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Elaborado por:
Azahel Hernández Navarrete.
Ingeniería Financiera, 8vo Cuatrimestre.
Cálculo Diferencial, 5to Cuatrimestre.
Examen Unidad 2. Cálculo Diferencial e Integral.
Deriva las Siguientes funciones.
A. Método de los 4 pasos.
I. 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐
1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ) − 2(𝑥 + ℎ)2
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − (2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2
2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2) − (𝑥 − 2𝑥2)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2 − 𝑥 + 2𝑥2
𝑓(𝑥) = ℎ − 4𝑥ℎ − 2ℎ2
3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h = 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
Se factoriza el numerador de ℎ−4𝑥ℎ−2ℎ2
ℎ
o ℎ(1−4𝑥−2ℎ)
ℎ
Se cancela h.
o ℎ(1−4𝑥−2ℎ)
ℎ
(1 − 4𝑥 − 2ℎ)
4to paso: a 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎=
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
limℎ→0
= 1 − 4𝑥 − 2ℎ
limℎ→0
= 1 − 4𝑥 − 2(0)
𝑓′(𝑥) = 1 − 4𝑥
Resultado de la derivada de la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 es: 𝒇′(𝒙) = 𝟏 − 𝟒𝒙
II. 𝒚 =𝟐𝒙
𝒙𝟑
Sub paso: a 𝑦 =2𝑥
𝑥3, se simplifica a: 𝑦 =2
𝑥2
1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑦 =2
(𝑥+ℎ)2
2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑦 =2
(𝑥+ℎ)2 −2
𝑥2
𝑦 =2(𝑥2)−(𝑥+ℎ)2(2)
(𝑥+ℎ)2(𝑥2)
𝑦 =2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
Se resuelve el binomio de 𝑦 =2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
o 𝑦 =2𝑥2−2(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)
𝑥2(𝑥+ℎ)2
𝑦 =2𝑥2−(2𝑥2+4𝑥ℎ+2ℎ2)
𝑥2(𝑥+ℎ)2
𝑦 =2𝑥2−2𝑥2−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
𝑦 =−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2
3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h = 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
𝑦 =(
−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2 )
ℎ
Se realiza la división por método sándwich.
o 𝑦 =(
−4𝑥ℎ−2ℎ2
𝑥2(𝑥+ℎ)2 )
ℎ
1
𝑦 =1(−4𝑥ℎ−2ℎ2)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
Se factoriza el denominador
o 𝑦 =ℎ(−4𝑥−2ℎ)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
Se cancela h de 𝑦 =ℎ(−4𝑥−2ℎ)
ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)
o 𝑦 =−4𝑥−2ℎ
𝑥2(𝑥+ℎ)2
4to paso: a 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎=
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
limℎ→0
=−4𝑥−2(0)
𝑥2(𝑥+(0))2
limℎ→0
=−4𝑥
𝑥2(𝑥)2
limℎ→0
=−4𝑥
𝑥4
𝑦′ =−4
𝑥3
Resultado de la derivada de la ecuación 𝒚 =𝟐𝒙
𝒙𝟑 es: 𝒚′ =−𝟒
𝒙𝟑
B. Deriva por fórmula.
I. 𝒇(𝒘) =( √𝒘𝟑𝟒
)(−𝟐𝒘𝟐)
(−𝟐𝒘)𝟐
Se transforma el radical √𝑤34 a exponente 𝑤3/4 .
Se cancela el exponente (−2𝑤)2, para pasa a ser (−2)2𝑤2 = 4𝑤2
Se suman los exponentes de la variable w, de la siguiente forma:
o −2(𝑤3
4 + 𝑤2)
o Puesto que en el denominador, tiene una variable w, se sube al numerador
con exponente negativo: 4𝑤2 =𝑤−2
4
o Se procede a continuar la suma de las variables w: 𝑓′(𝑤) =−2(𝑤
34+𝑤2+𝑤−2)
4
o La función queda de la siguiente forma: 𝑓′(𝑤) =−2(𝑤
34)
4
o Se procede a transformar el exponente 𝑤3
4 a radical 𝑓′(𝑤) =−2( √𝑤34
)
4
o 𝑓′(𝑤) =−1 √𝑤34
2
o 𝒇′(𝒘) =− √𝒘𝟑𝟒
𝟐
II. 𝒇(𝒎) =𝟓
𝟒𝒆𝐥𝐧(√𝒎)
Se cancela 𝑒ln de la función 𝑓(𝑚) =5
4𝑒ln(√𝑚), ya que su derivada es la misma.
Se obtiene la radical √𝑚 en exponente 𝑚1/2
Se deriva el exponente 𝑚1/2 en 1
2𝑚
(1
2)−1
Se multiplica el 𝑓(𝑚) =5
4l por la derivada del exponente
1
2𝑚−
1
2, quedando de la
siguiente forma: 𝑓(𝑚) =5
4(
1
2𝑚−
1
2)
𝑓′(𝑚) =5
8𝑚−
1
2
Puesto que el exponente 𝑚−1
2, está negativo, ésta hay que volverlo positivo de la
siguiente forma: 𝑚−1
2 →1
𝑚1/2 por lo que…
𝑓′(𝑚) =5
8(
1
𝑚12
)
𝑓′(𝑚) =5
8𝑚12
𝒇′(𝒎) =𝟓
𝟖√𝒎
III. 𝒚 = 𝒆−𝟓𝒙(𝟓
√𝒙𝟐−𝟓)
Se transforma el radical √𝑥2 − 5 en exponente (𝑥2 − 5)1
2.
Para eliminar la división 5
(𝑥2−5)12
, se procede a subir el denominador al numerador,
cambiando el exponente de positivo a negativo, de la siguiente forma:
5 ((𝑥2 − 5)−1
2)
Se procede a realizar la multiplicación de 𝑦 = (𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2 − 5)−1
2)), a través de la
fórmula UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = (𝑒−5𝑥), y 𝑉 = (5 ((𝑥2 − 5)−1
2)).
𝑈 = (𝑒−5𝑥), 𝑉 = (5 ((𝑥2 − 5)−
12))
𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5𝑥1−1)
𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5𝑥0)
𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5(1))
𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5)
𝑈′ = −5𝑒−5𝑥
Se deriva la función (5 ((𝑥2 − 5)−1
2)) en tres
partes: la derivada de (𝑥2 − 5)−1
2 ; de 𝑥2 y la
multiplicación por 5 ((𝑥2 − 5)−1
2) :
o 𝑉′ = (5 (−1
2(𝑥2 − 5)(−
1
2)−1
)) (𝑥2)
o 𝑉′ = (5 (−1
2(𝑥2 − 5)
−3
2 )) (2𝑥2−1)
o 𝑉′ = (−5
2(𝑥2 − 5)
−3
2 ) (2𝑥)
o 𝑉′ = (2𝑥) (−5
2) (𝑥2 − 5)
−3
2
o 𝑉′ = (−10𝑥
2) (𝑥2 − 5)
−3
2
o 𝑉′ = −5𝑥(𝑥2 − 5)−3
2
Por tanto: 𝑈𝑉 = [(𝑒−5𝑥) (−5𝑥(𝑥2 − 5)−3
2 )] + [(−5𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2 − 5)−1
2))]
𝑦′ = [(𝑒−5𝑥)(−5𝑥)(𝑥2 − 5)−3
2 ] + [(−5𝑒−5𝑥)(5)(𝑥2 − 5)−1
2]
𝑦′ = [(−5𝑥𝑒−5𝑥)(𝑥2 − 5)−3
2 ] + [(−25𝑒−5𝑥)(𝑥2 − 5)−1
2]
𝑦′ = −5𝑥𝑒−5𝑥(𝑥2 − 5)−3
2 −25𝑒−5𝑥(𝑥2 − 5)−1
2
IV. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒
Puesto que 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) está multiplicando a (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒, entonces se procederá a
usar la siguiente fórmula: UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙), y 𝑉 = (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒.
𝑼 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) 𝑽 = (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒
Puesto que la derivada de una secante es 𝑠𝑒𝑐(𝑈) =sec(𝑈) tan(𝑈) (𝑈′), entonces 𝑈 = 3 sec2(1 − 𝑥) se deriva en
2 partes, sec2 y sec en lo siguiente:
𝑈′ = 3(2 sec2−1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))((0) − (𝑥1−1))
𝑈′ = 3(2 sec1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−𝑥0) 𝑈′ = 6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−1) 𝑈′ = (−1)6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥)) 𝑼′ = −𝟔 𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) (𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝟏 − 𝒙))
Puesto que la función 𝑉 = (5𝑥2 −𝑥)4 está compuesto de un
binomio, entonces se procederá
a derivarlo en 2 partes: (5𝑥2 − 𝑥)4
y 5𝑥2 − 𝑥.
𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)4−1(2(5𝑥2−1 − 𝑥1−1) 𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)3(10𝑥1 − 𝑥0)
𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)3(10𝑥 − (1))
𝑉′ = (10𝑥 − 1)(4)(5𝑥2 − 𝑥)3
𝑽′ = (𝟒𝟎𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟑
[(3𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥))((40𝑥 − 4)(5𝑥2 − 𝑥)3)] + [((5𝑥2 − 𝑥)4)(−6 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)))]
(3)𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥)(40𝑥 − 4)(5𝑥2 − 𝑥)3+(5𝑥2 − 𝑥)4 + (−6) + 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥))
(120𝑥 − 12)(5𝑥2 − 𝑥)3 𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) − 6(5𝑥2 − 𝑥)4 𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)
𝑓′(𝑥) = 6(5𝑥2 − 𝑥)3 sec2(1 − 𝑥)[(20𝑥 − 2) − (5𝑥2 − 𝑥) tan(1 − 𝑥)]
C. Obtén la derivada de segundo orden de “y” (y’’), de la siguiente ecuación
implícita.
I. 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚
Derivada de primer orden (𝑦’).
o Se iguala a “0”.
2𝑥𝑦 − 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 = 0
o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).
2𝑥𝑦 − 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 = 0
−𝑦2 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 = 0
−𝑦2 − 𝑥2 + 𝑥𝑦 = 0
o Se deriva toda la función.
[(2) − 𝑦2−1(𝑦′)][(2) − 𝑥2−1] + (𝑥1−1𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
[−2𝑦1𝑦′][−2𝑥1] + (𝑥0𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
−2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + (1𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0
−2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ = 0
o Se agrupan los términos con y’.
−2𝑦𝑦′ + 𝑥𝑦′ = +2𝑥 − 𝑦
o Se factoriza la y’ de la función.
𝑦′(−2𝑦 + 𝑥) = +2𝑥 − 𝑦
o Se despeja y’ de la función.
𝑦′ =+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥
Derivada de segundo orden (𝑦’’).
o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente
derivación.
o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: 𝑈
𝑉=
𝑉𝑈′−𝑈𝑉′
𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:
𝑼 = 2𝑥 − 𝑦 𝑽 = −2𝑦 + 𝑥
𝑼′ = 2𝑥1−1 − 𝑦1−1𝑦′ 𝑼′ = 2𝑥0 − 𝑦0𝑦′
𝑼′ = 2(1) − (1)𝑦′ 𝑼′ = 2 − 𝑦′
𝑽′ = −2𝑦1−1𝑦′ + 𝑥1−1
𝑽′ = −2𝑦0𝑦′ + 𝑥0 𝑽′ = −2(1)𝑦′ + (1)
𝑽′ = −2𝑦′ + 1
o [(−2𝑦+𝑥)(2−𝑦′)]−[(2𝑥−𝑦)(−2𝑦′+1)]
(−2𝑦+𝑥)2
o [((−2𝑦)(2))((−2𝑦)(𝑦′))][((𝑥)(2))((𝑥)(−𝑦′))]−[((2𝑥)(−2𝑦′))((2𝑥)(1))][((−𝑦)(−2𝑦′))((−𝑦)(1))]
(−2𝑦+𝑥)2
o [(−4𝑦)(−2𝑦𝑦′)][(2𝑥)(−𝑥𝑦′)]−[(−4𝑥𝑦′)(2𝑥)][(+2𝑦𝑦′)(−𝑦)]
(−2𝑦+𝑥)2
o Se eliminan paréntesis.
−4𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑥−𝑥𝑦′+4𝑥𝑦′−2𝑥+2𝑦𝑦′+𝑦
(−2𝑦+𝑥)2
o Se ordenan mediante variable x, de mayor a menor en su exponente.
+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′
(−2𝑦+𝑥)2
o Se realizan las operaciones (suma o resta) de términos iguales.
+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′
(−2𝑦+𝑥)2
+3𝑥𝑦′−3𝑦
(−2𝑦+𝑥)2
o Sustituir y’ con la función obtenida +2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥 en la función anterior.
+3𝑥(
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥)−3𝑦
(−2𝑦+𝑥)2
o Realizar la multiplicación correspondiente entre +3𝑥 y (+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥).
+3𝑥
1(
+2𝑥−𝑦
−2𝑦+𝑥)
((3𝑥)(+2𝑥)(+3𝑥)(−𝑦)
−2𝑦+𝑥)
((6𝑥1+1)(−3𝑥𝑦)
−2𝑦+𝑥)
((6𝑥2)(−3𝑥𝑦)
−2𝑦+𝑥)
(6𝑥2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥)
o Realizar la suma de fracciones ubicadas en el numerador.
(
6𝑥2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥)
(−3𝑦)
1
(−2𝑦+𝑥)2
(
6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦+𝑥))
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
(
6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦)(−3𝑦)(+𝑥))
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
(
6𝑥2−3𝑥𝑦((+6𝑦1+1)(−3𝑥𝑦))
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
(
6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
o Sumar los términos similares.
(
6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
(
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
o Aplicar el método “Sándwich”
(
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
−2𝑦+𝑥)
(−2𝑦+𝑥)2
1
(6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2)(1)
(−2𝑦+𝑥)1(−2𝑦+𝑥)2
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
(−2𝑦+𝑥)1+2
6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2
(−2𝑦+𝑥)3
o Se factoriza el 6 en la ecuación ubicado en el numerador.
6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)
(−2𝑦+𝑥)3
o Se obtiene la derivada de segundo orden resultante:
𝑦′′ =6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)
(−2𝑦+𝑥)3
II. 𝒙𝟑 − 𝟕 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 = 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙𝟐𝒚 Derivada de primer orden (𝑦’).
o Se iguala a “0”.
𝑥3 − 7 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 0
o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).
𝑥3 − 7 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 0
𝑥3 − 7 + 4𝑥2𝑦 − 3𝑦2 = 0
o Se deriva toda la función.
3𝑥3−1 − (0) + [((2)4𝑥2−1𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [((2)3𝑦2−1)(𝑦′)] = 0
3𝑥2 + [(8𝑥1𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [(6𝑦1)(𝑦′)] = 0
3𝑥2 + [(8𝑥𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [(6𝑦𝑦′)] = 0
3𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = 0
o Se agrupan los términos con y’.
3𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = 0
4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦
o Se factoriza la y’ de la función.
𝑦′(4𝑥2 − 6𝑦) = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦
o Se despeja y’, de la función.
𝑦′ =−3𝑥2−8𝑥𝑦
4𝑥2−6𝑦
Derivada de segundo orden (𝑦’’).
o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente
derivación.
o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: 𝑈
𝑉=
𝑉𝑈′−𝑈𝑉′
𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:
𝑼 = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦 𝑽 = 4𝑥2 − 6𝑦
𝑼′ = (2) − 3𝑥2−1(−8𝑥𝑦′)((1) − 8𝑥1−1𝑦)
𝑼′ = −6𝑥1 − 8𝑥𝑦′ − 8𝑥0𝑦 𝑼′ = −6𝑥 − 8𝑥𝑦′ − 8(1)𝑦
𝑼′ = −6𝑥 − 8𝑥𝑦′ − 8𝑦
𝑽′ = (2)4𝑥2−1(−6𝑦′) 𝑽′ = 8𝑥1 − 6𝑦′ 𝑽′ = 8𝑥 − 6𝑦′
o [(4𝑥2−6𝑦)(−6𝑥−8𝑥𝑦′−8𝑦)]−[(−3𝑥2−8𝑥𝑦)(8𝑥−6𝑦′)]
(4𝑥2−6𝑦)2
o Se multiplican los binomios y trinomios.
([(4𝑥2)(−6𝑥)][(4𝑥2)(−8𝑥𝑦′)][(4𝑥2)(−8𝑦)])([(−6𝑦)(−6𝑥)][(−6𝑦)(−8𝑥𝑦′)][(−6𝑦)(−8𝑦)]) − ([(−3𝑥2)(8𝑥)][(−3𝑥2)(−6𝑦′)][(−8𝑥𝑦)(8𝑥)][(−8𝑥𝑦)(−6𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
([(−24𝑥2+1)(−32𝑥2+1𝑦′)(−32𝑥2𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦1+1)]) − ([(−24𝑥2+1)(+18𝑥2𝑦′)][(−64𝑥1+1𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
([(−24𝑥3)(−32𝑥3𝑦′)(−32𝑥2𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦2)])([(+24𝑥3)(−18𝑥2𝑦′)][(+64𝑥2𝑦)(−48𝑥𝑦𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realizan las operaciones entre términos similares (suma o resta).
(−24𝑥3)(+24𝑥3)(+48𝑥𝑦𝑦′)(−48𝑥𝑦𝑦′)(−32𝑥2𝑦)(+64𝑥2𝑦)([(−32𝑥3𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
(+32𝑥2𝑦)([(−32𝑥3𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2𝑦′)])
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se eliminan paréntesis y corchetes.
(+32𝑥2𝑦)(−32𝑥3𝑦′)(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)(−18𝑥2𝑦′)
(4𝑥2 − 6𝑦)2
+32𝑥2𝑦 − 32𝑥3𝑦′ + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2 − 18𝑥2𝑦′
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se ordenan por variable x de mayor a menor exponente.
−32𝑥3𝑦′ − 18𝑥2𝑦′ + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se factoriza y’. opción A.
𝑦′(−32𝑥3 − 18𝑥2) + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se sustituye la y’ por el resultado obtenido al final de la derivada de primer
orden realizado (𝑦′ =−3𝑥2−8𝑥𝑦
4𝑥2−6𝑦):
(−3𝑥2 − 8𝑥𝑦
4𝑥2 − 6𝑦) (−32𝑥3 − 18𝑥2) + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se multiplican los términos del numerador.
[((−3𝑥2)(−32𝑥3)(−3𝑥2)(−18𝑥2))((−8𝑥𝑦)(−32𝑥3)(−8𝑥𝑦)(−18𝑥2))]
4𝑥2 − 6𝑦+
32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
[((−96𝑥3+2)(+54𝑥2+2))((+256𝑥3+1𝑦)(+144𝑥2+1𝑦))]
4𝑥2 − 6𝑦+
32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦4𝑥2 − 6𝑦
+32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2
1
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se suman las fracciones ubicadas en el numerador.
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦[(32𝑥2𝑦)(4𝑥2 − 6𝑦)][(+36𝑥𝑦)(4𝑥2 − 6𝑦)][(+48𝑦2)(4𝑥2 − 6𝑦)]4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦[(128𝑥2+2𝑦 − 192𝑥2𝑦1+1)][(+144𝑥2+1𝑦 − 216𝑥𝑦1+1)][(192𝑥2𝑦2 − 288𝑦1+2)]4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦 + 128𝑥4𝑦 − 192𝑥2𝑦2 + 144𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 + 192𝑥2𝑦2 − 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realizan las operaciones (suma o resta) correspondientes.
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦 + 128𝑥4𝑦 − 192𝑥2𝑦2 + 144𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 + 192𝑥2𝑦2 − 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
o Se realiza operación “Sándwich”.
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3
4𝑥2 − 6𝑦
(4𝑥2 − 6𝑦)2
1
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)1(4𝑥2 − 6𝑦)2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)1+2
−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3
(4𝑥2 − 6𝑦)3
D. Resuelve la derivada en su más alto orden posible de las siguientes funciones.
I. 𝑓(𝑥) = −3
720𝑥6 +
12
360𝑥5 −
10
120𝑥4 +
9
18𝑥3 − 50𝑥 + 8
o Derivada de primer orden.
𝑓𝐼(𝑥) = [(𝟔) (−3
720𝑥6−1)] [(𝟓) (+
12
360𝑥5−1)] [(𝟒) (
−10
120𝑥4−1)] [(𝟑) (
+9
18𝑥3−1)] [(𝟏)(−50𝑥1−1)] + (0)
𝑓𝐼(𝑥) = [(−18
720𝑥5)] [(
+60
360𝑥4)] [(
−40
120𝑥3)] [(
+27
18𝑥2)] [(−50𝑥0)]
𝑓𝐼(𝑥) = [(−18
720𝑥5)] [(
+60
360𝑥4)] [(
−40
120𝑥3)] [(
+27
18𝑥2)] [(−50(1))]
𝑓𝐼(𝑥) = [(−18
720𝑥5)] [(
+60
360𝑥4)] [(
−40
120𝑥3)] [(
+27
18𝑥2)] [(−50)]
o Derivada de segundo orden.
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (−18
720𝑥5−1)] [(𝟒) (
+60
360𝑥4−1)] [(𝟑) (
−40
120𝑥3−1)] [(𝟐) (
+27
18𝑥2−1)] [(−50)]
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−90
720𝑥4)] [(
+240
360𝑥3)] [(
−120
120𝑥2)] [(
+54
18𝑥1)] [(0)]
Simplificar fracciones.
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−90
90720
90
𝑥4)] [(+240
120360
120
𝑥3)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−1
8𝑥4)] [(
2
3𝑥3)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]
o Derivada de tercer orden.
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟒) (−1
8𝑥𝟒−𝟏)] [(𝟑) (
2
3𝑥𝟑−𝟏)] [(𝟐)(−1𝑥𝟐−𝟏)][(3𝑥𝟏−𝟏)]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4
8𝑥3)] [(
6
3𝑥2)] [(−2𝑥1)][(3𝑥0)]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4
8𝑥3)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3(1))]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4
8𝑥3)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3)]
o Derivada de cuarto orden.
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟑) (−4
8𝑥𝟑−𝟏)] [(𝟐)(2𝑥𝟐−𝟏)] [((𝟏) − 2𝑥𝟏−𝟏)] [(0)]
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−12
8𝑥2)] [(4𝑥1)][(−2𝑥0)]
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−12
8𝑥2)] [(4𝑥)][(−2(1))]
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−6
4𝑥2)] [(4𝑥)][(−2)]
o Derivada de quinto orden.
𝑓𝑉(𝑥) = [(𝟐) (−6
4𝑥𝟐−𝟏)] [(𝟏)(4𝑥𝟏−𝟏)][(0)]
𝑓𝑉(𝑥) = [(−12
4𝑥1)] [(4𝑥0)]
𝑓𝑉(𝑥) = [(−12
4𝑥)] [(4(1))]
𝑓𝑉(𝑥) = [(−12
4𝑥)] [(4)]
o Derivada de sexto orden.
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟏) (−12
4𝑥𝟏−𝟏)] [(0)]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−12
4𝑥0)]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−3(1))]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−3)] o Derivada de séptimo orden.
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)] 𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0
II. 𝒇(𝒙) =𝟓
𝟐𝟏𝟎𝒙𝟕 −
𝟖
𝟏𝟐𝒙𝟔 +
𝟗
𝟏𝟔𝒙𝟓 −
𝟑
𝟖𝒙𝟑 − 𝟓
o Derivada de primer orden.
𝑓𝐼(𝑥) = [(𝟕) (5
210𝑥7−1)] [(𝟔) (
−8
12𝑥6−1)] [(𝟓) (
9
16𝑥5−1)] [(𝟑) (
−3
8𝑥3−1)] [−(𝟎)]
𝑓𝐼(𝑥) = [(35
210𝑥6)] [(
−48
12𝑥5)] [(
45
16𝑥4)] [(
−9
8𝑥2)]
o Derivada de segundo orden.
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟔) (35
210𝑥6−1)] [(𝟓)(−4𝑥5−1)] [(𝟒) (
45
16𝑥4−1)] [(𝟐) (
−9
8𝑥2−1)]
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(150
210𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(
180
16𝑥3)] [(
−18
8𝑥1)]
Simplificar fracciones.
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(150
30210
30
𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(180
416
4
𝑥3)] [(−
18
28
2
𝑥1)]
𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(5
7𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(
45
4𝑥3)] [(
−9
4𝑥1)]
o Derivada de tercer orden.
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (5
7𝑥5−1)] [(𝟒)(−20𝑥4−1)] [(𝟐) (
45
4𝑥3−1)] [(𝟏) (
−9
4𝑥1−1)]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25
7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(
90
4𝑥2)] [(
−9
4𝑥0)]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25
7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(
90
4𝑥2)] [(
−9
4(1))]
𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25
7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(
90
4𝑥2)] [(
−9
4)]
o Derivada de cuarto orden.
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟒) (25
7𝑥4−1)] [(𝟑)(−80𝑥3−1)] [(𝟐) (
90
4𝑥2−1)] [(0)]
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(100
7𝑥3)] [(−240𝑥2)] [(
180
4𝑥1)]
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(100
7𝑥3)] [(−240𝑥2)] [(
180
4𝑥)]
o Derivada de quinto orden.
𝑓𝑉(𝑥) = [(𝟑) (100
7𝑥3−1)] [(𝟐)(−240𝑥2−1)] [(𝟏) (
180
4𝑥1−1)]
𝑓𝑉(𝑥) = [(300
7𝑥2)] [(−480𝑥1)] [(
180
4𝑥0)]
𝑓𝑉(𝑥) = [(300
7𝑥2)] [(−480𝑥)][(45(1))]
𝑓𝑉(𝑥) = [(300
7𝑥2)] [(−480𝑥)][(45)]
o Derivada de sexto orden.
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟐) (300
7𝑥2−1)] [(𝟏)(−480𝑥1−1)][(0)]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600
7𝑥1)] [(−480𝑥0)]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600
7𝑥)] [(−480(1))]
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600
7𝑥)] [(−480)]
o Derivada de séptimo orden.
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟏) (600
7𝑥1−1)] [(0)]
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600
7𝑥0)]
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600
7(1))]
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600
7)]
o Derivada de octavo orden.
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)] 𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0