Dominio y rango de funciones reales

Objetivo

Identificar, analizar y hallar el dominio y rango de una función matemática.

Destrezas

Identificar el dominio y rango en una relación real.

Logros e indicadores de logro

Identifica el conjunto de partida, de llegada, y el dominio y rango de una relación.

Halla analíticamente el dominio y rango de una relación real.

Resumen

Forme grupos de tres estudiantes a los que entregará una guía con los ejercicios a

desarrollar. La actividad está dividida en dos partes. Al finalizar cada una, verifique

resultados, corrija procedimientos y despeje dudas de los estudiantes.

Materiales:

papeles cuadriculados / regla / lápiz / goma de borrar / lápices de colores/

Desarrollo

1. Forme grupos de tres estudiantes y reparta los siguientes ejercicios en clase. Recuerde a

los estudiantes que al finalizar la actividad deben entregar las hojas de trabajo como parte

de la evaluación del tema.

a. Sea A = {0,1,2,3}; B = {1,2,4,5,6,7,8}, y R: A B / 2x = y

Halle el conjunto solución.

R: S = {(1,2), (2,4), (3,6)}

b. Represente el conjunto solución en un diagrama sagital. Identificando el conjunto de

partida, de llegada, el dominio y el rango de la relación:

R:

c. Con sus propias palabras explique lo qué son el Dominio y Rango de la relación.

R: El dominio es un sub-conjunto formado por los elementos del conjunto de

partida que están relacionados con un elemento del conjunto de llegada.

El rango es un sub-conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que

sirven como imagen de los elementos del dominio de la relación.

d. Identifique el conjunto solución de

R: (- , -2) u (2, )

e. Identifique el conjunto solución de x2 + 5 0

R: Los números reales.

f. Determine el conjunto solución de

R: [- , 0) U [ , )

2. Ahora se trabajarán las relaciones de números reales (relaciones reales) que estén

relacionadas mediante variables (x) y (y), por ejemplo:

R1 = {(x, y) / x + 3y = 2} Línea Recta

R2 = {(x, y) / y2 + x

2 = 9} Circunferencia

R3 = {(x, y) / 2x2 + 3y

2 = 4} Elipse

R4 = {(x, y) / 4x2 ? 9y

2 = 36} Hipérbole

R5 = {(x, y) / xy = 4} Hipérbole equilátera

3. Como toda relación tieneinfinitas parejas ordenadas es evidente que el diagrama sagital

es poco práctico. Así que vamos a formalizar un método rápido, práctico, que nos permita

determinar los valores de (x) que tienen imagen. Trabajen en los mismos grupos y conteste:

Método para hallar el dominio

Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este

despeje podemos considerar tres casos:

i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.

R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.

a. Despejar (y)

R: 2xy - 3y = 5 y(2x - 3) = 5 y =

b. ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?

R:

Este resultado significa que todos los reales, excepto , tienenimagen en el

conjunto de llegada, por lo tanto el dominio de la relación se escribe:

DR = Re -{ }

c. Exprese con sus propias palabras cómo se halla el dominio de una relación, cuando

la (x) queda en el denominador al despejar (y).

R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x)

hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio

de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se

despeja la (x).

ii. La (x) hace parte de un radical par (raíz cuadrada, cuarta, sexta (...). Dé ejemplo.

R: Sea la relación R = {(x, y) / 3x + y2 - 3 = 0}

a. Despeje "y"

R:

b. Exprese con sus propias palabras cómo se halla el dominio de una relación, cuando

la (x) queda en un radical par al despejar (y).

R: Si al despejar (y) en una relación encontramos que la (x) hace parte de un

radical par, entonces para encontrar su dominio bastará con hacer la expresión

subradical mayor o igual a cero y en dicha expresión hallar el conjunto solución

para (y).

c. Para qué un radical par sea real, la cantidad subradical debe ser 0. ¿Por qué?

¿Cómo se representa matemáticamente este respuesta?

R: Porque el radical par de una cantidad negativa no pertenece a los reales.

Pertenece a los imaginarios.

Entonces podemos escribir:

d. ¿Para qué valores de (x) se pueden obtener valores reales?

R: Para los (x) menores o iguales a 1.

Este resultado indica que sólo los números reales menores o iguales a 1 pueden

tener una imagen en el conjunto de llegada y escribimos: DR = Re 1.

iii.La "x" no hace parte de un radical par ni de un denominador. Dé ejemplo.

En este caso podemos asegurar que el dominio de la relación es el conjunto de los números

reales.

R: Sea la relación R = {(x, y) / 3x - 2y - 4 = 0}

a. Despejen "y"

R:

b. ¿La (x) hace parte de un radical par?

R: No.

c. ¿La "x" hace parte de un denominador?

R: No. Luego el dominio de la relación es Re = (- , )

Método para hallar el Rango

Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de

llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar

el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de

(y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.

1. Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y

2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.

Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Porqué?

R: Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y

2 son positivos y

diferentes.

2. Hallar el dominio.

R:

Vemos que la (x) hace parte de un radical par

Solucionamos una desigualdad cuadrática

3. Hallar el rango.

R:

La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto:

4. Terminados los ejercicios propuestos, corrija los resultados y en caso de errores

verifique los procedimientos.

Halla el dominio y el rango de la relación R = {(x, y) / 3y + 4x2 - 4x + 3 = 0}

DR = Re

RR = (- , -2 / 3]

Profundización

Halla el dominio y el rango de las siguientes figuras: