Ecuación de Navier Stokes, teoría de campos y mecánica cúántica

6o Congreso Internacional

sobre la Enseñanza y

Aplicación de las Matemáticas-

FES CuautitlánEcuación de Navier-Stokes,

teoría de campos y

mecánica cuántica

Manuel Hernández Rosales

Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos

y

mecánica cuántica.La ecuación de Navier-Stokes es la ecuación que obedecen los fluidos viscosos a “primer orden” en las velocidades.

𝜌𝐷 𝑣

𝑑𝑡= 𝜌

𝜕 𝑣

𝜕𝑡+ 𝑣 ∙ 𝛻 𝑣 = −𝛻𝑝 + 𝜃∆ 𝑣

donde 𝑣 es la velocidad del fluido como función de las coordenadas espaciales y el tiempo, 𝑝 es la presión a la que esta sometido y 𝜗 es el coeficiente de viscosidad dinámica. Se añade la condición de que es un fluido incompresible: 𝛻 ∙ 𝑣 = 0


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mecánica cuántica.El Instituto Clay de Matemáticas en EE.UU. ofrece un premio de 1,000,000 de dólares a quien descubra elcarácter de las soluciones de la ecuación de Navier Stokes:1. ¿Existe una solución a ellas que sea diferenciable en todo tiempo? i.e. ¿tienen sentido las soluciones en todo tiempo?2. ¿Son estables las soluciones? ¿Perturbaciones pequeñas disminuyen con el tiempo? (turbulencia, para 𝜃s grandes se sabe que es estable, muy complicado)


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mecánica cuántica.Hay además otras preguntas más ambiciosas:

1. ¿Describe el flujo turbulento y el flujo alrededor de un cuerpo en general la ecuación de Navier Stokes?2. ¿Es posible dar una solución general de la ecuación de Navier Stokes? (problema de movimiento de océanos, atmosférico, etc.).3. ¿Existes soluciones de tipo “solitón”? La respuesta es sí. ¿En que condiciones?


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mecánica cuántica.Viscosidad

La ecuación de Navier Stokes supone que existe viscosidad cuando en un fluido existe una rotación no uniforme en donde unas partículas del fluido se mueven con diferente velocidad que sus vecinas, i.e. cuando el rotacional del rotacional es distinto de cero. En ese caso existe disipación de la energía dada por:

𝑑𝐸𝑘𝑑𝑡= −

1

2𝜃 (

𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

+𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖)2𝑑𝑉


y

mecánica cuántica.¿Qué movimientos “rotatorios” de un fluido viscoso no pierden energía?Hay dos muy simples y el segundo es sorprendente:

𝑣1 = 𝜇 × 𝑟

𝑣2 = 𝜇 × 𝑟

𝑟3𝛻 × 𝑣1 = 𝜇

𝛻 × 𝑣2 = − 𝜇

𝑟3+3 𝜇 ∙ 𝑟

𝑟5 𝑟

El rotacional del rotacional de ambos da cero.


y

mecánica cuántica.¿Qué movimientos “rotatorios” de un fluido viscoso no pierden energía?

𝛻 × 𝑣1 = 𝜇 𝛻 × 𝑣2 = − 𝜇

𝑟3+3 𝜇 ∙ 𝑟

𝑟5 𝑟

Los vectores del rotacional del flujo son como los de un campo magnético constanteY el de un imán


y

mecánica cuántica.¿Cuáles son soluciones estacionarias de la ecuación de Navier Stokes sin perdida de energía?Para solucionar se supone una solución dividida en su parte gradiente y en su parte rotacional:

𝑣 = 𝛻𝑆 + 𝜇 × 𝑟

𝑟3Y luego se hace un cambio de variable del siguiente modo:

𝑆 = ℎ𝑙𝑛𝜑De lo cual se obtiene una ecuación:

ℎ2

2∆𝜑 + 𝑝 −

1

2

𝜇2

𝑟2+2 𝜇 ∙ 𝑟 2

𝑟3𝜑 = 𝐸𝜑


y

mecánica cuántica.¿Cuáles son soluciones estacionarias de la ecuación de Navier Stokes sin perdida de energía?No existe solución para todo E en la ecuación anterior sino solamente para valores especiales los cuales son llamados valores propios (eigenvalues).Para cada valor E, una solución estacionaria es de la forma:

𝑣𝐸 = ℎ∆𝜑𝐸𝜑𝐸

+ 𝜇 × 𝑟

𝑟3

Estas soluciones no dependen del tiempo. Si el flujo tiene este movimiento así permanece


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mecánica cuántica.¿Cuáles son las soluciones de la ecuación de Navier Stokes sin perdida de energía?Las soluciones serán de la forma

𝑣 = ℎ 𝐸𝑛 exp(−

𝐸𝑛ℎ𝑡)∆𝜑𝐸𝑛

𝐸𝑛 exp(−𝐸𝑛ℎ𝑡)𝜑𝐸𝑛

+ 𝜇 × 𝑟

𝑟3

Si 𝐸0 es el valor más pequeño cuando 𝑡 ∞ tendremos:

𝑣 ℎ∆𝜑𝐸0𝜑𝐸0

+ 𝜇 × 𝑟

𝑟3


y

mecánica cuántica.Teoría de campos.La concepción de un campo de fuerzas por primera vez surgió con Michael Faraday (vivió en el siglo XIX) quien no estaba satisfecho con la descripción mecanicista del mundo.Para él la entidad básica para describir el Universo no era la materia sino más bien “la fuerza”.Faraday no sabía mas allá de aritmética elemental y sin embargo fue en algún sentido una gran mente matemática.Fue el primero que afirmo que la luz debían ser ondas en el campo de fuerzas electromagnético.


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mecánica cuántica.Teoría de campos. Faraday es tal vez el físico experimental más importante de la historia y uno de los hombres más notables que han existido posiblemente en el mundo del pensamiento. Descubrió las líneas de fuerza magnéticas, el principio del motor eléctrico, la inducción eléctrica, magnética, la inducción electromagnética, la influencia de los campos electromagnéticos en la polarización de la luz entre otros muchos, la posible cuantización de la carga. Sus descubrimientos están contenidos en el “Experimental Researches on electricity”. Puesto que el no sabia matemáticas sus aportaciones teóricas no se volvieron importantes hasta que James Clerck Maxwell leyo su libro y convirtio algunas de sus ideas en ecuaciones.


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mecánica cuántica.Teoría de campos. Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes:

𝛻 ∙ 𝐸 = 4𝜋𝜌

𝛻 ∙ 𝐵 = 0

𝛻 × 𝐸 = −1

𝑐

𝜕𝐵

𝜕𝑡

𝛻 × 𝐵 =1

𝑐

𝜕𝐸

𝜕𝑡+4𝜋𝜌

𝑐 𝑣

Donde 𝐸 es el campo eléctrico, 𝐵 el campo magnético, 𝜌la densidad de carga, 𝑐 la velocidad de la luz y 𝑣 la velocidad de la carga eléctrica.


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mecánica cuántica.Teoría de campos. Si sacamos el rotacional de la cuarta ecuación de Maxwell y tomamos en cuenta la tercera obtenemos:

∆𝐵 −1

𝑐2𝜕2𝐵

𝜕𝑡= −

4𝜋

𝑐𝛻 × (𝜌 𝑣)

La primera parte de la ecuación describe una onda de “fuerza magnética”. Esta onda tiene como “fuente” la segunda parte de la ecuación.Aunque las ecuaciones de Maxwell son exitosas para describir todos los fenómenos electromagnéticos macroscópicos no sirven para describir el movimiento de los electrones en torno del núcleo.


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mecánica cuántica.Mecánica cuántica. Según las ecuaciones de Maxwell el electrón debería caer al núcleo pues perdería energía en forma de radiación al girar en torno del núcleo.


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mecánica cuántica.Mecánica cuántica. De Broglie sin embargo propuso que los electrones se comportan como ondas de longitud de onda dada por:

𝑙 =ℎ

𝑝donde h es una constante llamada de Planck.


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mecánica cuántica.Mecánica cuántica. Schrödinger propuso la siguiente ecuación estacionaria para describir a las ondas de “de Broglie”:


y

mecánica cuántica.Mecánica cuántica. Schrödinger eligió hacer depender del tiempo a la función de onda del siguiente modo:

Esto para dar una interpretación de que el cuadrado de la amplitud de la función de onda. De su elección nacieron los saltos cuánticos y la interpretación probabilística.


y

mecánica cuántica.¿Una nueva interpretación de la física cuántica?Observemos la similitud entre la ecuación estacionaria de Schrödinger y la ecuación estacionaria para la función 𝜑que aparecía en la ecuación de Navier-Stokes.

ℎ2

2∆𝜑 + 𝑝 −

1

2

𝜇2

𝑟2+2 𝜇 ∙ 𝑟 2

𝑟3𝜑 = 𝐸𝜑


y

mecánica cuántica.¿Una nueva interpretación de la física cuántica?En la teoría electromagnética:

𝐵 = 𝛻 × 𝐴1. En la ecuación deducida de NS el sistema tiende al estado base2. En la ecuación deducida de NS lo que se deduce es el

campo de fuerzas del potencial 𝐴 y no un campo de probabilidades.3. La ecuación de NS se puede generalizar para que no haya disipación de energía sino radiación:

𝜌𝜕 𝐴

𝜕𝐴+ 𝐴 ∙ 𝛻 𝐴 = −𝛻𝑝𝑜𝑡 +

ℎ

2𝑚𝑐(∆ 𝐴 −

1

𝑐2𝜕2 𝐴

𝜕𝑡2)

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