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GT 19 – Educação Matemática

CONHECIMENTOS DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA SOBRE O USO DO

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM EM SITUAÇÕES

COMBINATÓRIAS1

Ana Paula Barbosa de Lima (UFPE)

INTRODUÇÃO

O ensino dos conteúdos da Análise Combinatória são recomendados desde os anos

iniciais do Ensino Fundamental pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL,

1997) e, a partir de então, é sugerido um ensino gradual no qual estes conteúdos serão

tratados de uma forma mais construtiva até a formalização de seus conceitos no Ensino

Médio.Para os anos finais do Ensino Fundamental, os PCN (BRASIL, 1998), recomendam

que os problemas combinatórios devem ser apresentados com números maiores do que os

apresentados nos anos iniciais, dessa maneira, acredita-se que os estudantes irão perceber o

princípio multiplicativo que está implícito nas questões apresentadas. As Orientações

Educacionais Complementares aos PCN do Ensino Médio (BRASIL, 2002) e o Programa

Nacional do Livro Didático (PNLD), para o Ensino Médio, (BRASIL, 2011), recomendam

um ensino que não foque apenas no uso da fórmula para resolução destes problemas e que

elas sejam consequência do raciocínio desenvolvido pelos alunos e tenham a função de

simplificar cálculos quando os dados apresentados forem demasiadamente grandes.

1 Trata-se de um estudo de Mestrado, em andamento, sob a orientação da Profa. Dra. Rute Elizabete de SouzaRosa Borba - UFPE.

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Sobre o desenvolvimento deste raciocínio, Borba (2010) recomenda que os

professores aproveitem as estratégias espontâneas desenvolvidas pelos estudantes - como

desenhos, diagramas, listagens e operações aritméticas - e, gradativamente, sejam

desenvolvidos os procedimentos formais para a resolução destes problemas.

Dessa forma, acredita-se que um trabalho envolvendo o PFC como estratégia de

ensino para problemas combinatórios seja um processo válido e que a partir dele

O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC), ou princípio multiplicativo, é

enunciado, segundo Lima (2006), como, “Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos e,

qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos, então o número de

maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq”. O princípio pode

ser ampliado para outras decisões, como D3, D4, D5 e assim por diante.

OPrincípio Fundamental da Contagem (PFC), pode ser aplicado a distintas situações

combinatórias – como produtos cartesianos, arranjos, combinações e permutações e pode

servir de base para a construção de procedimentos formais da Análise Combinatória, pois,

como afirmam Pessoa e Borba (2009), o PFC é entendido como um princípio implícito na

resolução de todos os tipos de problemas combinatórios.

No exemplo, a seguir, apresentamos um problema de combinação, no qual é possível

observar a aplicação do PFC em sua resolução.

Se um técnico fosse escolher, dentre 12 atletas, cinco para comporem a equipe titular

de um time de basquete, usando o PFC se teria: para a escolha do primeiro componente 12

possibilidades de escolha, ou seja, qualquer um dos 12 atletas; para a escolha do segundo

componente haveria 11 possibilidades de escolha, já que um atleta já foi escolhido; 10

possibilidades para a escolha do terceiro atleta; 9 possibilidades para a escolha do quarto

atleta e 8 possibilidades para a escolha do quinto e último componente da equipe. Nesse caso,

além dessa aplicação do PFC, seria necessário aplicá-lo outra vez, dividindo o resultado

obtido pelo produto 12 x 11 x 10 x 9 x 8 pela permutação dos cinco elementos escolhidos

entre si, pois um time composto por André, Beto, Carlos, Daniel e Ênio, por exemplo, é

idêntico ao time composto por Beto, Carlos, Daniel, Ênio e André. A permutação dos cinco

elementos, semelhantemente ao exemplo anterior, poderia ser obtido pelo produto 5 x 4 x 3 x

2 x 1, e o resultado final seria dado por: × × × ×× × × ×

.

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Borba e Braz (2012) estudaram problemas combinatórios condicionais e observaram

que o PFC é uma estratégia válida para as situações propostas. O uso direto de fórmulas nem

sempre é útil quando o problema apresenta condições de escolha (implícita ou explícita), de

ordenação, de posicionamento e/ou de proximidade de elementos.No Quadro 01,

apresentamos exemplos de problemas combinatórios e como os mesmos podem ser resolvidos

com a aplicação do PFC.

Quadro 01 - Representação de situações combinatórias através do PFC.TIPO PROBLEMAS REPRESENTAÇÃO USANDO O PFC

PC

Joaquim foi à livraria comprar seu material escolar.

Para montar seu kit a livraria lhe ofereceu: 3 modelos

de caderno, 4 modelos de lápis, 8 modelos de

borracha e 2 modelos de caneta azul. De quantas

formas diferentes Joaquim pode montar seu kit?

3 x 4 x 8 x 2

caderno x lápis x borracha x caneta

AR

Na final do campeonato de judô, 5 meninas estão

disputando os 3 primeiros lugares do torneio. De

quantas formas diferentes podemos ter os três

primeiros colocados?

5 x 4 x 3

1º lugar x 2º lugar x 3º lugar

PER De quantos modos distintos 5 pessoas podem se

posicionar em um banco de 5 lugares?

5 x 4 x 3 x 2 x 1

1º lugar x 2º x 3º x 4º x 5º

CO

M

Um técnico tem que escolher, dentre 12 atletas, 5

para compor a equipe titular de um time de basquete.

Qual o total de possibilidades que o técnico tem para

montar sua equipe?1º atleta x 2º x 3º x 4º x 5º

Permutação de 5

AR

-C

Ana, Julia, Marcos, Pedro e Laís estão participando

de uma corrida. De quantos modos diferentes

podemos ter os 3 primeiros colocados se Julia sempre

chegar em primeiro lugar?

1 x 4 x 3

1º lugar x 2º lugar x 3º lugar

CO

M-C

Marta precisa escolher entre seus 8 amigos (Tiago,

Simone, Daniele, Jéssica, Pedro, Amanda, Rafael e

Felipe), 4 para ir ao cinema com ela. De quantas

formas diferentes Marta pode escolher esses três

amigos desde que Jéssica sempre esteja entre os

escolhidos?

1º amigo x 2º x 3º x 4º

Permutação de 4

PC = Produto Cartesiano; AR = Arranjo; PER = Permutação; COM = Combinação; AR – C = ArranjoCondicional; COM – C = Combinação Condicional.

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É preciso, entretanto, que professores tenham conhecimento de como o PFC pode ser

utilizado para a resolução de distintas situações combinatórias e como este princípio é base

das fórmulas.

TIPOS DE CONHECIMENTOS DOCENTES SEGUNDO BALL, THAMES E

PHELPS (2008)

Ball, Thames e Phelps (2008), ao investigarem as demandas para a pratica de ensino

da Matemática, buscaram identificar os conhecimentos matemáticos a partir do trabalho dos

professores em sala de aula.A partir das categorias: conhecimento do conteúdo (em inglês:

content knowledge) e conhecimento pedagógico do conteúdo (em inglês: pedagogical content

knowledge) de Shulman (1987), estes autores identificaram e definiram domínios de

conhecimento matemático para o ensino em cada uma dessas categorias.

Para a categoria de conhecimento do conteúdo, os domínios definidos foram:

conhecimento comum do conteúdo (em inglês: common content knowledge), que é definida

como o tipo de conhecimento matemático e a habilidade usada para o professor ensinar,

porém não é um conhecimento usado exclusivamente para o ensino; conhecimento

especializado do conteúdo (em inglês: specialized content knowledge), que é o conhecimento

matemático e uma habilidade voltada para se ensinar e que, possivelmente, não será

necessário para qualquer outra área de conhecimento. Outro domínio incluído nesta categoria

foi o que Ball, Thames e Phelps (2008) chamaram de conhecimento horizontal do conteúdo

(em inglês: horizon content knowledge), quando o professor tem a consciência de que existe

uma relação entre os conteúdos matemáticos, e também a previsão de conteúdos futuros para

aprofundamento dos conteúdos que estão sendo trabalhados.

Na categoria conhecimento pedagógico do conteúdo, os domínios definidos foram: o

conhecimento do conteúdo e alunos (em inglês: knowledge of content and students), que é o

domínio que combina o conhecimento sobre os alunos e o conhecimento sobre a Matemática;

conhecimento do conteúdo e seu ensino (em inglês: knowledge of content and teaching), que é

o domínio que combina conhecimentos sobre ensino e conhecimentos sobre a

Matemática.Ball, Thames e Phelps (2008) incluíram a terceira categoria de Shulman,

conhecimento do conteúdo e currículo (em inglês: knowledge of content and curriculum)

dentro da categoria conhecimento pedagógico do conteúdo. Este é definido como o domínio

especial dos materiais e programas que servem como ferramentas de trabalho para o

professor.

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A partir destes domínios, apresentamos exemplos aplicados ao ensino de

Combinatória. São eles:

Conhecimento da Combinatória;

· Conhecimento comum da Combinatória - por exemplo, conhecimento do princípio

fundamental da contagemna resolução de problemas combinatórios;

· Conhecimento especializado da Combinatória - por exemplo, conhecimento das

características dos diferentes tipos de problemas combinatórios: arranjo, combinação,

permutação e produto cartesiano e como o PFC se aplica a cada tipo;

· Conhecimento horizontal da Combinatória - por exemplo, conhecimento do nível de

dificuldade de situações combinatórias e como podem ser abordadas nos diferentes

níveis de ensino (de desenhos e listagens ao PFC e fórmulas.

Conhecimento Pedagógico da Combinatória;

· Conhecimento da Combinatória e aluno – por exemplo, quando o professor reconhece

as dificuldades dos alunos diante da aplicação do PFC a diferentes situações

combinatórias;

· Conhecimento da Combinatória e ensino – por exemplo, identificação de diferentes

estratégias (desenhos, listagens ... PFC, fórmulas) usadas na resolução de diferentes

tipos de problemas;

· Conhecimento da Combinatória e currículo – por exemplo, conhecimento dos

Parâmetros Curriculares, projetos político-pedagógicos e quadro curriculares e as

recomendações destes referentes ao PFC.

OBJETIVOS

A partir do que foi exposto, temos como objetivo geral investigar o conhecimento

dos professores sobre como o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) pode ser utilizado

na resolução de problemas combinatórios.

Como objetivos específicos têm-se: analisar de que modo o professor reconhece o

PFC como estratégia para a resolução de problemas combinatórios; investigar como o

professor avalia resoluções de alunos de problemas combinatórios (usando ou não o PFC); e

sondar se o professor utiliza, ou não, o PFC na construção das fórmulas usadas na

Combinatória.

Estes objetivos tentam responder as seguintes questões:

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· Que conhecimentos os professores de Matemática mobilizam, durante o ensino, sobre

como o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) pode ser utilizado na resolução

dos diferentes tipos de problemas combinatórios?

· Os professores relacionam o PFC com os procedimentos formais da Combinatória e a

partir dele constroem as fórmulas usadas nos diferentes tipos problemas?

MÉTODO

Foram realizadas entrevistas semiestruturadas com três professores de formação em

Matemática de escolas públicas (do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental e do Ensino Médio),

que estavam lecionando Matemática nos últimos cinco anos e que tinham no mínimo cinco

anos de experiência. Estas foram as condições de seleção, por acreditar-se que os participantes

já teriam uma base formada na prática de ensino. A entrevista foi dividida em três fases com

objetivos distintos. As respectivas fases estão descritas a seguir.

A primeira fase da entrevista teve como objetivo identificar a formação inicial e

continuada, e também a experiência profissional, dos professores. Os questionamentos feitos,

para conseguir estas informações, foram os seguintes:

1. Você fez algum curso de pós-graduação? Se sim, qual?

2. Há quanto tempo leciona?

3. Leciona em quais redes de ensino?

4. Há quanto tempo leciona no atual nível de ensino?

5. Você estudou Combinatória em seu curso de graduação? Se sim, este estudo lhe

auxilia no seu ensino em sala de aula?

As fases seguintes foram elaboradas visando identificar os tipos de conhecimentos

propostos por Ball,Thames e Phelps (2008).

Na segunda fase foi investigado o conhecimento que os professores têm sobre o

Princípio Fundamental da Contagem (PFC) como estratégia para resolução de problemas e

também seus conhecimentos sobre os tipos de problemas combinatórios. Para esta fase foram

apresentados quatro protocolos2 com justificativas de alunos em resposta a problemas

combinatórios com foco no PFC. Vale ressaltar que as respostas indicadas pelos alunos

estavam todas incorretas. Assim, foi possível identificar, de maneira indireta, se os

2 Protocolos retirados de Pontes e Evangelista (2012) e Assis e Azevedo (2012), pesquisas apresentadas, nosemestre 2012.2, na disciplina Tópicos em Educação Matemática (do Programa de Pós-Graduação em EducaçãoMatemática e Tecnológica - EDUMATEC, UFPE.

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professores sabem diferenciar os tipos de problemas combinatórios e, também, seus

conhecimentos sobre o PFC. Os protocolos usados nesta fase do estudo piloto são

apresentados nas Figuras 01, 02, 03 e 04.

Figura 01 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de arranjo.

Fonte: Pontes e Evangelista (2012).

Figura 02 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema de arranjo.

Fonte:Azevedo e Assis(2012).

Figura 03 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema depermutação.

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Fonte: Azevedo e Assis (2012).

Figura 04 - Exemplo de justificativa incorreta quanto ao uso do PFC na resolução de um problema decombinação.

Fonte: Pontes e Evangelista (2012).

Esta fase da entrevista foi dividida em dois momentos. No primeiro deles, os

problemas foram apresentados individualmente e eram feitos alguns questionamentos aos

professores. As perguntas eram as seguintes:

1. Que tipo de problema é este?

2. Este tipo de problema pode ser trabalhado a partir de que ano?

Na primeira questão pretendemos investigar o conhecimento especializado do

conteúdo, que é o tipo de conhecimento exclusivo para o ensino. A segunda objetivava o

conhecimento do conteúdo e currículo, que é o domínio dos materiais e programas de ensino

que servem como ferramentas para o trabalho do professor.

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No segundo momento os problemas eram distribuídos lado a lado e feitos os

seguintes questionamentos:

1. Em qual bloco de conteúdos estes problemas estão inseridos?

2. No que estes problemas se assemelham e no que se diferenciam?

3. Os estudantes estão corretos em suas respostas e justificativas?

§ Se correto, por quê?

§ Se incorreto, qual das alternativas é mais adequada para este tipo de

problema?

§ Se incorreto, qual a dificuldade você acha que o aluno apresentou na

compreensão deste problema?

4. Como você auxiliaria o aluno a compreender este problema?

A primeira questão tinha como objetivo investigar o conhecimento do conteúdo e

currículo; a segunda questão objetivava verificar o conhecimento especializado do conteúdo;

na terceira questão foi investigado o conhecimento do conteúdo e alunos, que é o domínio que

combina o conhecimento do aluno e do conteúdo matemático; a quarta, e última questão desta

fase, foi sondado o conhecimento do conteúdo e ensino, que é o domínio que combina

conhecimentos sobre o ensino e sobre a Matemática.

Na terceira e última fase deste estudo piloto foi feita uma investigação sobre os

procedimentos formais da Combinatória e sua relação com o PFC. Nesta fase foram

apresentados problemas combinatórios retirados da tese de Pessoa (2009) e do trabalho de

Assis e Azevedo (2012), sem a indicação do tipo de problema, seguidos pela fórmula

matemática de cada tipo de problema e pela resolução do aluno utilizando como estratégia o

PFC de maneira correta. Seguem os problemas utilizados.

Problema 01 - Produto Cartesiano

Para a festa de São João da escola, tem 3 meninos (Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria,

Luiza, Clara e Beatriz) que querem dançar quadrilha. Se todos os meninos dançarem com

todas as meninas, quantos pares diferentes poderão ser formados?

Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.Fonte: Pessoa (2009).

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Problema 02 - Arranjo

As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França,

Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros

colocados?

Problema 03 - Permutação

Na prateleira do meu quarto, desejo colocar fotos dos meus 5 artistas favoritos. Sabendo que

posso organizaras fotos de diferentes maneiras, uma ao lado da outra, qual alternativa abaixo

indica a operação necessáriapara obter o total de possibilidades?

Problemas 04 - Combinação

Na seleção brasileira de Basquete, o técnico convocou 12 atletas. Sabendo que poderão ser

formadosdiferentes grupos com 5 desses jogadores que irão compor a equipe titular, qual

alternativa abaixo indica aoperação necessária para obter o total de possibilidades?

Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.Fonte: Pessoa (2009).

Exemplo de Estratégia usando o PFC.Fonte Assis e Azevedo (2012).

Exemplo de fórmula Matemática.

Exemplo de fórmula Matemática. Exemplo de Estratégia usando o PFC.Fonte Assis e Azevedo (2012)

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Num primeiro momento dessa fase da entrevista, os problemas, com suas respectivas

estratégias, foram apresentados individualmente seguidos do questionamento:

Existe alguma relação entre as soluções matemáticas e as resoluções dos alunos? Se sim,

qual?

Com essa questão procuramos identificar o conhecimento horizontal do conteúdo

que se trata do professor ter consciência da relação entre os conteúdos matemáticos e uma

previsão de como os conteúdos serão tratados futuramente com o avançar dos anos de

escolarização. Aqui o professor terá que apontar se existe relação entre a fórmula Matemática

e o uso do PFC como estratégia de resolução.

No segundo momento dessa fase, os problemas foram agrupados lado a lado e feitos

outros questionamentos ao professor.

1. Qual a estratégia utilizada por estes alunos?

2. Ela se aplica a todos os tipos de problemas combinatórios?

3. Como esta estratégia se relaciona com as fórmulas?

4. Como se poderiam construir junto com os alunos as fórmulas da Combinatória?

Os tipos de conhecimento que objetivamos neste momento são respectivamente:

conhecimento do conteúdo e aluno; conhecimento especializado do conteúdo; conhecimento

horizontal do conteúdo; e conhecimento do conteúdo e ensino.

Os resultados preliminares deste estudo serão apresentados na próxima seção.

Deseja-se, a partir do proposto, colaborar para o levantamento de conhecimentos

docentes e práticas de ensino, em particular da Combinatória, e, assim, trazer contribuições

para o ensino de Matemática na Educação Básica. De modo mais específico, deseja-se trazer

contribuições referentes ao papel do Princípio Fundamental da Contagem como eficiente

estratégia de ensino da Combinatória, por possibilitar a resolução de diferentes tipos de

problemas combinatórios.

RESULTADOS PRELIMINARES

Mostra-se aqui resultados preliminares da entrevista feita com um dos professores

entrevistados, ao qual chamaremos de P1. Procurou-se intercalar algumas resposta obtidas

com os tipos de conhecimento propostos por Ball, Thames e Phelps (2008). O Professor P1

possui licenciatura em Matemática, atua a sete anos em turmas do Ensino Fundamental e

Médio.

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Sobre os tipos de conhecimento identificados durante a entrevista, quanto ao

conhecimento especializado do conteúdo e conhecimento do conteúdo e aluno, oProfessor P1,

de modo geral, consegue reconhecer e diferenciar os tipos de problemas combinatórios e

perceber a aplicação do PFC através das respostas dos alunos, como apresentado no Quadro

02. Neste quadro, 0 (zero) representa resposta incorreta ou incompleta do professor e 1 (um)

representa resposta correta.

Quadro 02 - Reconhecimento e diferenciação dos tipos de problemas combinatórios através de respostas dealunos

PC Ar Per Com

TermoAplicação

do PFCTermo

Aplicação

do PFCTermo

Aplicação

do PFCTermo

Aplicação

do PFC

P

11* 1 1 0 0** 1 1 1

* Diz que é um problema de Contagem;**Diz que é um problema de Princípio Fundamental da Contagem.

Como observado, apenas nos problemas do tipo produto cartesiano o Professor P1 o

nomeia como sendo um problema de contagem. Acreditamos que isso se deva ao fato dos

livros didáticos não classificarem este tipo de problema como sendo do tipo produto

cartesiano.

Sobre o conhecimento do conteúdo e aluno, o professor P1, de modo geral, consegue

identificar as dificuldades que os alunos apresentam na resolução dos problemas. Uma

dificuldade citada peloProfessor P1é a de que os alunos não compreenderam os conceitos

envolvidos nos problemas apresentados.

Quanto ao conhecimento do conteúdo e ensino, o Professor P1 sugere, o uso do

Princípio Fundamental da Contagem como forma de ajudar os estudantes com dificuldade na

aprendizagem de problemas combinatórios e que este ensino seja feito de forma gradual, com

problemas envolvendo grandezas e etapas menores para depois fazer uma generalização. Em

relação à construção das fórmulas, o professor P1 afirma que usa exemplos simples para

resolver problemas de arranjo e permutação, por exemplo, e que a partir desses exemplos faz

a dedução das fórmulas utilizadas no ensino de Combinatória, mas quando questionando

sobre de que maneira isso é feito o Professor P1 não consegue explicar como se dá este

processo.

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Com relação ao conhecimento do conteúdo e currículo, o Professores P1 aponta que

todos os tipos de problemas apresentados podem ser trabalhados desde os anos finais do

Ensino Fundamental. Porém, disse que se estes problemas não forem trabalhados durante o

Ensino Fundamental, podem ser trabalhados, sem prejuízo para os alunos, apenas no Ensino

Médio. O Professor p1 não soube classificar este grupo de problemas dentro do bloco de

conteúdos tratamento da informação conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL, 1997; 1998) e no bloco análise de dados de acordo com as Orientações

Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

(BRASIL, 2002). Percebe-se, aqui, uma falta de conhecimento sobre documentos curriculares

que orientam os professores e os documentos que regularizam o ensino de Matemática nas

escolas.

Sobre o conhecimento horizontal do conteúdo, o Professor P1 disse não haver

relação entre as duas estratégias de resolução, afirmando que o aluno conhecia o tipo de

problema apresentado e aplicou a fórmula para se chegar ao resultado.

CONCLUSÕES

Diante das análises apresentadas, percebe-se que o professor tem conhecimento dos

tipos de problemas apresentados e também consegue apontar dúvidas que os alunos tiveram e

até mesmo possíveis soluções.

Apesar de sugerir o uso do Princípio Fundamental da Contagem como uma forma de

ajudar os alunos na superação de dificuldades, não fica claro que ele o considera como uma

estratégia válida para a resolução de todos os tipos de problemas combinatórios.

De modo geral, o professor não considera os problemas combinatórios importantes

durante o Ensino Fundamental, apesar de reconhecer que estes tipos de problemas podem ser

trabalhados desde o Ensino Fundamental, afirma que os estudantes não seriam prejudicados se

sua inserção ocorresse apenas durante o Ensino Médio.

Faz-se necessário uma análise mais detalhada da entrevista deste professor à luz dos

conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008) para que se encontre, se possível,

mais elementos que nos mostrem quais conhecimentos sobre o PFC este professor mobiliza

para justificar suas respostas.

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REFERÊNCIAS

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