ConectandoNo Mundo das Potências

Professora: Maria Cláudia

Hoje o computador faz parte do cotidiano de grande parte das pessoas. Por diferentes vias o computador está entrando na vida das pessoas, principalmente na dos jovens.A história dos computadores está associado à invenção de máquinas de fazer cálculos. Os ábacos, as máquinas manuais de calcular e as máquinas perfuradoras de cartões podem ser consideradas os primeiros computadores construídos pelo homem.O precursor dos computadores atuais foi constituído em 1946, nos Estados Unidos e não se pode negar as transformações vertiginosas se compararmos com os computadores disponíveis nos dias de hoje.Em poucos mais de 50 anos, a palavra informática foi incorporada ao vocabulário cotidiano.E começou-se a falar em bits, bytes, megabytes, gigabytes. Novos hábitos começaram a fazer parte das pessoas, novos conceitos e novas medidas passaram a ser usadas.

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Um bit, dois sinais

O bit é a base para medir a capacidade de uma máquina de guardar informação. É a menor unidade que se utiliza para medir quanta informação um computador pode armazenar.O bit também á chamado dígito binário. Dígito é sinônimo de algarismo e binário indica dois. Um bit pode ser representado por dois símbolos, como por exemplo 0 ou 1. Tudo o que é armazenado num computador resulta da combinação dos dois sinais de um bit.Com um bit, temos duas combinações, que podem ser representadas por 0 e 1. Já com dois bit, temos quatro combinações, que podem ser representadas por: 00; 01; 11 e 10.Para visualizar as combinações possíveis com um, dois, três ou mais bits, pode-se contar com um recurso gráfico conhecido como “árvore de possibilidades”:

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Para um bit são duas possibilidades 0

1 bit 1

Para dois bits são quatro possibilidades 00

001

2 bits10

111

Para três bits são oito possibilidades

000 00 001

0 010

01 011

3 bits 100

10 101

1 110

11 111

ÁRVORE DE POSSIBILIDADES

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Observando-se as “árvores de possibilidades”, nota-se que, a cada bit acrescentado, dobra o número de possibilidades, em relação à situação anterior. Assim, podemos imaginar que com quatro bits haverá 16 combinações diferentes, com cinco bits 32 combinações diferentes, e assim por diante.

Cada byte é uma combinação de 8 bits. Cada byte representa um caractere, ou seja, uma letra, um algarismo, um sinal, um espaço em branco. Quando digita um sinal qualquer no teclado do computador, esse movimento faz com que se ocupe um byte na memória da máquina. Por exemplo, a palavra amor tem quatro letras, ela ocupa quatro bytes de memória. O número 123 ocupa três bytes.Pensando nas diferentes combinações que se podem fazer, é possível imaginar uma razoável quantidade de expressões (formadas por “zeros” e “uns”) que são utilizadas para representar letras, sinais, símbolos, espaço em branco no computador, como as cinco representadas a seguir:

00000000 00000001 00000010 00000011 00000100

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No mundo das potênciasPara expressar a relação entre bits e bytes, pode-se recorrer e a um outro conhecimento matemático: A POTÊNCIA.

Podem ser encontradas todas as combinações possíveis para formar um byte construindo uma ‘árvore de possibilidades”. Entretanto, com oito bits, um desenho desse tipo ficaria muito grande. Sendo assim, é útil encontrar uma outra forma de obter essas combinações.O número de combinações possíveis com oito bits pode ser indicado usando-se um potência.

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Bits Número de combinações possíveis

1 2¹ = 2

2 2² = 2 x 2 = 4

3 2³ = 2 x 2 x 2 = 8

4 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

5 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

6 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

7 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

8 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

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Com essas 256 combinações, podem ser representadas praticamente todas as letras do alfabeto, os algarismos do sistema decimal, os acentos, os pontos, os parênteses, os espaços e todos os outros símbolos que podem ser digitados no teclado.A potência é um resultado da potenciação. A potenciação também é operação numérica, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Ao mesmo tempo, é uma forma abreviada de escrever números.Para compreender o que é a operação potenciação, podemos analisar uma situação com a qual muita gente já se defrontou. Trata-se das “correntes” de simpatias, que são também transmitidas pela internet.

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Marcela, que trabalha como secretária, recebeu pela internet uma corrente, que deveria ser enviada para três pessoas.Ela resolveu participar e logo enviou a mensagem para Gisele, Géssica e Maria. Três dias depois a corrente já estava enorme.

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Pela contagem dos elementos representados na árvore, pode-se saber que são 40 participantes: Marcela no primeiro elo da “corrente”, Gisele, Géssica e Maria no segundo, mais 9 no terceiro, mais 27 no quarto:

1 + 3 + 9 + 27 = 40

O número de possibilidades e a escrita matemática correpondente podem ser acompanhados passo a passo no quadro a seguir que mostra as quatro primeiras etapas da corrente.

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Participantes Possibilidades (escrita matemática)

Marcela 1

Marcela, Gisele, Géssica e Maria 1 + 3 = 4

Marcela, Gisele, Géssica, Maria e mais 3 amigas de cada uma destas 3 amigas.

1 + 3 + (3 x 3) = 13

Marcela, Gisele, Géssica, Maria e mais 3 amigas de cada uma das 3 e mais 3 amigas de cada uma das 9 participantes formam o terceiro dia da corrente.

1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3) = 40

Assim segue a árvore de possibilidades, de tal modo que, se houver uma próxima etapa nessa seqüência, pode-se concluir que ela será representada por:

1 + 3 + (3 x 3) + (3 x 3 x 3) + (3 x 3 x 3 x 3) = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

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Marcela, Gisele, Géssica e Maria, mais 3 amigas de Marcela, mais 3 amigas de cada uma das participantes do terceiro elo da corrente, mais 3 amigas de cada uma das participantes do quarto elo da corrente. Para simplificar o registro, utiliza-se a representação sob a forma de potência.

11 + 3 = 41 + 3 + 3² = 131 + 3 + 3² + 3³ = 401 + 3 + 3² + 3³ + 34 = 121

As próximas escritas desta seqüência seriam:

1 + 3 + 3² + 3³ + 34 + 35 = 3641 + 3 + 3² + 3³ + 34 + 35 + 36 = 1.093

Observando esses registros, é possível notar que a representação de números em forma de potência é uma maneira econômica para registrar números muito grandes.

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Uma potência pode ser considerada como um produto de fatores iguais, desde que o expoente seja um número inteiro, positivo ou negativo, e seja diferente de 1 e de 0. ela pode ser aplicada quando:

Existe uma multiplicação;Os fatores dessa multiplicação são iguais.

Por exemplo, 25 é uma potência. Lê-se ‘dois elevado à quinta potência’ e

significa: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32Nesse exemplo, o número 2 é chamado base e o número 5 expoente da potência. O número 32 é uma potência de base 2 e expoente 5.Acompanhe como é feita a leitura das potências:3² - “três ao quadrado” ou “três elevado à segunda potência”3³ - “três ao cubo” ou “três elevado à terceira potência”34 - “três à quarta” ou “três elevado à quarta potência”

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Existem potências especiais para as quais os matemáticos também criaram regras especiais. É o caso das potências com expoentes zero e um.Observe as informações que aparecem na tabela a seguir:

:3 :3 :3 :3 :3

Para análise das informações que aparecem nesta tabela, pode-se identificar o símbolo 3¹ com 3 e o símbolo 30 com 1. também se pode dizer que:

todo número elevado ao expoente 1 é igual e ele mesmo; eTodo número elevado ao expoente zero é igual a 1.

35 34 3³ 3² 3¹ 30

243 81 27 9 3 1

OBJETIVOS

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Desenvolver o raciocínio combinatório.

Analisar e resolver problemas de contagem

Reconhecer a potenciação como uma nova operação

Observar a potenciação no sistema posicional decimal (base 10) e no sistema posicional binário (base 2).

OBJETIVOS A SEREM AVALIADOS

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Identificar potência com expoente inteiro positivo maior que 1 como Produto reiterado de fatores iguais.

Identificar a base e o expoente de uma potência.

Compreender o significado da potência de expoente um, de expoente nulo e de expoente negativo.

Utilizar o conceito de potenciação na resolução de problemas de contagem.

Efetuar cálculos mentais e escritos envolvendo a potenciação.

Usar a calculadora para verificar resultados.

Utilizar a potenciação para representar e comparar números.

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OBRIGADA