CONJUNTO DOS NÚMEROS

COMPLEXOS PROFESSORA ROSÂNIA

Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi

marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que era excepcional cientista, mas que também era violento, traidor, invejoso e outras qualificações

não muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade e

também ensinou maneiras de trapacear nos jogos. Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna,

publicada na Alemanha em 1545, que na época era o maior compendio algébrico existente.

Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em comum com Cardano a nacionalidade

italiana e o talento matemático. Nascido em Brescia em 1500, na infância, pobre, foi gravemente ferido por golpes de sabre e, por causa deste

incidente, com com profunda cicatriz na boca que lhe provocou um permanente defeito na fala. Da ter

sido apelidado de Tartaglia, que significa gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras

mas o que o colocou definitivamente nos anais da Matemática foram suas disputas com Cardano.

Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³ + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua

descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solução e tentou ganhar

notoriedade com ela. Na época eram comuns os desafios entre

sábios.

Como Tartaglia era um nome que começava a se destacar nos meios culturais da época, Fior propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar

de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo

que Fior conhecia a solução das equações acima citadas, não só deduziu a resolução para este caso,

como também resolveu as equações do tipo x³ + px² + q = 0. O resultado deste desafio foi que

Fior saiu humilhado.

Nesta época Cardano, ao saber que Tartaglia achara a solução geral

da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro.

Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Cardano acusou-o

de mesquinho e egoísta, e não desistiu. Apos muitas conversas e suplicas este, jurando não divulgar

tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solução. Conforme qualquer um poderia

prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a formula de

Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justica a Tartaglia: sua

formula e ate hoje conhecida como “Formula de Cardano."

Professora Rosânia

PARA COMPREENDER VAMOS RELEMBRAR OS TIPOS DE CONJUNTOS

N

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ....}

Z IN

(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}

(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}

Q Q Z N

(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}

(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}

(racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas.

Q Q Z N

(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}

(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}

(racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas.

I

(irracionais) I = {não podem ser escritos na forma de

fração} ∏, 𝟐 , 𝟕𝟑

Q

Z N

I

Reais (R) = são todos os números exceto as raízes quadradas nos números negativos

Q

Z N

I

Complexos (C) = são todos os reais além das raízes quadradas nos números negativos.

NÚMEROS COMPLEXOS-NÚMEROS IMAGINÁRIOS

• Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo

• então i . i = - 1, isto é, i² = - 1 .

Professora Rosânia

UNIDADE IMAGINÁRIA ( i )

−𝟏 = i i² = -1

convenção

a = parte real b = parte imaginária

FORMA ALGÉBRICA Z = a + bi

a = 0 e b ≠ 0 .......... imaginário puro b = 0 ....................... real puro

Professora Rosânia

z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4

z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:

z = - 3 + 5i Re(z) = -3 Im(z) = 5

z = -5 + 10i Re(z) = -5 Im(z) = 10

z = 1/2 + (1/3)i Re(z) = 1/2 Im(z) = 1/3

Professora Rosânia

As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor

que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente:

Quando a e b forem diferentes de zero dizemos

que o número complexo é imaginário: z = 2 + 5i

Professora Rosânia

Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo

é imaginário puro: z = 0 + 2i

z = 2i

Professora Rosânia

Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o

número complexo será real. z = 5 – 0i

z = 5

Professora Rosânia

Tornar um complexo real ou imaginário puro

Z = (x – 3) + (x² - 25)i

REAL – TORNAR A PARTE IMAGINÁRIA NULA (x² - 25) = 0

IMAGINÁRIO – TORNAR A PARTE REAL NULA

x – 3 = 0

CASO 1 A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de

ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas

pode ser resolvida dentro do conjunto dos

números Complexos, da seguinte forma:

x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)

x² = –81

x = ±√–81 Temos x = ±9i

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EQUAÇÕES EM C

CASO 2

2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)

a = 2, b = -16, c = 50 ∆ = b² - 4ac

∆ = (-16)² - 4 . 2 . 50 ∆ = 256 – 400

∆ = -144

Temos (±12i)² = 144i² = 144.(-1) = -144.

x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i

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EQUAÇÕES EM C

x² + 2x + 10 = 0 −𝟐 ± 𝟐𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟎

𝟐. 𝟏

−𝟐 ± 𝟒 − 𝟒𝟎

𝟐.

−𝟐 ± − 𝟑𝟔

𝟐

−𝟐 ± 𝟔 𝒊

𝟐=

x’ = - 1 + 3i

x’’ = - 1 – 3i

−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Potências de i

i2 = -1

i3 = i2 . i = -1 . i = -i

i0 = 1

i1 = i

i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1

i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i

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𝒊𝒏 = 𝒊𝒓

Então, para simplificar

Ex: i26

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𝒊𝒏 = 𝒊𝒓

26 4

6 2

i² = -1

IGUALDADE DE COMPLEXOS

Z1 = (a + 1) + 3i e Z2 = 4 + ( 2- b)i

Real = Real Imaginária = Imaginária

a + 1 = 4 2 – b = 3 a = 4 – 1 - b = 3 - 2 a = 3 - b = 1 b = -1

Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Professora Rosânia

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Adição

Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes

reais e as partes imaginárias

Professora Rosânia

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i

Exemplos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

Na prática temos:

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Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes

reais e as partes imaginárias

Professora Rosânia

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i

EXEMPLOS

NA PRATICA TEMOS:

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Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números complexos como multiplicamos

binômios, usando i2 = - 1

Exemplos

6 – 8i + 9i – 12i2

6 + i – 12 . (-1) =

= 6 + i + 12

= 18 + i

Professora Rosânia

O conjugado e a divisão

Professora Rosânia

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente na forma a + bi:

multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do

denominador

Professora Rosânia

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Exemplo:

BONS ESTUDOS!