POLINOMIOS

POLINOMIOS

a es el COEFICIENTE

(un número real)

x, y, … , z se denomina VARIABLES

. ...n m pa x y z Observa, que como todo número real a, se puede poner como:

Los números reales son monomios de grado cero..

Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de

letras y números.

Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene

productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números.

El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales).

0a a x

REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS.

SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES):

Ejemplos: 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

7 3 9

4 2 2

x x x x

p q p q p q

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:

Ejemplos:

2 2 3 2 2 3

2 3 2 2

5 3 15

12 : 4

2

x y z x y z

p q p q q

POLINOMIOS.

Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS.

Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y de grado n es de la forma:

Ejemplos3 2 2( ) 7 3 9; 4 2 1P x x x S z z

Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra

mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación

solamente por una letra mayúscula :

1 2 11 2 1 0....n n n

n n na x a x a x a x a

A los coeficientes (números) de cada monomio, se les denomina

TÉRMINOS, siendo a n el TÉRMINO PRINCIPAL (el término del

monomio de mayor grado), y a 0 el TÉRMINO INDEPENDIENTE (el

término del monomio de grado cero),.

POLINOMIOS.

Un POLINOMIO, decimos que esta ordenado y es completo, cuando

los monomios que lo componen están ordenados de mayor a menor

grado, y ningún término es cero

Ejemplos

3 2

2 4

( ) 7 3 9; es ordenado y completo

4 2 1; ni esta ordenado ni es completo

P x x x x

S x z z

Ejemplo: 2 2Si 5 2,para x = 3, 3 5 3 2 47P x x P

Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma

dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números:

Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0,

decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x):

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes):

Ejemplo:

2 5

2 5

5 2

5 2

2 3; 3 1;

2 3 3 1

2 3 3 1

5 2

Si P x x x Q x x x

P x Q x x x x x

x x x

x x x

7 6 53x x x 3 3 3 9x x x

2 2 3x x

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.

MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por

los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman):

Ejemplo: 2 52 3; 3 1;Si P x x x Q x x x

2 52 3 3 1P x Q x x x x x

2

5

2 3

3 1

x x

x x

7 6 5 3 23 3 7 3x x x x x x

7 6 5 3 23 3 7 3x x x x x x

IDENTIDADES NOTABLES DE MONOMIOS.

Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un

producto de n veces, podemos deducir (“multiplicando”) las siguientes

igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”):

( A(x) + B(x) ) ² = A(x) ² + 2. A(x).B (x) + B(x) ²

( A(x) - B(x) ) ² = A(x) ² - 2. A(x).B (x) + B(x) ²

( A(x) + B(x) ) . ( A(x) - B(x) ) = A(x) ² - B(x) ²

Ejemplos:

2 2 2

2

3 2 9 12 4 ;

2 2 4

x y x xy y

x x x

DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios

del polinomio a dividir):

Ejemplo: 3 24 1; 1;Si P x x x Q x x x

3 2: 4 1 : 1P x Q x x x x x

3 2 4 1 1x x x x

x

1 ; con resto x+2x

3 2x x x 2 1x x

2 1x x

2x

DIVIDENDO

DIVISOR

COCIENTE

RESTO

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Si Efectuamos una división de polinomios P(x) : Q(x), resultando de

cociente C(x) y de resto R(x), se cumple:

P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)

Ejemplo:

3 24 1; 1;Si P x x x Q x x x

3 2Como : 4 1 : 1P x Q x x x x x

3 2Se cumple: 4 1 1 1 4 2x x x x x x

1 ; con resto 2x x

REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO.

Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos

aplicar la Regla de Ruffini.

TEOREMA DEL RESTO.- el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a

P(a)

Ejemplo:

4 3 21. 4 0 6 1 : 3x x x x x

1 4 0 6

3

3 2 21 cuyo RESTO es 170x x x

1

- 3

- 7

21

21

- 63

- 57

171

170

Ejemplo:

4 3 2El resto de la división 1. 4 0 6 1 : 3x x x x x

4 3 2Es: P 3 1. 3 4 3 0 3 6 3 1 170

CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO.

Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término

independiente.

Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos

el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente

Ejemplo:

3 2Si P x 4x x x Si tiene raíces enteras serán divisores de -4, es decir será alguno de los

números -4, -2, -1, 1, 2, 4Como:

P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60

Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.

Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma:

1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar.

2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a.(x-r)2.

3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a.(x-r).(x-s).

Ejemplo: 3 2Si P x 2x x x

2P x ax bx c

Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar

factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores

(“enteros o algún fraccionario”) divisores del término independiente, por

lo menos hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior.

2P x 1 2 1 2 2x x x x x

Aplicando Ruffini para x = 1