Ecuaciones Diferenciales No Lineales

Lider Eduardo Pilligua Menéndez

Introducción

Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no lineales que pueden ser convertidas en ecuaciones diferenciales lineales, entre las cuales destacan: la

Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti.

Es una ecuación de la forma:

Donde y son funciones continuas de (o constantes) y, ; (en el caso contrario resulta una ecuación lineal).

Ecuación Diferencial de Bernoulli

Paso Nº1: Dividir para

Esta ecuación, llamada de Bernoulli, se reduce a una ecuación lineal mediante la siguiente

transformación:

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸(𝒙 )𝒚𝒏

Paso Nº2: Cambiar de variable

Además derivando la nueva variable con respecto a

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:

𝒛=𝒚𝟏−𝒏

𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝒚𝒏

(𝟏−𝒏)𝒅𝒛𝒅𝒙

Ecuación Lineal

Es una ecuación no lineal de la forma:

Para resolver, se debe conocer una solución particular

Después de conocida dicha solución se realiza la siguiente sustitución:

Ecuaciones Diferenciales de Riccatti

Para resolverla suponemos una solución particular conocida de tal forma que  es una solución de la ecuación de Riccatti, con esto reducimos la ecuación de Bernoulli, veámoslo. Si y es una solución entonces.

Ejercicios ResueltosLos Ejercicios del 1 al 5 son de

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli y del 6 al 10 son de Ecuaciones Diferenciales de

Riccatti.

Ejercicio Nº1

A la ecuación diferencial dada expresamos así:

; multiplicamos por

multiplicamos por

Sea

Reemplazamos; ecuación lineal en z Y la solución general es:

Multiplicamos para toda la ecuación

Reemplazamos

Integramos Reemplazamos 𝒛=𝒚−𝟐

Ejercicio Nº2

Multiplicamos para

Sustituimos

Multiplicamos para – 1

; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante

Derivamos

Factor Integrante

Ejercicio Nº3

Resolver Multiplicamos para

Reemplazamos

Multiplicamos

; ED Lineal

Sea

Derivamos

; Factor Integrante

Multiplicamos por

Reemplazamos

Integramos

ED Lineal

𝑣=𝟑𝟒𝒙 ²

𝑑𝑣𝑑𝑥

=32𝑥

𝒛=𝒚𝟑𝟐

Ejercicio Nº4

Multiplicamos para

Sustituimos

Multiplicamos para – 1

; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante

Sea

Derivamos

Factor Integrante

Reemplazamos

𝒛=𝒚−𝟏

Ejercicio Nº5

Dividimos para y²

Reemplazando

Simplificamos y multiplicamos para – 1

Multiplicamos para

Factor Integrante

Ejercicio Nº6

Ejercicio Nº7

Ejercicio Nº8

Ejercicio Nº9

Ejercicio Nº10

Ejercicio Extra

Ecuación Diferencial de Bernoulli

•Sea la ecuación:

•Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria

Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes:

NOTA. Todo esto va relacionado con la forma ordinaria de la ecuación

SoluciónEn este punto sacaremos el valor de w.

Por lo tanto:

Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:

Resolvemos los paréntesis y queda:

Ahora determinamos el factor integrante:

NOTA. Para sacar el factor integrante se considera el valor de p(x) en la expresión diferencial.

Factor integrante

Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula:

Donde: u es el factor integrante. q(x) seria igual al valor que tiene f(x)

Evaluamos la ecuación:

Y nos queda:

Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de :

Aplicamos la formula de “integrales por partes”

Realizamos las integrales que aun quedan y el resultado es:

Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis:

Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w=y-³

La respuesta simplificada es:

Conclusión

Podemos resumir que para realizar una E.D.B es necesario:Acomodar la ecuación en la forma básica.Sacar los valores de la ecuación.Poner la ecuación en términos de la diferencial.Sacar el factor integrante.Evaluar la ecuación con la formula y resolver los paréntesis.

Libros:1. Calculo Diferencial e Integral - Tomo II – Piskunov – 3ra Edición –

Mir Moscú – 19772. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Kiseliov -

Krasnov - Makarenko - 4ta Edición – Mir Moscú – 19843. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones - Eduardo Espinoza

Ramos - 5ta Edición - Lima – Perú – 19964. Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover - 5ta Edición -

Pearson Educación - México – 20115. Cálculo Diferencial E Integral - William Anthony Granville - México

- LIMUSA - 2009

Bibliografía

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