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Educacin y Didctica de las matemticas

BROUSSEAU, G. Educacin y Didctica de las matemticas

En: Educacin Matemtica (en prensa). Mxico, Nov. 1999.____________________________________________________________________________

PAGE 6BROUSSEAU, G. Educacin y Didctica de las matemticas

En: Educacin Matemtica (en prensa). Mxico, Nov. 1999.____________________________________________________________________________

Educacin y Didctica de las matemticas

Guy BrousseauProfesor emrito del IUFM de Aquitaine (Francia)

Introduccin

En los inicios del siglo XXI vamos a abordar la educacin matemtica con recursos que aparentemente no tienen punto de comparacin con aquellos que se han utilizado en el pasado. Sin embargo, en estas nuevas circunstancias, no es seguro que nuestros conocimientos y nuestras prcticas actuales nos garanticen una mejor regulacin y una mejor eficacia en este dominio que las que se tuvieron a principios del siglo XX.

Siempre nos hemos preguntado cules son los aportes de los conocimientos matemticos necesarios para la educacin y la sociedad y cmo llevar a cabo dichos aportes. Los textos acerca de la finalidad de las matemticas abundan. Explican la necesidad, para una sociedad, de que cada ciudadano disponga de una cultura matemtica suficiente, y a la vez, la necesidad social de disponer de la cantidad suficiente de tcnicos y de cientficos para enfrentar los desafos del futuro. Todo tiende a convencernos de que las matemticas jugarn en ello un papel importante. Dichos textos explican tambin la importancia de las propiedades formativas inherentes a las matemticas, tanto a nivel individual, por las capacidades que parecen desarrollar, como a nivel de la vida colectiva. El comportamiento racional de una sociedad, es decir, su relacin tanto con la verdad como con la realidad, no descansa nicamente en las virtudes individuales de sus miembros. Exige una prctica social y una cultura que deben ensearse en la escuela. Las matemticas constituyen el campo en el que el nio puede iniciarse ms tempranamente en la racionalidad, en el que puede forjar su razn en el marco de relaciones autnomas y sociales.

A travs de su acercamiento profundo a la conjugacin de las distintas culturas que lo componen, Mxico me ha parecido siempre muy afecto al aspecto humano y humanista de la enseanza. Desde esta ptica, hemos coincidido frecuentemente en la importancia de organizar desde la infancia relaciones ms vivas con las matemticas, ms prximas de su funcionamiento real, y menos austeras de lo que podra pensarse. Pero no voy a volver aqu a este mensaje siempre de actualidad.

Nos cuestionamos hoy adems, acerca de los medios que hemos creado para responder a esta demanda inicial: en qu medida el xito de la difusin de los conocimientos matemticos depende de las Ciencias de la educacin o de las matemticas mismas, o qu lugar tienen en esta difusin los conocimientos de didctica, y ms precisamente de la didctica de las matemticas, qu instituciones pueden asegurar la coherencia y la pertinencia de este gnero de conocimientos

No estoy en condiciones de hacer un estado del arte en relacin con la educacin matemtica en todo el mundo y de hacer un inventario de las tendencias que se han desarrollado en el fin del siglo, adems sta no es mi especialidad. La cantidad y la calidad de los trabajos experimentales, la multiplicidad y la diversidad de las propuestas didcticas que se han realizado rebasan el propsito de esta conferencia y probablemente tambin mi capacidad de informacin y de sntesis.

Ms que un panorama amplio, les propongo hacer un recorrido por estas preguntas siguiendo un itinerario que conozco porque lo he seguido. As pues, me limitar a lo siguiente:

Presentar una de las aproximaciones a la enseanza asumida como objeto de estudio- que se desarroll a partir de los aos 60 de manera complementaria o paralelamente a otras.

Indicar qu parte puede ser considerada para la enseanza de la educacin de los alumnos y para la formacin de los maestros.

Plantear algunas preguntas sobre el estatuto epistemolgico, cientfico y social de esta aproximacin.

Este enfoque, el de la teora de las situaciones didcticas, se presenta actualmente como un instrumento cientfico. Tiende a unificar y a integrar los aportes de otras disciplinas y proporciona una mejor comprensin de las posibilidades de mejoramiento y de regulacin de la enseanza de las matemticas.

No es mi intencin hacer aqu proselitismo para un nuevo mtodo de enseanza, incluso si numerosas aplicaciones han sido tomadas de este acercamiento. Me parece que en la educacin en el siglo XX no han faltado profetas e innovadores. Yo solamente deseo propiciar una reflexin acerca de las relaciones entre contenido de la enseanza con los mtodos de la educacin.

1. Los orgenes de la Teora de las Situaciones

1. Con frecuencia se concibe a la enseanza como la parte de las relaciones entre el sistema educativo y el alumno que conciernen a la transmisin de un saber dado, y entonces se interpreta a la relacin didctica como una comunicacin de informaciones (Fig. 1).

Este esquema tripolar est asociado habitualmente con una concepcin de enseanza en la que el profesor organiza el saber a ensear en una serie de mensajes de los cuales el alumno toma lo que debe adquirir. Este esquema facilita la determinacin de los objetos a estudiar, el papel de los actores, y la asignacin del estudio de la enseanza a diversas disciplinas. Por ejemplo, las matemticas tienen la responsabilidad del contenido, las ciencias de la comunicacin se responsabilizan de la traduccin en mensajes adaptados, la pedagoga y la psicologa cognitivas de comprender y de organizar las adquisiciones y los aprendizajes del alumno. El propsito de estos mensajes es esencialmente la aculturacin del alumno por la sociedad. Por supuesto, este esquema no excluye la intervencin de otras disciplinas como complemento para esclarecer algn aspecto del proceso, pero dicho esquema jerarquiza el impacto que pueden tener.

2. Ahora bien, a propsito de estos fenmenos de aprendizaje, los psiclogos no han cesado de mostrar la importancia de la tendencia natural de los sujetos para adaptarse a su medio. Tanto Skinner (papel de los estmulos), como PIAGET (papel de las experiencias personales en el desarrollo espontneo de los esquemas fundamentales), o VIGOTSKI (papel del medio sociocultural) (Fig.2).

As por ejemplo, aunque Piaget se ocupa esencialmente de la gnesis no escolar de los conocimientos, en numerosos casos, declina esta dualidad para coordinarla. (el apriorismo y el empirismo en la abstraccin reflexiva, la asimilacin y la acomodacin en la equilibracin, etc.)

Desde esta perspectiva, la enseanza se convierte en una actividad que no puede ms que conciliar dos procesos, uno de aculturacin y el otro de adaptacin independiente.

Si identificamos los conocimientos que el sujeto desarrolla en el contacto del medio, con los saberes enseados, y si identificamos al sujeto que aprende con el alumno, se obtiene el esquema cuadripolar de la figura 3.

3. Desde inicios del siglo, los trabajos de psicologa no han dejado de influir en la enseanza. Sin embargo, los resultados han aparecido solamente como medios de rectificarla. Deben ser tomados en cuenta por los maestros, sin que se sepa cmo.

Prescripciones recientes como el nio debe ser ubicado en el centro de las preocupaciones del educador muestran el deseo de reaccionar contra la lgica de la comunicacin, pero no logran esconder la impotencia de la psicologa y de la pedagoga para intervenir de otro modo que no sea el modo crtico y correctivo. As pues, estos esfuerzos no consiguen modificar sensiblemente el esquema tripolar.

4. En los aos 60, el medio del alumno no fue un objeto de estudio en s mismo. Se busc construir un modelo del sujeto que aprende, del proceso de produccin o de aprendizaje de conocimientos, o bien, de la estructura de los saberes. Para SKINNER, la caja negra es el sujeto, los estmulos pueden decidirse por el experimentador, por lo tanto son conocidos, ms exactamente, son transparentes y de lo que conviene construir un modelo es del sujeto. La cultura cientfica de Piaget le proporciona todos los conocimientos que necesita para concebir los dispositivos experimentales en los cuales el nio revela sus modos de pensamiento y para reconocer en sus comportamientos las estructuras y los conocimientos matemticos de su eleccin. A fortiori, si las modalidades de la influencia del medio sociocultural sobre los aprendizajes de los alumnos son tomados en cuenta y estudiados por VIGOTSKI, el estudio del medio, en s mismo, da lugar a otro campo, ideolgico o cientfico.

En los aos 60, siendo todava estudiante de matemticas, y al mismo tiempo alumno de Pierre Grco en Psicologa cognitiva, me impresion por su habilidad para concebir dispositivos experimentales destinados a poner en evidencia la originalidad del pensamiento matemtico de los nios en las etapas de su desarrollo. Sin embargo, me daba cuenta de que no se haca ningn esfuerzo por analizar los dispositivos mismos y por hacer explcita la relacin entre stos y la nocin matemtica cuya adquisicin era estudiada. Asimismo, cuando PIAGET utilizaba los axiomas de PEANO para identificar EL desarrollo de EL conocimiento de EL nmero en EL Nio, estos singulares me parecan apuestas interesantes pero arriesgadas, ms que evidencias. Yo poda producir definiciones de nmeros naturales, matemticamente equivalentes a los axiomas de PEANO, pero de complejidades cognitivas muy diversas. La equivalencia matemtica no tiene como consecuencia la equivalencia cognitiva. Igualmente, bastaba con variar un poco los nmeros propuestos para ver que el conocimiento DEL nmero era de hecho el conocimiento de algunos nmeros. Qu es lo que nos permitira declarar que es exactamente este cono