ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

La ecuación diferencial de variables separables es de la forma

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 0 , donde cada diferencial tiene como coeficiente una función

de su propia variable, o una constante.

Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑔(𝑥)

𝑕(𝑦) es separable o tiene variables

separables. Una ecuación separable puede escribirse como 𝑕 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)

multiplicamos por 𝑑𝑥, 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 de esta forma, se puede integrar a ambos lados la ecuación

𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Esta ecuación indica el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales separables, integrando a ambos miembros se obtiene una familia uni - paramétrica de soluciones, la cual queda generalmente expresada implícitamente. En estas ecuaciones no hay necesidad de usar dos constantes de integración ya que:

𝑕 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑐1 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2

𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1

𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

Hacemos 𝑐2 − 𝑐1 = 𝑐, donde 𝑐 es completamente arbitraria.

Ejemplo:

Resolver por variables separables 𝑑𝑦

𝑑𝑥= cos 2𝑥.

Separando variables se tiene 𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 , integrando a ambos lados

𝑑𝑦 = cos 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 =1

2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐

Ejemplo:

Resolver 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒3𝑥+2𝑦

Aplicando las propiedades de los exponentes se tiene

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒3𝑥𝑒2𝑦 Separando variables

𝑑𝑦

𝑒2𝑦= 𝑒3𝑥𝑑𝑥 Integramos

𝑒−2𝑦𝑑𝑦 = 𝑒3𝑥𝑑𝑥

−1

2𝑒−2𝑦 =

1

3𝑒3𝑥 + 𝑐

Ejemplo:

Resolver: 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦 = 0

Separando variables 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 −

𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑐𝑜𝑠 2𝑦𝑑𝑦 = 0

Aplicando identidades trigonométricas se obtiene:

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0

Integrando 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑦 = 0

− 𝑙𝑛 cos 𝑥 −1

𝑐𝑜𝑠𝑦= 𝑐

Esto es ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑦 = 𝑐, solución general. Ejercicios propuestos Resolver: Soluciones

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥 − 6 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 𝑐

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑐𝑜𝑠 2𝑥

𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑦2 = 𝑥 +

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐

3. 𝑒−𝑥 + 𝑦´ =1

𝑥2+1+ 6𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑕−1𝑥 + 3𝑥2 + 𝑒−𝑥 + 𝑒 − 1

𝑦 0 = 𝑒

4. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

1+𝑥2 𝑠𝑜𝑙. ln 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑐

5. 𝑦´ = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑡𝑎𝑛𝑦 = 𝑒𝑥

𝑦 0 =𝜋

4

6. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒−𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑒−𝑥 + 1 −

1

𝑒

𝑦 1 = 0

7. 𝑦´ =𝑦

𝑥2+1 𝑠𝑜𝑙. 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑕−1𝑥 + 𝑐

8. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

9𝑥2−6

𝑥2 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 9𝑥 +6

𝑥+ 𝑐

9. 𝑦´ = 𝑥 𝑥2−1

𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑦2 =

2

3 𝑥2 − 1

3

2 + 1

𝑦 −1 = 1

Otros ejercicios

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥𝑦 +2𝑦−𝑥−2

𝑥𝑦−3𝑦+𝑥−3

2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒−𝑦 + 1 𝑑𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑦, 𝑦 0 = 0

3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥+𝑦+1

4. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 + 𝑒𝑦−𝑥+5

5. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1−𝑥−𝑦

𝑥+𝑦