 2 0, , ,az bz c a b c R+ + = ∈ ถ า m ni+ เปนคาตอบหนงของ
สมการแลว คาตอบอกคาตอบหนงคอ m ni− นนคอ รากของสมการทงสองจะเปนคสงยคกน
2. สมการ 2 4 0z kz+ + = มคาตอบของสมการหนงเปน 3 i+ และ k R∈
จงหาคาของ k เทากบเทาใด วธทา
1) คาตอบของรากสมการจะเปนคสงยคกน เพราะฉะนนรากของสมการทงสองคอ
3 i+ และ 3 i−
2) ไดวา ……….. ( ( 3 ))( ( 3 )) 0z i z i− + − − =
2
22 2
2
( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 ) 0
3 3 ( 3 1 ) 0
2 3 4 0
2 3
z i z i z i i
z z zi z zi
z z
k
− + − − + + − =
− − − + + + =
− + =
∴ = −
15.2 สมการพหนามทมกาลงมากกวา 2
เชน สมการพหนามกาลง 3 หรอ กาลง 4 เปนตน มหลกในการหารากของสมการทมคาตอบเปนจานวนเชงซอนดงน
1) สมการพหนามทมกาลงเปนจานวนค และสมประสทธเปนจานวนจรง สมการจะมรากของสมการอยางนอย 1 คาทเปนจานวนจรง
2) สมการพหนามทมกาลงเปนจานวนค และสมประสทธเปนจานวนจรง ถาสมการมรากของสมการคาหนงเปน a+bi แลว a-bi จะเปนอกคาตอบของสมการเสมอ
3) สมการพหนามทมกาลงเปนจานวนค และสมประสทธเปนจานวนจรง สมการอาจจะไมมรากของสมการทเปนจานวนจรงเลยกได
4) สมการพหนามทมกาลงเปนจานวนค และสมประสทธเปนจานวนจรง ถาสมการมรากของสมการคาหนงเปน a+bi แลว a-bi จะเปนอกคาตอบของสมการเสมอ
5) สมการพหนามทมกาลง n สมการจะมคาตอบของรากของสมการไดมากทสด n ตว 6) ใชการหารสงเคราะหมาหารากทเปนจานวนจรงของสมการพหนามกาลงมากกวา 2
79
ตวอยาง เชน
1. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3 24 6 4 0x x x+ + + =
วธทา -2 1 , 4 , 6 , 4 1 , -2 , -4 , -4 1 , 2 , 2 , 0
3 2
2
4 6 4 0( 2)( 2 2) 0x x xx x x
+ + + =
+ + + =
แกสมการ 2 2 2 0x x+ + =
22 2 4(1)(2)2(1)
2 4 82
2 42
1
x
x
x
x i
− ± −=
− ± −=
− ± −=
∴ = − ±
∴รากของสมการคอ 2, 1 , 1i i− − + − −
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3 22 3 6 0x x x− + − =
วธทา 2 1 , -2 , 3 , -6 1 , 2 , 0 , 6 1 , 0 , 3 , 0
80
3 2
2
2 3 6 0( 2)( 3) 0
( 2)( 3 )( 3 ) 0
x x xx x
x x i x i
− + − =
− + =
− − + =
∴รากของสมการคอ 2,3 , 3i i−
3. จงหาสมการพหนามดกร 3 ทมสมประสทธเปนจานวนเตม ม 7 และ 2 i− เปนคาตอบ วธทา คาตอบของสมการพหนามนม 7,2 , 2i i+ −
จะได ……………..
2
3 2 2
3 2
( 7)[ (2 )][ (2 )] 0( 7)[ 4 5] 0
4 5 7 28 35 011 33 35 0
x x i x ix x x
x x x x xx x x
− − + − − =
− − + =
− + − + − =
∴ − + − =
แบบฝกหด 1. จงหารากของจานวนเชงซอนตอไปน
1.1) รากท 3 ของ -27
81
1.2) รากท 5 ของ -32
1.3) รากท 3 ของ 2 2 3i− +
82
1.4) รากท 3 ของ 1 i− − 1.5) รากท 6 ของ -1
83
1.6) รากท 2 ของ 7 24i− −
2. ถา 1 2,z z เปนรากของสมการ 3( 2 3) 8z i− = − ซงมขนาดเปนจานวนเตมแลว
1 2z z+ เทากบเทาใด
84
3. ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 14 0z i− = และ B เปนเซตคาตอบของสมการ
22 0z i− = แลวจานวนสมาชกของเซต A B∩ เทากบเทาใด 4. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอน ถา 1 3i− + เปนรากท 5 ของ z แลว จงหารากท 2
ของ z
85
5. จงแกสมการตอไปน
5.1) 4 23 5 0z z+ + = 5.2) 6 32 4 0z z− + = 5.3) 4 26 40 0z z− − =
86
5.4) 3 24 6 4 0z z x+ + + = 5.5) 3 22 4 3 0z z x− + − =
87
5.6) 5 4 3 28 24 26 17 42 0z z z z x+ + + − − = 5.7) 5 5( 3)z z+ =
88
6. ถา 3 394 4
i+ เปนคาตอบหนงของ 2 3 0ax x c− + = โดยท a และ c เปน
จานวนจรงแลว เศษทเหลอจากการหาร 2 3ax x c− + ดวย 2x + เทากบเทาใด
7. กาหนดให 1 2,z z และ 3z เปนรากคาตอบของสมการ 3(1 ) 2i z− = โดยท
1 2 3, ,z z z อยในควอดรนตท 1,2,3 ตามลาดบ จงหา 2
1 3 2z z z+
89
8. จงหาสมการพหนามดกร 4, P(x)=0 ทมสมประสทธเปนจานวนจรงและม 5,-2 และ3 i− เปนคาตอบ โดย P(1)=-30
9. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบ
3 22 2 0z z z− + = และ
0z ≠ ถาอารกวเมนตของ z อยในชวง 0,2π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ แลว จงหา
4
2
zz
90
10. ถา 1x i− + เปนตวประกอบของพหนาม 3 2( ) 4P x x ax x b= + + + เมอ
a และ b เปนจานวนจรง แลวจงหาคาของ 2 2a b+
11. จงหารากทงหมดของสมการ 2 (2 3 ) 1 3 0x i x i+ + − + =
