Investigación Operativa

DESARROLLO DE MODELOS

El problema

Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz

Los recursos son escasos

Los sistemas son cada vez más complejos

Investigación operativa (I.O.)

• Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos

• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones• Requiere un enfoque interdisciplinario

Historia de la I.O.

• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:

– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)

– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)

– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)

• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial

Historia de la I.O.

• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a:– competitividad industrial– progreso teórico

• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)

– gran desarrollo de los ordenadores

Actualidad de la I.O.

• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial

• Más información:– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)

• www.cica.es/aliens/seio

– Association of European O.R. Societies (EURO)• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html

– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)• www.informs.org

– International Federation of O.R. Societies (IFORS)• www.ifors.org

El método de la I.O.

• Definición del problema• Formulación del problema y construcción del

modelo• Resolución• Verificación, validación, refinamiento• Interpretación y análisis de resultados• Implantación y uso extensivo

A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente

El modelado

• Es una ciencia– análisis de relaciones– aplicación de algoritmos de solución

• Y a la vez un arte– visión de la realidad– estilo, elegancia, simplicidad– uso creativo de las herramientas– experiencia

Definición del problema

• Consiste en identificar los elementos de decisión– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)– alternativas– limitaciones del sistema

• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)

• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles

Formulación del problema

• Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento

• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación

• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos– hace más claras la estructura y relaciones– facilita el uso de técnicas matemáticas y

ordenadores– a veces no es aplicable

Construcción del modelo

• Traducción del problema a términos matemáticos– objetivos: función objetivo– alternativas: variables de decisión– limitaciones del sistema: restricciones

• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas– heurísticos– simulación

Tipos de modelos

• Determinísticos– Programación

matemática• Programación lineal• Programación entera• Programación dinámica• Programación no lineal• Programación multiobjetivo

– Modelos de transporte– Modelos de redes

• Probabilísticos– Programación

estocástica– Gestión de inventarios– Fenómenos de espera

(colas)– Teoría de juegos– Simulación

Resolución

• Determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones

• Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

Verificación y validación

• Eliminación de errores• Comprobación de que el modelo se adapta a la

realidad

Interpretación y análisis

• Robustez de la solución óptima obtenida: Análisis de sensibilidad

• Detección de soluciones cuasi-óptimas atractivas

Implantación

• Sistema de ayuda y mantenimiento• Documentación• Formación de usuarios

Ejemplo nº1

En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 50 ptas/l y 30 ptas/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 ptas de materias primaspor cada 1000 l.La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y10.000 ptas para materias primas, y desea maximizar subeneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

21 0003000050 x.x.z axM

0

0001000020005

1553

21

21

21

x,x

.x.x.

xx

.a.s

El modelo de P.L.

nn xcxcxcz Opt 2211

021

2211

11212111

n

mnmnmm

nn

x,,x,x

bxaxaxa

bxaxaxa

.a.s

El modelo de P.L.

z: función objetivoCT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o.XT (x1,...,xn): vector de variables de decisiónA (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicosb (b1,...,bm): vector de demandasMatricialmente,

Opt CTXs.a.

AX bx 0

Forma canónica

Propiedades del modelo lineal

• Proporcionalidad– La contribución al coste y a las restricciones es

directamente proporcional al valor de cada variable

• Aditividad– El coste y las restricciones son la suma directa de

las variables

• Divisibilidad– Las variables pueden dividirse en cualquier tipo de

fracción

Modelos de prog. entera

• El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras– Programación entera mixta (MIP)

• x R+, y Z+

– Programación entera pura (IP)• x Z+

– Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP)• x {0,1}: variables de asignación, lógicas

• Son problemas más complicados de resolver que los de P.L.

• El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos

• Problema del transporte• Problema de flujo con coste mínimo en red• Problema de asignación• Problema de la mochila (knapsack)• Problema del emparejamiento (matching)• Problema del recubrimiento (set-covering)• Problema del empaquetado (set-packing)• Problema de partición (set-partitioning)• Problema del coste fijo (fixed-charge)• Problema del viajante (TSP)• Problema de rutas óptimas

Problema del transporte

Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta

Zx,x

m..i,ax

n..j,bx

.a.s

xc Min

ijij

i

n

1jij

j

m

1iij

m

1i

n

1jijij

0

1

1

xij: unidades a enviar de origen i a destino jcij: coste unitario de transporte de i a j

ai: unidades de oferta en el punto origen ibj: unidades de demanda en el punto destino j

Se supone oferta total igual a demanda total

Flujo con coste mínimo en red

Embarcar los recursos disponibles a través de la redpara satisfacer la demanda a coste mínimo

Zx,x

m..j,bxx

.a.s

xc Min

ijij

i

m

kki

m

1jij

m

1i

n

1jijij

0

11

xij: unidades enviadas de i a j (flujo)cij: coste unitario de transporte de i a j

bi:recursos disponibles en un nodo ioferta: bi>0demanda: bi<0transbordo: bi=0

Se supone oferta total igual a demanda total

Problema de asignación

10

11

11

,x

m..i,x

n..j,x

.a.s

xc Min

ij

n

1jij

m

1iij

m

1i

n

1jijij

xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina jcij: coste de realizar la tarea i con máquina j

n tareasm máquinas

Si hay más máquinas que tareas se formulacon desigualdades, y se resuelve con tareasficticias

Minimizar el coste total de operación de modo que:- cada tarea se asigne a una y sólo una máquina- cada máquina realice una y sólo una tarea

Problema de la mochila

10,x

bxa

.a.s

xc Max

j

n

1jjj

n

1jjj

n objetos

aj: espacio que ocupa el objeto jcj: valor del objeto j

b: volumen de la mochila

xj: 1 si se escoge el objeto j

Escoger un grupo de productos que maximice el valortotal sin exceder el espacio disponible

Problema de emparejamiento

1,0

2..1,1

..

c

2

1

1-i

1k

1-2n

1i

2n

11jij

ij

n

ijijki

ij

x

nixx

as

xMaxxij=1 si los elementos i y j son parejacij: valor de la pareja i-j

i<j

Distribuir un conjunto por parejas de tal forma que el valor sea máximo. Si hay elementos sin pareja: emparejamiento imperfecto. Si están en dos conjuntos, emparejamiento bipartito.

Problema de recubrimiento

m característicasn actividades

xj=1 si la actividad j se realiza

cj: coste unitario de la actividad j

aij=1 si la característica i está en la actividad j

A: matriz de incidencia

Minimizar el coste de las actividades que en su conjunto cubren todas las características al menos una vez

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de empaquetado

m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i

A: matriz de incidencia

Maximizar el beneficio total de forma que hay que elegir conjuntos completos de actividades, y que no se realice una actividad dos veces

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema de partición

m actividadesn conjuntos de actividades

xj=1 si se elige el subconjunto j

cj: beneficio por realizar el conjunto j

aij=1 si el conjunto j incluye la actividad i

A: matriz de incidencia

Si en el problema de recubrimiento o en el de empaquetado las desigualdades se cambian por igualdades

1,0

..1,1

..

c

n

1j

n

1jj

j

jij

j

x

mixa

as

xMin

Problema del coste fijo

1,0,0

..1,

..

n

1j

n

1j

1

n

1j

kij

kkjkj

jij

m

kkkjj

yx

mkyMxa

bx

as

yfxcMin xij: unidades del producto jcj: coste unitario de producción de j

yk=1 si se usa la instalación kfk: coste de arranque de la instalación kakj=1 si el producto j usa la instalación k

bj: demanda del producto jM: número lo suficientemente grande

Decidir la cantidad de cada producto de modo que se minimicen los costes de producción y se satisfaga la demanda

Problema del viajante

10

1

1

,x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ij

Aj)j/(i,ij

Aj)i/(i,ij

Aj)(i,ijij

xij=1 si de i va directamente a jcij: distancia entre i y j

A: conjunto de arcosV: conjunto de nodos

Encontrar un circuito que visite exactamente una vez cada ciudad empezando en la primera y que tenga longitud mínima

Uj,Ui/A)j,i(ij

UVj,Ui/A)j,i(ij

VU/VU,Ux

VU/VU,x

221

221

10

1

1

1

1

1

,x

k,Vj,xx

x

Vi,x

Vj,x

.a.s

xc Min

ijk

Ar)r/(j,1jrk

Aj)i/(i,ijk

Aj)(i,ijk

Aj)j/(i,

n

kijk

Aj)i/(i,

n

kijk

n

1k Aj)(i,ijkij

Problema de rutas

221

11

0

11

1

001 00 0

1 0

0 0

0

1 1 1

NS,Sx

m..k,x

k,rdxsxt

k,Qxq

k,j,xx

n..j,x

.a.s

xcxc Min

Si Sj

m

kijk

n

1jojk

kkn

i

n

jijki

n

i

n

jijkij

n

i

n

jkijki

n

i

n

ijikijk

n

i

m

1kijk

n

0i

n

0j

m

k

m

k

n

jojkkijkij

N: clientesM: vehículos

xijk=1 si el vehículo k visita j después de icij: coste unitario de transporte de i a jdij: distancia de i a jtij: tiempo de i a j

qi: demandasi: tiempo de descargai: prioridadQk: capacidadro

k, dok: período tiempo disponible

ck: coste fijo por uso

Minimizar el coste total, visitando todos los clientes

Formulación con var. binariasRestricciones disyuntivas

K de N alternativas deben darse

Restricciones condicionales

Decisiones contingentes

0)(

0)(

xg

ó

xf

gxg

fxf

)1()(

)(

nnn fxf

fxf

fxf

2

222

111

)(

)(

)(

1,0,1

N

jj KN

0)(0)( xgxf 0)( 0)( xgóxfequiv. a

x y y x