Coordenadas polaresDe WikipediaLas coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.

En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo α, tendremos un vector definido por las variables r y α. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x, y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo α en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.

(Si trabajamos en el espacio, tenemos (x, y, z) como variables en las coordenadas cartesianas, y (r,α,z) en coordenadas polares)

Como pasar de un sistema de coordenadas a otroUtilizando las propiedades de la trigonometría clásica, tenemos que

;

de ahí obtenemos que ;

En este caso pasamos de las coordenadas cartesianas a polares.

Para pasar de polares a cartesianas, emplearemos el teorema de Pitágoras

(la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa), entonces:

;

Para calcular , basta calcular el arco seno de , de donde obtendremos dos valores

de , lo mismo para el arco coseno de , con otros dos valores. Con cualquiera de estas tres ecuaciones obtenemos el ángulo buscado.

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Sistema de coordenadasUn sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas constituyen lo que se denomina sistema de referencia.

Tabla de contenidos

1 Sistemas usuales

o 1.1 Sistema de coordenadas cartesianas

o 1.2 Sistema de coordenadas polares

o 1.3 Sistema de coordenadas cilíndricas

o 1.4 Sistema de coordenadas esféricas

o 1.5 Coordenadas geográficas

2 Véase también

3 Enlaces externos

Sistemas usuales

Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es aquel que formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Sistema de coordenadas polares

Las coordenadas polares se definen por un eje que pasa por el origen (llamado eje polar). La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje polar y la recta que pasa por ambos puntos.

Sistema de coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre

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el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Coordenadas geográficas

Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD Decimal Degree (Grados Decimales): ej. 49.500-123.500

DM Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0

DMS Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

Otro sistema de coordenadas geográficas habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Véase también Coordenadas celestes

Tabla en coordenadas cilíndricas y esféricas

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Coordenadas cartesianasDe WikipediaLas coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.

Tabla de contenidos 1 Sistema de coordenadas plano

2 Sistema de coordenadas espacial

3 Cambio del sistema de coordenadas

o 3.1 Traslación del origen

3.1.1 Traslación del origen (en valores absolutos)

3.1.2 Traslación del origen (en valores relativos)

o 3.2 Rotación alrededor del origen

4 Temas relacionados

5 Véase también

Sistema de coordenadas plano

Sistema de coordenadas cartesianas

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las

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coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A sera:

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial

coordenadas cartesianas espaciales

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z < 0 y z > 0.

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La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del punto A seran:

La distancia entre los puntos A y B sera:

El segmento AB sera:

Cambio del sistema de coordenadasTanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).

Traslación del origen

Pueden considerarse 2 traslaciones:

1. Según el aspecto absoluto: Al pasar a otra posición, se indican las coordenadas de dicha posición.

2. Según el aspecto relativo: Al pasar a otra posición, se indican las coordenadas a partir de la actual.

Traslación del origen (en valores absolutos)

Traslación del origen en coordenadas cartesianas

Suponiendo que en el sistema de coordenadas inicial con origen en O las coordenadas de un punto como el A sean (xb, yA), y que el origen se traslade a O' (xO, yO); las coordenadas del punto A, respecto del sistema trasladado serán:

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OA = OO' + O'A

despejando

O'A = OA - OO' = (xA, yA) - (xO, yO) = (xA - xO, yA - yO)

por tanto

x'A = xA - xO

y'A = yA - yO

z'A = zA - zO (en el caso espacial)

Traslación del origen (en valores relativos)

Traslación Relativa

Cuando lo que se ofrece no es una coordenada final, sino un dato de traslación respecto de A ,puede considerarse la traslación (A1), como la suma de coordenadas de A + el desplazamiento. (Hay que notar que un desplazamiento, relativo, implica que A es el centro de coordenadas relativas sobre D)

Es decir: Sea el desplazamiento D (Dx, Dy), entonces;

Si A=(xA, yA) entonces A + D = (xA, yA)+(Dx, Dy);

Finalmente, agrupando:

A1=(xA + Dx), (yA + Dy) y para el caso espacial: ,(zA + Dz)

Rotación alrededor del origen

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Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas

Supongamos ahora, que el nuevo sistema de coordenadas, ejes x' e y', resulta del giro del primitivo (x, y) un cierto ángulo α alrededor del origen de coordenadas.

Dado que los triángulos rectángulos sombreados son semejantes, a partir de las relaciones trigronométricas entre sus lados, fácilmente podemos obtener las nuevas coordenadas:

Del triángulo Ox'A1; x'A = 01 · cos α = (xA + xA1) · cos α

Del triángulo AxA1; xA1 = yA · tg α

Sustituyendo en la primera ecuación:

x'A = (xA + yA · tg α) · cos α = xA · cos α + yA · sen α

Operando de formabola de putoscon los triángulos 0y'A2 y AyA2, obtendríamos, como fácilmente se puede demostrar:

y'A = - xA · sen α + yA · cos α

Expresando matricialmente el cambio de coordenadas:

{OA'} = [T] {OA}

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Temas relacionados Espacio vectorial

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Combinación lineal

Sistema generador

Independencia lineal

Base (álgebra)

Base Ortogonal

Base Ortonormal

Producto escalar

Producto vectorial

Producto mixto

Producto tensorial

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Función matemática)

En matemáticas se denomina función a la correspondencia o relación de cada elemento de un conjunto A con un único elemento del conjunto B. Se simboliza con

si y sólo si cumple con las siguientes condiciones:

1. Existencia:

2. Unicidad: Si

Esto significa que a cada elemento x de A, le corresponde por f un y sólo un elemento y de B. Que suele escribirse:

Se le adjudica a Leibniz (1646-1716) el haber utilizado por primera vez la palabra función (del latín functo, "acto de realizar"). La definición formal se le atribuye a Dirichlet (1805-1859).

Tabla de contenidos 1 Dominio e imagen

2 Tipos de funciones

o 2.1 Composición de funciones

o 2.2 Funciones reales y funciones discretas

o 2.3 Funciones acotadas

o 2.4 Paridad e imparidad de funciones

o 2.5 Funciones monótonas

o 2.6 Funciones periódicas

o 2.7 Funciones convexas

o 2.8 Funciones cóncava

3 Véase también

Dominio e imagen El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se denota Dom f o Df.

Conceptos en el Cálculo

Teorema fundamental | Función | Límite | Continuidad | Teorema del valor medio | Cálculo vectorial | Cálculo tensorial

Derivación

Regla del producto | Regla del cociente | Regla de la cadena | Función implícita | Teorema de Taylor

Integración

Métodos de integración | Integrales impropias | Lista de integrales

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El conjunto imagen, también llamado codominio, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

Es decir que la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sóla de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞].

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

Tipos de funciones Función inyectiva : Si cada elemento de la imagen es imagen de como máximo un único elemento del dominio. es inyectiva

 ; o lo que es lo mismo:

Función sobreyectiva : es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (denominado también conjunto de llegada, codominio o rango).

es sobreyectiva

Función biyectiva : es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa : Sólo si una función es biyectiva es posible hallar su

inversa

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Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva No sobreyectiva, no inyectiva

Véase también:: Lista de funciones matemáticas.

Composición de funciones

Dadas dos funciones f y g para las cuales la imagen de g está incluida en el dominio de f entonces se puede construir su composición:

Dada biyectiva, existe tal que

para toda y para toda . Véase función recíproca.

Funciones reales y funciones discretas

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) cuyo conjunto imagen es [-1,1]

Paridad e imparidad de funciones

Una función puede ser par, impar o ninguna de las dos.

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1. Función par:

2. Función impar:

Funciones monótonas

1. f es estrictamente creciente en

2. f es estrictamente decreciente en

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

1. f es creciente en

2. f es decreciente en

Funciones periódicas

Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple:

. Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

] Funciones convexas

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por debajo de la función.

Funciones cóncavaUna función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función es ese intervalo están por encima de la función.

Wikimedia Commons alberga funciones

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VectorEl término vector puede referirse a:

En física, un vector hace referencia a una magnitud en la que importan el valor, el punto de aplicación, la dirección y el sentido.

En matemática, un vector es un elemento de un campo vectorial o de un espacio vectorial.

En geometría, segmento orientado.

En informática, un vector es un conjunto de variables o registros del mismo tipo.

En epidemiología y ecología se llama vector a un mecanismo portador de un agente infeccioso. Como podría ser el mosquito Anopheles que transporta el Plasmodium, causante de la malaria.

En genética y biotecnología, un vector es un agente, que puede ser un virus o un pequeño fragmento de ADN llamado plásmido, que porta un gen extraño o modificado. Cuando se usa en terapia génica, el vector pasa el gen deseado a una célula objetivo.

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TrigonometríaLa trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos, triángulos y las relaciones entre ellos (funciones trigonométricas).

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Tabla de contenidos 1 Unidades angulares

2 Funciones seno y coseno

3 Función tangente

4 Fórmulas trigonométricas elementales

5 Véase también

Unidades angularesLas unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360° = un giro completo alrededor de una circunferencia

180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

 90° = 1/4 de vuelta

  1° = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que se obtiene, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio.

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio, r, unitario:

entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:

2 × π radianes = 360°

y por tanto:

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1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29°

a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes 60° = π/3 radianes 45° = π/4 radianes 30° = π/6 radianes

Funciones seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

ángulo sen cos tg ctg sec csc

00 0 1

300 2

450 1 1

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600 2

900 0 1

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:

sin2(α) + cos2(α) = 1

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguentes:

sen (90 - α) = cos α

cos (90 - α) = sen α

sen (180 - α) = sen α

cos (180 - α) = -cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos2α - sen2α

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

sen²(α) = 1/2 * (1 - cos(2 * α);

cos²(α) = 1/2 * (1 + cos(2 * α);

Véase también:

Sinusoide

Función tangenteEn un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan(a) = BC / AC = sin(a) / cos(a)

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90°) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45°) = 1

tan (π/3) = tan (60°)=

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tan (π/6) = tan (30°) =

Una ídentidad de importancia con la tangente es:

Fórmulas trigonométricas elementalesEstas son las seis funciones trigonométricas básicas:

David P. LHEMI

Véase también Identidad trigonométrica

Funciones hiperbólicas

Lista de integrales de funciones trigonométricas

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Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

Este teorema fue propuesto por Pitágoras de Samos (582 adC - 496 adC), un filósofo y matemático griego.

Tabla de contenidos

1 Demostración

2 Corolario del Teorema de Pitágoras

3 El teorema de pitágoras en el espacio

o 3.1 Demostración

4 Véase también

DemostraciónSea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b.

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Si añadimos tres iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si giramos el triángulo original 90º alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar una posición perpendicular a la original, de modo tal que el lado a será colineal al lado b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a + b.

El área de este cuadrado puede expresarse de dos maneras:

El cuadrado del lado:

Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:

Igualando ambas expresiones:

y simplificando:

Corolario del Teorema de Pitágoras

Números impares

Sea un número x impar, entonces los números correspondientes al trío pitagórico asociados a este número son:

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La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:

Números pares

Sea un número y par, entonces los número correspondientes al trío pitagórico asociados a este número son:

La demostración de las expresiones anteriores corresponde al desarrollo de la siguiente igualdad:

El teorema de pitágoras en el espacioEl teorema de pitágoras se puede aplicar también en un espacio tridimensional.

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Demostración

Para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:

Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora utilizamos el teorema de pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.

El exponente 2 elimina la raíz cuadrada, quedando:

Véase tambiénWikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teorema de Pitágoras

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Categoría:GeometríaSubcategorías

Se listan 14 subcategorías de esta categoría.

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G cont. Geometría euclidiana

Geometría tetradimensional

P Poliedros

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Artículos en la categoría «Geometría»Se listan 122 artículos de esta categoría.

Geometría

1 1-variedad

3 3-variedad

4 4-variedad

A Abatimiento

Alto dimensional

Altura de un triángulo

Ancho

Ángulo

Apotema

Asíntota

B Baricentro

Bidimensional

F Figura

Flexágono

Función circular

Fórmula de Euler

Fórmula de Herón

G Geodésica

Geometría algebraica

Geometría analítica

Geometría del espacio

Geometría descriptiva

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Geometría plana

Geometría proyectiva

Geometrías no euclídeas

Grado centesimal

P cont. Poliedro

Posición

Postulados característicos

Postulados de Euclides

Primitiva geométrica

Producto escalar

Programa de Erlangen

Proyección

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Punto medio

Puntos cocíclicos

Puntos de Euler

Q Quinto postulado de Euclides

R Recta

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Bisectriz

C Característica de Euler

Categoría de Lusternik- Schnirelmann

Celda (matemáticas)

Celda unitaria

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Cilindro (geometría)

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Constructive Solid Geometry

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

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Corona (matemática)

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D Deltoide

Diagonal

Diedro

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Distancia euclidiana

Diámetro

E Eje de simetría

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Homotecia

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Longitud dimensional

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O Orientación (geometría)

Ortocentro

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Paralelogramo

Particionado del espacio

Perpendicularidad

Perímetro

Plano proyectivo

Recta de Euler

Recta de Simson

Red irregular de triángulos

Región angular

S Sector circular

Segmento

Semiplano

Semirrecta

Simetría

Simplex

Sistema de coordenadas

Superficie

Superficie de revolución

Superfórmula

Sólido de revolución

T Teorema de Desargues

Teorema de Pappus

Teorema de Pitágoras

Teorema de Tales

Teorema de la Función Implícita

Teorema del hexágono de Pappus

Traslación

Tridimensional

V Variedad diferenciable

Vector (geometría)

Vértice

Y Y-homeomorfismo

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