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Repaso UNI Álgebra
Desigualdades e inecuaciones
√ ⃗ ̅
Página 1 www.repasocv.blogspot.com Prof.: Christiam Huertas
Problema 01. Dados los conjuntos
* +
2 .
/ 3
halle el cardinal del conjunto .
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
Resolución. Hallemos el equivalente de cada conjunto:
* +
* ( ) ( )+
* ( ) ( )+
* ( ) ( )+
* +
⟨ ⟩
2 .
/ 3
4
5
Como , entonces: . Es decir,
* +
Por lo tanto, ( ) .
Problema 02. Sean y dos conjuntos de modo que
* +
* +
halle el número de elementos enteros de .
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
Resolución. Hallemos el equivalente de cada conjunto:
* +
{(
)
⏟ }
(
)
(
)
Luego, los elementos enteros de son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
* +
{(
)
⏟ }
(
)
(
)
Luego, los elementos enteros de son: 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Por lo tanto, el número de elementos enteros de es 6.
Problema 03. Dada la expresión matemática
( )
Encuentre el intervalo en el que se encuentra si se sabe que
⟨ -.
A) ⟨ - B) , ⟩ C) , ⟩
D) ⟨ - E) , -
Resolución. Factorizando el numerador se obtiene:
( )( )
Luego, la expresión se puede expresar como
( ) ( )( )
( )
Como ⟨ -, entonces
( )
( ) ⏟
( )
Por lo tanto, ( ) , ⟩.
Problema 04. Sean , y números reales positivos. Halle el
máximo valor de la siguiente expresión.
A)
B) 1 C)
√
D)
E)
Resolución. Analicemos la primera fracción.
Como es positivos, aplicamos la desigualdad de las medias:
√
√
Luego, invertimos
√ √
Es decir,
√
De igual manera para y :
√
√
Sumamos:
√
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Por lo tanto, el máximo valor de la expresión es √
Problema 05. Dado el número
√ .
/
(
√
√
√
√ )
Además cumple con la condición
( ) siendo .
Calcule el valor de ( ).
A) 10 B) C) 100 D) E)
Resolución. La expresión se puede expresar como
. /
√
√ (
)
√ √
√ (
)
√ [
√ (
)]
Aplicamos convenientemente la propiedad:
Recuerde que la igualdad solo se cumple cuando todos los números
que intervienen son iguales. Entonces,
√
√
√
√
√ (
)
Entonces,
√ [
√ (
)]
Además, por dato se tiene que
( )
( ) (( ) )
( ) ( )
√
√
(dato)
Nos piden calcular ( ) ( ) .
Problema 06. Dado el conjunto
{( )
}
halle el valor de ( ) ( ).
A) 0 B) 1 C) 2 D) E) 4
Resolución. Vamos a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz:
( ) ( )( )
En este caso, consideramos: , y .
( ) ( )( )
( ) ( ) (
)
( )
Es decir, los elementos del conjunto varían en el intervalo , -.
Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) .
Problema 07. Determine el conjunto solución de la siguiente
inecuación.
Considere * + .
A) ⟨ ⟩ B) ⟨ ( )⟩ C) ⟨ ⟩
D) ⟨ ( ) ⟩ E) ⟨ ( ) ⟩
Resolución. De la inecuación agrupemos las fracciones
homogéneas:
⏟
⏟
⏟
⏟
( )
Por lo tanto, ⟨ ( ) ⟩.
Problema 08. Determine los valores enteros de para el cual la
ecuación ( ) posee una de sus raíces en el
intervalo ⟨ ⟩ y la otra en el intervalo ⟨ ⟩.
A) * +
B) * +
C) * +
D) * +
E) * +
Resolución. Se tiene la ecuación ( ) ( )⏟
( )
Gráficamente podemos representar a las raíces de la ecuación:
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Para que ⟨ ⟩ y ⟨ ⟩, se debe cumplir lo
siguiente:
( ) ( )
( ) ( )( ( ))
⏟
⏟
Luego, los valores enteros que toma son: 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8.
Problema 09. Determine el equivalente del conjunto .
{
( )( ) }
A) ⟨ - B) ⟨ - C) ⟨ ⟩
D) ⟨ ⟩ E) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
Resolución. La inecuación se puede expresar como:
( ) ⏞
( )( )
El cual es equivalente a
( )( )
Aplicamos el criterio de los puntos críticos:
Entonces, ⟨ ⟩.
Por lo tanto, ⟨ ⟩.
Problema 10. Halle un intervalo solución de la siguiente
inecuación fraccionaria.
( ) ( ) ( )
( )( )
A) ⟨ ⟩ B) ⟨ - C) , ⟩
D) ⟨ - E) ⟨ -
Resolución. La inecuación se puede expresar como:
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
Simplificando factores comunes se obtiene:
( ) ( ) ⏞ ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
Aplicamos el criterio de los puntos críticos:
Luego, ⟨ - ⟨ - * +.
Por lo tanto, un intervalo solución es ⟨ -.
Problema 11. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
√ √ √
A) , ⟩ B) 0
⟩ C) 0
1 D) * + E) 0
1
Resolución. Hallamos el CVA:
⏟
Entonces, , ⟩.
Ahora analizamos la inecuación considerando el CVA.
√ ⏟ √ ⏟ √ (es verdadero)
√
Por lo tanto, , ⟩.
Problema 12. Resuelva la siguiente inecuación.
√
√√ √
A) , ⟩ B) , ⟩ C) , ⟩ D) , ⟩ * + E) , ⟩
Resolución. Hallemos el CVA:
√ √
( ) ⏟
, ⟩ * + ( )
, ⟩ * + ⟨ - , ⟩
, ⟩ * +
Entonces, , ⟩ * +.
Ahora analizamos la inecuación.
√
⏟ √√ √
⏟ ( )
Por lo tanto , ⟩ * +.
𝑓(𝑥)
𝑥 𝑥
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Problema 13. Resuelva la siguiente inecuación.
| | | | | |
A) , ⟩ B) , ⟩ C) ⟨ - , - D) E)
Resolución. La inecuación se puede expresar así:
| | | | | |
Recuerde que
| | | | | |
Luego, aplicamos la propiedad para los números y :
|( ) ( )| | | | |
| | | |
| | | | | | | |
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación
| | | | | | es .
Problema 14. Resuelva la siguiente inecuación.
.√ √ /
√ √
A) ⟨
⟩ B) ⟨
⟩ C) ⟨ ⟩ D) ⟨
⟩ E) ⟨ ⟩
Resolución. La inecuación se puede expresar así:
4√(√ ) 5
√(√ )
(√ )
√
Racionalizamos el segundo miembro y obtenemos:
(√ ) √
(√ ) (√ )
Como la base √ es mayor que 1, entonces los exponentes
mantienen el mismo sentido de la desigualdad:
Por lo tanto, ⟨ ⟩.
Problema 15. Calcule el valor de ( ) si se sabe que
el conjunto solución de la inecuación √ ( ) es de
la forma , ⟩.
A) 1 B) 2 C) 6 D) 3 E) 10
Resolución. Primero hallamos el CVA:
( )
⏟
Luego, , ⟩.
En la inecuación:
√ ( )
Elevamos al cuadrado
( )
Luego, ⟨ ⟩.
Entonces,
, ⟩ ⟨ ⟩
, ⟩ , ⟩ (por dato)
De donde , y .
Por lo tanto, .
