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SOLUCION AL PROBLEMA REAL (SIMULACION) DELQUIS ROMERO C JAVIER HERNANDEZ MAYERLI TATIANA RANGEL

DIAPOSITIVAS PROBLEMA RESUELTO EN ARENA

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SOLUCION AL PROBLEMA REAL (SIMULACION)

DELQUIS ROMERO CJAVIER HERNANDEZ

MAYERLI TATIANA RANGEL

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5. Se debe fabricar una lata de forma cilíndrica que contenga 1000 , es decir, H = 1000. Las tapas circulares superior e inferior deben tener un radio de 0,25 cm mas que el radio de la lata R, tal que el sobrante se use para sellar. La hoja del material para la parte lateral debe ser 0,25 cm mas grande que la circunferencia o perímetro de la lata, es decir, 2 R + 0,25, de modo que pueda hacerse un sello. Calcule con una exactitud de la cantidad mínima de material necesaria para fabricar la lata.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

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El área total de material requerida At para construir se predice considerando las áreas laterales y las dos tapas, así:

El área lateral se indica en la figura. Esta función de dos variables se puede restringir a una variable R, usando la restricción del volumen π H = 1000. Entonces:

PASO 1 MODELIZACION

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Nótese que la función At (R) es de tipo racional, donde su dominio lo forman todos los números reales donde no se haga cero el denominador. En particular, interesa R > 0 por el sentido físico que representa. Las funciones racionales se caracterizan por ser funciones continuas y diferenciables en su dominio.

Para establecer el mínimo de material a través del modelo de At (R), se deben encontrar los puntos críticos y caracterizar quienes de ellos son puntos mínimos del modelo.

Los puntos críticos se deben establecer usando la derivada de At (R),así:

MODELIZACION

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Llevando a cabo algunas simplificaciones se puede llegar a la siguiente ecuación polinomial de grado 4:

Cuantas raíces tiene (a su vez, puntos críticos)?, tiene 4 que pueden ser reales y complejas (teorema fundamental del ´algebra). Para esta aplicación solo tienen sentido aquellas que sean reales.

MODELIZACION

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Es bien sabido que, la solución de las ecuaciones polinomiales de grado superior a 2 debe encararse con métodos numéricos. Para usar un método de estos se deben tener pistas de buenos valores de arranque o iniciales a partir de los cuales se inicia la búsqueda. Como establecemos un buen valor inicial para este problema?

Debe notarse que la no linealidad fuerte, en este caso la combinación de términos R4 y R3, surge porque se considera material sobrante en el modelo de At. Si este no fuese el caso, se puede determinar una raíz con solución analítica así:

Para la solución de este problema escogeré el método de Newton-Raphson.

PASO 2 EL METODO NUMERICO

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El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método línea liza la función por la recta en ese valor tangente supuesto. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

n número natura Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada

EL METODO NUMERICO

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function lataoptima1

R_o=(2000/(4*pi))^(1/3); % define el valor inicial

x_r=newton_rap(R_o,20,1e-5); % llama al método numérico

% Para analizar la solución

x=linspace(x_r*(1-.1),x_r*(1+.1),20);

% define un dominio x_r-10 %<x<x_r+10 %

y=material(x); % se evalúa A_t(x)

plot(x,y,'k'),xlabel('R'),ylabel('A_t(R)');grid on;

figure

plot(x,modelo(x),'k',x,

zeros(length(x)),'r',x_r,modelo(x_r),'dk')

xlabel('R'),ylabel('f(R)');grid on;

fprintf(1,'\n\n\n\t El radio mínimo es %9.4f\n',x_r)

fprintf(1,'\t correspondiéndole un área mínima de %9.4f\n',...

PASO 3 IMPLEMENTACION DEL METODO NUMERICO

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material(x_r))

fprintf(1,'\t la dimensión de H es %9.4f\n',1000/(pi*x_r^2))

return

function f=modelo(R) % implementa f(R)

f=-(1000/pi)*(2*pi*R-0.5)+pi*R.^3+4*pi*R.^4;

function f=material(R) % implementa A_t(R)

f=(2*pi*R+0.25).*(1000./(pi*R.^2))+2*pi*(R+0.25).^2;

IMPLEMENTACION DEL METODO NUMERICO

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En esta tabla se muestra los resultados obtenidos con el método Newton-Raphson:

PASO 4 ANALISIS DEL RESULTADO

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Para analizar los resultados de la modelización y del método numérico, se despliegan dos figuras en Matlab. En la primera se grafica At contra R, es decir, la cantidad de material en función del Radio de la lata. En esta se verifica o la posición del radio que produce el área mínima de material. Tal como puede apreciarse.

ANALISIS DEL RESULTADO

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En la segunda figura se pretende verificar la existencia de una raíz (punto crítico) con la representación de f (R) contra R, tal punto crítico garantiza la existencia del punto mínimo en la función At(R). Tal como puede apreciarse.

ANALISIS DEL RESULTADO