CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

GIẢI TÍCH 12

GV: PHAN NHẬT NAM

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

O x

y

y’>0

y’<0

CĐ

CT y’<0

y’>0

CT


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


I. Tóm tắc lý thuyết :

1. Khái niệm cực trị hàm số : Cho hàm số )(xfy xác định trên miền D và Dx 0

x0 gọi là điểm cực đại của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho

00 \),()()(

,

xbaxxfxf

DbaKhi đó )( 0xf gọi là giá trị cực đại của )(xfy

x0 gọi là điểm cực tiểu của f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho

00 \),()()(

,

xbaxxfxf

DbaKhi đó )( 0xf gọi là giá trị cực tiểu của )(xfy

2. Điều kiện cần : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo .Nếu f(x) đạt cực trị của xo thì f’(xo) = 0

(tức là xo là nghiệm của f’(x) = 0)

3. Điều kiện đủ :

ĐL1 : Cho y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a , b) và f’(xo) = 0 với xo (a , b)

0

0

....0)('

....0)('

xxkhixf

xxkhixf f(x) đạt cực tiểu tại xo

0

0

....0)('

....0)('

xxkhixf

xxkhixf f(x) đạt cực đại tại xo

Chú ý :

ĐL1 vẫn đúng nếu hàm số ( )f x không có đạo hàm tại xo nhưng liên tục tại xo

ĐL2 : Cho y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục tại xo và f’(xo) = 0.

0)(''

0)('

0

0

xf

xf f(x) đạt cực tiểu tại xo.

0)(''

0)('

0

0

xf

xf f(x) đạt cực đại tại xo.

Chú ý :

Nếu f’(xo) = f”(xo) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về tính cực trị của điểm xo.

Cần nhớ định lý 2 chưa đúng trong trường hợp ngược lại.

4. tính chất: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực trị hoặc vuông góc với trục tung (hệ số góc k =0) hoặc có

hai tia tiếp tuyến khác nhau (hệ số góc hai tia khác nhau – đạo hàm tại điểm cực trị không tồn tại )

II. Các dạng toán cực trị thường gặp :

A Tìm các điểm cực trị của hàm số :

1. Quy tắc 1 :

Tìm đạo hàm : )(' xf

Tìm các điểm xk (k=1,2,3…)tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo

hàm.

Xét dấu )(' xf . Nếu )(' xf đổi dấu khi x qua xk thì hàm số đạt cực trị tại điểm đó.

2. Quy tắc 2 :( chỉ có thể tìm được cực trị đầu tròn – cực trị có đạo hàm liên tục)

Tìm đạo hàm : )(' xf

Tìm nghiệm xk (k=1,2,3…) của phương trình 0)(' xf

O x

y

y’>0 y’<0

CĐ

CT y’<0 y’>0

CT

http://www.toanhocdanang.com/



Xét các tình huấn :

Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực đại tại điểm xk

Nếu 0)('' kxf thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xk

Bài tập minh họa :

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số :

a. 533 23 xxxy b. 186 24 xxxy c.1

34 2

x

xxy d.

342

1442

2

xx

xxy

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số :

a. 24 xxy c. 8212 2 xxy e. 32 2 xxy g. 23122

1xxy

b. 23 3xxy d. 422 xxxy f. )2( xxy

Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau :

a. xxy 2coscos23 c. 3

cos32

cos2xx

y trên khoảng )20,0(

b. xxy 4cot trên đoạn

4,

4

d. 4sincos2

3sin2cos

xx

xxy trên khoảng ,

B. Cực trị hàm đa thức – bậc 3 123)( dcxbxaxxfy )0( a :

1. Tóm tắc lý thuyết :

Đạo hàm : cbxaxxf 23)(' 2

Điều kiện để (1) có cực trị 0)(' xf có 2 nghiệm phân biệt

03

0

2

)(' acb

a

xf

kỷ năng :

a

acbbx

a

acbbx

xf

3

3

3

3

0)(';02

2

2

1

Chia )(xf cho )(' xf ta có :

a

bcdx

a

bcxf

a

bxxf

933

2)('.

93

1)(

2

2

1 1

2

2 2

2

3 3 9

2

3 3 9

b bcy c x d

a a

b bcy c x d

a a

Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị là :

a

bcdx

a

bcy

933

2 2




2. Các loại toán cơ bản :

Loại 1: Các bài toán tìm tham số bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ : Tìm m, n, p để hàm số (C): pnxmxxy 23 đạt cực tiểu bằng - 3 tại x = 1 và có

đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ = 2

Bình luận : Loại này muốn giải ta nên liêt kê tất cả các giả thuyết và chọn giả thuyết nào đơn giản để

khai thác trước. cụ thể là

+ (C) đạt (giá trị cực tiểu) cực tiểu bằng – 3 tại x = 1

)3(0)1(''

)2(0)1('

)1()()3;1(

y

y

CI

+ (C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2 )4()()2;0( CM

Như vậy trong các giả thuyết trên thì (1), (2), (4) thiết lập thành hệ phương trình và (3) chỉ

đóng vai trò là một điều kiện. từ đó ta có lời giải.

Giải :

Ta có : nmxxy 23' 2

mxy 26''

(C) đạt cực tiểu bằng – 3 tại x = 1

0)1(''

0)1('

)()3;1(

y

y

CI

)3(026

)2(023

)1(13

m

nm

pnm

(C) cắt Oy tại điểm có tung độ = 2 )4(2)()2;0( pCM

Từ (1),(2),(4) ta có:

2

9

3

2

32

4

p

n

m

p

nm

pnm

( loại vì không thỏa điều kiện (3) )

Không tồn tại m, n, p thỏa yêu cầu bài toán.

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1. Tìm m,n,p để hàm số pnxmxxy 23 đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và có đồ thị đi qua A(1; 0)

2. Tìm tham số m để hàm số : 5)13()2(3

1 2223 mxmxmmxy đạt cực tiểu tại x = -2

Loại 2: Các bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị và thỏa tính chất P cho trước.

Với các bài toán ở loại này ta thực hiện theo 2 bước:

Bước 1: tính đạo hàm y’ = f’(x).




Hàm số có cực trị (cực đại, hoặc cực tiểu) f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (*)

0

0m

a

Bước 2: khi m thỏa (*) gọi 1 2,x x là nghiệm của '( ) 0f x

. Phân tích tính chất P để tìm PT hoặc BPT 1 2( ; ) 0P x x (hoặc 1 2( ; ) 0P x x ) kết hợp với viét

ta tìm được tham số m , kiểm tra lại với điều kiện (*).

Chú ý : Để phân tích hiệu quả tính chất P ta cần để ý các dạng sau.

Dạng 1: với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến hoành độ cực trị và không ghi rỏ cực đại,

cực tiểu.Khi đó ở bước hai ta thực hiện như sau :

Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0.

Theo viet ta có : a

cxx

a

bxx 2121 .; , kết hợp với tính chất P m

Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số : y = x3 + 2(m – 1)x

2 + (m

2 – 4m + 1)x – 2(m

2 + 1) đạt cực trị

tại x1,x2 thỏa : )(2

11121

21

xxxx

.

Bình luận : Ở bài này ta thấy ngay tính chất P là một đẳng thức theo hai biến là hoành độ cực trị nên

ta sẽ chọn phương án giải là gọi nghiệm và sử dụng định lý Viét để tìm tham số.

Giải :

Ta có : 14)1(43' 22 mmxmxy

Hàm số có cực trị y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

32

320140' 2

m

mmm (*).

Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có: 3

)1(421

mxx và

3

14.

2

21

mmxx

Ycbt

5

1

1

05413

)1(2

14

)1(4)(

2

1

.

2

221

21

21

m

m

m

mmmm

mm

mxx

xx

xx (loại theo (*))

KL: vậy m = 1 và m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.




BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1. (D – 2012)Cho hàm số : 3 2 22 22 3 1

3 3y x mx m x . Tìm m để hàm số trên có hai điểm cực trị

1 2à xx v sao cho 1 2 1 22 1x x x x .

2. Cho hàm số 2)12()1(2 2223 mxmmxmxy .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị và

hoành độ hai điểm cực trị là x1, x2 thỏa hệ thức : 21

21

311

xxxx

.

3. Tìm m để hàm số: 3

2( 1) ( 5) 13

mxy m x m x đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho: 242

2

2

1 xx

4. Tìm m để hàm số 2)2()21( 23 mxmxmxy đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho:

3

121 xx

5. Tìm m để hàm số 53)2( 23 mxxxmy đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.

6. Tìm m để hàm số : 3

2( 1) 3( 2) 13

mxy m x m x đạt cực đại,cực tiểu tại x1,x2 thỏa: x1 + 2x2 = 1.

7. Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x

2 +6m(m + 1)x + 1.Chứng minh với mọi m thì h/số đều có cực trị

tại x1, x2 và x2 – x1 không phụ thuộc vào m.

8. Cho hàm số 124632 23 mxxmxmy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2

sao cho 21 21 xx .

Dạng 2: Với các bài toán có tính chất P có chứa tung độ cực trị, điểm cực trị, đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị (nhưng vai trò của điểm CĐ và CT giống nhau).Khi đó ở bước 2 ta thực hiện như sau.

Gọi x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0.Theo viet ta có : a

cxx

a

bxx 2121 .; ,

Suy ra 2211 ;; yxBvàyxA là hai điểm cực trị

Ta có : baxyxSy ').(' mà x1, x2 là nghiệm của f’(x) = 0 0)(')(' 21 xyxy

baxy

baxy

22

11 d: y = ax + b là đường thẳng qua hai điểm cực trị

Tùy theo tính chất P mà ta sử dụng đường thẳng d hoặc sử dụng baxxBvàbaxxA 2211 ;;

Từ đó ta thu được phương trình hoặc BPT theo m m (kiểm tra lại với điều kiện (*))

Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số 23 23 mxxxy có hai điểm cực trị A, B cách đều gốc tọa độ O.

Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P liên quan đến tọa độ hai điểm cực trị và vai trò cực đại cực

tiểu như nhau ( vì không nói gì đến điểm nào là cực đại điểm nào là cực đại) nên ta chọn phương án

giải gọi nghiệmcủa phương trình y’ = 0, sau đó lấy y chia y’ để tìm tung độ cực trị. Tính độ dài hai

đoạn OA và OB kết hợp giả thuyết ta có được phương trình theo m.




Giải :

Ta có : mxxy 63' 2

Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 30390' mm (*).

Khi m thỏa (*), gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo Viet ta có: 221 xx và 3

. 21

mxx .


Ta có : 23

)2('.3

1

3

mxmy

xy mà x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 0)(')(' 21 xyxy

Từ đó ta có :

23

)2(

23

)2(

22

11

mxmy

mxmy

Đặt :

23

)2(

mb

ma

baxy

baxy

22

11

Từ giả thuyết ta có : 02

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1 yyxxyxyxOBOA

0]2)[()(0)()( 2121212121212121 bxxaxxaxxxxyyyxxxx

0202)( 21

2

2121

2

2121 abxxaxxabxxaxxxx

(vì x1, x2 phân biệt nên 021 xx )

0222 2 aba (theo viet) 0123

220122

mmmaba

027162 2 mm2

108m {loại theo đk (*)} và

2

108 m {thỏa đk (*)}

KL: Vậy khi 2

108 m thì hàm số có hai cực trị cách đều gốc tọa độ O.

Chu ý: Ở bài giải trên để tránh sai sot khi tính toan ta đã đặt a, b là các biểu thức theo m, sau đó rút

gọn biêu thức theo a, b đến mức đơn giãn nhất có thể rồi ta thay m vào lại để giải. Bài toán trên

có thể giải bằng cách khác là viết phương trình đường trung trục d của AB. O cách đều Avà B thì

O thuộc trung trực d (cách này đơn giãn hơn, các em có thể giải và xem như một bài tập áp dụng).




Bài tập áp dụng :

1. (B - 2007) Tìm m để đồ thị của hàm số: 3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m có hai điểm cực đại và

cực tiểu cách đều gốc tọa độ O.

2. (B - 2012) Tìm m để đồ thị của hàm số: 3 2 33 3y x mx m có hai điểm cực đại và cực tiểu tạo với

gốc tọa độ O thành một tam giác có diện tích bằng 48.

3. (A – 2002) Cho hàm số : 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m . Viết phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.

4. Tìm m để hàm số: xmmxmxy )21(6)1(32 23 có CĐ ,CT thuộc đường thẳng d: xy 4

5. Tìm m để hàm số : 3723 xmxxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường

thẳng 73 xy

6. Tìm m để hàm số : 1)2(6)1(32 23 xmxmxy có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song

song với đường thẳng : 3 xy

7. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy 23 3 có cực đại , cực tiểu thẳng hàng với M(0; 1).

8. Tìm tham số m để hàm số : mmxxxy 23 3 có cực đại , cực tiểu nằm về hai phía đường

thẳng 0823:)( yxd .

9. Tìm m để hàm số : mxmxxy 223 3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua d: 2

5

2

1 xy

10. Tìm m để hàm số: 13

1 23 mxmxxy Có khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.

11. Tìm tham số m để hàm số : 24)13(3

1 23 xxmmxy đạt cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho

tam giác MAB có diện tích bằng 1, biết M(0 ; 1).

12. Tìm m để hàm số : 243 223 mmxxy có cực trị đồng thời tích số của các giá trị cực đại

và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

13. Tìm m để hàm số : mmxxxy 23 3 có cực đại , cực tiểu tại A, B sao cho khoảng cách từ M(1

; 5) đến đường thẳng AB là dài nhất.

14. Tìm m để hàm số 23 23 mxxxy có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1 xy

15. Tìm tham số m để hàm số 4)23()12( 223 xmmxmxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai

phía đối với trục tung

16. Tìm m để hàm số 23 23 mmxxxy có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

17. Cho hàm số 3223 )1(33 mxmmxxy . Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì

hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thới trung điểm của hai điểm cực trị luôn nằm trên một đường

thẳng cố định.

18. Cho hàm số 23 23 mxxy . Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại A, B sao cho đường thẳng

AB cắt đường tròn tâm I(1;1) và bán kính bằng 1 tại M, N sao cho IMNS đạt giá trị lớn nhất.

19. Tìm tham số m để hàm số mxmmxmxy 3123 23 đạt cực trị tại AB sao cho khoảng cách

từ I( 2;2

1) đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.




Dạng 3: Với các bài toán có tính chất P chỉ nói đến một điểm cực đại (hoặc một điểm cực tiểu) khi đó ở

bước 2 ta thực hiện như sau :

Khi m thỏa (*) ta có:

)()(2

)()(2

0'

222

111

xyymga

bx

xyymfa

bx

y (thay x1, x2 vào hàm số ta có y1, y2)


{Tiếp theo là ta phải xem trong 2 điểm trên thì điểm nào là CĐ và điểm nào là CT}có 2

cách để kiểm tra

Cách 1: Tính dạo hàm cấp hai y”: nếu y”(x1) > 0 thì A là cực tiểu B là cực đại

Cách 2: Lập bảng biến thiên , từ BBT ta có thể xác định được điểm cực đại và cực tiểu

Sau khi tìm được điểm CĐ (hoặc CT) ta kết hợp giả thuyết để tìm ra được PT, BPT theo m

m(kiểm tra đk (*)).

Chú ý : Để thự hiện bước tìm CĐ (hoặc CT) thường ta phải chia làm hai trường hợp. Xét ví dụ sau.

Ví dụ : Tìm tất cả các tham số m để hàm số 26)1(32 23 mxxmxy có hai điểm cực trị đồng

thời điểm cực đại nằm trên trục hoành .

Bình luận : Ở ví dụ này ta thấy ngay tính chất P chỉ liên quan đến tọa độ điểm cực đại nên không thể

sử dụng viet vì vậy ta phải tìm nghiệm trực tiếp của đạo hàm và dùng đạo hàm cấp hai hoặc BBT để

xác định điểm nào trong hai điểm cực trị là cực đại.

Giải :

Ta có : mxmxy 6)1(66' 2

Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 10)1(04)1(0' 22 mmmm

(*).

Khi m thỏa (*),

23

3310)1(0'

23

2

mmymx

myxmxmxy

)1(612" 2 mxy 66)1(" my

TH1: với m > 1 ta có 066)1(" my )33;1( mA là điểm cực đại.

Từ giả thuyết ta có : 1033 mmOxA (loại vì ta chỉ xét m >1)

TH2: với m < 1 ta có 066)1(" my )33;1( mA là điểm cực tiểu

)23;( 23 mmmB là điểm cực đại.




Từ giả thuyết ta có :

31

31

1

0221023 23

m

m

m

mmmmmOxB

31 m ( vì ta chỉ xét m <1)

KL: Vậy 31m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại nằm trên trục hoành.

BÀI TẬP ÁP DỤNG :

1. Tìm m để hàm số : 1)173()1(3 2223 mxmmxmxy hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

2. Cho hàm số 233 mxxy . Tìm quỷ tích điểm cực đại của hàm số.

3. Cho hàm số : 323

2

3

2

3mmxxy

(1) . Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu cách

đường thẳng y = x một khoảng bằng m2 .

4. Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy 3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách

từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến Ox bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến Oy

Dạng 4: Với các bài toán có tính chất P nói đến cả điểm cực đại và điểm cực tiểu nhưng vai trò khác

nhau. khi đó ở bước 2 ta thực hiện tương tự như dạng 3 chỉ khác ở chổ khi khai thác giả thuyết cuối cùng

thì ta phải xét cả hai điểm. Ta xét một ví dụ cụ thể:

Ví dụ : Tìm tham số m để hàm số mmxmmxxy 3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng

cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của

đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Giải :

Ta có : )1(363' 22 mmxxy

Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Rm ;090' .

Khi đó ta có :

221

2210120' 22

mymx

mymxmmxxy

BBT:

Từ BBT ta có

Đồ thị hàm số có điểm CĐ là A(m – 1; -2m + 2)

Đồ thị hàm số có điểm CT là B(m + 1; -2m – 2)

Từ giả thuyết ta có :

OBOA 2

22222212221 mmmm 22 )1(52)1(5 mm

x

y’

y

m-1 m+1

0 0 - + +

CĐ

CT




2230162 mmm và 223m

KL: Vậy 223m và 223m thì đồ thị hàm số có hai cực trị thỏa yêu cầu.

Bình luận: Ở bài này ta không cần chia hai trường hợp của m vì m + 1 > m – 1 , Rm .

Bài tập áp dụng :

1. Tìm m để hàm số: 26)1(32 23 mxxmxy có hai điểm cực trị đồng thời điểm cực đại nằm trên

trục hoành và điểm cực tiểu cách trục hoành một khoảng bẳng 3.

2. Tìm m để hàm số mmxmmxxy 3223 )1(33 có cực trị và đồng thời khoảng cách từ

điểmcực đại đến đường thẳng d: y = x bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng d.

B. Cực trị hàm đa thức – bậc 4 (Trùng phương) 224)( cbxaxxfy )0( a :

I . Tóm tắc lý thuyết :

1. Đạo hàm : bxaxxfy 24)('' 3

2. Cực Trị :

TH1 : Nếu 0. ba 0)(' xf có nghiệm duy nhất x = 0 (2) có 1 cực trị thuộc trục Oy

TH1 : Nếu 0. ba 0)(' xf có 3 nghiệm : a

bx

a

bxx

2,

2,0 321

(2) có 3 cực trị

(trong đó một cực trị thuộc trục Oy và hai cực trị còn lại đối xứng qua trục Oy)

Nhận xét : Khi 0. ba thì (2) có 3 cực trị tạo thành một tam giác cân đỉnh thuộc trục Oy

II . Bài tập minh họa :

Bài 1. (B - 2002)Tìm tham số m để hàm số : 10)9( 224 xmmxy có 3 cực trị .

Bài 2. (A_2004) Cho hàm số y = x4 – 2m

2x

2 + 1.Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của

tam giac vuông cân

Bài 3. (B - 2011) Cho hàm số mxmxy 24 )1(2 . Tìm tham số m để hàm số có ba cực trị A,

B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung và B, C là hai cực trị còn lại.

Bài 4. (A_2012) Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x

2 + m

2.Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

là 3 đỉnh của tam giac vuông

Bài 5. Tìm m để hàm số : 424 22 mmmxxy có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

Bài 6. Tìm m để hàm số : 12 224 xmxy có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Bài 7. Tìm m để hàm số : 12 224 xmxy có 2 điểm cực tiểu nằm về 2 phía đường thẳng y = x

Bài 8. Tìm m để hàm số : 2

3

4

1 24 mxxy chỉ có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu

Bài 9. Tìm m để hàm số : 12 224 xmxy có cực trị tại A, B, C sao cho diện tích ABC bằng 4.

Bài 10. Tìm tham số m để hàm số : 12 24 mmxxy có cực trị tại A, B, C sao cho tam giác

ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Bài 11. Cho hàm số : 42 42 xmxy . Tìm tham số m để đồ thị hàm số trên có các điểm cực trị

đều nằm trên trục tọa độ.




C. Cực trị hàm phân thức )0,0.()(

)()(

2

)3(2

c

d

eb

d

eada

edx

cbxax

xv

xuxfy

I . Tóm tắc lý thuyết :

1. Đạo hàm : 22

2 )(2)('

edx

xg

edx

cdbeaexadxxf

2. Cực trị : Hàm số (3) có cực trị 0)(' xf có 2 nghiệm phân biệt

0)( xg có hai nghiệm phân biệt d

e

0)(

0)(

d

eg

xg

3. Kỷ năng :

Nếu

0)(

0)(

d

eg

xg

0)(' xf có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx

)(xfy đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx khi đó ta có :

d

bx

d

a

xv

xuy

d

bx

d

a

xv

xuy

2

2

22

1

1

11

2

)('

)('

2

)('

)('

Hệ quả : Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại cự tiểu có phương trình : d

bx

d

ay

2

II . Bài tập minh họa :

Bài 1. Tìm tham số m để hàm số: 2

32

x

mxxy có cực đại và cực tiểu thỏa mãn : 4 CTCĐ yy

Bài 2. Tìm m để hàm số: 1

522

x

mxxy có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía d : xy 2


)12(32

x

mmxmxy có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành.


4)1(2 22

x

mmxmxy có cực đại và cực tiểu tại A, B cùng

với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.

Bài 5. Tìm tham số m 0 để hàm số: mx

mmxmmxy

322 4)1( có một cực trị thuộc góc phần

tư thứ II và một cực trị thuộc góc phần tư thứ tư

Bài 6. Tìm tham số m để hàm số: mx

mmxmxy

4)32( 22

có hai cực trị trái dấu .





2

x

mxxy có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.

Bài 8. Tìm m để hàm số: mx

mmxxy

52

có cực trị tạo với A(1; 1) thành tam giác vuông tại A.

Bài 9. Tìm m để hàm số: x

mxxy

1

2

có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.


222

x

mxxy có hai cực trị cách đều đường thẳng 02: yx


222

x

mxxy có cực tiểu nằm trên Parabol 4:)( 2 xxyP


4)1(2 22

x

mmxmxy có cực đại và cực tiểu đồng thời

tích số của giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 13. Cho hàm số y = mx

mxmmx

1)1( 32

.

a. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi số thực m.

b. Khi m thay đổi tìm quỷ tích trung điểm của 2 điểm cực đại, cực tiểu của hàm số trên.

Bài 14. Cho hàm số : mx

mxmmxy

1)1( 22

Chứng minh rằng có duy nhất một điểm vừa là cực

đại đối với m này vừa là cực tiểu đối với m khác .

Bài 15. Cho hàm số y = 1

12

x

mmxx.

a. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu .

b. Tìm quỷ tích các điểm cực đại , cực tiểu của hàm số .


Education

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ