UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LAS FUERZA ARMADA NACIONALDE LAS FUERZA ARMADA NACIONAL

NUCLEO PUERTO CABELLONUCLEO PUERTO CABELLO

DEPARTAMENTO DE MECANICADEPARTAMENTO DE MECANICA

CALCULO NUMERICOCALCULO NUMERICO

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

TEMA 5INTEGRANTES:INTEGRANTES:

RONNY MALPICARONNY MALPICA

MERLI RODRIGUEZMERLI RODRIGUEZ

NAIRIM MARTINEZNAIRIM MARTINEZ

PEDRO NAVASPEDRO NAVAS

BERNIS MARCHENABERNIS MARCHENA

RICHARD QUIROZRICHARD QUIROZ

VICTOR ANGELESVICTOR ANGELES

PUERTO CABELLO NOVIEMBRE 2007

Sistemas lineales y no linealesSistemas lineales y no lineales

Uno de los problemas matemáticos que suelen aparecer más a menudo en la práctica es la resolución de ecuaciones del tipo f(x) = 0 donde f se supone al menos continua, es decir, el calculó del valor o valores de x para los cuales se verifica:

f(x) = 0

En matemáticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal

y = x2 − 1

3 0

81 01 106 0

20 10 3 1 0

1 2 312

12

22

3

31 2

x x x

x x x

e xx x

cos( )

( . ) sen( .

/

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESNO LINEALES.

Consideremos ahora el problema de hallar una solución s IRn de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. f1 (x1, x2, · · · , xn) = 0 f2 (x1, x2, · · · , xn) = 0 · · · fn (x1, x2, · · · , xn) = 0

Donde f1, f2, fn son las funciones componentes de f. El problema se puede plantear en términos análogos a los de los temas anteriores, usando notación vectorial. Si denotamos por x al vector de IRn de componentes (x1, x2, · · · , xn), podemos escribir la ecuación anterior en forma vectorial.f(x) = 0 que podemos transformar en x = g(x) (2.61) x1 = g1 (x1, x2, · · · , xn) x2 = g2 (x1, x2, · · · , xn) · · · xn = gn (x1, x2, · · · , xn) y a la que podemos intentar aplicar el teorema de la aplicación contractiva, buscando el vector solución x como limite de una sucesión

x (m+1) = g _x(m).

APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONESAPLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Retomemos la ecuación 2.2.

Teorema 2.3.1 Sea g una función real definida en [a, b] tal que:

1. g(x) ∈ [a, b] x ∀ ∈ [a, b]2. Existe L < 1 tal que |g(x) − g(y)| ≤ L|x − y| x, y ∀ ∈ [a, b] 2

Entonces existe una única raíz de 2.2 que se obtiene como limite de la sucesión xn+1 = g (xn) donde ´ x0 es un punto cualquiera de [a, b].Para demostrar este teorema, hay que pensar que los cerrados de un completo, y IR lo es, son completos, y la segunda propiedad equivale a decir que g es una contracción. Por tanto se verifican las hipótesis del teorema de la aplicación contractiva.

A menudo es muy difícil demostrar que la función g es lipschitziana de constante menor que la unidad. Sin embargo, si g es de clase C1[a, b] y |g_(x)| ≤ L < 1 x ∀ ∈ [a, b], podemos decir que g es lipschitziana de constante menor que la unidad. Ello es una consecuencia del teorema del valor medio, pues ´este garantiza que:

ITERACIÓN DE PUNTO FIJO PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESITERACIÓN DE PUNTO FIJO PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

(ECUACIONES NO LINEALES)(ECUACIONES NO LINEALES)

El método de la iteración de punto fijo para resolver una ecuación no lineal f(x)=0

pasa por transformarla en una equivalente,

x=g(x), y ejecutar la iteración

x(k+1)=g(x(k))

a partir de un cierto x(0) hasta que se satisfaga el criterio de parada elegido o se alcance el número de iteraciones máximo admitido.Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 

Ejemplos:1)     La ecuación se puede transformar en

2)     La ecuación se puede transformar en  Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es X i , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe tal que En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por y tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término es precisamente el error absoluto en la

enésima iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en la i – enésima interacción

MÉTODO DE NEWTONMÉTODO DE NEWTON

El algoritmo del método

La implementación de este método, en Excel, es realmente simple. Para esto considere

la mismo ecuación de antes: y con aproximación inicial tenemos .

METODO DEL DESCENSO MÁS RAPIDOMETODO DEL DESCENSO MÁS RAPIDO

O MAS EMPINADOO MAS EMPINADO

(1) x''(t) = f(x(t),x'(t)) + A Sin(ω t)    

                                                                                                                                  (2)      P (x0,y0) = (x(p), x'(p)                                               

(3) P (x0,y0) = (x0,y0)                                         

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS

En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores

escalares λ y los vectores x ≠ 0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple

Ax = λx

tiene solución si la reescribimos como sigue

(A - λI)x = 0

ecuación característicadet(A - λI) = 0

polinomio característico a(λ)=det(A - λI)

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS

Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz

A

Solución: det(A – λI) = det

(4-λ )(-3-λ ) + 10 = λ 2 – λ - 2 = 0 λ1 = -1, λ2 = 2

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOSPara λ 1 = -1:

(a – λ1I) x =

x = [x1, x1]t x = [1 1]t

Para λ2 = 2:

(a – λ2I) x =

x = [x1, 0.4x1]t x = [5 2]t

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS

En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los Valores escalares y los vectores x0 tales que para la matriz

cuadrada A se cumpleAx = x (1) Algunos de estos campos de aplicación son:

- Ecuaciones diferenciales- Estabilidad de sistemas lineales

- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)- Polos y ceros de funciones transferencia

- Diagonalización de matricesPodemos averiguar si el problema planteado por (1)

tiene solución si la reescribimos como sigue (A - )x = 0 (2)Así el problema se transforma en el ya conocido sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos que tiene solución única x=0 cuando det(B)0. Justamente este

es el caso que no nos interesa.El número se dice valor propio de A (matriz cuadrada) si y sólo si det(A - )

= 0 (3)Esta es la ecuación característica de la matriz A.

APROXIMACIÓN DE VALORES PROPIOSAPROXIMACIÓN DE VALORES PROPIOS

El teorema de aproximación de valores propios de matrices simétricas.

Si se considera el caso de matrices simétricas de elementos no negativos, tenemos un resultado general (en cuanto que es aplicable a matrices no necesariamente simétricas) que se conoce como teorema de Perron -Frobenius. Así como el teorema que enuncia que ningún valor propio de una matriz es superior en valor absoluto a cualquiera de las normas de ésta.

Proporciona una región de localización de al menos un valor propio de una matriz simétrica. Además se indicará la forma de obtener otras posibles regiones.

Gracias por su Gracias por su atención..!atención..!