ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015

MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Thời gian làm bài: 150 phút )

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 

         a)  2x 7x 6 ;  

         b)  4 2x 2008x 2007x 2008.  

Bài 2. (4,0 điểm) Giải phương trình:  

        a)  2x 3x 2 x 1 0 ;  

         b)  2 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 x 4 x 4 x x x 4 .

x x x x

 

Câu 3. (4,0 điểm)            a) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:     

 2 2 2

1 1 1 3

1 x 1 y 1 z 1 xyz

 

         b) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức    

           x 2 x 4 x 6 x 8 2008   cho đa thức  2x 10x 21 . 

Câu 4 ( 4,0 điểm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ đường th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng:

a) OA.OB = OC.OH;

b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi ;

c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.

Câu 5. ( 2,0 điểm) Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác 

AFB cân, đỉnh F có góc đáy là  o15 . Chứng minh rằng tam giác CFD là tam giác đều. 

Câu 6. ( 2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :   

           x y 2012 . 

----------------Hết----------------

 Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm  

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 ý Nội dung Điểm

1.   4,0

a

2 27 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x

                  1 6x x  

1 1 

b  

4 2 4 2 22008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x   0,5 

24 2 2 2 2 21 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x   0,5 

2 2 2 2 21 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x   1 

2.   4,0 

a 2 3 2 1 0x x x  (1) 

+ Nếu  1x : (1)  2

1 0 1x x  (thỏa mãn điều kiện  1x ). 

+ Nếu  1x : (1)  2 24 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x  

                             1; 3x x   (cả  hai  đều  không  bé  hơn  1,  nên  bị 

loại) Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là  1x . 

0,5  

0,5  

0,5  

0,5 

b

2 2 222 2

2 2

1 1 1 18 4 4 4x x x x x

x x x x

 (2) 

Điều kiện để phơng trình có nghiệm:  0x  

 (2) 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 4 4x x x x x

x x x x

 

2

2 22

2

1 18 8 4 4 16x x x x

x x

 

0 8x hay x  và  0x . 

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm  8x  

0,5   

0,5   

0,5  

0,5  

3   4,0

a Ta có:  

2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 10

1 x 1 y 1 xy 1 x 1 xy 1 y 1 xy

 

2

2 2 2 2

x(y x) y(x y) (y x) (xy 1)0 0

(1 x )(1 xy) (1 y )(1 xy) (1 x )(1 y )(1 xy)

 Vì x  1; y  1 xy  1  xy – 1  0, bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra bất đẳng thức đã cho đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y . Áp dụng kết quả trên, ta có: 

   

0,5  

 0,5 

       

2 2

1 1 2 2  (Do z   1)

1 x 1 y 1 xy 1 xyz

 Tương tự: 

2 2 2 2

1 1 2 1 1 2  ;  

1 y 1 z 1 xyz 1 z 1 x 1 xyz

 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta suy ra được: 

2 2 2

1 1 1 3

1 x 1 y 1 z 1 xyz

 

 0,25 

   

0,25   

0,5   

b Ta có:  

2 2

( ) 2 4 6 8 2008

10 16 10 24 2008

P x x x x x

x x x x

 

Đặt  2 10 21 ( 3; 7)t x x t t ,  biểu thức P(x) đợc viết lại: 

2( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t  

Do đó khi chia  2 2 1993t t  cho t ta có số d là 1993 

0,5  

0,5  

0,5  

0,5 

4   4,0

a Chøng minh: BOH    COA (g.g)

OB OH

OC OA

OA.OB = OC.OH         

 

0,5  

0,5   

b Ta có

OB OH

OC OA (suy ra tõ BOH    COA)

OA OH

OC OB

Chứng minh được OHA  OBC (c.g.c)

OHA OBC   (kh«ng ®æi)

                                        

0,5    

0,5    

c VÏ MKBC 

 BKM   BHC (g.g) BM BK

BC BH BM.BH = BC.BK        (1)

CKM   CAB (g.g) CM CK

CB CA   CM.CA = BC.CK        (2)

Cộng từng vế của (1) với (2), ta được: 

BM.BH + CM.CA = BC.BK + BC.CK 

0,5

0,5

0,5

                              = BC.(BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi).  

 0,5 

 

Câu5   2,0

Dựng tam giác cân BIC như AFB có góc đáy 150 .

Suy ra :                                                 0

2 B 60  (1) . 

Ta có ΔAFB ΔBIC (theo cách vẽ ) nên: FB = IB (2). 

Từ (1) và (2) suy ra : FIB  đều . 

Đường  thẳng  CI  cắt  FB  tại    H  . Ta cã: 2 I = 300 ( góc  ngoài  của 

CIB ).

Suy ra: 2 H = 900 ( vì    B= 600 )  FIB là tam giác đều nên IH là 

trung  trực của  FB  hay  CH là  đường  trung  trực  của  CFB . Vậy  

CFB  cân  tại C. Suy ra : CF = CB (3) 

Chứng minh tương tự, ta có  DFC  cân tại F. Do đó: FD = FC (4).

Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC). 

 Vậy ΔDFC đều. 

0,5     

0,5   

 0,5 

   

0,5   

   

Câu 6   2,0

   

Từ phương trình suy ra: 

x 2012 y 2012 x 2012   Tương tự   

y 2012 x 2012 y 2012  

 Vậy 0  x, y  2012. Cũng từ đề bài suy ra: 

2

y 2012 y y 2012 x 2012 2 x. 2012 x  

2y 2012 2 2012.x x 2012 4 503x x x 503k (k )

mà x  2012  503k2  2012  k2  4  k2 {0; 1; 4} 

0,5   

0,25  

 0,25 

  

0,25  

 

  k2 = 0  x = 0 (loại)    0,25 

  k2 = 1  x = 503    y = 503 (nhận)  0,25 

  k2 = 4  x = 2012  y = 0 (loại)  0,25 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (503; 503).     

Chú ý. Nếu học sinh có cách giải khác, đúng và lập luận chính xác thì vẫn cho điểm tuyệt đối.