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GRUPOS GEOMETRICOS

Alumnos: Sanchez Camila,Acosta Ariana

Profesor: Moreira Jorge

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INDICE• Cuerpos geométricos (concepto básico ) Pág. 4• Teoría geométrica de grupos Pág. 5• Grafo de Cayley Pág. 6• Teoría geométrica en ramas Pág. 7• Cuerpos geométricos y sus elementos Pág. 8• Cuerpos poliedros Pág. 9• Clasificación de los cuerpos geométricos Pág. 10• Cuerpos redondos Pág. 11• Cuerpos geométricos reales o ideales Pág. 12• Los poliedros o cuerpos planos Pág. 13• Área de cuerpos geométricos Pág. 14• Formula ( área prisma ) Pág. 15• 1º y 2º ( calculo área basal y lateral ) Pág. 16• 1º y 2º ( área basal y lateral ) Pág. 17• Cuerpos poliedros Pág. 18• Definición de los cuerpos geométricos Pág. 19• Historia de los poliedros Pág. 20

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• Tiempos modernos de los poliedros Pág. 21• Los poliedros en el neolítico Pág. 22• Imágenes Pág. 23• Los poliedros en el tiempo de Platón Pág. 24• Poliedros regulares Pág. 25• Platón ( base Pitágoras ) Pág. 26• Construcción Pitágoras Pág. 27• Estudio aplicado a los poliedros Pág. 28• Los poliedros en el Renacimiento Pág. 29 • Estudio completo por Piero Pág. 30• La cosmología poliédrica de Kepler Pág. 31• Los poliedros en los tiempos modernos Pág. 32• Los poliedros en el Arte del siglo xx Pág. 33• Poliedros en la Sagrada Familia Pág. 34• El mágico universo poliédrico de Escher Pág. 35• El misticismo poliédrico en la creatividad de Dalí Pág. 36 • Conclusión Pág. 37• Bibliografía Pág. 38• Anexo Pág. 39

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• CUERPOS GEOMÉTRICOS• (CONCEPTOS BÁSICOS) Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. 9 Hay

cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede calcular el volumen del mismo cuerpo geométrico. Otros cuerpos geométricos son de forma irregular y necesitan otro método para determinar su volumen. 9 Los cuerpos de forma regular pueden tener superficies planas o curvas. 9 Los cuerpos se clasifican en:

• Poliedros Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc.

• Cuerpos redondos Cuerpos geométricos engendrados por la rotación de una figura plana alrededor de su eje, como la esfera, el cilindro, etc.

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La teoría geométrica de grupos es un área de las matemáticas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topológicas o geométricas de los espacios donde estos grupos actúan (esto es, cuando los grupos en cuestión son realizados como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios).

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Esto es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de Cayley del grupo, en el cual, además de la estructura de grafo, están adosadas con una de espacio métrico, dada por la llamada word metric longitud de palabra.

grafo de CayleyLa teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es

un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe confundir con las gráficas que tienen una acepción muy amplia)

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La teoría geométrica de los grupos, como una rama distinta de las matemáticas, es relativamente nueva, y ha devenido claramente identificable como una parte de las matemáticas desde finales de los 1980's. La teoría geométrica de los grupos interactúa cercanamente con la topología de dimensiones bajas, la geometría hiperbólica, la topología algebraica, la teoría computacional de grupos y el análisis geométrico.

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CUERPOS GEOMETRICOS Y SUS ELEMENTOS

Cuerpos geométricos -Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio.-Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede calcular el volumen del mismo cuerpo geométrico. Otros cuerpos geométricos. Son de forma irregular y necesitan otro método para calcular su volumen.

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Cuerpos poliedros

Los cuerpos poliedros se distinguen por tener todas sus superficiesplanas. En cualquier cuerpo poliedro podemos observar cuatroelementos básicos: caras, aristas, vértices y diagonales.

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Clasificación De Los Cuerpos Geométricos

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros y cuerpos geométricos redondos o no poliedros.[editar]PoliedrosLos poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas planas exclusivamente.1 Entre los más conocidos:* Sólidos platónicos* Pirámides* Prismas

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Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.

1 Entre los más conocidos:* Esferas* Cilindros* Toro* Cono

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Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.

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Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas planas exclusivamente.

1 Entre los más conocidos:* Sólidos platónicos* Pirámides* Prismas

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• Área de cuerpos geométricos• Cuerpos poliedros• El área es la medida de una región interior,

entonces, para obtener el área de cualquier poliedro deberemos calcular la medida de todas sus caras.Una forma práctica para obtener áreas es calcular su área basal, su área lateral, y luego la suma de ambos, nos dará el área total.

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Aplicaremos nuestra fórmula para calcular el área de un prisma.

Calculemos el área total del siguiente prisma:

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• 1º Cálculo del área basal: el polígono de la base es un rectángulo de 12 cm de largo y 5 cm de ancho. Para calcular el área de este polígono aplicaremos la fórmula b x h, donde b es la base y h es la altura. Como es un rectángulo, b será el largo y h el ancho.b x h = área basal12 x 5 = 60 cm2

2º Cálculo del área lateral: nuestro prisma tiene 4 caras laterales que también son rectángulos. Hay 2 rectángulos que miden 12 cm de largo y 10 cm de ancho. Aplicamos la fórmula para su área y obtenemos:

Área lateral 1 = 12 x 10 x 2Área lateral 1 = 240 cm2

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1º Obtenemos el área basal: corresponde al área del cuadrado de 4 cm por lado.

Área basal = 4 x 4Área basal = 16 cm2

2º Calculamos el área lateral: se necesita el área de los 4 triángulos. Todos son congruentes, entonces su área será :

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Cuerpos poliedrosLos cuerpos poliedros se distinguen por tener todas sus

superficies planas. En cualquier cuerpo poliedro podemos observar 4 elementos básicos:

• caras: bases y caras laterales • aristas • vértices • diagonales 1. Caras de un poliedro. Son las superficies planas que forman

el poliedro; corresponden siempre a polígonos. En un poliedro encontramos caras basales o bases y caras laterales. Las basales (bases) son las superficies que sirven para apoyar al cuerpo en un plano. Las caras laterales quedan en dirección oblicua o perpendicular a una cara basal.

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• ¿Qué son los cuerpos geométricos? • Definición Los cuerpos geométricos son regiones

cerradas del espacio.• Una caja de tetrabrik es un ejemplo claro de la figura que en

matemáticas se conoce con el nombre de paralelepípedo. Esta figura tiene dos elementos: la base (generalmente un rectángulo o un cuadrado) y la altura. De la misma forma, la lata ejemplifica a la figura denominada cilindro. Éste tiene los siguientes elementos: generatriz, eje, base y el radio del círculo que forma la base. El gorro de nazareno tiene forma de la figura conocida como cono. Sus elementos son: generatriz, altura -que es también el eje-, la base y el radio del círculo que forma la base.

• Los cuerpos geométricos se dividen en dos grandes grupos, los poliedros, aquellos en los que las superficies que los delimitan son planas, y los cuerpos redondos, en los que algunas de las superficies que los delimitan son curvas.

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Los Sólidos Platónicos: Historia de los Poliedros Regulares

• Pitágoras investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]». PROCLO DE LICIA. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides.

• «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos, [...], deben tener la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que están inscritos». PLATÓN.

«La culminación de Los Elementos de Euclides con la construcción de los poliedros responde al interés especial que mostraban los filósofos griegos por todo lo que atañe a los cuerpos regulares». F.KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931.Estudios de Leonardo da Vinci (1513) sobre la Geometría de los poliedros con especial énfasis en el Cubo y

el Icosaedro. Códice Atlántico (f. 518r).

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En los tiempos modernos los poliedros han sido un importante nexo que vincula cuestiones de Matemática superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos, …) con la resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía, pero también, por su belleza y misterio, una fuente inagotable de inspiración que enciende la fantasía de creadores, diseñadores y artistas, entre los que sobresale la espectacularidad de los impresionantes trabajos de aplicación de los poliedros en Gaudí, Escher y Dalí, que como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a su geometría funciones de orden estético, cosmológico, científico, místico y teológico.

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• Los poliedros en el NeolíticoLos poliedros regulares son sólidos limitados por idénticos

polígonos regulares, en los que concurren en cada vértice igual número de caras.

El significado simbólico, místico y cósmico de los poliedros regulares se remonta a los primeros estadios de la Civilización. Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas, como muestran las siguientes ilustraciones:

Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow (1979), «lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico».

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•Esfera tetraédrica neolítica (Keith Critchlow: Time Stands Still).•Dodecaedro etrusco (500 a.C. Landes-Museum. Mainz, Alemania).Icosaedro romano (Rheinisches Landes-Museum. Bonn).

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• Los Poliedros en El Timeo de Platón• Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica

considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la cosmogonía descrita (Heat, 1956, 1981), ya que, por una parte, fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió explícitamente los cuatro elementos primarios (fuego, tierra, aire y agua), y por otra, según parece, los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto (Heat, 1981), brillante matemático de La Academia (realizó importantes aportaciones sobre los irracionales) y amigo de Platón, que le honró dando nombre a uno de sus Diálogos, Teeteto (Sobre la Ciencia).

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Los poliedros regulares se llaman, a veces, «Cuerpos Platónicos» por el papel prominente que juegan en el famoso Dialogo de Platón sobre la Naturaleza, Timeo (Platón, 1969), que es, sin duda, el más profundamente pitagórico de su obra. En él expone, de forma mística (Vera, 1970), la asociación que presuntamente habría hecho Pitágoras entre el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro y los cuatro elementos naturales primarios, que Empédocles había vinculado con la constitución de toda la materia; mientras que la veneración pitagórica por el dodecaedro conduce a Platón, fascinado por todo lo pitagórico, a considerar a este sólido como la quintaesencia, el quinto elemento, la sustancia de los cuerpos celestiales, el símbolo místico del Cosmos.

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• Platón construye, con base en Pitágoras y con el auxilio de Teeteto, una de las primeras teorías matemáticas completas: una definición general junto con una completa clasificación de los objetos que la satisfacen. La definición es: un sólido es regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a). A continuación Platón estudia la generación y composición de los poliedros mediante elementos geométricos que son triángulos rectángulos con la hipotenusa doble de un cateto para el caso del tetraedro, octaedro e icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el caso del cubo (Fowler1999). El dodecaedro es mencionado sólo al final del pasaje con una críptica sentencia de corte pitagórico: «Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c). Enseguida Platón argumenta la identificación de cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno de los elementos primarios para concluir (Timeo 55d):

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• La construcción pitagórica de los poliedros regulares pudo ser una generalización evidente al espacio de los mosaicos del plano ya que a juzgar por un testimonio de Proclo, los pitagóricos descubrieron que los únicos polígonos regulares que podían recubrir un plano (a modo de mosaico) son el triángulo, el cuadrado y el hexágono, según el gráfico siguiente:

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• Este estudio aplicado a los mosaicos puede aplicarse a los poliedros con la necesaria modificación de que la concurrencia de m polígonos regulares de n lados en un vértice da un ángulo sólido, de modo que la suma de los ángulos de los polígonos concurrentes no debe ser mayor de 360º, es decir: <360º (EuclidesXI.21).

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• . Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y Durero

Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, propiciado, por una parte, por los estudios platónicos sugeridos por la reaparición de ciertos manuscritos con las obras de Platón, y por otra, debido a que estos sólidos servían como excelentes modelos en los estudios sobre Perspectiva (Pedoe, 1979).

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El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero della Francesca en su obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. Aparte de los tópicos euclídeos sobre poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semi rregulares. Son trece cuerpos igualmente inscriptibles en una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir puntos medios de aristas que concurren en un vértice. Pappus de Alejandría (1982), que atribuye su invención a Arquímedes, da una descripción de estos sólidos en el apartado V.19 de su obra La Colección Matemática e indica, además, para cada sólido, el número de caras, aristas y vértices.

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La Cosmología poliédrica de KeplerKepler fue de tal modo seducido por la cosmogonía pitagórico-platónica

que elaboró una Cosmología basada en los cinco sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave utilizada por el creador para la construcción de la estructura del Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno. Mientras que hay infinitos polígonos regulares sólo existen cinco poliedros regulares. No podía ser una casualidad, la mano del Dios geómetra no improvisa. Según Koestler (1985), Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas que intervienen con las órbitas de los planetas. Al creer que había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis planetas, llamó a su revelación El Misterio Cósmico.

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Los poliedros en los tiempos modernosLa famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido

platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos» (V – A + C = 2), es posible que fuera conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la establece hacia 1635, aunque este hecho no fue conocido hasta 1860 con la publicación de sus Oeuvres inédites por P.Tannery. Euler la obtuvo de nuevo de forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la moderna Topología Algebraica, en relación con la Característica de Euler-Poincaré de una superficie.

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• Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí

Las formas poliédricas en el Arte de Gaudí

Gaudí desarrolló una capacidad casi milagrosa de utilizar todas las formas geométricas y no sólo como nueva morfología estética sino como componente estructural desde la perspectiva gravitatoria de las cargas, es decir, la estética al servicio de la estática. Se definía así mismo como geómetra («yo soy geómetra que quiere decir hombre de síntesis») y al considerar la naturaleza como fuente de inspiración de muchas de sus formas geométricas, Gaudí escribía: «en la naturaleza está el principio y el fin de todas las formas». No es extraño, pues, que las formas poliédricas fueran un tópico habitual para el genio.

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En los pináculos de los campanarios la Sagrada Familia, tanto en la fachada del Nacimiento como en la de la Pasión, aparecen complejas formas resultantes de la intersección de diversos poliedros (sobre todo cubos y octaedros) con esferas provistas de vaciados cilíndricos funcionales que crean espacios donde situar la original iluminación. En los cuatro pináculos de los campanarios de la fachada de la Gloria están presentes dodecaedros regulares.

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El mágico universo poliédrico de EscherEscher estaba fascinado por la misteriosa regularidad de las

formas minerales con las que debía tener frecuente contacto al tener un hermano que era geólogo de profesión: «hay algo de estremecedor en las leyes que gobiernan las formaciones cristalinas». De ahí nace su interés por los poliedros, cuyas formas utilizará con asiduidad en los múltiples modelos de diversos materiales y en numerosos grabados donde los dibuja en diversas posiciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes, Escher construyó con hilo y alambre un modelo de los cinco cuerpos platónicos, inscritos unos en otros, que le acompañaba siempre.

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• El misticismo poliédrico en la creatividad de DalíPara Dalí, como para otros muchos artistas, la Geometría

proporciona importantes argumentos en las reflexiones teóricas previas a la obra de arte. En particular la Divina Proporción y los poliedros regulares, además de las implicaciones estéticas acreditadas por su presencia en algunos de sus cuadros, asumen una función de orden cosmológico, científico, teológico y simbólico. En la aplicación constante de la Matemática a su pintura, Dalí sintetiza siglos de tradición simbólica pitagórica (González Urbaneja, 2001).

Dalí se había interesado en los años 30 del pasado siglo por las investigaciones de M. Ghyka acerca de la sección áurea, la geometría y la numerología pitagóricas, lo que deja una huella en su arte que adquiere una estrecha relación entre Ciencia y Religión (Weyers, 2000).

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CONCLUSION:

Este trabajo trata de los grupos geométricos y de lo importante que es. Explica la teoría de las propiedades (tecnológicas y geométricas) que se

dedica finitamente. También trata que es el Grafo, que estudia las graficas atreves de las

matemáticas y las ciencias de computación. Indica los elementos de los cuerpos geométricos y como están integrados. Los cuerpos poliedros que se distingue, por tener todas sus superficies

planas. Explica las áreas de cuerpos geométricas que es la medida interior. Indica el área basal y el área lateral. Relata las historia de los grupos geométricos, de las Pitágoras y quienes

los investigan.

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BIBLIOGRAFIA:.ES.WIKIPEDIA.ARG.WWW.BUENES TAREAS.COM.WWW.IARITO.COM.CAM.EDUCACION DIGITAL.NET.WWW.EDUCAREX.ES.DIVULGAMAT2.EHU.ES

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