2
Γ© βˆ— Γ© = (), = (), (, ) : = , β‰ 0 [, ], βˆ— Γ© = (), = (), [, ], : = ∫ √ ( ) 2 +( ) 2 βˆ— Γ³ = (), = () [, ], Γ‘ Γ³ : = 2Ο€ ∫ () √ ( ) 2 +( ) 2 Γ³ ; () β‰₯ 0 = 2Ο€ ∫ () √ ( ) 2 +( ) 2 Γ³ ; () β‰₯ 0 (, Ρ³) Γ‘ (, ): = βˆ— cos(Ρ³) = βˆ— (Ρ³) (Ρ³) = 2 = 2 + 2 Γ­ Γ³ Ρ³, Γ‘ = (Ρ³) (, Ρ³): = Ρ³ Ρ³ , Ρ³ β‰  0 (, Ρ³) Γ­ [, ], Γ‘ Γ³ Γ‘ = (Ρ³) Ρ³ = Ρ³ = Γ‘ : = 1 2 ∫ [(Ρ³)] 2 Ρ³ = 1 2 ∫ 2 Ρ³ βˆ— Γ© Γ³ ≀ ≀ . Γ‘ = () = β„Ž = : =∫ √[()] 2 + [Β΄()] 2 = ∫ √ 2 +[ ] 2 βˆ— Γ³

Ecuaciones paramΓ©tricas

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Page 1: Ecuaciones paramΓ©tricas

π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚π’”

βˆ— π‘«π’†π’“π’Šπ’—π’‚π’…π’‚ 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚

π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑), π‘™π‘Ž 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑛 (π‘₯, 𝑦) 𝑒𝑠:

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

𝑑𝑦𝑑𝑑𝑑π‘₯𝑑𝑑

, π‘π‘œπ‘› 𝑑π‘₯

𝑑𝑑≠ 0

𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏], 𝑠𝑒 π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒

βˆ— π‘³π’π’π’ˆπ’Šπ’•π’–π’… 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚

π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑), 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏],

𝑠𝑒 π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œ 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ:

𝐿 = ∫ √(𝑑π‘₯

𝑑𝑑)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑑)

2𝑏

π‘Ž

𝑑𝑑

βˆ— 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 π’”π’–π’‘π’†π’“π’‡π’Šπ’„π’Šπ’† 𝒅𝒆 π’“π’†π’—π’π’π’–π’„π’ŠΓ³π’

π‘‡π‘œπ‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘₯ = 𝑓(𝑑), 𝑒 𝑦 = 𝑔(𝑑) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [π‘Ž, 𝑏], 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑺 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž

π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’ 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› π‘œπ‘π‘‘π‘’π‘›π‘–π‘‘π‘Ž 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘π‘œπ‘ :

𝑆 = 2Ο€ ∫ 𝑔(𝑑)√(𝑑π‘₯

𝑑𝑑)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑑)

2𝑏

π‘Ž

𝑑𝑑 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› π‘₯; 𝑔(𝑑) β‰₯ 0

𝑆 = 2Ο€ ∫ 𝑓(𝑑)√(𝑑π‘₯

𝑑𝑑)

2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑑)

2𝑏

π‘Ž

𝑑𝑑 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› 𝑦; 𝑓(𝑑) β‰₯ 0

π‘ͺ𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

πΏπ‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  (π‘Ÿ, Ρ³)𝑑𝑒 𝑒𝑛 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑠𝑑Ñ𝑛 π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘π‘œπ‘› 𝑠𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘ 

π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Žπ‘›π‘”π‘’π‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  (π‘₯, 𝑦)π‘π‘œπ‘Ÿ:

π‘₯ = π‘Ÿ βˆ— cos(Ρ³) 𝑦 = π‘Ÿ βˆ— 𝑠𝑒𝑛(Ρ³)

𝑑𝑔 (Ρ³) =𝑦

π‘₯ π‘Ÿ2 = π‘₯2 + 𝑦2

π‘«π’†π’“π’Šπ’—π’‚π’…π’‚ 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓

𝑆í 𝑓 𝑒𝑠 π‘’π‘›π‘Ž 𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘π‘™π‘’ 𝑑𝑒 Ρ³, π‘™π‘Ž 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘›π‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Ž π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒

π‘Ÿ = 𝑓(Ρ³) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘π‘’π‘›π‘‘π‘œ (π‘Ÿ, Ρ³)𝑒𝑠:

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

𝑑𝑦𝑑ѳ𝑑π‘₯𝑑ѳ

, π‘π‘œπ‘› 𝑑π‘₯

𝑑ѳ≠ 0 𝑒𝑛 (π‘Ÿ, Ρ³)

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

𝑆í 𝑓 𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘Ž 𝑦 π‘›π‘œ π‘›π‘’π‘”π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘Ž 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ [𝛼, 𝛽], 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–Γ³π‘› π‘™π‘–π‘šπ‘–π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ

π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(Ρ³)𝑦 π‘™π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘Žπ‘™π‘’π‘  Ρ³ = 𝛼 𝑦 Ρ³ = 𝛽 𝑒𝑠𝑑Ñ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ:

𝐴 =1

2∫ [𝑓(Ρ³)]2 𝑑ѳ =

1

2

𝛽

𝛼

∫ π‘Ÿ2 𝑑ѳ𝛽

𝛼

βˆ— π‘³π’π’π’ˆπ’Šπ’•π’–π’… 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒆𝒏 π’‡π’π’“π’Žπ’‚ π’‘π’‚π’“π’‚π’ŽΓ©π’•π’“π’Šπ’„π’‚

π‘†π‘’π‘Ž 𝑓 π‘’π‘›π‘Ž 𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 π‘π‘’π‘¦π‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘Ž 𝑒𝑛 𝑒𝑛 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ 𝛼 ≀ πœƒ ≀ 𝛽.

πΏπ‘Ž π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(πœƒ)𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 πœƒ = 𝛼 β„Žπ‘Žπ‘ π‘‘π‘Ž πœƒ = 𝛽 𝑒𝑠:

𝑠 = ∫ √[𝑓(πœƒ)]2 + [𝑓´(πœƒ)]2 π‘‘πœƒ =𝛽

𝛼

∫ βˆšπ‘Ÿ2 + [π‘‘π‘Ÿ

π‘‘πœƒ]

2

π‘‘πœƒπ›½

𝛼

βˆ— 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 π’”π’–π’‘π’†π’“π’‡π’Šπ’„π’Šπ’† 𝒅𝒆 π’“π’†π’—π’π’π’–π’„π’ŠΓ³π’

Page 2: Ecuaciones paramΓ©tricas

π‘†π‘’π‘Ž 𝑓 π‘’π‘›π‘Ž 𝑓𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 π‘π‘’π‘¦π‘Ž π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑒𝑠 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘›π‘’π‘Ž 𝑒𝑛 𝑒𝑛 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Žπ‘™π‘œ 𝛼 ≀ πœƒ ≀ 𝛽, 𝐸𝑙

Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’ π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘Ÿπ‘’π‘£π‘œπ‘™π‘’π‘π‘–Γ³π‘› 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘”π‘ŸΓ‘π‘“π‘–π‘π‘Ž 𝑑𝑒 π‘Ÿ = 𝑓(πœƒ),

𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 πœƒ = 𝛼, β„Žπ‘Žπ‘ π‘‘π‘Ž πœƒ = 𝛽 𝑒𝑛 π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Ž π‘–π‘›π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑒𝑠 π‘™π‘Ž 𝑠𝑖𝑔𝑒𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒:

𝑆 = 2πœ‹ ∫ 𝑓(πœƒ)π‘ π‘’π‘›πœƒβˆš[𝑓(πœƒ)]2 + [𝑓´(πœƒ)]2 π‘‘πœƒ 𝑒𝑛 π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ π‘Žπ‘™ 𝑒𝑗𝑒 π‘π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ›½

𝛼

𝑆 = 2πœ‹ ∫ 𝑓(πœƒ)π‘π‘œπ‘ πœƒβˆš[𝑓(πœƒ)]2 + [𝑓´(πœƒ)]2 π‘‘πœƒ 𝑒𝑛 π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ π‘Ž π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Ž πœƒ =πœ‹

2

𝛽

𝛼

π‘‡π‘Žπ‘™π‘™π‘’π‘Ÿ πΆΓ‘π‘™π‘π‘’π‘™π‘œ π‘€π‘’π‘™π‘‘π‘–π‘£π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘Žπ‘‘π‘œ

πΊπ‘Ÿπ‘Žπ‘“π‘–π‘π‘Žπ‘Ÿ

1. π‘Ÿ(Ρ³) = 3

2. Ρ³ =πœ‹

6

3. π‘Ÿ(Ρ³) = 3Ρ³

4. π‘Ÿ(Ρ³) = 0.5 + cos(Ρ³)

5. π‘Ÿ(Ρ³) =3

2+ 2 βˆ— cos(Ρ³)

6. π‘Ÿ(Ρ³) = 2 βˆ— 𝑠𝑒𝑐(Ρ³) + 3

7. π‘Ÿ(Ρ³) =5

2 βˆ’ 2𝑠𝑒𝑛(Ρ³)

8. π‘Ÿ(Ρ³) = 16 βˆ— cos(2Ρ³)

9. π‘Ÿ(Ρ³) = 1 + 3 βˆ— 𝑠𝑒𝑛 (Ρ³

2)

10. π‘Ÿ(πœƒ) = 1 βˆ’ 3 βˆ— 𝑠𝑒𝑛(2πœƒ)

10. πΈπ‘ π‘π‘œπ‘§π‘Žπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘™π‘Žπ‘  π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šΓ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Žπ‘  (π‘–π‘›π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑠𝑒 π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘‘π‘œ) 𝑦 π‘’π‘ π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘–π‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘› π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’

π‘’π‘™π‘–π‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šΓ©π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ = 3 βˆ— cos(Ρ³) , 𝑦 = 3 βˆ— 𝑠𝑒𝑛(Ρ³)

11. πΈπ‘ π‘π‘œπ‘§π‘Žπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘™π‘Žπ‘  π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šΓ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Žπ‘  (π‘–π‘›π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑠𝑒 π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘‘π‘œ) 𝑦 π‘’π‘ π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘–π‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘› π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’

π‘’π‘™π‘–π‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šΓ©π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ = 𝑒3𝑑, 𝑦 = 𝑒𝑑

12. πΆπ‘Žπ‘™π‘π‘’π‘™π‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘”π‘–Γ³π‘› π‘Ÿ = 2 βˆ— cos(3πœƒ)

13. π»π‘Žπ‘™π‘™π‘Žπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘–π‘‘π‘’π‘‘ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘£π‘Ž π‘Ÿ = 1 + 𝑠𝑒𝑛(πœƒ)

14. π»π‘Žπ‘™π‘™π‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑙 Γ‘π‘Ÿπ‘’π‘Ž 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘ π‘’π‘π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–π‘π‘–π‘’ π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘œπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘π‘–π‘Ÿπ‘π‘’π‘›π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘–π‘Ž

π‘Ÿ = 𝑓(πœƒ) = cos(πœƒ) , π‘Žπ‘™ π‘”π‘–π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑛 π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘›π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Ž πœƒ =πœ‹

2


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TEMARIO 2020...TEMARIO 2020 4.2.1 Circunferencia 4.2.2 ParΓ‘bola 4.2.3 Elipse 4.2.4 HipΓ©rbola 4.3 Coordenadas polares 4.3.1 Plano polar 4.3.2 Ecuaciones paramΓ©tricas 5. CΓ‘lculo

TEMARIO 2020...TEMARIO 2020 4.2.1 Circunferencia 4.2.2 ParΓ‘bola 4.2.3 Elipse 4.2.4 HipΓ©rbola 4.3 Coordenadas polares 4.3.1 Plano polar 4.3.2 Ecuaciones paramΓ©tricas 5. CΓ‘lculo

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2.1 Ecuaciones ParamΓ©tricas

2.1 Ecuaciones ParamΓ©tricas

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Curvas en R2 y Ecuaciones paramΓ©tricas

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Chapter 2 Curvas ParamΓ©tricas

Chapter 2 Curvas ParamΓ©tricas

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Experiencias Docentes - Transformando CuΓ‘dricas RegladasΒ Β· regladas por su utilidad a la hora de ... estudiando sus ecuaciones implΓ­citas o paramΓ©tricas y sus ... Hiperboloide

Experiencias Docentes - Transformando CuΓ‘dricas RegladasΒ Β· regladas por su utilidad a la hora de ... estudiando sus ecuaciones implΓ­citas o paramΓ©tricas y sus ... Hiperboloide

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