X I M E N A M A RT Í N E Z A R R I AG A

DIOFANTO

Es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números. sin embargo se sabe muy poco sobre su vida y ha existido mucho debate con respecto a la época en la que vivió.

Diofanto cita la definición de un número poligonal a partir del trabajo de Hipsicles, de modo que se sabe a ciencia cierta que eso lo escribió después del año 150 a.C. Por otra parte Teón, padre de Hipatia, cita una de las definiciones de Diofanto, lo cual significa que Diofanto lo escribió antes del 350 d.C., lo cual deja un lapso de tiempo demasiado grande entre ambas fechas 500 años.

LA EDAD DE DIOFANTO

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

Una de las contribuciones importantes de Diofanto corresponde al campo de la notación. Los historiadores de la matemática distinguen tradicionalmente tres etapas en el desarrollo del álgebra: (a) Palabras(b) la etapa intermedia o sincopada (se utilizan algunas abreviaturas)(c) la etapa final o simbólicaLos signos utilizados en Arithmetica no son, en realidad, símbolos algebraicos, como los concebimos actualmente, sino abreviaturas (por ejemplo, para cada potencia de la incógnita existía un signo especial).

De él ha llegado hasta nosotros:Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis)Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica)Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución

• Arithmetica Libro I   Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.•   Arithmetica Libro II   Consta de 35 problemas. El

problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al llamado “teorema de Fermat”

II. 8 DESCOMPONER UN CUADRADO EN DOS CUADRADOS

“Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuaciónx 2 + x 2 = 16haciendo y 2 = 16 – a 2 que identifica con una expresión de la forma (ka – 4) 2 y haciendo k = 2 obtieney 2 = 16 – a 2 = (2a – 4) 2

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

III. 19 Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.

 Arithmetica Libro IV   Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a números cúbicos. Como lo griegos no conocían las fórmula de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solución aceptable. Y como muestra un botón

IV. 1 DESCOMPONER UN NÚMERO DADO EN DOS CUBOS CUYA SUMA DE RAÍCES SEA DADA

“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27″

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuacionesx 3 + y 3 = 370x + y = 10Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:(a + 5) 3 + (5 – a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.