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Demostraciones de congruencia
de triángulos
Prof. Kyria A. Pérez
Estándares de contenido y
expectativas
G.FG.9.5.3 Identifica, contrasta, diferencia y
aplica las condiciones suficientes para la
congruencia de triangulos (LLL, LAL, ALA, AAL y
HL)
G.FG.9.7.1 Identifica las condiciones de
semejanza LAL, LLL y AA como condiciones
suficientes para establecer la semejanza de
triángulos , las aplica y observa que la
congruencia es un caso especial de semejanza.
Objetivos particulares del tema
Comparar y contrastar el significado y aplicación
de los términos de igualdad, congruencia y
semejanza según su relación a conjuntos de figuras
geométricas.
Identificar, contrastar, diferir y aplicar condiciones
suficientes para la congruencia de triángulos
(LLL,LAL,ALA,AAL,HL)
Condiciones suficientes para establecer
semejanza (LAL, LLL,AA)
Definiciones
• Igualdad: la igualdad es la correspondencia y
proporción resultante de muchas partes que
componen un todo uniforme
En el campo de la matemática, una igualdad es una
equivalencia de dos expresiones o cantidades. Estos
factores, para ser iguales, deben tener el mismo valor.
Igualdad
La condición de ser igual.
Tener el mismo valor o
cantidad.
Definiciones
Congruencia: De la misma forma y tamaño. Dos figuras
son congruentes si se puede voltear, girar y/o rotar una
y hacerla calzar exactamente en la otra.
En este ejemplo las formas son congruentes (solamente se
necesita girar una y moverla un poquito)
Definiciones
• Similar: En Geometría, dos figuras son similares si la
única diferencia es el tamaño (y posiblemente la
necesidad de girarla o voltearla).
Estas dos figuras son similares (una es más pequeña y
está volteada pero aparte de eso son la misma).
Definiciones
Semejanza: Semejanza es la cualidad de semejante
(que se parece a alguien o algo).
Aplicada a una figura geométrica, la semejanza señala
que la figura es distinta a otra solo por el tamaño, ya
que sus partes guardan respectivamente la misma
proporción. En este sentido, los triángulos
semejantes son aquellos que guardan una relación de
semejanza y tienen, por lo tanto, similar forma. En el
caso de los triángulos, a diferencia de otras figuras, la
forma depende sólo de sus ángulos.
Definiciones
Triangulo: Un polígono de 3 lados ( una
figura plana de lados rectos).
Triangulo Acutángulo: un triangulo que
tiene todos sus ángulos menores a 90°
(90° se llama ángulo recto)
Definiciones
• Triángulo Equilátero: Un triángulo con todos
los tres lados de la misma longitud. Todos los
ángulos serán de 60°.
• Triángulo escaleno: Un triángulo con todos
los lados de diferentes longitudes. Ningún
lado es igual a otro ni ningún ángulo es igual
a otro.
Definiciones
Triángulo Isósceles: Un triangulo con dos lados
iguales. Los ángulos opuestos a los lados iguales
también son iguales.
Triángulo Obtusángulo: Un triangulo que tiene
un ángulo mayor de 90°
Definiciones
Triangulo Rectángulo: Un triangulo que
tiene un ángulo recto (90°)
Definiciones
Teorema: Derivada del latín theorema, la palabra teorema
consiste en una proposición que puede ser demostrada de
manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que
fueron demostrados con anticipación. Este proceso de
demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de
inferencia.
El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una
afirmación de importancia. Existen otras de menor rango,
como ocurre con el lema (que pertenece a un teorema más
largo), el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema)
o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a
ningún teorema en específico). Cabe destacar que, hasta que la
afirmación no logra ser demostrada, se la define como hipótesis
o conjetura.
Definiciones
• Reglas de inferencia: inferencia es la deducción de
una cosa a partir de otra, conclusión. En general,
es el proceso de razonamiento por el que se
concluye una proposición de otra u otras
anteriormente aceptadas.
En lógica formal la inferencia está regulada por
reglas (llamadas reglas de inferencia) mediante
cuya aplicación a una o varias premisas
anteriormente dadas podemos obtener una
conclusión.
Definiciones
Los argumentos basados en tautologías (expresión lógica
que es verdadera para todos los posibles valores de
verdad) representan métodos de razonamiento
universalmente correctos. Su validez depende solamente
de la forma de las proposiciones que intervienen y no de
los valores de verdad de las variables que contienen.
A esos argumentos se les llaman reglas de inferencia. Las
reglas de inferencia permiten relacionar dos o más
tautologías o hipótesis en una demostración. Se
relacionan a las 5 oraciones condicionales: condicional,
bicondicional, inversa, conversa (reciproca) y
contrareciproca..
Triángulo
ste triángulo se puede llamar
ABC, BCA,
CBA, ACB ,
BAC, CAB
A este triángulo se le puede llamar
ABC, BCA, CBA, ACB , BAC, CAB
SIMBOLOS
Triángulo
< Ángulo
= Congruente
Criterios de Congruencia
Lado-Lado-Lado
Angulo-Lado-Angulo
Lado-Angulo-Lado
Lado-Lado-Angulo
Angulo-Angulo-Lado
Criterios de Congruencia
Postulado LAL
Si dos lados y el ángulo incluido
de un triángulo son congruentes
a dos lados y el ángulo incluido
de otro triángulo, entonces los
dos triángulos son congruentes.
Postulado LAL
B
A C D
E
F
Postulado ALA
Si dos ángulos y el lado incluido de
un triángulo son congruentes con
dos ángulos y el lado incluido de
otro triángulo, los triángulos son
congruentes.
Postulado ALA
A B
C
D E
ABC EDC
Postulado LLL
Si los lados de un triángulo son
congruentes con los lados de un
segundo triángulo, entonces los
triángulos son congruentes.
Postulado LLL
M
K
L
D
E F
LKM FDE
Teorema AAL
Si dos ángulos y el lado opuesto a
uno de estos en un triangulo son
congruentes a sus partes
correspondientes de otro triángulos,
entonces los triángulos son
congruentes.
Teorema AAL
X
W Y
Q
P R
QRP XYW
Teorema LLA
Si dos lados y el ángulo opuesto a
uno de estos en un triangulo son
congruentes a sus partes
correspondientes de otro triángulos,
entonces los triángulos son
congruentes.
Teorema LLA
V
T U
D
F E
TVU FDE
Ejercicios
Ejercicio 1
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por
LLL:
F
D E
FDE KLM por LLL
K
L
M
Ejercicios Ejercicio 2
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por
LAL
L
B A
C
J
K
ABC JKL por LAL
Ejercicios
Ejercicio 3
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por
ALA:
O
Q
P
X
Z Y
XYZ OQP por ALA
Ejercicios
Ejercicio 4
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por
AAL:
K
A
L
T
Z
W
TWZ ALK por AAL
Ejercicios
Ejercicio 5
Liste las partes que falta marcar congruentes para
que los triángulos sean congruentes por ALA:
P
Z
T
E
L
W
WLE PZT por ALA
Ejercicios
Ejercicio 6
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por
LLL:
K
G M
B
F
KBF KGM por LLL
Ejercicios
Ejercicio 7
Liste las partes que falta marcar congruentes
para que los triángulos sean congruentes por LAL
RLM HTS por LAL
R
M
L
H S
T
Ejercicios
Ejercicio 8
Liste las partes que falta marcar congruentes para
que los triángulos sean congruentes por AAL:
ABC DEF por AAL
