Compunerea oscilatiilor perpendiculare

ELEVI:BREBAN ALEXANDRU

CRACIUNESCU DRAGOŞCLASA 11 B

PROF. STANESCU RAMONA

Compunerea oscilaţiilor perpendiculare cu aceeasi frecvenţă

• În această lucrare se utilizează metoda compunerii a două mişcări oscilatorii armonice de aceeaşi pulsaţie, dar care se efectuează pe două direcţii perpendiculare, Δ1, Δ2. Elongaţia mişcării oscilatorii a unui punct material M care se deplasează după direcţia Δ1, în jurul punctului fix O, este dată de ecuaţia(1):

)sin( 1 tAx

• Dacă facem ca simultan dreapta Δ1 să execute ea însăşi o mişcare oscilatorie armonică, de aceeaşi pulsaţie ω, dar după direcţia Δ2, perpendiculară pe Δ1 şi tot în jurul punctului O, atunci la acelaşi moment t, elongaţia acestei mişcări va fi(2):

• În relaţiile (1)si (2) mărimile (x, y), (A, B), (ω, φ1, φ 2) reprezintă respectiv elongaţiile, amplitudinile, pulsaţia şi fazele iniţiale, iar între cele două mişcări există în general o diferenţă de fază:

)sin( 2 tBy 1221 )()( tt

Compunerea celor două oscilaţii va da o mişcare rezultantă a punctului material; forma traiectoriei se află prin eliminarea timpului din relaţiile (1) şi (2)

Și se obţine ecuaţia(5):

În mod similar, înmulţim ecuaţiile sistemului (4) respectiv prin sinφ2, sinφ1 şi facem diferenţa. Se găseşte(6):

Prin ridicarea la pătrat a ecuaţiilor (5) şi (6) şi adunarea membru cu membru, rezultă(7):

122

211

cossincoscossin

cossincoscossin

ttB

y

ttA

x

)sin(coscoscos 1212 tB

y

A

x

)sin(sinsinsin 1212 tB

y

A

x

)(sin)cos(2

122

122

2

2

2

BA

xy

B

y

A

x

• Astfel, traiectoria mişcării rezultante, descrisă de ecuaţia (7), reprezintă ,în cazul general, o elipsă înscrisă în dreptunghiul de laturi 2A şi 2B.

• Pentru diferite valori ale diferenţei de fază δφ, traiectoria mişcării rezultante poate fi o dreaptă sau poate trece în elipse cu axe şi excentricităţi diferite.

CAZUL 1:

Pentru, k = 0,1,2…, ecuaţia (7) devine(8):

Deci traiectoria este o dreaptă care trece prin originea sistemului de coordonate, fiind diagonala dreptunghiului de laturi 2A, 2B din cadranele I şi III.

Considerând k = 0, deci φ1=φ 2 =φ, din relaţiile (1) şi (2) se găseşte elongaţia mişcării rezultante:

OM²=x²+y²=(A²+B²)sin²(ωt+φ)OM=sin(ωt+φ)(9)

Din acest rezultat trebuie să reţinem că mişcarea punctului M este de asemeni o mişcare oscilatorie, de aceeaşi pulsaţie cu cea a mişcărilor componente.

xB

Ay

B

y

A

x ,0

CAZUL 2:

• Pentru, k=0,1,2,…, mişcarea este oscilatorie ca şi în cazul precedent , efectuată după dreapta de ecuaţie: reprezentând diagonala ce trece prin cadranele II şi IV.

CAZUL 3:

Pentru cazul

Mişcările componente sunt în cvadratură de fază(10):

În conformitate cu ecuaţia (7), mişcarea rezultantă are ca traiectorie o elipsă raportată la semiaxele A şi B:

După ecuaţiile (10), mişcarea se efectuează în sens orar.

Dacă semiaxele sunt egale A=B, mişcarea are loc pe un cerc de ecuaţie: x²+y² =A² (12)

212

)cos()2

sin(),sin( 111 tBtBytAx

12

2

2

2

B

y

A

x

CAZUL 4:

Pentru cazul

Din ecuaţia mişcării componente:

Rezultă pentru traiectorie tot o elipsă sau un cerc, date de relaţiile (11) şi (12), sensul de parcurs fiindcel antiorar.

Traiectoria mişcării rezultante şi sensul de parcurgere, când mişcările se efectuează pe direcţiiperpendiculare, iar defazajulvariază între 0 şi 2π sunt redate în figură.

2

312

)cos()23sin(

);sin(

11

1

tBtBy

tAx

12

• Din figurile din dreapta respectiv din ecuaţiile ce descriu figurile observăm că dacă: • Δ ф =0, obţinem o dreaptă cu panta pozitivă; • 0<Δ ф <-90, obţinem o elipsă cu orientarea opusă

faţă de sensul acelor de ceasornic ; • Δ ф =-90, obţinem un cerc cu orientarea opusă faţă

de sensul acelor de ceasornic ;• -90<Δ ф <-180, obţinem o elipsă cu orientarea

opusă faţă de sensul acelor de ceasornic; • Δ ф =-180, obţinem o dreaptă cu panta negativă ;• -180<Δф <-270, obţinem o elipsă cu orientarea

acelor de ceasornic; • Δ ф =-270, obţinem un cerc cu orientarea acelor de

ceasornic ;• -270<Δф<-360, obţinem o elipsă cu orientarea

acelor de ceasornic ;

Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de frecvenţe diferite

• Identificand uy = b sin(np+ j) = +b sinj si y(x = 0) = +d,rezulta:

• Un rationament analog conduce la rezultatul:

• Dacă se consideră că defazajul este inclus în oscilaţia orizontală.

• Dacă şi frecvenţele oscilaţiilor care se compun sunt diferite, traiectoriile obţinute, au o forma complicată, în funcţie de raportul frecvenţelor şi de diferenţa de fază.

• Dacă raportul frecvenţelor nu este un număr raţional, curba care descrie traiectoria acoperă treptat întreaga arie.

Metoda figurilor Lissajous • Metoda figurilor Lissajous este cea mai frecventă metodă de măsurare a

frecvenţelor prin comparaţie. Această metodă a fost inventată de către fizicianul francez Jules Lissajous , metodă care constă în compunerea a două oscilaţii sinusodiale ale căror direcţii sunt perpendiculare. El a constatat că dacă raportul frecvenţelor celor două oscilatii este un număr raţional , m si n fiind numere întregi, se obţin figuri a căror formă depinde de raportul frecvenţelor celor două oscilaţii şi de defazajul dintre ele.

Bibliografie

1. newton.phys.uaic.ro/data/pdf/Osc_Unde.pdf

2. Manual de Fizică clasa a 11-a (F1)

3. en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve