PUNTI DI CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’

INDICE

Punti di continuità Punti di discontinuitàPunti di continuità ma non derivabilità di una funzione

PUNTI DI CONTINUITA’

Data la funzione y=f(x) e considerato un punto x0 appartenente al suo dominio diremo che f(x) è continua in x0 se

PUNTI DI DISCONTINUITA’ una funzione discontinua in un punto quando non

sussistono le condizioni di continuità e possono verificarsi tre tipi di discontinuità:

Discontinuità di prima specieDiscontinuità di seconda specieDiscontinuità di terza specie

Data la funzione y=f(x) definita in dom {(-∞; c) U (c; +∞)} avremo in x=c una discontinuità di prima specie se nell’intorno di c esistono e sono finiti, ma diversi fra loro, i seguenti limiti:

Se

h≠k

P (c; f(c))

Esempio di discontinuità di prima specie:

Dominio:2x-2≠0 dom:{(-∞;1)U(1;+∞)}x≠1

Punto di discontinuità di prima specie

Seconda specie (asintoto verticale)

se almeno uno dei due limiti ( e )o non esiste o è infinito

x=c discontinuità di seconda specie

Esempio discontinuità di seconda specie

dominio x+2≠0

x≠-2 Dom={(-∞;-2)U(-2; +∞)}

x=-2 punto di discontinuità di seconda specie

Terza specieSe il limite destro e sinistro per x tendente a c esiste finito

ma in c la funzione o non esiste o ha un valore diverso dal limite

f(c) non esiste o f(c) ≠ h

(c; f(c)) discontinuità di terza specie

Esempio discontinuità di Terza specie

Dominio x≠0x≠2 Dom={(-∞;0)U(0;2)U(2;+∞)}

x=0 Punto di discontinuità di seconda specie

P ( ) punto di discontinuità di terza specie

PUNTI DI CONTINUITA’ MA NON DERIVABILITA’ DI UNA FUNZIONE.

Data la funzione y= f(x) conDom {( -∞; + ∞)}Calcolo: y=f’(x)Ipotizzo che il dominio della derivata sia:Dom*={(- ∞; c) U (c; + ∞)}In x=c la funzione è continua ma non derivabile

perché c appartiene al dominio della funzione ma non a quello della sua derivata.

Calcolo i limiti nell’intorno del punto c di continuità ma non derivabilità se ottengo:

1.

con h≠k alloraP(c; f(c)) punto angoloso

Se, invece, dovessi ottenere 2.

essendo gli infiniti concordi avremo:

+∞ → +∞ flesso a tangente verticale crescente

-∞ → - ∞ flesso a tangente verticale decrescente

(c; f(x)) flesso a tangente verticale

Se, infine, si verificasse la seguente situazione3.

essendo gli infiniti discordi avremo

+∞ → -∞ cuspide con vertice in alto

-∞ → + ∞ cuspide con vertice in basso

(c; f(c)) cuspide

Presentazione a cura di :Elisabetta Accornero

Ermira AlijaEmanuela Ilardo

Sara MagagliniNoemi Carluccio