23
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА МАРИУПОЛЬСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ, УКРАИНА, МАРИУПОЛЬ материал к учебному проекту по математике, 1 курс Руководитель: преподаватель высшей математики Колобродова Инна Владиленовна

Conic section

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Conic section

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

МАРИУПОЛЬСКИЙМАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

КОЛЛЕДЖ, УКРАИНА, МАРИУПОЛЬ

материал к учебному проекту по

математике, 1 курсРуководитель:

преподаватель высшей математики

Колобродова Инна Владиленовна

Page 2: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТКООРДИНАТ

За двести лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготушироту и долготу.

За двести лет до нашей эры греческий ученый Гиппарх ввёл географические координаты. Он предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготушироту и долготу.

Page 3: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТКООРДИНАТ

В XIV веке французский математик Никола Орсем (1323-1382)предложил широту называть абсциссой, а долготу - ординатой. На этом нововведении возник метод координат.

Page 4: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КООРДИНАТКООРДИНАТ

XVII век – век создания высшей математики. Развитие мореплавания и связанное с ним, дальнейшее развитие астрономии способствовали зарождению новых математических идей и методов. Основная заслуга в создании современной математики и метода координат принадлежит Рене Декарту (1596 - 1650), тоже французу.

Page 5: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Коническим сечением называется кривая, которая получается в результате пересечения круговой конической поверхности с плоскостью, не проходящей через вершину.

Коническим сечениям уделялось много внимания античными математиками.

Page 6: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Аполлоний Пергский(262-190 до н.э)древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида. Его главный труд "Конические сечения". В отличие от своих предшественников, Аполлоний представил параболу, гиперболу и эллипс как произвольные плоские сечения произвольного конуса.

Page 7: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Декарт обнаружил,что известные конические сечения-это то же самое, что кривые второго порядка. Главное достижение Декарта — построение аналитическойгеометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат.

Page 8: Conic section

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Создание аналитической геометрии позволило анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции.

Page 9: Conic section

2 2 2x y R

уравнение окружности

Окружностью называется геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых, до данной точки, называемой центром окружности одинаково.О – центр окружностиR – радиус окружности

Page 10: Conic section

Эллипсом называетсялиния, состоящая из всех таких точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и то же значение, большее чем F1F2. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

Page 11: Conic section

F1,F2 – фокусыО – центр a – большая полуосьb – малая полуось2с – фокусное расстояние

{

2 2

2 21

Каноническое уравнение

эллипса

x ya b

эксцентриситет

1ca

Page 12: Conic section

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

Пусть в одном из фокусов эллипса, например в фокусе F1, помещен источник света. Тогда любой луч света, вышедший из фокуса F1, отразившись в какой-то точке М от эллипса, проходит через фокус F2.

Page 13: Conic section

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. a – действительная полуосьb – мнимая полуось

22

2

2 2

22 21 1

уравнения гиперболы

илx ya b

ya b

иx

1ca

эксцентриситет

F1,F2 – фокусы2с – фокусное расстояние

Page 14: Conic section

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

Если источник света находится в одном из фокусовгиперболы, например в фокусе F2, то луч света, вышедший из фокуса F2, отразившись в какой-то точке М от гиперболы, распространяется далее вдоль луча F1M, то есть так, как если бы луч света исходил из фокуса F1 и распространялся без помех.

Page 15: Conic section

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА

Угол между касательными к гиперболе и к эллипсу, проведенными через точку пересечения гиперболы и эллипса является прямым.

Page 16: Conic section

Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.F – фокусl – директриса О – вершина

2 2

уравнение пар лы

y

або

px

Page 17: Conic section

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

Любой луч света, исходящий из фокуса, после отражения от параболы становится параллельным оси параболы.Если источник света помещен в фокусе параболы, то фронт отраженной от параболы волны представляет собой отрезок, соединяющий две точки параболы и параллельный её директрисе, то есть, парабола распрямляет круговой фронт падающей волны и делает его прямолинейным.

Page 18: Conic section

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Астроиды

Циклоида

Лемниската Бернулли

Page 19: Conic section

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ПОСТРОЕННЫЕ В СРЕДЕ MATHCAD

Строфоида

Циссоида Диокла

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

f x( )

g x( )

x

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 2 4 6 8 10r ( )

Page 20: Conic section

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ПОСТРОЕННЫЕ В СРЕДЕ MATHCAD

Декартов лист

Верзьера Аньези

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 2 4 6 8 10r ( )

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

f x( )

x

Page 21: Conic section

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ПОСТРОЕННЫЕ В СРЕДЕ MATHCAD

Конхоида Никомеда

Кардиоида

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 2 4 6 8 10r ( )

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 2 4 6 8 10r ( )

Page 22: Conic section

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ПОСТРОЕННЫЕ В СРЕДЕ MATHCAD

Гиперболическая спираль

Четырехлепестковая роза

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.20.40.60.8r ( )

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0 0.5 1 1.5 2r ( )

Page 23: Conic section

Список использованной литературы

• В.Т. Лисичкин. Математика. – М.: «Высшая школа», 1991.• Большая математическая энциклопедия. – М.: «ОЛМА ПРЕСС»,2005

Список использованных Интернет-ресурсов

• http://www2.norwalk-city.k12.oh.us/wordpress/precalc0910/• http://commons.wikimedia.org