DistribuciDistribucióón de probabilidad n de probabilidad binomialbinomial

COMBINACIONESCOMBINACIONES

En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de nobjetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos.Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:

)!(!!rnr

nCnr −=

El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir que se multiplican los valores del 1 hasta n:

ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

.Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:

Ejemplo.Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.¿Cuántas maneras de escoger tiene?¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?

a) Las 8 preguntas pueden tener

45)!810(!8

!10108 =

−=C

45 combinaciones posibles

b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras 5 de las 7 últimas preguntas, por lo que

21)!57(!5

!775 =

−=C

tiene 21 maneras posibles todavía

Distribución Binomial

En los temas anteriores, hemos considerado que la variable puede tomar una infinidad de valores. Por ejemplo la talla de una población de estudiantes puede tomar casi cualquier valor entre 1.5 y 2 metros. Estos casos se tratan entonces de distribuciones de variables continuas y un caso general es la distribución normal.

Sin embargo, en ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable discreta.

Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5.

Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de total posibilidades (2) y considerando cada uno de los casos (1).

Entonces

donde P es la probabilidad de que algo sucedaF es el número de casos favorables (o éxitos)N es el número total de posibilidades.

21

NFP ==

La manera más común en que se presentan las probabilidades de una variable discreta es la distribución conocida como binomialbinomial.

Para construir un proceso binomialbinomial se necesita lo siguiente:

1)1) En el experimento sólo hay dos posibles resultadosEXITOEXITO

FRACASOFRACASOEsto puede tomar la forma que queramos, por ejemplo que salga bien un

producto de una máquina (éxito) o que salga defectuoso (fracaso). 2)2) A la probabilidad de éxito le llamamos “p p ”3)3) A la de fracaso le llamamos “q q ”4)4) Se cumple que p + q = 1p + q = 1 (por lo tanto q = 1 q = 1 –– pp )5)5) La probabilidad de éxito permanece constante6)6) Los eventos son independientes. Por ejemplo: Al tirar una moneda 15 veces, cada vez que tire la moneda

no se va a ver afectada por lo que pasó en el evento anterior; cada vez que tire un dado y espero que salga un número en particular la probabilidad no va a depender del número que haya salido antes, etc.

7)7) El experimento se realiza “n n ” veces8)8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de “éxito” P(xP(x)), en los “n n ”

intentos (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo significa que ocurra el evento).

Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las posibles combinaciones de la variable, y multiplicarlas por las probabilidades de cada suceso:

Donde

P(x) = Probabilidad de éxito

es el total de posibles combinaciones

x número de éxitos que se buscan número de total de eventosp probabilidad de éxitoq probabilidad de fracaso

xnxnx qpCxP −=)(

)!xn(!x!nCnx −

=

Ejemplos:Ejemplos:

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados?Para este problema n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que:

Respuesta: 23.43%

2343.0015625.0224

720)5.0()5.0(!2!4

!6)4( 24 =⋅

=⋅

=P

2. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:

a) Ninguno de los clientes haga una compra, o sea de que P(x=0)

6060 80200 ).().(C)(P =

2621440800

8060

60

6

6

.).()(P

).(!!!)(P

==

⋅=

Respuesta: 26.21%

b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x=4)

c) A lo más, tres prospectos realicen una compra, esto es P(x≤3), o sea que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas.

Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido:

0154.0)4(

)8.0()2.0(!2!4

!6)4(

)8.0()2.0()4(

24

2464

=⋅

=

=

P

P

CP

Respuesta: 1.54%

98308020802080208020

3210336

3426

2516

1606

0

.)x(P).().(C).().(C).().(C).().(C)x(P

)(P)(P)(P)(P)x(P

=

+++=

+++=

Respuesta: 98.3%

El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es la probabilidad de que?

a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba en este caso P(x=1)

b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba.

167.0)1()98.0()02.0()1( 9110

1

==

PCP

Respuesta: 16.7%

01609800209800201

1019110

110010

0

.)x(P).().(C).().(C)x(P

)(P)(P)x(P

=

−−=

−−=

Respuesta: 1.6%

)x(P 2≥

Actividad 1.Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de

estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso?

en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2)

210 y,x ≠ n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90

15 0 15 15 1 14 15 2 130 1 2

( ) 1 (0) (1) (2)( ) 1 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9)( )

P x P P PP x C C CP x

= − − −

= − − −

=

Media y Varianza de una distribuciMedia y Varianza de una distribucióón discreta de probabilidades.n discreta de probabilidades.

Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la siguiente manera:

Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman

Por otro lado la varianza se calcula:

∑== )x(Px)x(E iiμ

∑ −=−= )x(P)x(])x[(E ii222 μμσ

Siendo la desviación estándar como anteriormente:2σσ =

Ejemplo: El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos salgan águilas:

sustituimos en las fórmulas:

250550 2020 .)(.)(.C)(P ==

50551 1121 .)(.)(.C)(P ==

250552 0222 .)(.)(.C)(P ==

∑== )x(Px)x(E iiμ125025012500 =++= ).().().(μ

∑ −= )x(P)x( ii μσ 2

502512501125010 2222 .)(.)().()().()( =−+−+−=σ

2 0.707σ σ= =