Finalmente..las ecuaciones de Maxwell

G BenderUTN FRA (Argentina)

A nivel conceptual, Maxwell unificó los conceptos de luz y campos eléctrico y magnético, en lo que hoy conocemos como electromagnetismo, al desarrollar la idea de que la luz es una forma de radiación electromagnética.

IntroducciónEl trabajo de Maxwell (1831-1879), al establecer las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de los campos, hasta ese momento, inconexos: eléctrico y magnético, predice la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan por el espacio a la rapidez de la luz. Lo cual fue confirmado en 1887 por Heinrich Hertz (1857-1894).

Ley de Gausspara el campo eléctrico

• Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica Matemáticamente se expresa como:

• La forma diferencial de la ley de Gauss donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos

0

encE

qE.dS

0

div( E ) E

div( E ) D

Ley de Gauss para el campo magnético

• Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético. Matemáticamente esto se expresa así:

• Su forma integral diferencial es :

0B B.dS

0B

Ley de Faraday-Lenz

• La ley de Faraday trata sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético.

• Pero se usamos la definición …

De donde resulta que

O en forma diferencial

Bd

dt

E.dl E.dS ????????????????????????????????????????????????????????

d

E.dl B.dSdt

????????????????????????????????????????????????????????

B

Et

Ley de Ampere y su generalización

• Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo.

• Si la ponemos en forma diferencial usando el Teorema de Stokes

• Pero… hay un problema

0 0. .B dl I j ds

0B j

La corriente de desplazamiento

• La formulación integral de la Ley de Ampere

0B.dl j.ds ??????????????

D

E Dj

t t

tiene un problema ya que la superficie que apoya sobre una curva dada no es única. Por ej… cuando se carga un capacitor existe una ambigüedad en la superficie que debe considerarse para analizar la corriente concatenada… porque hay una corriente debida a la carga del capacitor.D

dq dI E dS

dt dt

La Ley de ampere resulta…

• Si usamos las dos ecuaciones que tenemos desde Ampere y desde Maxwell en vacio.

• O lo que en forma diferencial es:0 0 0

EB j

t

0 0 0 0 0. ED

dB dl I I I

dt

Forma diferencial

0

0 0 0

0

.E

.B

BE

t

EB j

t

Ley de Gauss(Coulomb)

Inexistencia de Monopolos

Ley de Faraday Lenz.. Henry

Ley de Ampere – Maxwell

Forma integral

0

0 0 0 0

.

. 0

.

.

enc

M

E

qE dS

B dS

dE dl

dtdd

B dl I Q Idt dt

Ecuaciones de Maxwell

Ondas Electro Magneticas

00 0H

.E Et

Si consideramos las ecuaciones en vacio y pasamos al vector μH =B

0 00 0E

.B H t

Para desacoplar las ecuaciones podemos tomar rotor en la ec de Faraday y resulta

0 0

H( E ) E H

t t

0 0 0E

E ( )t t

22

2 2

10

EE

c t

0 02

1

c

Ondas elctromagnéticasReemplazando la ley de Gauss y la ley de Ampere-Maxwell:

22

2o o

EE

t

Operando de forma análoga para el campo magnético:

22

2o o

BB

t

Ecuaciones de las ondas

Entonces esta es una ecuación escalar de D’Alembert. Toda función de la forma la forma: f (z ct) es solución de la ecuación de D’Alembert. Estas formas matemáticas representan ondas que se propagan con velocidad c

22

2 2

10

EE

c t

Ondas electromagnéticas Estas ecuaciones obedecen a una ecuación de ondas tridimensional para los campos y con velocidad de fase

o o

1c

Puesto que m/F ·.o

1210898

A/Tm ·o7104

c = 2,99108 m/s

Relación entre E y B????????????????????????????

Vamos a introducir la expresión de los campos en forma de ondas armónicas planas

( , ) ( - )

( , ) ( - )

o

o

E r t E sen kx t

B r t B sen kx t

????????????????????????????

????????????????????????????

Donde k es el número de ondas y es un vector que apunta en la dirección de la onda. Así, podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell, en forma de ecuaciones vectoriales

0E·k

0B·k

BEk

EBk oo

Las primeras dos ecuaciones demuestran que los dos campos E y B son perpendiculares al vector de onda K , puesto que apunta en la dirección de la onda, esto significa que las ondas electromagnéticas son ondas transversales.

Como, en general un vector en 3D tiene tres grados de libertad, la condición de que el campo eléctrico sea perpendicular a k reduce los grados de libertad a dos. Físicamente esto corresponde a los dos estados de polarización en los que la luz puede dividirse.

0E·k

0B·k

Las otras dos ecuaciones relacionan los campos eléctrico y magnético. Es normal visualizar el campo eléctrico como el que define la onda, y por ejemplo, la dirección en la que apunta define la polarización de la onda.

Es conveniente usar las relaciones de más abajo para obtener la intensidad de campo magnético. Esta ecuación demuestra que E es perpendicular a B , y por lo tanto hemos encontrado la propiedad fundamental de las ondas electromagnéticas, esto es que E , B y son mutuamente perpendiculares.BEk

EBk oo

Propiedades de las ondas EM• Las ondas electromagnéticas no requieren un medio

material para propagarse.• Pueden atravesar el espacio desplazándose en el

vacío a una velocidad aproximada de c = 300.000 km/s.

• Todas las radiaciones del espectro electromagnético presentan las propiedades típicas del movimiento ondulatorio, como la difracción y la interferencia.

• Las longitudes de onda van desde billonésimas de metro hasta muchos kilómetros. La longitud de onda (l) y la frecuencia (n) de las ondas electromagnéticas, son importantes para determinar su energía, su “visibilidad”, su poder de penetración y otras características

Generación de OEMUna onda electromagnética es generada por cargas eléctricas oscilantes, y está compuesta por campos eléctricos y magnéticos que oscilan en planos perpendiculares entre sí, y a su vez, ambos planos perpendiculares a la dirección de propagación, por lo que establecemos que las ondas electromagnéticas son de carácter transversal.

Los diversos tipos de ondas electromagnéticas involucran un amplio intervalo de frecuencias y longitudes de onda, y no hay una división clara entre un tipo de onda y el siguiente.

Este amplio rango se conoce como espectro electromagnético e involucra a todas las ondas producidas como resultante de la presencia de cargas eléctricas aceleradas.

Los nombres dados a los tipos de onda son sólo por conveniencia para describir la región del espectro en la cual se encuentran.

Espectro electromagnético

Espectro electromagnético en función de su longitud de onda

Espectro electromagnético

y sus fuentes

Algunos comentarios sobre los diferentes tipos de radiación electromagnética

Las ondas de radio tienen características:

• Generadas fácilmente mediante corrientes en antenas del metal

• La comunicación radiofónica a larga distancia es posible gracias a la reflexión de las ondas de radio en la ionosfera.

AM = Amplitud modulada

FM = Frecuencia modulada

Ondas de Radio

Microondas

Foto del río Amazonas usando microondas.

Radiación cósmica de fondo en la región de microondas, reflejada en la tierra

Las microondas no son obstruidas por las nubes, la niebla u otra partícula más pequeña que las longitudes de onda de la microonda (~ 1 centímetro).

Radiación Infrarroja

• Todos los objetos alrededor de nosotros emiten la radiación IR.

• Objetos más calientes emiten la radiación mayor cantidad de IR,

Foto IR de una persona

Foto IR del polvo sistema Solar

Longitud de onda: 1 um – 1000 um

Luz Visible

El ojo humano esta tiene la capacidad de detectar una parte del espectro electromagnético, longitudes de onda de 380 nm (violeta) hasta los 780 nm (rojo).

Los colores del espectro se ordenan como en el arco iris

La luz blanca esta compuesta de luz de todos los colores

Luz Ultravioleta

La luz ultravioleta tiene justo la a energía para romper enlaces moleculares. Es por esta razón que es perjudicial a la vida. La tierra tiene un protector natural a la luz UV solar bajo la forma de capa de ozono (80 kilómetros sobre la superficie).

Algunos pájaros y abejas pueden ver tanto la luz UV como la luz visible

El 10% de la luz solar es UV

Rayos X

Los rayos X fueron descubiertas 1895 por Roentgen de Wilhelm Conrado (científico alemán) por accidente. Él tomó una semana después esta radiografía de su esposa.

Una porción del mapa de rayos gama de la galaxia. Los puntos amarillos corresponden a espacios conocidas de la galaxia con fuentes brillantes de rayos gama, mientras que las áreas azules indican regiones de bajas emisiones

Las armas nucleares son fuentes de rayos gama entre otros tipos de radiación (alfa, betas, gama y X)

Rayos Gama