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Sistemas de Numeración El estudio de las computadoras y del procesamiento de datos requiere algún conocimiento de los sistemas numéricos, ya que estos constituyen la base de todas las operaciones de una computadora. Los sistemas numéricos difieren en cuanto a la disposición y al tipo de los símbolos que utilizan. Se analizarán los sistemas: Decimal Binario Hexadecimal 1 Unidad 2: Representación de la Información

Conversión de sistemas numéricos

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Conversión de números a binario, decimal y Hexadecimal

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Page 1: Conversión de sistemas numéricos

Sistemas de Numeración

El estudio de las computadoras y del procesamiento de datos requiere algún conocimiento de los sistemas numéricos, ya que estos constituyen la base de todas las operaciones de una computadora.

Los sistemas numéricos difieren en cuanto a la disposición y al tipo de los símbolos que utilizan.

Se analizarán los sistemas:DecimalBinarioHexadecimal

1Unidad 2: Representación de la Información

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Representación posicional de los númerosUn sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos.

Así todo número se expresa por un conjunto de cifras, contribuyendo cada una de ellas con un valor que depende de:

La cifra en sí “valor absoluto” La posición que ocupe dentro del número “valor posicional”

La posición del dígito del extremo derecho es la de menor valor, y el dígito que la ocupa se denomina

"dígito menos significativo".

2Unidad 2: Representación de la Información

Page 3: Conversión de sistemas numéricos

Sistema DecimalEl más importante factor en el desarrollo de la

ciencia y la matemática fue la invención del sistema decimal de numeración.

Este sistema utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados generalmente "cifras decimales".

La base de este sistema es b = 10.La costumbre de contar por decenas se originó

probablemente en el hecho de tener el hombre diez dedos.

3Unidad 2: Representación de la Información

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Sistema Decimal (cont.)Ejemplo: el número decimal 3.278,52 puede obtenerse como suma de:

3.000 200 70 8 0,5 0,02 3.278,52

es decir, se verifica:3.278,52 = 3x103 + 2x102 + 7x101 + 8x100 + 5x10-1 + 2x10-2

Cada posición tiene un peso y un nombre específicos.

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Posición 0

Peso b0 = 1 unidad

Posición 1

Peso b1 = 10 decenasPeso b2 = 100 centenas

Posición 2

Unidad 2: Representación de la Información

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Sistema BinarioUsa dos símbolos diferentes: 0 y 1 denominados bits.La base de este sistema es b = 2.El valor relativo de los dígitos binarios a la izquierda del

dígito menos significativo aumenta en una potencia de dos cada vez.

Los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias positivas de dos:

24 23 22 21 20 (de derecha a izquierda)

Y los valores de posición de la parte fraccionaria de un número binario son las potencias negativas de dos:

2-1 2-2 2-3 2-4 (de izquierda a derecha). 

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Sistema Binario (cont.)Ejemplo: el número binario 101101,11 significa:

101101,11 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 +1x20 + 1x2-1 + 1x2-2 =

= 1x32 + 0 + 1x8 + 1x4 + 0 +1x1 + 1x0,5 + 1x0,25 =

= 45,75 (10) (en el sistema decimal)

6Unidad 2: Representación de la Información

Page 7: Conversión de sistemas numéricos

Sistema HexadecimalLos números binarios de gran magnitud consisten en

largas series de ceros y unos, que son difíciles de interpretar y manejar.

Como un medio conveniente para representar esos números binarios de gran magnitud se utiliza el sistema numérico hexadecimal, de base b = 16.

Utiliza 16 símbolos diferentes:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Cada dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios.

7Unidad 2: Representación de la Información

Page 8: Conversión de sistemas numéricos

Decimal Hexadecimal Binario

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

15 F 1111

Page 9: Conversión de sistemas numéricos

Sistema Hexadecimal (cont.)Ejemplo: el número hexadecimal 2CA es igual a:

2CA = 2x162 + 12x161 + 10x160

= 2x256 + 12x16 + 10x1   = 512 + 192 + 10 = 714 (en el sistema decimal)

9Unidad 2: Representación de la Información

Page 10: Conversión de sistemas numéricos

AgendaIntroducciónSistemas de NumeraciónTeorema Fundamental de la NumeraciónConversiones entre los distintos sistemasOperaciones aritméticasRepresentación de la informaciónCompresión de datosUnidades de medida de la información

almacenada

10Unidad 2: Representación de la Información

Page 11: Conversión de sistemas numéricos

Teorema fundamental de la NumeraciónSupongamos una cantidad expresada en un sistema de

base B y representamos por Xi, cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad.

El subíndice indica la posición del dígito con respecto a la coma decimal.

El Teorema Fundamental de la Numeración relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma cantidad expresada en el sistema decimal:

...+ X4* B4 + X3* B3 + X2* B2 + X1* B1 + X0* B0

+ X-1* B-1 + X-2* B-2 + X-3* B-3 + X-4* B-4 + .......

Ejemplo: 201,1 es una cantidad expresada en un sistema de numeración en base 3. ¿Cuál será la representación de la misma cantidad en el sistema decimal?

201.1 = 2*32 + 0*31 + 1*30 + 1*3-111Unidad 2: Representación de la Información

Page 12: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemasBINARIO a DECIMAL: Se suman los

productos de todos los valores posicionales por el número que ocupa la posición.

Ej. Número Binario: 1 1 0 1, 0 1 = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2

= 8 + 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25= 13,25 (decimal)

12Unidad 2: Representación de la Información

Page 13: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemas

HEXADECIMAL a DECIMAL: Se multiplica el número representado por el valor posicional que le corresponde, y se suman los resultados .

Ej. Número Hexadecimal: A E 1 B= 10x163 + 14x162 + 1x161 + 11x160

= 40960 + 3584 + 16 + 11= 44571 (decimal)

13Unidad 2: Representación de la Información

Page 14: Conversión de sistemas numéricos

Teorema fundamental de la Numeración

Una determinada cantidad, que denominaremos número decimal (N en este caso), se puede expresar de la siguiente manera:

Donde: Base = 10 i = posición respecto de la coma d = nro. de dígitos a la derecha de la coma n = nro. de dígitos a la izquierda de la coma, menos 1 dígito = cada uno de los que componen el número

Introducción a la Informática – Tema 2 14

Page 15: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemasDECIMAL a BINARIO: Se divide el número que se quiere

convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar.Los resultados que se obtengan en el cociente deben

seguir dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base.

Los resultados que resulten de todas las divisiones se escribirán de derecha a izquierda.

Ej. Número Decimal: 26

Con lo que: 26(10) = 11010(2)

15

26 2

06 13 2

0 1 6 2

0 3 2

1 1

Unidad 2: Representación de la Información

Page 16: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemas DECIMAL a BINARIO (cont.):

La parte fraccionaria del número binario se obtiene multiplicando por 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo en los productos sucesivos.

El número binario se forma con las partes enteras (ceros y unos) de los productos obtenidos.

Ej.: Número Decimal: 0,423 0,423 x 2 = 0,846 0,846 x 2 = 1,692 0,692 x 2 = 1,384 0,384 x 2 = 0,768Con lo que: 0,423(10) = 0110(2) 16Unidad 2: Representación de la Información

Page 17: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemasDECIMAL a HEXADECIMAL: Se divide el número que se

quiere convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar. En este caso 16.Los resultados que se obtengan en el cociente deben

seguir dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base.

Para convertir una fracción decimal a su equivalente hexadecimal, aplicamos el algoritmo parte entera, con base 16.

Ej. Número Decimal: 1520

Con lo que: 1520(10) = 5F0(2)

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1520 16

080 95 16

0 15 5

Unidad 2: Representación de la Información

Page 18: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemasBINARIO a HEXADECIMAL: se divide el número binario

en grupos de cuatro dígitos binarios, comenzando desde la derecha y se reemplaza cada grupo por el correspondiente símbolo hexadecimal.

Si el grupo de la extrema izquierda no tiene cuatro dígitos, se deben agregar ceros hasta completar 4 dígitos.

Ej. Número Binario: 111110011011010011 = 0011 / 1110 / 0110 / 1101 / 0011 = 3 E 6 D 3 = 3E6D3 (hexadecimal)

18Unidad 2: Representación de la Información

Page 19: Conversión de sistemas numéricos

Conversiones entre los distintos sistemasHEXADECIMAL a BINARIO: se reemplaza cada símbolo

hexadecimal por el correspondiente grupo de cuatro dígitos binarios y se descartan los ceros innecesarios.

Ej. Número Hexadecimal: 6 C 4 F 2 E

= 0110 / 1100 / 0100 / 1111 / 0010 / 1110

= 11011000100111100101110 (binario)

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