จดท ำโดย นำงสำวกำนตนภทร เฮงสวสด 563050067-0 sec.3

ค ำน ำ

หนงสอเลมเลก พนทผวและปรมำตร เปนสวนหนงของกลมสำระ

กำรเรยนรคณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 3 ซงประกอบไปดวยเรอง พนท

ผวและปรมำตรของปรซม พระมด ทรงกลม ทรงกระบอก และทรงกรวย

จดท ำขนเพอเปนสอประกอบกำรเรยนกำรสอน และพฒนำกระบวนกำร

เรยนรใหประสบผลส ำเรจ นกเรยนสำมำรถศกษำคนควำดวยตวเอง เปนสอ

กำรสอนทชวยแบงเบำภำระของครผสอน สำมำรถน ำมำซอมเสรม หรอ

ทบทวนควำมร ทงอ ำนวยประโยชนตอกำรเรยนกำรสอนใหบรรลตำม

วตถประสงคของหลกสตรไดเปนอยำงด

ผจดท ำหวงเปนอยำงยงวำ หนงสอเลมนจะเปนประโยชน ตอกำร

สอนของครและกำรเรยนของนกเรยน หำกผดพลำดประกำรใด ขออภยมำ ณ

ทน

กำนตนภทร เฮงสวสด

ผจดท ำ

สำรบญ

เรอง หนำ

ควำมหมำยของพนทผวและปรมำตร 1

ปรซม 3

พระมด 8

ทรงกลม 13

ทรงกระบอก 17

ทรงกรวย 23

เฉลยแบบฝกหด 28

พนทผวและ

ปรมำตร

ควำมหมำย

กำรหำพนทผวและปรมำตร

ปรซม พระมด

ทรงกระบอก ทรงกลม

ทรงกรวย

พนทผว ปรมำตร

พนทผว กคอ ผลรวมของพนทผวขำง

ทกดำนของรปทรงตำงๆ เชน พนทผวของ

รปทรงสเหลยมมมฉำกจะมพนทผวขำง 6 ดำน

สวน ปรมำตร คอ ปรมำณทวด

เพอแสดงบรเวณทวำง (ควำมจ) ภำยใน

รปทรงสำมมต กำรวดปรมำตรของรปทรง

สำมมตใชหนวยวดเปนลกบำศกหนวย

1

หลงจำกไดรแลววำ พนทผว

และปรมำตรคออะไร ตอไปจะไป

เรยนรกำรหำพนทผวและปรมำตรของ

รปทรงตำงๆกนนะจะ

2

ปรซม

ปรซม คอ รปเรขำคณตสำมมตทมฐำนทงสองเปนรป

เหลยมทเทำกนทกประกำร ฐำนทงสองอยบนระนำบเดยวกน และ

ดำนขำงแตละดำนเปนรปสเหลยมดำนขนำน หรอเรยกงำยๆวำ แทง

ปรซมมหลำยลกษณะขนอยกบ

หนำตดของรปนนๆ กำรเรยกชอปรซม

นนนยมเรยกชอตำมลกษณะรปเหลยม

ของฐำน เชน ฐำนเปนสเหลยมจตรส

เรยกวำ ปรซมสเหลยมจตรส ฐำนเปน

หำเหลยม เรยกวำ ปรซมหำเหลยม เปน

3

เรำมตวอยำงปรซมมำใหดดวยนะ

4

๏ พนทผวขาง

พนทผวขางของปรซม = ความยาวเสนรอบฐาน × ความสง

๏ พนทผว

พนทผวทงหมดของปรซม = พนทผวขาง + พนทหนาตดหวทาย

๏ ปรมาตรของปรซม

ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง

5

หลงจำกทไดรจกกบปรซมแลว เรำมำด

ตวอยำงกำรหำปรมำตรของปรซมดกวำนะจะ

ตวอยำง 1 จงหำปรมำตรของปรซมทก ำหนดใหดงรป

วธท ำ จำกสตร ปรมำตรของปรซม = พนทฐำน x สง

และ พนทฐำน = กวำง x ยำว

= 3 x 4

= 12 ตำรำงหนวย

จะได ปรมำตรของปรซม = 12 x 8

= 96 ลกบำศกหนวย

6

1.จงหำปรมำตรของปรซมทก ำหนดใหดงรป

2.จงหำปรมำตรของปรซมสำมเหลยมทมขนำดดงรป

3. ทระบำยน ำมหนำตดเปนรปสเหลยมจตรส ยำวดำนละ 2 เมตร ม

น ำไหลผำน ดวยอตรำเรว 1.5 เมตรตอวนำท จงหำปรมำตรของน ำ

เตมทอ ทไหลออกในเวลำ 30 นำท

7

พระมด

พระมด คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปเหลยม

ใดๆ มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน และหนาทก

หนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลมนน

เรยกวา พระมด

กำรเรยกชอพระมด นยมเรยกชอตำม

ลกษณะรปเหลยมของฐำน ตวอยำงเชน

พระมดฐำนสเหลยมผนผำ พระมดฐำน

หกเหลยม เปนตน

8

พระมดแบบตำงๆดงนจำ

9

พระมดแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ พระมดตรงและพระมด

เอยง พระมดตรง หมายถง พระมดทมฐานเปนรปเหลยมดานเทามม

เทา มสนยาวเทากนทกเสน จะมสงเอยงทกเสนยาวเทากน และ

สวนสงตงฉากกบฐานทจดซงอยหางจากจดยอดมมของรปเหลยมท

เปนฐานเปนระยะเทากน มหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมหนาจว

สวนกรณทสนทกสนยาวไมเทากน สงเอยงทกเสนยาวไมเทากน

เรยกวา พระมดเอยง

พนทผวขำงของพระมด ไดแกพนทของหนำทกหนำของพระมด (ไม

รวมฐำน) หรอกคอ พนทของรปสำมเหลยมทกรปรวมกน นนเอง

พนทผวขำงของพระมด = ½ × ควำมยำวรอบฐำน × สงเอยง

พนทผวทงหมดของพระมด = พนทผวขำง+ พนทฐำน

ปรมำตรพระมด = × พนทฐำน × สง

10

ตวอยำงท 1 พระมดฐำนสเหลยมจตรสมดำนฐำนยำวดำนละ 10 นว

สวนสงยำว 12 นว จงหำควำมสงเอยง

วธท ำ วำดรปพระมดฐำนสเหลยมจตรสขนมำกอน

BC เปนควำมยำวครงหนงของดำนฐำน ยำว 10 ÷ 2 = 5 นว ตำมทฤษฎ

ปทำโกรส ในรปสำมเหลยมมมฉำก ABC

พจำรณำสำมเหลยม ABC

AB2 = 122 + 52 AB2 = 144 + 25

AB2 = 16ต AB = 13

ตอบ สงเอยงยำว 13 นว

11

1. จงหำปรมำตรของพระมดตรงฐำนสเหลยมจตรส ทมดำนฐำนยำวดำนละ 22 เซนตเมตร สวนสง 15 เซนตเมตร

2.สวนสำธำรณะเบญจศรเปนสถำนทพกผอนและออกก ำลงกำยแหง

หนงของคนกรงเทพมหำนคร สรำงขนในวโรกำสทสมเดจพระนำงเจำ

สรกตพระบรมรำชนนำถทรงมพระชนมำยครบ 60 พรรษำ เมอ พ.ศ.

2535 นอกจำกตนไมทรมรน ในสวนแหงนยงมงำนประตมำกรรมรวม

สมยจดวำงไวทวบรเวณ ผลงำนทโดดเดนชนหนงคอ พระมดฐำน

สเหลยมจตรส ซงมฐำนยำวดำนละ 2 เมตร สงประมำณ 7 เมตร

พระมดนมปรมำตรประมำณเทำใด

12

ทรงกลม

ทรงกลม คอ ทรงสำมมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจด

บนผวโคง อยหำงจำกจดคงทจดหนงเปนระยะเทำกน

13

พนทผวของทรงกลม = 4¶r²

ปรมาตรของทรงกลม = 4/3¶ r³ เมอ r แทน รศมของวงกลม

รจกกบทรงกลมกนแลว

เรำไปดตวอยำงโจทย และท ำ

แบบฝกหดกนเถอะ

14

ตวอยำงท 1 ขนครงทรงกลม วดเสนผำนศนยกลำงภำยนอกปำกขนได

ยำว 14 นว ขนใบนมพนทผวภำยนอกเทำไร

วธท ำ ขนมรศม 7 นว

พนทผวครงทรงกลม = 2¶r2

= 2 × 22/7 × 7 × 7

= 308 ตำรำงนว

ดงนน ขนใบนมพนทผวภำยนอกเทำกบ 308ตำรำงนว

ตวอยำงท 2 จงหำปรมำตรของทรงกลมทมรศมยำว 3 เซนตเมตร

วธท ำ จำก ปรมำตรของทรงกลม = 4/3¶r3

= 4/3 × 3.14 × 3 × 3 × 3

= 113.04 ลกบำศกเซนตเมตร

ตอบ 113.04 ลกบำศกเซนตเมตร

15

1. จำกรป จงหำปรมำตรของทรงกลม (ก ำหนดคำ )

7

22

2.ลกทมน ำหนกเหลกเปนทรงกลมมเสนผำนศนยกลำงยำว 18

เซนตเมตร ลกทมน ำหนกนมปรมำตรเทำไร (ก ำหนดคำ ) 14.3

16

ทรงกระบอก

ทรงสำมมตใดๆทมฐำนเปนวงกลมทเทำกนทกประกำรและอย

ในระนำบทขนำนกน เมอตดทรงสำมมตนดวยระนำบทขนำน

กบฐำน จะไดหนำตดเปนรปวงกลมทเทำกนทกประกำรกบฐำน

เสมอ เรยกทรงสำมมตนวำทรงกระบอก

17

1) พนทผวขำงของทรงกระบอก เมอคลออกมำ เทยบไดกบรป

สเหลยมผนผำดงนน พนทผวขำงของทรงกระบอก = 2¶rh

2) พนทฐำน หรอพนทหนำตด เปนพนทรปวงกลม = ¶r2

พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขำง + พนทฐำนทงสอง

พนทผวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r2)

เมอ r แทนรศมของฐำน

และ h แทนควำมสงทรงกระบอก

18

ปรมำตรของทรงกระบอก = พนทฐำน × สง หรอ ปรมำตรของทรงกระบอก = ¶r2h

เมอ r คอรศมภำยใน R คอ รศมภำยนอก h คอ สวนสง จะไดวำ 1) พนทหนำตดทงสอง = 2 (¶R2 – ¶r2 ) 2.พนทผวดำนนอก = 2¶Rh 3.พนทผวดำนภำยใน = 2¶rh พนทผววงแหวน = 2 (¶R2 – ¶r2 ) + 2¶Rh + 2¶rh

19

เมอ h คอ สวนสงของทรงกระบอกกลวง r คอ รศมภำยใน (รศมของทรงกระบอกเลก) R คอ รศมภำยนอก (รศมของทรงกระบอกใหญ) ปรมำตรของทรงกระบอกกลวง = ปรมำตรทรงกระบอกใหญ – ปรมำตรทรงกระบอกเลก = ¶R2h – ¶r2h

ตอไปไปดตวอยำงและแบบฝกหดกนนะ

20

ตวอยำงท 1 จงหำปรมำตรของทรงกระบอก สง 5 เซนตเมตร มเสน

ผำนศนยกลำง 14 เซนตเมตร ดงรป (ก ำหนดให p )

จำก ปรมำตรของทรงกระบอก = pr2h

แทนคำ ปรมำตรของทรงกระบอก =

= 770 ลกบำศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมำตรของทรงกระบอก คอ 770 ลกบำศกเซนตเมตร

7

22

577

22 2

21

1. สระน ำพกลำงสวนสำธำรณะแหงหนงมลกษณะเปนทรงกระบอก วด

เสนผำนศนยกลำงภำยในได 4 เมตร และวดควำมลกจำกกนสระถง

ขอบสระได 80 เซนตเมตร สระน ำนจะจน ำเตมทในวนฝนตกหนกได

เทำใด (ก ำหนดให ¶ 3.14 )

2. ถงเกบน ำฝนทรงกระบอกของโรงเรยนมธยมศกษำแหงหนงสง

4 เมตร วดเสนรอบวงภำยในของถงไดเทำกบ 3.14 ถงใบนเกบน ำฝน

ไวไดมำกทสดเทำใด

3.แกวน ำทรงกระบอกใบหนงวดเสนผำนศนยกลำงภำยใน

ได 8 เซนตเมตร แกวน ำลก 10 เซนตเมตร จะจน ำไดเทำไร

22

ทรงกรวย

รปเรขำคณตสำมมตทมฐำนเปนรปวงกลม มยอดแหลมท

ไมอยในระนำบเดยวกนกบฐำน และเสนทตอระหวำงจด

ยอดกบจดใดๆ บนขอบของฐำนเปนสวนของเสนตรง เรยก

รปเรขำคณตสำมมตนนวำ กรวย

23

1) ซำย : สวนของฐำน พนทฐำนเปนรปวงกลม ดงนน พนทฐำน = ¶r2 2) ขวำ : สวนของขำงกรวย เปนรปสำมเหลยมฐำนโคง พนทผวขำงของกรวย = ¶rl พนทผว เนองจำก พนทผว = พนทผวขำง + พนทฐำน ดงนน พนทผวของกรวย = ¶rl + ¶r2 หรอ = ¶r(l + r)

เมอคลออกจะได

24

สรำงกรวยแตละอนมรศมยำว r หนวย ใหเทำกบรศมฐำนทรงกระบอก และสง h หนวยเทำกบสวนสงทรงกระบอก ถำตวงทรำย 3 กรวยใส จะไดเตมทรงกระบอกพอด สรปไดวำ ปรมำตรกรวย = 1/3¶r2h เมอ r แทนรศมกรวย และ h แทนสวนสงของกรวย

ไปท ำแบบฝกหดกนดกวำ

25

ตวอยำง กรวยใสขนมมเสนผำนศนยกลำงของปำกกรวยยำว

3 เซนตเมตร สง 10 เซนตเมตร จงหำควำมจของกรวยน

วธท ำ เนองจำกสตรปรมำตร (หรอควำมจ) ของกรวย =1/3¶r²h

ดงนน สงทเรำตองหำคอ รศม (r) และ ควำมสง (h)

แตโจทยก ำหนดควำมสงมำใหแลว กหำแตรศม

ขนท 1 หำรศม

โจทยก ำหนดให เสนผำนศนยกลำงของปำกกรวยยำว 3 ซม.

ดงนน รศมกรวยยำว = 3 ÷ 2 = 1.5 ซม.

ขนท 2 หำปรมำตรกรวย

จำกสตร ปรมำตรกรวย = 1/3¶r²h

= 1/3 × 22/7 × (1.5)² × 10

ดงนน ปรมำตรกรวย = 35.57 ลบ.ซม.

ตอบ 357 ลบ.ซม.

26

1 กระโจมของอนเดยแดงเผำหนง มลกษณะ เปน กรวยสง 3.25 เมตร

ฐำนของกระโจม รศมยำว 1.75 เมตร ปรมำตรของกระโจม เปนเทำไร

2. กำรแตงหนำเคกเปนกจกรรม ทเพลดเพลน อปกรณ แตงหนำเคกอยำง

งำยทประดษฐไดเอง กคอ กรวยกระดำษไขส ำหรบใสสวนผสมของครม

โรยหนำขนมทเรยกวำ ไอซง (Icing) ไอซงในกรวยทมรศม 5 เซนตเมตร

และสง 10 เซนตเมตร ท ำกลบดอกไมทมขนำดเทำกน บนหนำเคก

ได 15 กลบ พอด อยำกทรำบวำ กำรท ำกลบดอกไม 180 กลบ

บนหนำเคก ตองใชไอซง ทมปรมำตรอยำงนอยเทำใด

27

1. วธท ำ จำกสตร ปรมำตรของปรซม = พนทฐำน x สง

และ พนทฐำน =

= = 90 ตำรำงหนวย จะได ปรมำตรของปรซม = 90 x 24 = 2,160 ลกบำศกหนวย 2. วธท ำ จำกสตร ปรมำตรของปรซม = พนทฐำน x สง

และ พนทฐำน =

= = 6 ตำรำงหนวย

จะได ปรมำตรของปรซม = 6 x 12 = 72 ลกบำศกหนวย

28

3. วธท ำ วำดรปครำว ๆ

น ำทไหลผำนทระบำยจะมลกษณะรปรำงเปน ปรซม พจำรณำขอควำม “น ำไหลผำนดวยอตรำเรว 1.5 เมตร/วนำท” หมำยควำมวำ ในเวลำ 1 วนำท น ำจะไหลผำนทระบำยไดระยะทำง 1.5 เมตร ซงสำมำรถน ำมำหำปรมำตรของน ำทไหลในเวลำ 1 วนำทได ดงน ปรมำตรของน ำทไหล 1 วนำท = พนทฐำน x สง = (2 x 2) x 1.5 = 6 ลกบำศกเมตร ดงนน ปรมำตรของน ำทไหล 30 วนำท = 6 x 30 = 180 ลกบำศกเมตร = 25 ตำรำงหนวย

29

1. วธท ำ ปรมำตรของพระมด = 1/3 × พนทฐำน × สง

ปรมำตรของพระมดน = 1/3 × ( ดำน × ดำน ) × สง

= 1/3 × ( 22 × 22 ) × 15

= 22 × 22 × 5

= 2,420 ลกบำศกเซนตเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.

2. วธท ำ จำก ปรมำตรของพระมด = พนทฐำน สง

เรำตองหำพนทฐำนกอน จำกโจทยฐำนของพระมดเปนรปสเหลยมจตรส

ดงนน พนทฐำน = ดำน ดำน

ตำรำงเมตร

ไดพนทฐำนแลวน ำไปแทนคำในสตรกำรหำปรมำตรไดเลย

30

ปรมำตรของพระมด พนทฐำน สง

ลกบำศกเมตร

ดงนน พระมดนมปรมำตร ลกบำศกเมตร

1. วธท ำ สตร ปรมำตรของทรงกลม = r3

จำกรป จะได r = 7 ซม.

ดงนน พนทผวของทรงกลม

3

4

377

22

3

4

7722

3

4

3

312,4

31

1,437.33 ลกบำศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมำตรของทรงกลม ประมำณ 1,437.33 ลกบำศกเซนตเมตร

วธท ำ ขนท ำควำมเขำใจปญหำ

สงทตองกำรหำ คอ ปรมำตรของลกทมน ำหนก

ขอมลทก ำหนด คอ ลกทมน ำหนกเหลกเปนทรงกลมมเสนผำนศนยกลำงยำว 18 เซนตเมตร

ขนวำงแผนกำรแกปญหำ

ปรมำตรของทรงกลม = pr3

เมอ r เปนรศมของทรงกลม = 9 เซนตเมตร

ขนด ำเนนกำรตำมแผน

คดค ำนวณโดยใชสตร

ปรมำตรของทรงกลม = pr3

3

4

3

4

32

(3.14) 93

(3.14) 93

(3.14) 9 9 9

4 (3.14) 3 9 9

3052.08 ลกบำศกเซนตเมตร

ตอบ ปรมำตรของลกทมน ำหนกเหลก ประมำณ 3052.08 ลกบำศกเซนตเมตร

3

4

3

4

3

4

1. วธท ำ สระน ำพมรศมเทำกบ เมตร ( รศม ยำวเปนครงหนงของเสนผำนศนยกลำง )

สระน ำลก 80 เซนตเมตร หรอ 0.8 เมตร

เนองจำก ปรมำตรของทรงกระบอก = พนทฐำน x ควำมสง

ดงนน ปรมำตรของน ำพ เทำกบ ¶(2)2 x 0.8

22

4

33

3.14 x 22 x 0.8

10.05 ลกบำศกเมตร

นนคอ สระนจน ำไดเตมทประมำณ 10.05 ลกบำศกเมตร

ตอบ ประมำณ 10.05 ลกบำศกเมตร

2.วธท ำ เนองจำก ปรมำตรทรงกระบอก = พนทฐำน สง

และควำมยำวเสนรอบวงภำยในของถงเทำกบ เมตร

จะได

ดงนน ถงเกบน ำฝนมรศมยำวประมำณ เมตร

เนองจำก ปรมำตรทรงกระบอก = พนทฐำน สง

จะได ปรมำตรของถง

ลกบำศกเมตร

34

3. วธท ำ เนองจำก ปรมำตรทรงกระบอก พนทฐำน สง

จะได ปรมำตรแกวน ำ

ลกบำศกเซนตเมตร

1. วธท ำ ปรมำตรรปกรวย = x พนทฐำน x สง

พนทฐำนของรปกรวย เปนวงกลม =

แทนคำทได หำปรมำตรรปกรวย

ปรมำตรรปกรวย

= x พนทฐำน x สง = x 9.62 x 3.25

= 10.42 ลกบำศกเมตร

35

2. วธท ำ

36

บนทก

บนทก